第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

一、知识梳理 1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．

(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

a ＋

b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，

λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →

＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →

|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 3．平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [提醒] 当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1

y 2等价．

即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 常用结论

1．共线向量定理应关注的两点

(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1

y 2

，因为x 2，y 2有可

能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.

(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 2．两个结论

(1)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝

⎛⎭

⎪⎫

x 1＋x 22，y 1＋y 22.

(2)已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为

⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，

y 1＋y 2＋y 33. 二、教材衍化

1．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m

n ＝( )

A ．－12

B ．12

C ．－2

D ．2

解析：选A ．由向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得－(2m －n )＝4(3m ＋2n )，所以m n ＝－1

2

.故选A ．

2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________．

解析：设D (x ，y )，则由AB →＝DC →

，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.

答案：(1，5)

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →

的夹角为∠ABC ．( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )

(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1

y 2.( )

(5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏

常见误区| (1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线； (2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．

1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则给出下列向量组：①AD →

与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.

其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④

D ．③④

解析：选B ．平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：

对于①，AD →与AB →

不共线，可作为基底； 对于②，DA →与BC →

为共线向量，不可作为基底； 对于③，CA →与DC →

是两个不共线的向量，可作为基底；

对于④，OD →与OB →

在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底． 2．已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →

＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4)

D ．(1，4)

解析：选A ．法一：设C (x ，y )， 则AC →

＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，

所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，

从而BC →

＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A ． 法二：AB →

＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，

BC →＝AC →－AB →

＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A ．

考点一 平面向量基本定理的应用(基础型) 复习指导

| 了解平面向量的基本定理及其意义．

核心素养：数学运算

(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →

＝

a ，AC →＝

b ，则DE →

＝( )

A ．13a ＋5

12

b

B ．13a －1312

b