高三文科数学基础大题专题训练

高三数学大题专题练习题基础题训练

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一、解答题

1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为

222x cos y sin αα

=⎧⎨

=+⎩（α为参数），曲线C 2的方程为（x-1）2

+（y-1）2

=2．

（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 1，C 2的极坐标方程；

（2）直线θ=β（0＜β＜π）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|的最大值．

2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数

方程为1x a y ⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩

（t 为参数，a R ∈）.以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为

2cos 4cos 0ρθθρ+-=.

（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.

3．在直角坐标系xOy 中曲线1C

的参数方程为

cos x y α

α

=⎧⎪⎨

=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C

的极坐标方程为

sin 4πρθ⎛⎫

+

= ⎪⎝

⎭

（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.

4．已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，且

sin cos sin cos b A C c A B +=

. （1）求sin A ；

（2）若23=a ，4b =，求c .

5．已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且

1c =

，)

()cos sin sin cos 0B C B A B +

-+=

（1）求角C 的大小；

（2）若3a b =，求()cos 2B C -的值。

6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

2cos cos cosB a A b C c -=

（1）求角A ；

（2）

若a =ABC ∆

的面积为4

，求ABC ∆的周长。

7．如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC=2，点M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折

起，使得平面△ADM ⊥平面ABCM ．

（1）求证：AD ⊥BM ；

（2）求点C 到平面BDM 的距离．

8．如图所示，四棱锥S ABCD -中，⊥SA 底面ABCD ，

//AB CD ，3AD AC AB ===，4SA CD ==，P 为线

段AB 上一点，2AP PB =，SQ QC =.

（1）证明：//PQ 平面SAD ； （2）求四面体C DPQ -的体积.

9．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,,M N P 分别是棱111,,BC CC B C 上的点，且1190AMN A PC ∠=∠=︒.

（1）求证：1AM B C ⊥； （2）若V ABC 为等边三角形，

124AA AB ==，求三棱锥1M A PN -的体积.

10．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ,1BB 的中点.

(1)证明：1//BC 平面1A CD ;

(2)设12AA AC CB ===,22=AB ，，求三棱锥

1D A AC -的体积.

11．在菱形ABCD 中，,3

ADC AB a π

∠=

=，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点

（如图2）．

（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM

平面'AOD ；

（Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -

a 的值．

12．设椭圆()22

122:10x y C a b a b +=>>的一个顶点与抛物线

22:4C x y =的焦点重合，1F ，2F 分别是椭圆1C 的左、右

焦点，离心率3

6

=e ，过椭圆1C 右焦点2F 的直线l 与椭圆

1C 交于A ，B 两点．

（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l ，使得1OA OB ⋅=-，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）设点(),0M t 是一个动点，若直线l 的斜率存在，且N 为AB 中点，AB MN ⊥，求实数t 的取值范围．

13．已知椭圆C:

)0(122

22>>=+b a b

y

a x

的焦距为且C 过点⎪⎭⎫

⎝

⎛21,3. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设1B 、2B 分别是椭圆C 的下顶点和上顶点，P 是椭圆上异于1B 、2B 的任意一点，过点P 作PM y ⊥轴于M ，N 为线段PM 的中点，直线2B N 与直线1y =-交于点D ，E 为线段1B D 的中点，O 为坐标原点，则ON EN ⋅uuu r uuu r

是否为定值，若

是，请求出定值；若不是，请说明理由.

14．已知椭圆1:2222=+Γb y a x (0)a b >>

的离心率为2

,

原点到椭圆的上顶点与右顶点连线的距离为5

52

.

（1）求椭圆Γ的标准方程;

（2）斜率存在且不为零的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,若线段AB 的垂直平分线的纵截距为-1,求直线l 纵截距的取值范围.

15．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为

12,F F

P 在椭圆C 上，且21F PF ∆的面

. （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知直线():10l y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点,M N ，若x 在轴上存在点(),0G m 得GM GN =，求实数m 的取值范围.