数学竞赛中的概率专题

第一讲 概率基础知识

第一章 事件与概率

一、随机事件与样本空间

1. 随机试验

(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；

(2) 试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；

(3) 每次试验问题恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯

定这次试验会出现哪一个结果.

随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体称常作样本空间，通用字母Ω表示. Ω中的点，即基本事件，有时也称作样本点，通常用ω表示.

例1. 一个盒子中有十个相同的球，但5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从

中任取一球，观察其颜色.

令1ω={取得白球}，2ω={取得黑球}, 则12{,}ωωΩ=.

例2. 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，令 i ={收到的呼唤次数i }，则{0,1,2,}Ω=

例3. 一个盒子中有十个相同的球，分别标以号码1,2,10，从中任取一球，

令i ={取得球的标号为i }，则{1,2,

,10}Ω=

在随机试验中，通常我们关心的是满足某种条件的那些样本点所组成的集合，如在例3中，我们可以研究

A ={球的标号等于6}，

B ={球的标号是偶数}，

C ={球的标号不大于5}

这些结果是否发生？其中A 是一个基本事件，而B 和C 则由多个基本事件所组成，相对于基本事件，就称它们为复杂事件. 无论是基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件，简称事件. 习惯上，人们通常用大写字母,,A B C 等表示事件. 在试验中，如果出现A 中所包含的某一个基本事件ω，则称A 发生，并记为

A ω∈.

注：随机事件是样本空间的一个子集，例如例3中，{1,2,,10}Ω=，显然，前述的

随机事件,,A B C 都是样本空间Ω的子集，它们可以简单地表示为

{6}A =，{2,4,6,8,10}B =，{1,2,3,4,5}C =.

因为在一次试验中，必然要出现Ω中的某一个基本事件ω，即ω∈Ω. 也就是在试验中，Ω必然会发生，所以通常用Ω来代表一个必然事件. 相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有ωφ∈，也就是说，φ永远不可能发生，所以φ是不可

能事件.

2. 事件间的关系和运算

(1) 子事件 如果事件A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含了A ，或称A 是B 的

一个子事件，记作A B ⊂. 对于任一事件A ，我们约定A φ⊂.

(2) 如果有A B ⊂，B A ⊂同时成立，则称事件A 与B 相等，记作A B =

(3) 和事件 “事件A 与B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的

和事件，记作A

B .

(4) 积事件 “事件A 与B 同时发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的积事件，

记作A

B .

(5) 差事件 “事件A 发生而B 不发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的差事件，

记作A B -.

(6) 若事件A 与B 不能同时发生，也就是说AB φ=，则称事件A 与B 互不相容. (7) 对立事件 若A 是一个事件，令A A =Ω-，则称A 是A 的对立事件或逆事件.

显然, AA A

A φ==Ω.

3. 事件的运算满足的运算律

(1) 交换律 , A B B A A B B A ==

(2) 结合律 ()()()(), A B C A B C AB C A BC ==

(3) 分配律

()()()(), A

B C AC

BC AB C A C B

C ==

(4) 对偶原理 , A B A B A B A B ==

例1. 设,,A B C 是Ω中的随机事件，则事件“A 与B 发生，C 不发生”可以表示为ABC ；

“A 、B 、C 中至少有二个发生” 可以表示为AB BC AC ；

“A 、B 、C 中恰好有二个发生” 可以表示为ABC ABC ABC ；

二、概率的统计定义

随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，具有偶然性，但在大量的重复试验中却呈现出明显的规律性.

1. 频率 若随机事件A 在n 次重复试验中发生了A n 次，称

()A

n n f A n

=

为A 的频率. 易知频率具有下述性质：

(1) 非负性 ()0n f A ≥；

(2) 规范性 若Ω为必然事件，则()1n f Ω=； (3) 有限可加性 若AB φ=，则()()()n n n f A

B f A f B =+.

随机事件在具有波动性的同时又呈现一种稳定性，即频率总是在某一常数附近摆动，而且随着n 的增大，摆动越来越小并稳定于这个常数. 随机事件的这种在大量的重复试验中所呈现出来的必然规律性称为频率的稳定性. 频率的这种稳定性是随机事件本身所固有的客观属性，是不随人的意志改变的，只要试验在相同的条件下进行，频率所接近和稳定到的这个常数就不会改变，这个常数标志着随机事件出现的可能性的大小，因此可以用这个常数作为度量随机事件发生的可能性大小的客观尺度，并称之为概率.

2. 概率 在相同的条件下，重复作n 次试验，设事件A 发生发生了A n 次，如果当n 增大时，事件A 发生的频率

A

n n

稳定地在某一常数p 附近摆动，就为此常数p 为事件A 发生的概率，记作()P A p =.

注：对于一个随机事件来说，它发生的可能性上的度量是由它自身决定的，并且是客观存在的.

因为频率的本质就是概率，因而频率的性质也是概率应该具有的性质： (1) 非负性 ()0P A ≥；

(2) 规范性 若Ω为必然事件，则()1P Ω=； (3) 有限可加性 若AB φ=，则()()()P A

B P A P B =+.

除此之外，概率还有以下几个常见的性质

(4) 不可能事件的概率为0，即()0P φ=； (5) 对任一事件A ，有()1()P A P A =-； (6) 若A B ⊂，则()()()P A B P A P B -=-； (7)

加法公式 对任意的两个事件A 、B ，有

()()()()P A

B P A P B P AB =+-

更一般地，有

1

1

1111()()()(1)

n n n

n n

n i i i j i j k i i i j n i j k n i i P A P A P A A P A A A P A -=≤<≤≤<<≤==⎛⎫⎛⎫

=-+-

+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑ 三、古典概型