考研数学三(微积分)模拟试卷203(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷203(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是( )．

A．若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散

B．若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界

C．若{an}无界且

D．若an为无穷大，且则bn一定是无穷小

正确答案：D

解析：A不对，如an=2+(－1)n，bn=－2－(－1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn=3，显然{anbn}收敛；B，C都不对，如an=n[1+(－1)n]，bn=n [1－(－1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn=0，显然{anbn}有界且；正确答案为D．知识模块：函数、极限、连续

2．f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处( )．

A．可导

B．不可导

C．连续但不一定可导

D．不连续

正确答案：C

解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选C．知识模块：一元函数微分学

3．下列说法正确的是( )．

A．设f(x)在x0二阶可导，则f’’(x)在x=x0处连续

B．f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值

C．f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值

D．若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点

正确答案：D

解析：令不存在，所以A不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以B 不对；C显然不对，选

D．知识模块：一元函数微分学

填空题

4．设f(x)连续，且f(1)=1，则=______．

正确答案：

解析：知识模块：函数、极限、连续

5．设∫0yetdt+∫0xcostdt=xy确定函数y=y(x)，则=______．

正确答案：

解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得知识模块：一元函数微分学

6．______．

正确答案：

解析：知识模块：一元函数积分学

7．设f(x)=∫0xecostdt．求∫0πf(x)cosxdx．

正确答案：e－1－e

解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx =－∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e－1－e．知识模块：一元函数积分学

8．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______．

正确答案：y’’－3y’’+4y’－2y=0

解析：特征值为λ1=1，λ2,3=1±i，特征方程为(λ－1)(λ－1+i)(λ－1－i)=0，即λ3－3λ2 +4λ－2=0，所求方程为y’’－3y’’+4y’－2y=0．知识模块：常微分方程与差分方程

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9．求

正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续

10．设求f(x)的间断点并指出其类型．

正确答案：首先其次f(x)的间断点为x=kπ(k=0，±1，…)，因为，所以x=0为函数f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=kπ(k=±1，…)为函数f(x)的第二类间断点．涉及知识点：函数、极限、连续

11．确定a，b，使得x－(a+bcosx)sinx，当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．

正确答案：令y=x－(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x～(a+bcosx)cosx，y’’=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y’’’=acosx+4bcos2x，显然y(0)=0，y’’(0)=0，所以令y’(0)=y’’(0)=0得故当时，x－(a+bcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小．涉及知识点：函数、极限、连续

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1)=0．证明：

12．存在使得f(η)=η；

正确答案：令φ(x)=f(x)－X，φ(x)在[0，1]上连续，φ(1)=－1＜0，由零点定理，存在使得φ(η)=0，即f(η)=η．涉及知识点：一元函数微分学

13．对任意的k∈(－∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．

正确答案：设F(x)=e－kxφ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．涉及知识点：一元函数微分学

14．当x＞0时，证明：

正确答案：令f(x)=(+1)ln(1+x)－2arctanx，f(0)=0．所以从而f’(x)≥0(x＞0)．由得f(x)≥f(0)=0(x＞0)，即涉及知识点：一元函数微分学

15．求

正确答案：涉及知识点：一元函数积分学

16．设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f’’(x)＜0．证明：∫01f(x2)dx≤

正确答案：由泰勒公式，得涉及知识点：一元函数积分学

17．设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f∫abxφ(x)dx]．

正确答案：因为f’’(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)．取x0=∫abx φ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]，上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．涉及知识点：一元函数积分学

18．求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由x轴、y轴及x+y=6所同围成