初中数学重点梳理：逆推法
初中数学证明方法知识点归纳
初中数学证明方法知识点归纳数学中的证明是一种重要的思维方式和能力培养。
它可以帮助学生提高逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
作为初中数学学习的一部分，证明方法是学生必须要掌握的内容。
在本文中，我将介绍一些初中数学证明的基本方法和技巧。
1. 直接证明法直接证明法是最常见和基本的证明方法之一。
它通过逐步推导，从已知条件出发，通过严密的逻辑推理，最终推导出所要证明的结论。
在进行直接证明时，需要清晰地说明每个推理步骤，并确保每一步都是严格的、可信的。
这种方法在数学中应用非常广泛，可以证明各种定理和性质。
2. 反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的结论为假，然后通过推理和逻辑矛盾来推导出一个错误的结论，从而得出所要证明的结论为真。
反证法常用于证明存在性的命题，或者证明某些性质的唯一性。
在应用反证法证明时，需要明确假设和推理过程，并确保推导的结论与已知条件相矛盾。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明一系列命题的通用性。
它以证明基本情况，即当n等于一个特定的数时命题成立，然后假设命题在n=k时成立，并证明在n=k+1时命题也成立。
通过这种逐步推进的方式，可以证明所有情况下命题都成立。
数学归纳法常用于证明等式恒等、不等式成立等问题。
4. 枚举法枚举法是一种通过穷举所有可能情况的方法进行证明。
对于一些简单的问题，枚举法是一种有效的证明方法。
它通过列出所有可能的情况，并逐一验证每种情况下结论是否成立。
枚举法在解决排列组合、概率等问题时经常使用。
5. 逆推法逆推法是一种从结论出发，通过逆向推导来证明命题的方法。
它通过假设结论为真，然后反推出已知条件，并验证这些已知条件是否成立。
逆推法常用于解决逻辑推理、方程解等问题。
6. 分类讨论法分类讨论法是一种将问题分为几种情况进行讨论，通过分析每种情况的特点来证明结论的方法。
分类讨论法常用于证明几何定理、函数性质等问题。
在应用分类讨论法时，需要将问题分为不同类别，并分别进行分析和证明。
初中数学竞赛精品标准教程及练习57逆推法
初中数学竞赛精品标准教程及练习57逆推法逆推法是一种解决问题的方法，它的核心思想是从已知的结果出发，逐步推导出问题的解。
在初中数学竞赛中，逆推法常常被用于解决一些特殊的题目，尤其是组合、排列、数列等问题。
本文将给出一些逆推法的常见题型及解题思路，并附上相应的练习题供大家练习。
1.直接逆推题目描述：小明有一些球，他先发现了其中有5个是红色的，后来又发现有15个是蓝色的，他想知道这些球中还有多少个黄色的球，假设所有球的颜色只有红、蓝、黄三种。
解题思路：设黄色球的个数为x，根据题意，红色球的个数为5，蓝色球的个数为15，那么红、蓝、黄三种颜色球的总个数为5+15+x。
又因为总个数是已知的，所以可以得到等式5+15+x=总个数。
将已知的红、蓝色球的个数代入等式后，可得到x=总个数-20。
根据题目中的要求，可以通过逆推得到，黄色球的个数等于总个数减去已知的红、蓝色球的个数。
2.倒数逆推题目描述：一个分数，如果将其分子和分母都加上一个正整数后，所得的新分数为原分数的倒数，求原分数。
解题思路：假设原分数为a/b，那么将其分子和分母都加上一个正整数得到的新分数为(a+x)/(b+x)。
根据题意，可以得到等式(a+x)/(b+x)=1/(a/b)。
将等式中的分数化简，可得到等式(a+x)/(b+x)=b/a。
将等式两边的分数交叉相乘，可得到等式a(a+x)=b(b+x)。
将等式中的(x)展开并整理，可得到等式ax+a²=bx+b²。
很明显，这是一个二次方程，通过对其进行化简和求解，可以得到原分数的值。
练习题：1.小明先做了一些简单的数学题，后来发现他的答案正确的比例是2:3，如果他一共做了40道题，那么他做对的题目数是多少？2.一个数的三位数部分等于其十位数加上个位数的两倍加上百位数的4倍，求该数。
3.若一个正整数的8倍恰好比该正整数多256，求该正整数。
4.一个角的度数是它补角度数的5倍，求这个角的度数。
第二十一讲 逆推问题
第二十一讲逆推问题要点全景小朋友们，你们知道吗？有些数学问题如果顺着题目意思去思考，就比较繁琐，而且不容易找到解题途径，例如：已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数。
这种问题叫做逆推问题。
解答逆推问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它的变化的相反方向一步步倒着推想。
学完这一讲你能学会：1.运用倒推法解决一些逆推问题（计算上的逆推与叙事上的逆推）。
2.具有一定的分析、推理能力和解决实际问题的能力。
名题巧解例1：一次数学考试后，淘气问笑笑数学考试得多少分。
笑笑说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得52。
”小朋友，你知道笑笑得多少分吗？分析：这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来。
如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题。
如果把笑笑的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是52。
求这个数是多少？也可以这样理解为：把一个数用□来表示，可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝52。
如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去。
因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是52÷4＝13；13是除以7后得到的，除以7之前是13×7＝91；91是加10后得到的，加10以前是91-10＝81；81是减8以后得到的，减8以前是81＋8＝89。
这样倒推使问题得解。
解答：52÷4＝13 13×7＝91 91-10＝81 81＋8＝89答：笑笑得89分技巧点评：从结果出发，倒着一步一步地推算出原始数据。
计算上的还原：你加我减，你减我加，你乘我除，你除我乘；即时演练1.小聪问小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4。
请你算一算，我今年几岁？例2：马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111。
数学倒推法的解题技巧
数学倒推法的解题技巧数学倒推法是一种常用的解题技巧，它通常被用于解决需要逆向思维的问题。
该方法的基本思想是从问题的结果逆推回问题的起始点，通过分析问题中的各个因素和条件，逐步推导出正确的答案。
在实际应用中，数学倒推法可以帮助我们更加深入地理解问题，从而更加准确地解决问题。
以下是一些常见的数学倒推法的解题技巧：1. 确定问题的终点：在使用数学倒推法解题时，首先需要明确问题中需要求解的终点，即最终的结果。
只有明确了问题的终点，才能够从结果中逆推回问题的起始点。
2. 确定逆推方向：在确定问题的终点后，需要根据问题的具体情况确定逆推的方向。
有些问题需要从终点向前逆推，有些问题需要从前面的条件向后逆推。
在逆推方向确定后，我们就可以开始逐步推导出正确的答案。
3. 分析问题中的条件：在使用数学倒推法解题时，需要对问题中的各个条件进行分析和综合。
通过对条件的分析，我们可以找出问题中的规律和关系，从而更加准确地推导出答案。
4. 确定逆推的步骤：在逆推过程中，需要根据问题的具体情况确定逆推的步骤。
有些问题需要逐步推导，有些问题可以直接得到答案。
在逆推的过程中，需要注意每一步的正确性和逻辑性，避免出现错误。
5. 检验答案的正确性：在使用数学倒推法解题后，需要对答案的正确性进行检验。
这可以通过反向验证和多种方法的比较来实现。
只有在经过严密的验证后，我们才能够确定答案的正确性。
总之，数学倒推法是一种重要的解题技巧，它可以帮助我们更加深入地理解问题，从而更加准确地解决问题。
在使用这种方法时，需要注意逆推方向的确定、条件的分析、逆推步骤的确定和答案的验证等问题，避免出现错误。
数列逆推从结果中寻找规律
数列逆推从结果中寻找规律数列是数学中重要的概念，在各个领域都有广泛的应用。
在数学中，数列可以定义为一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
逆推法是一种常用的求解数列规律的方法，它通过从结果中逆向推导出数列的规律。
本文将介绍数列逆推的基本概念和方法，并通过几个实例演示该方法的应用。
一、数列逆推的基本概念数列逆推是一种从已知的数列结果中寻找规律的方法。
当我们已知数列的后几项或者部分项时，我们可以通过观察前几项和后一项之间的关系，逆向推导出数列的通项公式或者递推公式。
这种方法在数学问题的解答和实际应用中都具有重要的意义。
二、数列逆推的方法1. 观察前几项之间的关系：首先，我们需要仔细观察已知数列的前几项之间的关系。
我们可以观察每一项与前一项之间的差异或者相似之处，还可以观察每一项与其下一项之间的关系。
通过观察这些关系，我们可以初步推测数列的规律。
2. 推导递推公式：一旦我们初步推测出数列的规律，我们可以使用递推公式来验证我们的猜想。
递推公式是指通过已知项来推导下一项的公式。
根据我们观察到的规律，我们可以编写递推公式，并使用它来计算数列的后续项。
3. 验证递推公式：在编写递推公式之后，我们需要验证它是否能够准确地计算数列的每一项。
我们可以选择已知的数列项进行验证，如果递推公式能够准确计算出已知的数列项，则说明我们的推测是正确的。
4. 求解通项公式：一旦我们确定了数列的递推规律，我们可以进一步求解它的通项公式。
通项公式是指通过项数n来直接计算数列中的任意一项的公式。
通项公式的求解可以通过数学归纳法等方法。
三、实例演示现在，我们通过几个实例来演示数列逆推的具体应用。
例1：已知数列的前三项依次为1、3、6，求该数列的递推公式和通项公式。
解：观察前三项之间的关系，我们可以发现第二项相对于第一项增加了2，第三项相对于第二项增加了3。
如果我们假设递推公式为an = an-1 + (n-1)，其中an表示数列的第n项，我们可以用这个公式来验证前三项：a1 = a1-1 + (1-1) = a0 = 1a2 = a2-1 + (2-1) = a1 + 1 = 2 + 1 = 3a3 = a3-1 + (3-1) = a2 + 2 = 3 + 2 = 5由于公式能够准确计算出已知的数列项，我们可以认为递推公式an = an-1 + (n-1)是正确的。
倒推法知识点总结
3.反证法：反证法是一种通过假设结论为假，然后推导出矛盾的逻辑推理方法。反证法要求推理者要通过推导出矛盾来证明结论为真。
以上是倒推法相关的一些常见概念，它们是倒推法的重要组成部分，对于倒推法的理解和应用具有重要意义。
1.数学领域：倒推法在数学领域中有着广泛的应用。在解决数学难题时，倒推法可以帮助数学家们从已知结论出发，逆向推导出问题的根本原因，从而找到解决问题的方法。例如，在证明一个数论问题时，可以先假设结论为假，然后推导出矛盾，从而证明结论为真。
2.物理领域：倒推法在物理领域中也有着重要的应用。在解决物理问题时，科学家们常常需要通过倒推法来确定问题的原因和规律，从而建立起科学理论和模型。例如，在研究地球的内部结构时，科学家可以通过地震波的传播速度和方向来推导地球的内部结构。
倒推法知识点总结
一、倒推法的基本原理
倒推法的基本原理是以结论为出发点，逆向推导出前提或原因。它是一种以反证法为基础的逻辑推理方法，要求从已推理过程通常包括以下几个步骤：
1.首先确定问题的结论或目标；
2.然后逆向推导，分析这个结论的前提条件或原因；
3.接着继续递归分析这些前提条件的前提条件，直至找出最根本的原因；
5.经济学领域：在解决经济问题时，倒推法也发挥着重要的作用。例如，在研究市场供需关系时，经济学家可以通过倒推法来分析市场价格和供给关系的变化，从而预测市场的发展趋势。
以上是倒推法在各个领域中的典型应用案例，可以看出倒推法在各个领域都有重要的作用，它是一种非常常用的推理方法。
三、倒推法的相关概念
1.正向推导：正向推导是一种从已知原因或前提来推导结论的逻辑推理方法。正向推导要求推理者要从已知的原因或前提出发，推导出结论或结果。
算术技巧：逆推法
有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果，要想求出未知量，可以从最后结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，这种方法叫做逆推法。
这种思维方法我们称作逆向思维，在处理一些问题时经常要用到。
有些应用题按顺向处理比较困难，或者会出现繁杂的运算，如果根据题目的条件，运用逆推法去解则方便得多。
公考考试中经常会出现这样一类题，题目形式如下：A、B、C三堆货物，从A中取出一部分给B，再从B中取出一部分给C，然后再从C中取出一部分给A。
已知经过变换后A、B、C的数量，求变换前A、B、C的数量。
对于这类题，运用常规方法列出三元一次方程求解固然可以求出数值，但通常运算量很大，耗时长且易出错，也违背了出题人的本意。
数量关系中一般不会出太繁琐的运算，看似复杂的题目一般都有简捷的方法。
解这类题常用的方法就是逆推法。
下面我们就通过下面几道例题看一下逆推法的应用。
例1：有砖26块，兄弟两人争着挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了，哥哥看弟弟挑太多，就抢过一半，弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，问最初弟弟挑多少块?( )A. 14B.16C.18D.20----‘2008年河北省招警考试’【解析】B。
哥哥挑了(26+2)÷2=14块，弟弟是26-14=12块。
逆推：(1)哥哥还给弟弟5块，则哥哥是14-5=9块，弟弟是12+5=17块;(2)弟弟抢走哥哥的一半，抢走了一半，则剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18块，弟弟是17-9=8块;(3)哥哥抢走弟弟的一半，则弟弟原来就是8+8=16块。
故本题正确答案为B。
例2：甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。
初中数学竞赛精品标准教程及练习57逆推法
初中数学竞赛精品标准教程及练习57逆推法一、什么是逆推法？逆推法是指从问题的答案出发，逆向推导出问题的具体条件和相关信息的方法。
在数学竞赛中，逆推法广泛应用于各个领域，如数列、方程、几何等。
逆推法的核心思想是逐步推导出问题的各个环节和条件，最终得到问题的具体答案。
在使用逆推法解题时，我们需要倒着思考问题、逐步分析，并注意排除不符合条件的情况。
二、逆推法的基本步骤使用逆推法解题的基本步骤如下：1.确定问题的答案，即要求解的情况。
2.从答案出发，逆向推导出问题的具体条件和相关信息。
3.分析条件之间的关系，推导出问题的各个环节。
4.利用所得到的条件和环节，解决问题。
5.验证答案，确保所得到的结果符合要求。
三、逆推法的练习题1.数列问题已知一个等差数列的前4项依次是7，11，15，19，求该等差数列的第n项。
解析：我们可以利用逆推法解决这个问题。
首先，我们知道等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
我们已知前4项为7，11，15，19，因此首项a1=7，公差d=11-7=4、我们需要求第n项，即an。
根据等差数列的通项公式，我们可以得到7+(n-1)4=an。
通过逆推法，我们可以得到an=7+4(n-1)=4n+32.方程问题已知一个二次方程的两个根分别是a和b，且a+b=6，ab=8，求该二次方程。
解析：我们可以利用逆推法解决这个问题。
首先，已知二次方程的根为a和b，根据二次方程的性质，我们可以得到二次方程的一般形式为x^2-(a+b)x+ab=0。
已知a+b=6，ab=8，代入一般形式得到x^2-6x+8=0。
3.几何问题已知一个等边三角形的面积为9，求该等边三角形的边长。
解析：我们可以利用逆推法解决这个问题。
首先，已知等边三角形的面积为9，根据等边三角形的性质，我们知道等边三角形的高与边长相等。
设等边三角形的边长为a，高也为a，则三角形的面积为9=(a*a)/2，解得a=6四、逆推法的注意事项1.注意确定问题的答案，确保逆推的方向正确。
用逆推法解题
用逆推法解题【知识要点】1.逆推法：是用还原思想解题的方法。
就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步进行逆向推理，逐步靠拢原始的条件2.用逆推法解答某些题目时，比用顺推法解答更清晰容易3.解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算、原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘【典型题解】例1.某数加上10，减去7，乘以3，除以5，等于12。
这个数是多少？分析：用逆推法思考：这个数没除以5时是多少？这个数没乘以3时是多少？这个数没减去7时是多少？这个数没加上10时是多少？也可以顺序画表如下：()()()()10735?12+-⨯÷−−→−−→−−→−−→③②① 从12入手逆推依次计算出①②③三个数，最后求出这个数是多少 解：12560 60320 20727 271017⨯=÷=+=-=答：这个数是17例2.在求几个数之和时，把其中的一个加数的十位数字少写了5，个位数字上本应该是零而写成了6，千位数应该是7而写成了1，这时得到的和是3212。
那么，原来要求的几个数的和应该是多少？分析：加数的十位上少写5，和就少了50；个位是0写成6，和就多了6；千位是7写成1，和就少了6000；这题可以看成是正确的和先减少了50，又增加了6，再减少了6000后是3212，用逆推法即可求解解：()32127110009212+-⨯= 921269206-= 92065109256+⨯= 答：原来要求的几个数的和应该是9256例3.小明的三层书架中共放着48本书。
有一次他清书，先从上层拿8本放入中层；又从中层拿6本放入下层，这时三层书的本数相等。
原来每层放多少本书？ 分析：以三层书的本数相等入手分析，可得现在每层书的本数48316÷=。
再分析各层书是怎样变化得到16本书的，即上层原有书的本数－8本＝16本；下层原有书的本数＋6本＝16本；中层原有书的本数＋8本－6本＝16本，最后用逆运算使问题得解解：48316-=（本）166814+-=（本）+=（本）16610÷=（本）16824答：原来上层放24本，下层放10本，中层放14本书例4.在一只篮子里，有若干枚李子。
逆推与图示整理
逆推与图示引入：张老师说；“把我的年龄数减去8，除以5，加上8，再乘6，正好是72.”同学们，你能推算出张老师今年多大吗？【知识要点】1、必要知识储备。
运用“逆推法”解决问题要以四则运算中加减乘除的各部分之间的关系为知识基础。
加数＋加数=和 =〉一个加数=和－另一个加数被减数－减数=差 =〉被减数=减数＋差因数×因数=积 =〉一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商 =〉被除数=除数×商2、对“逆推法”的理解。
“逆推法”思考问题，不仅是解题思路的“逆向”，而且计算方法也是恰恰相反。
从后往前推，原来是加法，推回去是减法，原来是减法，推回去是加法；原来是乘法，推回去是除法，原来是除法，推回去是乘法；总之，总是逆着往回想、往回算，因而，这种解题思路，又称“还原”。
3、需要用“逆推法”解决的问题，常常要满足三个条件：⑴、已知最后结果；⑵、已知在达到最终结果时每一步具体过程；⑶、最初结果为未知数。
把握这三个条件，准确运用画图来帮助分析题意，“逆推法”一定会运用得好的。
〔典型例题〕〔例1〕、一根钢管，第一次截去3米，第二次截去剩下的一半后，还剩 5米。
这根钢管原来长多少米？〔例2〕、工人们铺一段公路，第一天铺了全长的一半还多2千米，第二天铺了余下的一半少1千米，此时还剩18千米。
公路全长多少千米？〔例3〕、小马虎抄了一道整数加法题，因为字迹潦草，算题时，把个位上的6看做了0，把十位上的5看做了8，结果所得的和是123，那么，正确答案是多少？注：同学们，虽然“逆推法”帮助小马虎解决了问题，可是我真心希望你们要认真审题，仔细书写，不要再犯“小马虎式”的错误了！〔例4〕、小华在郊外采了一大把野花，在回家的路上，碰见了哭鼻子的小妹妹，她把花束的一半送给了小妹妹；后来，她有碰见了爱花的小哥哥，她又把此时手中的花束的一半给了小哥哥；最后又遇见了好朋友妞妞，她又把此时手中花束的一半分给了妞妞，这样一来，小华手里只剩下3枝花了，可她一样很高兴。
逆推法(含答案)-
逆推法有些数学问题顺向思考很难解答，这时如果能从反向进行思考，有时能化难为易，很快找到解题途径。
其思考的方法是从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到问题的解决。
（一）思路指导：例1.一种细菌，1小时增长1倍，现在有一批这样的细菌，10小时可增长到400万个, 问增长到100万个需要多少小时？思路分析：因为细菌每小时增长1倍。
10小时增长到400万个，那么9小时就增长到400万个的一半，即9小时增长到200万个，8小时增长至∣J 100万个。
算式：100-（1 + 1） = 8 （小时）答：增长到100万个时需要8小时。
例2.四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3本，乙给了丙4本，丙给了丁5本, 丁给了甲6本，这时他们四个人课外读物的本数相等。
他们原来各有课外书多少本？思路分析：四个人互相给，总本数仍然是120本，那么每人应有120÷4 = 30 （本），然后各自把给别人的本数拿回来，再把别人给自己的本数退回去，就得到原有的本数。
算式：120÷4 = 30 （本）丁原有的本数：30 + 6-5 = 31 （本）丙原有的本数：30 + 5-4 = 31 （本）乙原有的本数：30 + 4-3 = 31 （本）甲原有的本数：30 + 3-6 = 27 （本）答：甲、乙、丙、丁四人原来各有书27本、31本、31本、31本。
例3.粮仓里存大米若干袋，第一天卖出的比存米的一半少8袋，第二天又卖出剩余米的一半，这时粮仓里还存米32袋，这个粮仓原存大米多少袋？思路分析：根据粮仓里最后还有32袋，一步一步地求出粮仓原存大米多少袋。
根据第二天又卖出剩余米的一半后还剩32袋,可以求出第一天卖出后粮仓里存有2个32袋（即64袋），根据第一天卖出原存大米的一半少8袋可知，第一天卖后剩下的是原存大米的一半多8袋，原存大米的一半多8袋是64袋，可以求出原存大米是（64-8）x2 = 112 （袋）列式:（32×2-8）×2 = 112 （袋）答：粮仓里原有存米112袋。
逆推法
中级思考题：有100个人排成一列，自1往下报数，报 奇数的人，走出队列，留下的人从1重新报数，报奇数 的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这 人第一次报数是多少？ 提示：从第1，2，3……次往下推，可知人数分别 是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依 次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人 中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是 报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21， 22，23，…，2 n.
趣味数学
2014年黄中七年级数学课外知识
《逆推法》
黄花初中 七年级数学备课组
把问题发生的顺序倒过来，从结论 开始，执果索因，逆向推导，逐步还原， 以求问题的解决，这种方法称为逆向推 导法。（简称逆推法）
例题1、一位老太太上街卖鸡蛋。 第一位顾客买了全部的一半加半个， 第二位顾客买了剩下的一半加半个， 第三位顾客买了剩下的一半加半个， 第四位顾客买了剩下的一半加半个， 第五位顾客买了剩下的一半加半个， 这时她的鸡蛋就全部卖完。问她共 有多少个鸡蛋？
分析：先考察第五位顾客买的鸡蛋数，“半个”与剩下 的一半是 ，即 。同理可知第四位顾客买了 ， 第三位顾客买了 ，第二位顾客买了 ，第一位顾客 买了 ，共有 鸡蛋。
例题2、 一种细菌，1小时增长1倍，现在有一批 这样的细菌，10小时可增长到400万个，问增长 到100万个需要多少小时？
思路分析：因为细菌每小时增长1倍。10小 时增长到400万个，那么9小时就增长到400 万个的 ，即9小时增长到 个， 8小时增长到 个。
例题3、 四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3 本，乙给了丙4本，丙给了丁5本，丁给了甲6本，这时 他们四个人课外读物的本数相等。他们原来各有课外书 多少本？
初中数学重点梳理：逆推法
逆推法知识定位如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用。
解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答。
顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高。
知识梳理知识梳理：逆推法乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如： (x+y)2=x2+xy+y2，以x, y 的基本对称式，表示x, y 的平方和、立方和(差)：x2+y2=(x+y)2－2xy ， x3+y3=(x+y)3－3xy(x+y).分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)：1=b a b b a a +++， 111)1(1+-=+n n n n . “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(－a).在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它.公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 的逆向应用是：当a ≥0时，a=2a ；当a<0 时,a= －2a ；如 x<y<0时， 则x －y=－2)(y x -.因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如：相似多边形的定义： 相似多边形对应角相等对应边成比例⇔⎭⎬⎫.方程解的定义：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，则 am2+bm+c=0； 反过来，若an2+bn+c=0,则n 是方程ax2+bx+c=0的解. 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真.一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假.一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理； 对于分段式的定理也有逆定理.例题精讲【试题来源】【题目】例1解方程(a 2－)12b x 2+()122c b-x+c 2－a 2=0 . (a 2－)012≠b . 【答案】∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【解析】由观察法，可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解：∵方程a 2－21b +()122c b-+ c 2－a 2=0 ， 有一个实数根是1 . ∴可设另一根为x 2， 根据韦达定理得 1×x 2=22212ba a c --=1(22)222--b a a c b . 解得 x 2=1(22)222--b a a c b . ∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】化简53-5-3+.【答案】－2【解析】∵53-5-3+<0，∴53-5-3+=－2)53-5-3(+=－)53)(5-3(2-535-3+++＝－2.【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：1<a，1<b.求证：abba+<+1.【答案】见解析【解析】本题直接证明有困难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式.由abba+<+1两边平方，得a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2. a2+b2－a2b2－1<0,分解因式：（1－b2）(a2－1)<0,由已知可推出这不等式.证明：∵1<a，1<b，∴a2＜1，b2＜1，∴a2－1＜0，1－b2＞0.（a2－1）（1－b2）＜0,a2+b2－a2b2－1<0,∴a2+b2＋2ab<1+a2b2+2ab ∴(a+b)2<(1+ab)2 .∴abba+<+1.【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：四边形ABCD中，AB＋BD＜AC＋CD.求证：AB＜AC.【答案】见解析【解析】直接推导，应证明BD＝CD或BD＞CD.即证明∠BCD≥∠1，有困难，不妨用反证法.这也是一种逆推法，从反面推导.证明：设AB不小于AC，即AB≥AC，∴∠2≥∠ABC.∵∠BCD＞∠2，∠ABC＞∠1.∴∠BCD＞∠1.∴BD＞CD.∴AB＋BD＞AC＋CD，这和已知条件相矛盾，故假设不能成立.∴AB＜AC.【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】有100个人排成一列，自1往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的人按原顺序重新报数，报奇数的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这人第一次报数是多少？【答案】64【解析】从第1，2，3……次往下推，可知人数分别是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21，22，23，…，2 n.所以，第一次报数应是小于100的2的最高次幂，∵26<100<27，∴这人第一次报数是26即64.【知识点】逆推法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】计算：3×5×17×257×……×()n221+【答案】1212-+n【解析】本题直接计算有困难，可由通式122+n，用确定n 的自然数值，回还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=b a b a --22, 就可很快得出结果 .解：原式=）＋（1202 ()1221+ ()2221+ ()3221+…()n 221+=1212121212121212 81648422--⋅--⋅--⋅--1212222--⨯nn. =()22-1 ()221+ ()421+ ()821+……()n221+=1212-+n【知识点】逆推法【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知： (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz ≠0. 求证： z y x z y ++=++111 x 1.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c 是△ABC的三边长. 求证：3(ab+bc+ca)<(a+b+c)2<4(ab+bc+ca). 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a, b, c 是互不相等的实数.求证：accbbabcacbaabcbaccabacb-+-+-=---+---+---222))(())(())((.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c,d 都是实数. 求证：(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】三个容器内都有水，如果把甲容器内的水的31倒入乙容器，再把这时乙容器内的水的41倒入丙容器，最后把丙容器内现有的水的101倒入甲容器，则各容器内的水都是9升，问原有各容器内的水各是几升？【答案】甲：12 乙：8 丙：7 【解析】【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】对于方程(1+a)x4+x3－(3a+2)x2－4a=0.求证：（1）不论a 取什么值，如下方程都有实数解.（2）存在一实数x,使得不论a为任何实数,x都不是这个方程的解. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】311【试题来源】【题目】若三个一元二次方程,中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围。
逆推与图示整理
逆推与图示引入：张老师说；“把我的年龄数减去8，除以5，加上8，再乘6，正好是72.”同学们，你能推算出张老师今年多大吗？【知识要点】1、必要知识储备。
运用“逆推法”解决问题要以四则运算中加减乘除的各部分之间的关系为知识基础。
加数＋加数=和 =〉一个加数=和－另一个加数被减数－减数=差 =〉被减数=减数＋差因数×因数=积 =〉一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商 =〉被除数=除数×商2、对“逆推法”的理解。
“逆推法”思考问题，不仅是解题思路的“逆向”，而且计算方法也是恰恰相反。
从后往前推，原来是加法，推回去是减法，原来是减法，推回去是加法；原来是乘法，推回去是除法，原来是除法，推回去是乘法；总之，总是逆着往回想、往回算，因而，这种解题思路，又称“还原”。
3、需要用“逆推法”解决的问题，常常要满足三个条件：⑴、已知最后结果；⑵、已知在达到最终结果时每一步具体过程；⑶、最初结果为未知数。
把握这三个条件，准确运用画图来帮助分析题意，“逆推法”一定会运用得好的。
〔典型例题〕〔例1〕、一根钢管，第一次截去3米，第二次截去剩下的一半后，还剩 5米。
这根钢管原来长多少米？〔例2〕、工人们铺一段公路，第一天铺了全长的一半还多2千米，第二天铺了余下的一半少1千米，此时还剩18千米。
公路全长多少千米？〔例3〕、小马虎抄了一道整数加法题，因为字迹潦草，算题时，把个位上的6看做了0，把十位上的5看做了8，结果所得的和是123，那么，正确答案是多少？注：同学们，虽然“逆推法”帮助小马虎解决了问题，可是我真心希望你们要认真审题，仔细书写，不要再犯“小马虎式”的错误了！〔例4〕、小华在郊外采了一大把野花，在回家的路上，碰见了哭鼻子的小妹妹，她把花束的一半送给了小妹妹；后来，她有碰见了爱花的小哥哥，她又把此时手中的花束的一半给了小哥哥；最后又遇见了好朋友妞妞，她又把此时手中花束的一半分给了妞妞，这样一来，小华手里只剩下3枝花了，可她一样很高兴。
初二数学解一元一次不等式的方法与应用
初二数学解一元一次不等式的方法与应用一、引言在初中数学中，一元一次不等式是一个重要的概念。
解一元一次不等式有很多方法和技巧，在不同的问题中应用不等式也具有广泛的实际意义。
本文将介绍解一元一次不等式的常见方法和应用。
二、一元一次不等式的基本概念一元一次不等式是指含有一个未知数的一次方程，并且其中的不等号可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）。
三、一元一次不等式的解法1. 逆推法逆推法是一种常见的解不等式的方法。
首先，将不等式中的未知数移到一边，并将常数移到另一边，形成形如“x<（>）a”的等价不等式。
然后，通过判断不等号的方向，确定x的取值范围。
最后，可将解集表示为一个区间。
2. 考虑特殊值法当不等式中存在某些特殊值时，可以通过化简不等式来解决问题。
例如，当不等式中存在平方项时，可以考虑取平方根，或者将不等式乘以一个正数或负数，使得方程更加简单。
3. 图像法图像法可以直观地解释不等式的解集。
通过将不等式表示为函数的图像，在坐标系中绘制函数图像，并标注不等式的符号，可以确定x的取值范围。
这种方法主要适用于直线不等式。
四、一元一次不等式的应用1. 范围表示解一元一次不等式可以用来表示某个量的取值范围。
例如，某种商品原价为x元，打折后价格必须大于等于20元，可以得出不等式x-0.8x≥20，即0.2x≥20，解得x≥100。
因此，商品原价必须大于等于100元。
2. 问题求解一元一次不等式在解决实际问题中也非常有用。
例如，小红每天跑步不少于5公里，且不超过10公里，可以用不等式表示为5≤x≤10，其中x表示小红每天跑步的公里数。
如果已知小红跑步的总距离不少于70公里，可以表示为5d≤70，其中d表示小红跑步的天数。
3. 几何应用一元一次不等式在几何中也有应用。
例如，已知一个三角形的两条边分别为a和b，不等式a+b>c可以用来判断所构成的三角形是否存在。
逆推法例题
逆推法例题（原创实用版）目录1.逆推法的概念和基本原理2.逆推法的解题步骤3.逆推法在实际问题中的应用4.逆推法的优点和局限性正文一、逆推法的概念和基本原理逆推法，又称反证法，是一种常用的数学证明方法。
它的基本原理是从题目所求的结论出发，逐步向前推导，直至得到一个显然成立的条件或者一个已知条件。
逆推法在解决数学问题时，往往能够化繁为简，化难为易，具有较高的实用价值。
二、逆推法的解题步骤1.确定题目所求：首先要弄清楚题目所求解的问题是什么，以便为后面的推导提供一个明确的目标。
2.从结论出发：根据题目所求，从结论开始向前推导，尽量简化问题，逐步去除不确定因素。
3.逐步向前推导：在推导过程中，要充分利用已知条件和数学定理，尽可能简化问题，直至得到一个显然成立的条件或者一个已知条件。
4.验证推导结果：将推导得到的结果代入原问题，验证其是否符合题意，从而确定推导结果的正确性。
5.总结解题思路：在解决问题后，要认真总结解题思路，以便在以后遇到类似问题时，能够迅速找到解题方法。
三、逆推法在实际问题中的应用逆推法在解决各种实际问题中都有广泛的应用，例如数学竞赛题、奥数题、中学数学题等。
通过运用逆推法，可以有效地提高解题速度和正确率。
四、逆推法的优点和局限性1.优点：逆推法能够化繁为简，化难为易，使问题变得容易解决；同时，逆推法可以帮助培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
2.局限性：逆推法并非适用于所有问题，对于一些较为复杂的问题，逆推法可能无法直接解决问题，需要与其他解题方法相结合。
总之，逆推法是一种实用价值较高的解题方法，在解决实际问题中具有广泛的应用。
逆推法解决加减乘除问题
逆推法解决加减乘除问题在数学学习中，加减乘除是最基本的四则运算。
对于一些简单的问题，我们可以直接计算得出答案。
但是，对于一些复杂的算式，我们可能需要运用逆推法来解决。
逆推法是一种解决问题的思维方法，通过逆向思维，将问题逐步分解，最终得到答案。
下面，我将通过几个例子来说明逆推法的应用。
首先，我们来看一个加法问题。
假设有一个数x，已知x加上5等于15，我们需要求出x的值。
通过逆推法，我们可以先减去5，得到x等于10。
这个例子中，我们通过逆向思维，将问题转化为减法，从而得到了答案。
接下来，我们来看一个减法问题。
假设有一个数y，已知y减去7等于3，我们需要求出y的值。
同样地，通过逆推法，我们可以先加上7，得到y等于10。
这个例子中，我们同样通过逆向思维，将问题转化为加法，从而解决了减法问题。
然后，我们来看一个乘法问题。
假设有一个数a，已知a乘以3等于21，我们需要求出a的值。
通过逆推法，我们可以先除以3，得到a等于7。
这个例子同样展示了逆推法的威力，通过逆向思维，将问题转化为除法，从而得到了答案。
最后，我们来看一个除法问题。
假设有一个数b，已知b除以2等于4，我们需要求出b的值。
通过逆推法，我们可以先乘以2，得到b等于8。
同样地，通过逆向思维，我们将问题转化为乘法，从而解决了除法问题。
通过以上几个例子，我们可以看到逆推法在解决加减乘除问题中的重要性。
逆推法可以帮助我们将复杂的问题简化为更简单的问题，从而更容易得到答案。
逆推法的核心思想是逆向思维，通过逆向推导，逐步分解问题，最终得到答案。
除了以上的基本四则运算，逆推法在解决其他数学问题中也有广泛的应用。
例如，在解决方程问题中，我们可以通过逆推法将方程逐步化简，从而得到方程的解。
在解决几何问题中，逆推法可以帮助我们从已知条件出发，逆向推导，得到未知的几何要素。
总结来说，逆推法是一种解决加减乘除问题的有效方法。
通过逆向思维，将问题逐步分解，我们可以更轻松地得到答案。
算式的逆推求解
算式的逆推求解算式的逆推求解是一种数学问题的解题方法，通过已知的结果或条件，逆向推导出算式中的未知数或表达式。
这种方法在代数、几何、概率等数学领域中得到广泛应用。
本文将介绍算式的逆推求解的基本原理和应用。
一、算式的逆推求解原理算式的逆推求解是基于数学运算的逆运算的原理。
当我们在计算中遇到已知结果或条件，需要求解未知数或表达式时，可以通过逆向运算来得到答案。
逆推求解的过程一般包括以下几步：1. 确定已知结果或条件：在问题中找出已知的结果或条件，这些信息将成为逆推求解的依据。
2. 确定逆向运算：根据已知结果或条件，确定逆向运算的操作符或方法。
逆向运算是正向运算的逆过程，它可以将已知结果或条件转化为未知数或表达式。
3. 进行逆向运算：根据已知结果或条件，使用逆向运算的操作符或方法，逆向推导出未知数或表达式。
4. 验证答案：将求解得到的未知数或表达式代入原算式中，验证答案的准确性和合理性。
二、算式的逆推求解应用举例下面通过几个具体的例子来说明算式的逆推求解的应用。
1. 解方程当我们遇到一个方程，需要求解方程中的未知数时，可以通过逆推求解的方法得到答案。
例如，我们要解方程2x + 5 = 17，可以通过逆向运算将已知的结果17减去5，得到12，再将12除以2，即可得到未知数x的值为6。
2. 求几何图形的属性在几何学中，我们经常需要通过已知的图形属性求解其他未知的属性。
例如，给定一个正方形的面积为25平方米，要求求解正方形的边长。
通过逆向运算可以得到该正方形的边长为5米。
3. 概率问题的求解在概率问题中，我们通常需要通过已知的概率信息来求解其他未知的概率。
例如，已知事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.4，并且事件A与事件B独立，要求求解事件A和事件B同时发生的概率。
通过逆向运算，可以将事件A和事件B同时发生的概率求解为0.6乘以0.4，即0.24。
总结：算式的逆推求解是一种常见的数学解题方法，通过逆向推导已知结果或条件，求解未知数或表达式。
函数逆推从结果中逆向推导规律
函数逆推从结果中逆向推导规律函数逆推是一种根据已知结果逆向推导出规律的方法，通过观察结果的变化趋势和特点，可以发现其中隐藏的规律，并利用这些规律将结果逆推回原始问题中。
这种方法在数学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用。
在数学中，函数逆推是指逆向推导出函数的表达式或递推关系。
这种方法常用于解决数列和递归函数的求解问题。
通过观察数列的前几项的差异和规律，可以猜测数列的递推公式，并验证其正确性。
递推公式的确定对于解决数列问题至关重要，它可以帮助我们计算任意项的数值，从而解决更复杂的问题。
例如，我们考虑一个数列：1, 4, 9, 16, 25, ...，我们想要找到这个数列的递推关系。
通过观察可以发现，每一项都是它的索引值的平方。
即第1项是1的平方，第2项是2的平方，以此类推。
因此，我们可以得出递推公式：an = n^2，其中an表示数列的第n项。
函数逆推在计算机科学中也有广泛的应用。
在编程中，我们常常需要根据给定的输出结果推导出相应的输入参数。
这种逆推的方法可以用于解决密码学中的问题，例如根据加密后的文本推导出未加密的原文，或者根据输出结果反推出函数的输入。
除了数学和计算机科学，函数逆推还在物理学中有重要的应用。
物理学家常常根据实验结果的数据逆向推导出物理定律和规律。
通过对实验数据的分析和观察，他们可以找到一些普遍的规律，并将其总结成数学公式或物理定律，从而揭示了自然界的本质。
总结而言，函数逆推是一种通过观察已知结果的变化趋势和特点，逆向推导出规律的方法。
它在数学、计算机科学和物理学等领域都有广泛的应用。
通过函数逆推，我们可以发现隐藏在结果中的规律，并将其应用于解决更复杂的问题。
这种方法不仅能够培养我们的观察力和逻辑思维能力，还能够帮助我们更好地理解和应用各个学科中的知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
逆推法知识定位如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用。
解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答。
顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高。
知识梳理知识梳理：逆推法乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如： (x+y)2=x2+xy+y2，以x, y 的基本对称式，表示x, y 的平方和、立方和(差)：x2+y2=(x+y)2－2xy ， x3+y3=(x+y)3－3xy(x+y).分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)：1=b a b b a a +++， 111)1(1+-=+n n n n . “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(－a).在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它.公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 的逆向应用是：当a ≥0时，a=2a ；当a<0 时,a= －2a ；如 x<y<0时， 则x －y=－2)(y x -.因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如：相似多边形的定义： 相似多边形对应角相等对应边成比例⇔⎭⎬⎫.方程解的定义：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，则 am2+bm+c=0； 反过来，若an2+bn+c=0,则n 是方程ax2+bx+c=0的解. 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真.一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假.一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理； 对于分段式的定理也有逆定理.例题精讲【试题来源】【题目】例1解方程(a 2－)12b x 2+()122c b-x+c 2－a 2=0 . (a 2－)012≠b . 【答案】∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【解析】由观察法，可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解：∵方程a 2－21b +()122c b-+ c 2－a 2=0 ， 有一个实数根是1 . ∴可设另一根为x 2， 根据韦达定理得 1×x 2=22212ba a c --=1(22)222--b a a c b . 解得 x 2=1(22)222--b a a c b . ∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】化简53-5-3+.【答案】－2【解析】∵53-5-3+<0，∴53-5-3+=－2)53-5-3(+=－)53)(5-3(2-535-3+++＝－2.【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：1<a，1<b.求证：abba+<+1.【答案】见解析【解析】本题直接证明有困难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式.由abba+<+1两边平方，得a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2. a2+b2－a2b2－1<0,分解因式：（1－b2）(a2－1)<0,由已知可推出这不等式.证明：∵1<a，1<b，∴a2＜1，b2＜1，∴a2－1＜0，1－b2＞0.（a2－1）（1－b2）＜0,a2+b2－a2b2－1<0,∴a2+b2＋2ab<1+a2b2+2ab ∴(a+b)2<(1+ab)2 .∴abba+<+1.【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：四边形ABCD中，AB＋BD＜AC＋CD.求证：AB＜AC.【答案】见解析【解析】直接推导，应证明BD＝CD或BD＞CD.即证明∠BCD≥∠1，有困难，不妨用反证法.这也是一种逆推法，从反面推导.证明：设AB不小于AC，即AB≥AC，∴∠2≥∠ABC.∵∠BCD＞∠2，∠ABC＞∠1.∴∠BCD＞∠1.∴BD＞CD.∴AB＋BD＞AC＋CD，这和已知条件相矛盾，故假设不能成立.∴AB＜AC.【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】有100个人排成一列，自1往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的人按原顺序重新报数，报奇数的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这人第一次报数是多少？【答案】64【解析】从第1，2，3……次往下推，可知人数分别是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21，22，23，…，2 n.所以，第一次报数应是小于100的2的最高次幂，∵26<100<27，∴这人第一次报数是26即64.【知识点】逆推法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】计算：3×5×17×257×……×()n221+【答案】1212-+n【解析】本题直接计算有困难，可由通式122+n，用确定n 的自然数值，回还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=b a b a --22, 就可很快得出结果 .解：原式=）＋（1202 ()1221+ ()2221+ ()3221+…()n 221+=1212121212121212 81648422--⋅--⋅--⋅--1212222--⨯nn. =()22-1 ()221+ ()421+ ()821+……()n221+=1212-+n【知识点】逆推法【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知： (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz ≠0. 求证： z y x z y ++=++111 x 1.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c 是△ABC的三边长. 求证：3(ab+bc+ca)<(a+b+c)2<4(ab+bc+ca). 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a, b, c 是互不相等的实数.求证：accbbabcacbaabcbaccabacb-+-+-=---+---+---222))(())(())((.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c,d 都是实数. 求证：(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】三个容器内都有水，如果把甲容器内的水的31倒入乙容器，再把这时乙容器内的水的41倒入丙容器，最后把丙容器内现有的水的101倒入甲容器，则各容器内的水都是9升，问原有各容器内的水各是几升？【答案】甲：12 乙：8 丙：7 【解析】【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】对于方程(1+a)x4+x3－(3a+2)x2－4a=0.求证：（1）不论a 取什么值，如下方程都有实数解.（2）存在一实数x,使得不论a为任何实数,x都不是这个方程的解. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】311【试题来源】【题目】若三个一元二次方程,中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围。
【答案】【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后两周练习【难度系数】311。