解高次方程 - 360文档中心

高次方程的解法

高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。

其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。

我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。

其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。

比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。

一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。

因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。

其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。

如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。

比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。

那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。

通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。

所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。

比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。

所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。

高次方程及解法

高次方程及解法江苏省通州高级中学徐嘉伟一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

高次方程解法

当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
1．卡尔丹公式
一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3
【卡尔丹公式】
X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，
２．盛金公式
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

高次方程的韦达定理

高次方程的韦达定理1. 引言在数学中，高次方程是指其中最高次项的次数大于1的代数方程。

解决高次方程一直是数学研究的重要课题之一，而韦达定理则是解决高次方程的重要工具之一。

韦达定理，也称为韦达方程，是由法国数学家韦达（François Viète）于16世纪提出的。

本文将详细介绍高次方程的韦达定理，包括其定义、推导过程、应用以及相关例题分析等内容。

通过阅读本文，读者将能够全面了解和掌握韦达定理在解决高次方程中的应用。

2. 定义韦达定理：对于一个n 次方程a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 1x +a 0=0其根为x 1,x 2,⋯,x n ，则有以下关系成立：{ x 1+x 2+⋯+x n =−a n−1a n x 1x 2+x 1x 3+⋯+x n−1x n =a n−2a n ⋯x 1x 2⋯x n =(−1)n a 0a n3. 推导过程为了推导韦达定理，我们先来观察一个二次方程的特例：ax 2+bx +c =0这个方程的根为x 1,x 2，则根据求根公式可得：x 1+x 2=−b ax 1x 2=c a我们可以将这个特例推广到n 次方程。

假设n 次方程的根为x 1,x 2,⋯,x n ，我们可以将该方程表示为以下形式：(x −x 1)(x −x 2)⋯(x −x n )=0展开上述等式后，可以得到一个n 次方程。

通过展开和比较系数，我们可以得到韦达定理中的各个关系。

具体地，我们将(x −x i )展开后得到多项式p i (x )。

则有：p i (x )=(x −x i )=x n−1+a i,n−2x n−2+a i,n−3x n−3+⋯+a i,0其中a i,j 表示p i (x )中x j 的系数。

因此，我们可以得到以下关系：{p 1(x )+p 2(x )+⋯+p n (x )=0p 1(x )p 2(x )+p 1(x )p 3(x )+⋯+p n−1(x )p n (x )=0⋯p 1(x )p 2(x )⋯p n (x )=0通过将p i (x )展开，我们可以得到韦达定理中的具体表达式。

任意高次方程求解方法

任意高次方程求解方法对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理。

但经常会遇到高次方程的问题，如何通过一种简便的方法快速得到高次方程的解，成为一个迫切的需求。

本人发现了数列与高次方程的关系，可以通过数列与高次方程的关系可以得到高次方程的一个解。

这种方法适用于任意高次有解的方程。

任一高次方程:可以变化为：以上方程可以产生一个数列，通过数列前后项相除可以得到方程的近似解。

以下为求解结论：二次方程：所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为：三次方程:所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为： ܽݔ௡+ܾݔ௡ିଵ+ܿݔ௡ିଶ+⋯+݌ݔ+ݍ=0݌ଵݔ௡+݌ଶݔ௡ିଵ+݌ଷݔ௡ିଶ+⋯+݌௡ݔ=1݌ଵݔଶ+݌ଶݔ=1ቐ݂ଵ=݂ܽଶ=ܾ݂௠=݌ଵ݂௠ିଶ+݌ଶ݂௠ିଵݔ=lim ௠→ஶ(݂௠ିଵ݂௠)0<ݔ<1݌ଵݔଷ+݌ଶݔଶ+݌ଷݔ=1݂ଵ=݂ܽଶ=ܾ݂ଷ=݂ܿ௠=݌ଵ݂௠ିଷ+݌ଶ݂௠ିଶ+݌ଷ݂௠ିଵݔ=lim ௠→ஶ(݂௠ିଵ݂௠)0<ݔ<1(ܽ,ܾ不同时为0的常数)(ܽ,ܾ,ܿ不同时为0的常数)依次类推n次方程:所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为：以上求解的方法基本为,将通用方程转化为数列对应方程,再由方程产生一个对应的数列,数列前项除后项可以得到方程的近似解,数列的项越靠后,这个近似解不断逼近方程的解.当迭代次数m趋向于无穷大时,这个值为方程的一个解,这个解大于0小于1.当方程无解时,方程对应的数列会循环或前后项相除的结果比较离散,不会逼近一个值.以上的求解方法可以通过Execl去验算，目前只是发现了这个现象还没有很好证明，至于方程是否有解，也只能从演算的结果去判断。

有兴趣的朋友可以一起(159探5246讨5840)。

但在实际应用中，迭代次数m取一定的值就可以得到方程的近似解，在要求不高时，可以很快得到方程的一以下为一个五次的方程，得到对应的数列，数列的前五位全选1，数列生成到12位。

高次方程的解法

高次方程的解法
高次方程是指次数大于等于3的多项式方程。

解高次方程的方法有以下几种：
1. 因式分解法：通过将方程进行因式分解，使得方程等号两边的表达式可以以某种方式相乘得到0，然后令每个因式等于0求解得到方程的解。

2. 求根法：对于二次方程，可以直接使用求根公式来求解。

对于次数更高的方程，可以使用数值计算的方法来逼近方程的解。

3. 割线法和牛顿法：这两种方法是数值计算中常用的逼近求解方法，通过不断迭代逼近的过程，找到方程的解。

4. 代数方法：对于一些特殊的高次方程，可以使用代数方法来求解。

例如，对于四次方程可以使用Ferrari公式，对于五次方程可以使用Galois理论等。

需要注意的是，高次方程的解法多样，对于特定的方程，可能需要结合多种方法来求解。

此外，由于高次方程的求解过程较为复杂，一般需要借助计算工具进行计算。

牛顿迭代求解高次方程

设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。

过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。

重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称为r的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。

把在点的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即，以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为，这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。

利用普通计算器求解高次方程的解摘要：介绍了一种利用普通计算器求解高次方程解的方法，具有很强实用性。

关键词：普通计算器，一元三次方程，牛顿迭代法0引言一元二次方程我们在初中就知道怎么解了，一元三次方程也有解析解，但太复杂，没多少人能记住，除了少部分通过观察可以进行因式分解求解，大部分都没那么简单能一眼猜出来。

遇到这些高次方程，一般用matlab求下，很简单，但其最大的缺点是要用电脑。

其实只要我们手上有下图所示“计算器”就可以解一般的三次方程，甚至是更复杂的高次方程。

这里所谓的“普通计算器”是指一般学生使用的卡西欧计算器等，如下图，普及率应该很高。

以求一元三次方程2x^3-7x^2+x-15=0为例，1原理原理为迭代法，“数值分析”的知识就强大在这里。

对于一般的方程：f(x)=0求x0使得f(x0)=0。

转化f(x)的形式，f(x)=x-G(x)，x=G(x)使用牛顿迭代法，G(x)的形式为：G(x)=x-f(x)/f'(x)，（牛顿！），带入可见f(x)=0自然成立。

我们给G(x)中的x一个初值，计算得到的值可以再作为x带入G(x)计算，直到x稳定在某一个值，此时G(x0)=x0，这个稳定的值x0就是方程的一个根，（不动点）。

2、原理完了，就是实际的操作。

图示计算器内置有10个变量，A-F，X，Y，M，以及Ans，可以分别赋值并带入表达式计算。

高次同余方程解法

高次同余方程解法高次同余方程是数论中一种经典问题，它涉及到模运算和数的整除性质。

解决高次同余方程的方法有很多，本文将介绍其中的几种常见方法。

首先，我们来了解一下什么是高次同余方程。

高次同余方程指的是形如 $ax^n \equiv b \pmod{m}$ 的方程，其中 $a, b, m$ 是已知整数，$n$ 是已知正整数。

解决这类方程的目标是找到一个满足条件的整数解。

一种解决高次同余方程的方法是试位法。

这种方法的基本思想是通过尝试不同的取值来找出满足方程的整数解。

具体步骤如下：1. 准备一个数列 $S$，根据 $n$ 的大小可以选择不同的增量。

例如，如果 $n = 2$，可以选择 $S=\{0,1,2,3,\ldots\}$；如果 $n = 3$，可以选择$S=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$。

2. 遍历数列 $S$，对于每个数 $s$，计算 $as^n \bmod m$ 的结果。

3. 如果找到某个数 $s$，使得 $as^n \equiv b \pmod{m}$ 成立，则 $s$ 是方程的一个解。

4. 继续遍历数列 $S$，直到找到所有满足条件的解。

试位法的优点是简单易懂，但缺点是效率较低。

当 $m$ 较大、$n$ 较大时，试位法的计算量会非常大，很难在合理的时间内求解。

另一种解决高次同余方程的方法是费马小定理。

费马小定理是数论中的一条重要定理，它表明如果 $p$ 是一个素数，$a$ 是一个不被 $p$ 整除的整数，则 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。

利用费马小定理，可以简化高次同余方程的求解过程。

具体步骤如下：1. 如果 $n$ 不是一个素数，可以将方程转化为 $a^{n-1} \cdot a \equiv b\pmod{m}$ 的形式。

2. 如果 $n$ 是一个素数，根据费马小定理，可以得到 $a^{n-1} \equiv 1\pmod{n}$。

即方程可简化为 $a \equiv b \pmod{m}$ 的形式。

高次方程及解法

高次方程及解法✍✍✍✍✍✍✍✍✍江苏省通州高级中学✍徐嘉伟一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双1-6=-5）÷原高次方程:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2=-1;当(x-2)=0时，有x3=2;当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出因式P x-Q,Q（Ｐ、Q是互质整数），那么，即方程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根PＰ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。

“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。

对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。

依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。

432 62+x+1x －解：将原方程化为３（x 3-32x 2＋３x-２）＝０此时，“常数项”为-2，它的约数为±1，2±，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，或P Q =-32f (32)=3⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛3232332323223⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22278278=3⨯0=0 所以原方程中有因式（3X -2）。

高次方程、分式方程、无理方程的解法教学-2022年学习资料

例62解方程2x-√2x+1=5-典型例题-此题也可令√2x+1=t-t≥0-转化为t的一元二次方程-t2 1-t=5即t2-t-6=0求解.-解得t=3或t=-2舍去-即√2x+1=3-解得x=4-25
例7解方程√3x-2+√x+3=3-典型例题-解：移项得√3x-2=3-√x+3-两边平方，整理得3Vx+ =7-x-再两边平方，化简得x2-23x+22=0-解得x1=1,x2=22-经检验x,=1为原方程的根， x2=22是增根.-方程一边出现两个根号时要先移项-26
例21解方程-x2-5x2-2x2-5x-24=0-典型例题-解：换元-令t=x2-5x-则原方程可以化为 2-2t-24=0-即t-6t+4=0-故t=6或t=4-即x2-5x=6或x2-5x=-4-解得：x1= 1,x2=6,x3=1,x4=4
例22解方程-x-2x+1x+4x+7=19-典型例题-解：原方程即-x2+5x-14x2+5x+4=19 换元-令x2+5x-14=t-原方程可化为tt+18=19-解得t=-19或t=1-即x2+5x-14=91-或x2+5-14=1
解分式方程的思路是：-去分母-整式-解分式方程的一投步骤-1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，-化整式方程.-2、解这个整式方程-3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公-分母的值不为0，则整式方程的是原分式方程的解；-否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.-4、写出原方程的根.-化二解三检验-17
x2+2-例4解方程-32x2-1D=-2-2x2-1x2+2-典型例题-解：令-原方程可化为-t--即t +2t-3=0-解得t1=-3,t2=1-所以-=3或-18

高次方程求根

高次方程求根
求解高次方程的根通常使用数值解法，因为高次方程的根往往是无法用代数方法求得的。

数值解法的常用算法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等。

在Python中，可以使用scipy.optimize库中的root函数来求解高次方程的根。

具体步骤如下：
安装scipy库：如果你尚未安装scipy库，可以通过以下命令来安装：
pip install scipy
导入所需的库：
from scipy.optimize import root
import numpy as np
定义高次方程的函数：
def f(x):
return x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6
使用root函数求解方程的根：
sol = root(f, [0, 1, 2])
print(sol.x) # 输出[1. 2. 3.]
在这个例子中，我们定义了一个高次方程f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，并使用root 函数求解方程的根。

求解的初值为[0, 1, 2]，
表示我们希望在这三个值附近寻找根。

函数返回的sol.x 是一个包含根的数组，根的个数与初值的个数相同。

在这个例子中，方程的根是1、2 和3。

需要注意的是，root函数的第一个参数是一个函数，而第二个参数是一个包含初值的数组。

初值的个数应该与方程的根的个数相同。

高次方程解法

高次方程解法一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因∴（x3+3x2-6x-8）÷ (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方式（x+1），∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0,可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

求高次方程整数解的递套方法

求高次方程整数解的递套方法
递套方法是当求解高次方程整数解时采用的一种方法。

递套方法可以很容易地将高次多项式方程拆分成多个低次多项式方程，通过整数值的列举法得到整数解。

递套方法的步骤如下：
（1）首先需要分解待求解的高次方程。

例如，要求解y＝ax^3＋bx^2＋cx＋d（a，b，c，d为常数），我们可以将它拆分成2个二次方程：y＝a（x-m1）^2＋k1和y ＝b（x-m2）^2＋k2（其中m1，m2为两个常数）。

（2）消除一元多项式的变量，这时y就会变成一个常数。

例如，我们假设找到m1＝1，m2＝2，m3＝3，k1＝18，k2＝15，则y＝ax^3＋bx^2＋cx＋d的解可以通过将其代入到上面两个方程中消去变量求得：3a＋2b＋c＝17，9a＋4b＋c＝48。

（3）求出任意一个变量的整数值。

为此，我们可以从
一个范围里穷举出所有可能的整数值，然后将其代入第2步求出的公式中，判断是否满足等式，如果满足就可以找到解。

（4）利用求得的整数值重新求解原方程。

例如，当我们知道a＝4，b＝5，c＝8时，就可以利用上面求出的m1，m2，k1，k2重新求出y＝ax^3＋bx^2＋cx＋d的解。

递套方法是求解高次方程整数解的有效方法，它通过将高次多项式拆分成多个低次多项式方程，能够准确地求出方程解。

当求解多项式方程的整数解时，递套方法可以节约大量的求解时间，可以更有效地完成任务。

用c语言,计算高次方程的根的方法

用c语言,计算高次方程的根的方法
解高次方程根是许多程序员在学习C语言时学习的基本算法之一。

高次方程的一般形式为带有未知数x的多项式，求解其根是很重要的。

以下是如何用C语言计算高次方程根的方法：
1.先将高次方程化为标准形式
将高次方程表达式化为标准的形式，如ax³+bx²+cx+d=0，然后按照标准方程公式求解即可。

2.使用高斯消元算法解代数方程组
使用高斯消元算法解非线性的方程组是一种有效的方法。

从x的最高幂级数开始，将其最高项系数除以方程的总系数得到一个初步的x的根，然后使用这个根进行因式分解。

重复这个过程，就可以得到方程的所有x的根。

3.使用牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种二次收敛的迭代计算方法，它可以得到高次方程的根。

其中，沉下的x轴是方程y=f(x)的连续根。

具体步骤：
(1)首先在高次多项式方程中选择一个初始根（近似值）x0。

(2)计算根x0的切线并求出切线方程。

(3)求出切线方程与x轴的交点，这个交点就是x的下一个近似根。

如
不同，继续重复(2)和(3)步，直到x的近似根精度达到要求。

总结
以上是用C语言解高次方程根的三种方法，每种方法都有其适用范围
和条件。

在实际使用中，可以根据具体问题和数据选择最适合的方法。

希望这篇文章能够帮助那些在学习C语言时遇到高次方程解题问题的人，提高他们的编程技能和理解。

高次方程、分式方程、无理方程的解法

通过换元可将原方程化为关于 t的一元二次方程.
方
法
1. 移项，平方可把无理方程化为有理方程
提炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3.解无理方程时应注意检验
一化二解三检验
课堂小
1.三种方程高次、分式、无理方程的解法结 2.一个方法——换元 3.一个思想——等价转化的数学思想
典型
x1x2 2xa 的解为负数
x2 x1 (x2)x (1)
例题
求实数 a的范围.
解：左边通分
4x5 2xa (x2)x (1) (x2)x (1)
所以 4 x 5 2 x a，2x5a
所以 x 5 a 0 且 5 a 1
2
2
解得 a5且 a7
方
1.在分式方程两边同乘以最简公分母，
典
例6（1）解方程 x7x1
型
例
x 7 (x 1)2 *
解： x 7 0
x 1 0
题
为什么会产生增根？
解得 x2 （ x3为增根）
此题也可先解出方程*的根，再代回原方程检验.
典
例6（2）解方程 2x2x15
型
例
解：移项， 2x12x5
题
两边平方，化简得 2 x 2 1x 1 1 2 0
典型例
解：令
x2 2 2x2 1
t
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t22t30
解得 t13,t21
所以
x2 2 2x2 1
3
或
x2 2 2x2 1
1
典
即 7x210或 x230
型例
题
解得 x17 7,x27 7,x33,x43

配方法解高次方程

配方法解高次方程高次方程是数学中常见的一类方程，解高次方程的方法有很多种，其中一种常用的方法是配方法。

配方法可以将高次方程转化为一次方程或二次方程，从而求得方程的解。

一、一元高次方程的配方法对于一元高次方程，可以通过配方法将其转化为一次方程或二次方程，从而求解。

1. 一次项系数为1的情况对于一次项系数为1的一元高次方程，例如x^2 + px + q = 0，可以通过配方法将其转化为(x+a)(x+b) = 0的形式，进而求解出方程的解x。

首先，我们可以根据方程的一次项系数p和常数项q，构造两个数a和b，满足a+b=p且ab=q。

然后，将方程x^2 + px + q = 0转化为(x+a)(x+b) = 0，再利用零乘性质得到x = -a或x = -b，即可以求解出方程的解。

2. 一次项系数不为1的情况对于一次项系数不为1的一元高次方程，例如ax^2 + bx + c = 0，可以通过配方法将其转化为(x+a)(x+b) = 0的形式，进而求解出方程的解x。

首先，我们可以将方程ax^2 + bx + c = 0除以a得到x^2 + (b/a)x +c/a = 0。

然后，根据方程的一次项系数b/a和常数项c/a，构造两个数a和b，满足a+b=b/a且ab=c/a。

然后，将方程x^2 + (b/a)x + c/a = 0转化为(x+a)(x+b) = 0，再利用零乘性质得到x = -a或x = -b，即可以求解出方程的解。

二、多元高次方程的配方法对于多元高次方程，可以通过配方法来求解。

配方法的目标是通过变量的代换，将高次方程转化为一次方程或二次方程，再求解出方程的解。

以二元高次方程为例，例如x^2+y^2+p(x+y)+q=0，可以通过配方法将其转化为(u+a)(u+b) = 0的形式。

首先，我们可以进行变量代换，令u=x+y，得到方程x^2+y^2+p(x+y)+q=0变为u^2+p(u)+q=0。

解高次多项式方程的整数根问题的常见方法与技巧

解高次多项式方程的整数根问题的常见方法与技巧高次多项式方程的整数根问题是代数学中的重要问题之一。

在解决这个问题时，我们可以运用一些常见的方法和技巧，以获得准确而高效的解答。

本文将介绍一些常见的方法和技巧，以帮助读者更好地解决此类问题。

一、有理根定理有理根定理（Rational Root Theorem）是解高次多项式方程整数根问题的常见方法之一。

该定理指出，如果一个多项式方程有整数根，那么这个整数根必定是该多项式的首项系数的约数所构成的有理数。

假设我们需要解决一个高次多项式方程：\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 = 0\]其中，\[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0\]是整数系数。

根据有理根定理，我们可以列出一个有理根的候选集合：\[x = \pm \frac{a}{b}\]其中，\[a\]是\[a_0\]的约数，\[b\]是\[a_n\]的约数。

然后，我们可以依次尝试这些有理根，验证是否满足给定的多项式方程。

如果找到满足条件的有理根，那么我们可以通过带入除一系列因式除法的方式，将原始的高次多项式方程转化为一个较低次的多项式方程。

继续使用有理根定理，直到找到所有的整数根。

二、多项式的因式分解多项式的因式分解也是解高次多项式方程整数根问题的重要方法之一。

通过将多项式进行合适的因式分解，可以将高次多项式方程转化为一系列低次多项式方程的乘积。

例如，对于一个三次多项式方程：\[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\]如果我们能够找到一个整数根\[r\]，那么可以使用因式分解法将该多项式表示为：\[(x-r)(ax^2 + (ar + b)x + (ar^2 + br + c)) = 0\]然后，可以进一步解决这两个低次多项式方程，以获得更多的整数根。

三、整数根的判别法判别一个高次多项式方程是否存在整数根，也是解决整数根问题的关键。

解高次多项式方程的实根问题的常见方法与技巧

解高次多项式方程的实根问题的常见方法与技巧高次多项式方程的实根问题一直是数学研究中的重要课题之一。

对于一个给定的高次多项式方程，求解其实根是找到方程的解的过程。

本文将介绍几种常见的方法与技巧，帮助读者更好地理解和解决这一问题。

一、有理根定理有理根定理，也被称为整系数有理根定理，是解高次多项式方程实根的重要方法之一。

其表述如下：如果多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]的系数都是整数，并且有有理数$\dfrac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互素的整数，使得$\dfrac{p}{q}$是方程的实根，那么$p$必须整除$a_0$，而$q$必须整除$a_n$。

基于有理根定理，我们可以先寻找高次多项式方程的有理根，这可以帮助我们缩小解的范围。

然后，我们可以使用其他方法进一步求解实根。

二、二分法二分法是一种简单而又有效的求解方程实根的方法。

其原理是利用函数在不同区间的符号差异来判断方程在该区间是否具有实根。

具体步骤如下：1. 选择一个初始区间[a, b]，其中a和b是已知的实数，并且方程在这个区间内有符号差异；2. 将区间[a, b]分成两半，找到中点c；3. 计算方程在中点c的取值，判断其与0的关系；4. 根据中点c的取值和符号差异，缩小解的范围，将区间[a, b]替换为新的区间；5. 重复步骤2到步骤4，直到求得满足精度要求的解。

三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种迭代求解方程实根的方法，其基本思想是通过不断逼近方程的解。

具体步骤如下：1. 选择一个初始值$x_0$，可以是任意实数；2. 计算方程在$x_0$处的函数值和导数值；3. 利用方程在$x_0$处的函数值和导数值，计算出新的逼近值$x_1$；4. 重复步骤2和步骤3，直到求得满足精度要求的解。

四、Horner法则Horner法则是一种用于求解多项式实根的简便方法。

其基本思想是将多项式进行因式分解，从而降低多项式的次数，并且可以直接求解出实根。

试根法解高次方程

试根法解高次方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：试根法是解高次方程的一种重要方法，它可以帮助我们找到高次方程的根，从而解决各种实际问题。

在数学中，高次方程通常是指次数大于等于3的多项式方程，例如二次方程、三次方程、四次方程等。

通过试根法，我们可以逐步逼近方程的根，并最终找到准确的解。

试根法的基本思想是利用二分法逼近方程的根，具体操作步骤如下：第一步：确定根的范围。

我们需要确定方程根的范围，可以通过因式分解或其他方法得到一些根的近似值。

第二步：选择试探根。

选择一个介于根的范围之内的试探根，通常选择整数或分数作为试探根，这样可以更快地找到根。

第三步：代入方程。

将试探根代入方程，计算出对应的函数值。

第四步：根据函数值判断。

根据计算出来的函数值，判断试探根是处在根的左边还是右边。

第五步：更新根的范围。

根据判断结果，更新根的范围，缩小查找范围。

第六步：重复上述步骤。

不断重复上述过程，直到找到足够接近的根，或者找到方程的所有根为止。

通过试根法，我们可以快速有效地找到高次方程的根，从而解决实际问题。

试根法在工程、物理、化学等领域都有广泛的应用，例如求解电路方程、热传导方程、化学反应方程等。

试根法的优点在于简单易行，不需要复杂的数学推导，只需通过简单的代数运算即可得到结果。

在使用试根法解高次方程时，需要注意以下几点：选择合适的试探根非常重要。

试探根的选择应十分接近实际根，可以通过因式分解、积分求导等方法得到近似值。

确定根的范围也十分关键。

根的范围应该包含所有实际根，并且不应过大或过小，这样可以提高求解效率。

需要持续迭代，直到找到所有根为止。

在迭代过程中，需要根据函数值判断根的位置，及时更新根的范围，以便更快地找到准确的根。

试根法是解高次方程的一种简单有效的方法，通过选择合适的试探根和持续迭代，我们可以快速地找到方程的根，解决各种实际问题。

试根法在数学中具有重要的应用价值，也有助于培养我们的数学思维和解决问题的能力。

(完整版)特殊的高次方程的解法

特殊的高次方程的解法教学目标1．根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程. 2．通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学流程设计复习引入例题分析巩固练习布置作业课堂小结教学过程设计一、情景引入1．复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.教师指出：在分解④、⑤题时，应利用换元的思想，分别把x2和x2-x看成y，于是就有y2-6y+5和y2-4y-12.从而把四次多项式转化为二次三项式，使问题易于解决.（2）提问：①解二项方程的基本方法是什么？（开方）②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的. 2．观察：（1）若令①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？（2）这些高次方程如何求解？分析：后面四个都是高次方程，②x4-4=0是二项方程，利用开方法求解；④、⑤都可以利用换元法把它转化为一元二次方程；而③x3-2x2-15x=0则是利用因式分解法降次.所以，这节课我们一起来学习用因式分解法把一元高次方程转化成一元一次方程或一元二次方程.二、学习新课1．例题分析例6 解下列方程（1）5x 3=4x 2；（2）2x 3+x 2-6x=0.[说明] 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程（1）x 3-5x 2+x-5=0；（2）x 3-6=x-6x 2.2．问题拓展（1）解方程x 3-2x 2-4x ＋8=0．解原方程可变形为x 2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x 2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x 1＝x 2＝2，x 3=-2．（2）归纳：当ad=bc≠0时，形如ax 3＋bx 2＋cx ＋d=0的方程可这样解决：令0≠==k dc b a，则a=bk,c=dk,于是方程ax 3+bx 2+cx+d=0 可化为bkx 3+bx 2+dkx+d=0，即 (kx+1)(bx 2+d)=0．三、巩固练习1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________.2．解下列方程：（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.3．解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=04．拓展：（1）（x2-x-6）（x2-x＋2）=0，（2）（x-3）（x＋2）（x2-x＋2）=0.分析：在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设则(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．[说明] 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1．解一元高次方程的基本方法是什么？2．我们现在学习了哪些方法能把高次方程“降次”？3．用因式分解法解高次方程时要注意些什么？五、作业布置1．练习册：习题21.2（3）2．选做题：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67教学设计说明1．本节课学习的是用因式分解法求解一元高次方程，所以在情景引入部分复习了实数范围内的因式分解，为后面的新授课做准备.并在此环节中还复习了二项方程和双二次方程的解法，由此自然地过渡到本节课的内容：用因式分解法求解一元高次方程.2．新授课中的问题拓展是对常见的能用因式分解法求解的一元三次方程做了一个简单的归纳.使学生感知从具体到抽象、从特殊到一般的事物发展规律，提高他们自己解决问题的能力.3．在巩固练习部分，增加了一些用因式分解解一元高次方程的特殊类型，是对书本例题的一个补充和提高，同时也是课堂分层教学的需要.4．作业同样采取了分层设计，尽可能使所有学生都能通过作业巩固新知.选做题的类型与难度相当于巩固练习中的四星级和五星级，是针对一些学有余力的同学设计，帮助他们进一步巩固提高.。