从西兰花开始浅谈分形学

从西兰花开始浅谈分形学

西兰花，含蛋白质、糖、脂肪、维生素和胡萝卜素，营养成份位居同类蔬菜之首，被誉为“蔬菜皇冠”。西兰花营养成分如此丰富，是我们平日常吃到的蔬菜，在餐桌上和菜市场上无处不在，可是我们一般人仅知道它是有营养的蔬菜而已，殊不知它的外形是大自然较典型的分形几何图。牛顿能从掉落的苹果发现万有引力，而我们为何不能从平日里常吃的西兰花或大自然常见的树枝中发现这个世界无处不在的分形呢？因此，我们要善于从生活中常见的事物，发现一些潜在的、不寻常的内在规律。

一、分形概念

分形，就是指由各个部分组成的形态，每个部分以某种方式与整体相似。以西兰花为例，一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。换句话说，较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇，如图（一）和（二）所示。

图（一）图（二）分形具有自相似性和标度不变性。所谓自相似性是指某种结构和过程的特征从不同的空间尺度和时间尺度来看都是相似的。所谓标度不变性是指在分形上任选一局域，对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出原图的形态特征。分形

有以下几个含义：分形既可以是几何实体也可以是由“功能”或“信息”等架起的数理模型；分形可以同时具有形态、功能和信息方面的自相似性，也可以只具有其中某一方面的自相似性，这样就使分形理论研究的领域大大拓宽；分形中的自相似性可以是绝对的相同，也可以是统计意义上的相似，自然界中前者凤毛麟角，后者不计其数；分形的相似性有层次上的差异。

二、分形维数

分形维数，又叫分维，是定量刻画分形特征的参数，在一般情况下是一个分数（可是整数，也可以是非整数），它表征了分形体的复杂程度，分形维数越大, 其客体就越复杂，反之亦然。

经典维数是我们所熟悉的，即在Euchlid几何学中的维数，它必须是整数，

比如点：0维，线：1维，面：2维，体：3维。Euchlid几何中的维数D可以用以下公式表示：D=lnK/lnL ,其中，K为规则图形的长度、面积或体积增大（缩小）的倍数，L是指规则图形的每个独立方向皆扩大（缩小）的倍数。例如，若将直线段的长度增至原来的两倍（L=2），所得到的线段长度为原线段的两倍

（K=2）,所以直线是一维的；若将正方形每边长增至原来的2倍（L=2），所得

到的正方形的面积将增至原来的4倍（K=4），所以正方形是二维的，若将正方体

的每边长增至原来的2倍（L=2），所得到的立方体的体积将增至原来的8倍

（K=8），

所以立方体是三维的，如图（三）、（四）、（五）所示

图（三）图（四）

现以Sierpinski垫和Sierpinski地毯为例来讨论有规分形维数的计算。

对于Sierpinski垫，首先将一个等边三角形4等分，得到4个小等边三角形，去掉中间一个，保留它的三条边。将剩下的3个小等边三角形再分别4等分,

并分别去掉中间的一个，保留它们的边。重复操作直至无穷就得到图 （六）所示 的图形。在这里，当三角形边长扩大其原来的 2倍（L=2）,所得到图形的面积 增加至原来3倍（K=3）,其分形维数为：D=ln3/ln2=1.5850 。

对于Sierpinski 地毯，首先将一个正方形各边三等分，形成 9个和原正方 形相似的小正方形，去掉中间一个，然后把剩下的八个红色小正方形已同样的方 式分成9等分，再把中间的白色小正方形（共8个）去掉，重复操作直至无穷就 得到图（七）所示的图形。在这里，当正方形边长扩大其原来的 3倍（L=3），所 得到图形的面积增加至原来 8倍（K=8），其分形维数为：D=ln8/ln3=1.8928 。

三、分形在材料科学中的应用

1、晶体的分形生长

图（八）晶体的分形生长

如图（八）所示，晶体生长第二阶段到第三阶段，可以较明显看出晶体生

长的具有统计意义上的自相似性。待晶体生长完成后，放大晶体的一小部分至一

图（七）

图（六）

定比例，可以发现其和整体部分几乎完全相似

2、材料的断口分形

图（九）废弃电路板材料断口的SEM象

如图（九）所示，展示六张废弃电路板材料断口的SEM像，断口（a）为废弃电路板上PCI插槽中硬塑料的断口，断裂后其表面形貌呈现河流状花纹。而图上河流分布形状局部和整体有自相似性，是自然界中一个典型的分形。其余断口也是一样，从外观形貌上看，局部和整体都具有自相似性，表现出分形的特征。

另外，分形在薄膜和表面、高分子结构、非晶晶化、马氏体结构等材料科学领域也有不少的应用