2020年中考数学专题突破二十：连锁轨迹— —动点在直线上产生的动点轨迹问题

专题二十：连锁轨迹——动点在直线上产生的动点轨迹问题【导例引入】

导例：如图：A是定点，动点B从O(0,0)运动到C(8,0). 点M为线段AB的中点，

①画出线段AB的中点M运动的路径

②M运动的路径的长是.

分析：求解动点运动问题的关键是把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”．首先要分清运动的轨迹是线段还是弧，然后确定起始点和终止点，再作出相应的草图就能解决问题

动点B和M的关系可定义为：B叫做主动点，M叫做从动点.

如果：①动点的初始位置②动点的中途位置③动点的终止位置三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是．

【方法指引】

注意画图分析：

第一步：画出△BDE的初始位置和终止位置

第二步：标出①点的初始位置②点的中途位置③点的终止位置

第三步：判断动点的运动路径，计算其长度

导例答案：(1)线段M1M2即为点M的运动路径；

【例题精讲】

类型一：动点产生的路径与最值问题

例1．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值

为．

【分析】连接CF，由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠ABD=∠ACF=45°，可得CF⊥BC，即点F在过点C且垂直BC的直线上，则当PF⊥CF时，PF的值最小，即可求PF的最小值．

类型二：动点产生的路径长问题

例2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，∠BAC=90°，点D在AB边上且BD=4cm，过点D作DE⊥AB交BC于点E．

（1）求DE的长；

（2）若动点P从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向终点A运动，连结PE，设点P运动的时间为t秒．当S△PDE=6cm2时，求t的值；

（3）若动点P从点D出发沿着DA方向向终点A运动，连结PE，以PE为腰，在PE右侧按如图方式作等腰直角△PEF，且∠PEF=90°．当点P从点D运动到点A时，求点F运动的路径长（直接写出答案）．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；

（2）分点P 在线段BD 上和点P 在线段AD 上两种情况，根据三角形的面积公式计算；

（3）证明△PDE ≌△EHF ，根据全等三角形的性质、结合图形解答即可．

【专题过关】

1．如图，在△ABC 中，BC ＝8，M 是边边 BC 上一动点，连接 AM ，取 AM

的中点 P ，随着 点 M 从点 B 运动到点 C ，求动点 P 的路径长为 ．

2. 已知线段AB ＝6，C 、D 是AB 上两点，且AC ＝DB ＝1，P 是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为_______．

3. 如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．连结PQ ，M 为线段PQ 的中点，则在整个运动过程中，M 点所经过的路径长为 ．

4.如图，在Rt ABC ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC

延长线上的一个定点，连接PD ，过点D 作DE PD ⊥，连接PE ，且2tan 5DPE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .

5.如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点E 在边AD 上，且AE ：ED=1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为 ．

6．如图，已知AB=9，点E 是线段AB 上的动点，分别以AE ，EB 为底边在线段AB 的同侧作等腰直角△AME 和△BNE ，连接MN ，设MN 的中点为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，则点F 移动路径的长是

7．如图所示，点E 坐标为(﹣1,0)，点B 坐标为(0,2)，等腰直角△BDC 的直角端点D 从D(0,0)运动到D(2,0)时，

（1）画出线段EC 的中点M 运动的路径；

（2）EC 的中点M 运动的路径的长是多少？

8.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点P 是AB 边上的一个动点，连接CP ，过点P 作PC 的垂线交AD 于点E ，以PE 为边作正方形PEFG ，顶点G 在线段PC 上，对角线EG ，PF 相交于点O ．

（1）若AP=1，则AE= ；

（2）①求证：点O 一定在△APE 的外接圆上；

②当点P 从点A 运动到点B 时，点O 也随之运动，求点O 经过的路径长；

（3）当点P 运动至AB 中点时，求线段CO 的长．

9．正方形ABCD 的边长为2，动点E 在边AB ，AD 上运动，连接CE ，以CE 为边作正方形CEFG （点C 、E ，F ，G 按顺时针方向排列），连接DG ．

问题解决：（1）如图（1），当点E 在AB 上运动时，求证：△BEC ≌△DGC ；

（2）如图（2），当点E 在AD 上运动时，点M 是FG 的中点，连接CM ．若DG=CM ，则AE 的长为 ；

（3）如图（1），点E 沿边AB 由点B 运动到点A 时，求点F 的运动路径的长．

10．如图，平面直角坐标系中，直线AB ：y=－3

1x+b 交y 轴于点A （0，2），交X 轴于点B ．过点E （2，0）作X 轴的垂线EF 交AB 于点D ，P 是射线DF 上一动点，设P （2，n ）．