长沙理工大学《概率论与数理统计》模拟试题及答案七

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概率论与数理统计试题与答案(DOC)

概率论与数理统计试题与答案(2021-2021-1)概率统计模拟题一一、填空题〔此题总分值18分，每题3分〕1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 那么)(AB P = 。

2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，假设95)1(=≥X p ，那么=≥)1(Y p 。

3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，那么=+-)543(Y X D 。

4、设随机变量X 的方差为2，那么根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。

5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，那么统计量∑==n1i iXY 服从分布。

6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，那么μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。

〔按下侧分位数〕二、选择题〔此题总分值15分，每题3分〕 1、假设A 与自身独立，那么〔〕(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P 2、以下数列中，是概率分布的是〔〕(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，那么有〔〕(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，那么随着σ的增大，概率()σμ<-X P 〔〕。

(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，那么以下结果错误的选项是．．．．．．〔〕。

概率论与数理统计习题7参考答案

概率论与数理统计习题7参考答案习题7参考答案7.1解：因为:是抽自二项分布B （m ，p ）的样本，所以总体的期望为mp X E =)(，用样本均值X 代替总体均值()E X ，得p 的矩估计为m Xp=ˆ。

似然函数为1111()()(1)(1)()(1)mmii m mi i x m x x m x x m x p p p m mmmL p C p p C p p C pp ==---∑∑=--=-，对它们两边求对数可得11ln(())ln()ln ()ln(1),m mp miii i L p m C x p m x p ===++--∑∑对p 求导并令其为0得11ln(())/()/(1)0mmi i i i L p x p m x p p ==∂=---=∂∑∑，得p 的极大似然估计为1ˆnii xXm pm m ===∑7.2解：01()xE X xdx eλλλ+∞-=•=⎰，令()X E X =，则λ的矩估计为λˆ11()E x X== 由概率密度函数可知似然函数为：e e e x x x L n λλλλλλλ---••••=21)(eni i x n∑==-1λλ对它们两边求对数可得∑-=∑==-=ni inx en x L ni i 1ln )ln())(ln(1λλλλλ对λ求导并令其为0得0))(ln(1=∑-=∂∂=ni i x n L λλλ 即可得λ的似然估计值为x n n i i x 111ˆ1=∑==λ7.3解:记随机变量x 服从总体为[0,]上的均匀分布，则220)(θθ=+=X E ，令()X E X =，故的矩估计为X 2ˆ=θ。

X 的密度函数为θ1)(=x p 故它的似然函数为IIX X L n inni n}{1}0{)(11)(θθθθθ≤=≤<==∏要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是θn1尽可能大。

由于θn1是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计=θˆ（示性函数I=，=min{} ,=max{}）7.4解:记随机变量x 服从总体为[,]上的均匀分布，则2322)(θθθ=+=X E , 令()X E X =,所以的矩估计为X 32ˆ=θX 的密度函数为θ1)(=x p 故它的是似然函数为()(1)()(1){2}{2}{}21111()x xx x n in nnnni L X I I Iθθθθθθθθθ≤≤≤<≤≤≤====∏要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是θn1尽可能大。

概率论与数理统计第七章习题附答案

习题7-11. 选择题(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .(A) X 和S 2. (B) X 和211()n i i X n μ=-∑. (C) μ和σ2.(D) X 和211()nii X X n=-∑.解选(D).(2) 设[0,]X U θ, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X的样本, 则θ的矩估计量是( ) .(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i nX ≤≤. (D) 1min{}i i nX ≤≤.解选(B).3. 设总体X 的概率密度为(1),01,(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨⎩其它.其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；(2) θ的极大似然估计量. 解总体 X 的数学期望为1101()()d (1)d 2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰. 令()E X X =, 即12X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为21ˆ1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为1(1),01,0,n n i i i x x L θθ=⎧⎛⎫+<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩∏其它. 当0<x i <1(i =1,2,3,…,n )时, L >0且 ∑=++=ni ixn L 1ln )1ln(ln θθ,令1d ln ln d 1ni i L nx θθ==++∑=0, 得θ的极大似然估计值为 1ˆ1ln nii nxθ==--∑,而θ的极大似然估计量为 1ˆ1ln nii nXθ==--∑.4. 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为e ,0,(,)0,0,x x f x x λλλ->=⎧⎨⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求未知参数λ的矩估计量与极大似然估计量.解因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆXλ=. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数11nii inxx nni L eeλλλλ=--=∑==∏,取对数 1ln ln ()ni i L n x λλ==-∑.令1d ln 0,d ni i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆxλ=,λ的极大似然估计量为1ˆXλ=. 习题7-22. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)XN μσ的样本, 且Y 1231134X X kX =++为μ的无偏估计量, 问k 等于多少?解要求1231111()3434E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.,习题7-31. 选择题(1) 总体未知参数θ的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ).(A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值.(C) 未知参数θ有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数θ的真值. 解选(D).(2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解选（C ）习题7-41. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试, 取得数据如下(单位:小时):1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200．设灯泡寿命服从正态分布N (μ, 902), 取置信度为0.95, 试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.解计算得到1141.11,x = σ2 =902. 对于α = 0.05, 查表可得/20.025 1.96z z ==α.所求置信区间为/2/2(,)(1141.11 1.96,1141.11 1.96)(1082.31,1199.91).x x z z +=-=αα2. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为105=x 元, 样本标准差28=s 元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间.解计算可得105,x = s 2 =282.对于α = 0.05, 查表可得0.0252(1)(39) 2.0227t n t α-==.所求μ的置信区间为22((1),(1))(105 2.0227,105 2.0227)x n x n αα--+-=+=(96.045, 113.955).3. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s =2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．解已知n =8, s 2 =2.42, α = 0.01, 查表可得220.0052(1)(7)20.278n αχχ-==,220.99512(1)(7)0.989n αχχ--==, 所以方差σ 2的置信区间为2222122(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ---=--22(81) 2.4(81) 2.4(,)20.2780.989-⨯-⨯=(1.988, 40.768). 4. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样本:X 1,X 2,…,X 12及Y 1,Y 2,…,Y 17, 算出221210.6g,9.5g, 2.4, 4.7x y s s ====. 假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值分别为12,μμ. 又设两总体方差2212σσ=. 求12μμ-置信水平为0.95的置信区间, 并说明该置信区间的实际意义.解由题设22121210.6,9.5, 2.4, 4.7,12,17,x y s s n n ======2222112212(1)(1)(121) 2.4(171) 4.71.94212172wn s n s s n n -+--⨯+-⨯===+-+-120.0252(2)(27) 2.05181,t n n t α+-==所求置信区间为122(()(2)((10.69.5) 2.05181 1.94x y t n n s α-±+-=-±⨯ =(-0.40,2.60).结论“21μμ-的置信水平为0.95 的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义是：在两总体方差相等时, 第一个正态总体的均值1μ比第二个正态总体均值2μ大-0.40～2.60，此结论的可靠性达到95%.。

长沙理工大学概率论题库

长沙理工大学考试试卷……………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 01 拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名 ……………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次）概率论与数理统计B 课程代号专业层次（本、专）本科（城南）考试方式（开、闭卷）闭一、填空题(本大题总分10分，每小题2分)1 . 某射手向一目标连续射击两次，用i A 表示事件“第i 次射击命中目标”，1,2i =，则12(A A )(⋃)A A 21表示事件( 两次射击中仅一次命中目标 )2 . 设(X ，Y)服从区域}4y x y){(x,D 22≤+=上的均匀分布，则=>+)3Y P(X 22( 1/4 )3 . 若随机变量X 的数学期望为μ，方差为σσ(,2＞0)，则用切比雪夫不等式估计得{3}P X μσ-≥≤（ 1/9 ）4 . 设X 服从区间[0，2]上的均匀分布，Y=X 2，则cov(X,Y)=（ 2/3 ）5 . 评价参数的估计量优劣的标准有( 无偏性 )、有效性和一致性。

二、单项选择题(本大题总分20分，每小题5分)则2 0.5 ②0.3 ③0.09 ④0.212 . 设(X ，Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它01y 1,0x 01y)f(x,，则随机变量X 与Y（ ④ ）① 相关 ② 不相关③ 不相关但不独立 ④ 不相关且独立3 . 从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为( ② )4 0.1 ② 0.3439 ③ 0.4 ④ 0.6561 4 . 设随机变量X 的密度函数p(x)满足：p(x)x)p(=-，F(x)是X 的分布函数，则对任意a >0,则a)X P(>=（ ① ）①F(a)]2[1- ②12F(a)- ③F(a)2- ④)2F(a 1-第 1 页（共 2 页）三、计算题(本大题总60分,每小题12分)1 . 三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为413151、、,求(1)将此密码译出的概率, (2)恰好有一个人译出此密码的概率. 1. 1.解.：设{},1,2,3i A i ==第i 人能破译,则 (1) ()()3i 123123i=1423P(A )11()()10.6534P A A A P A P A P A =-=-=-⨯⨯=(6分) (2) ()()()123123123P A A A P A A A P A A A ++(8分)()()()123123123()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++(10分)1234134211353453453430=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2 . 令cos πY =求：（1）Y 的分布律；（2）E （Y ）。

长沙理工大学概率与数理统计试卷

P( X 1)
7分

15 5 5 56 56 14 .
9分
五．解: 1) 由

1 1
f ( x, y )dxdy 1
1
有
1
c 1 2 c 1 c 2 2 1 2 1 cxy dxdy cy x | dy y dy y 3 |1 0 0 0 0 0 0 2 2 2 3 6,
2
11．若 X ~ N (2,9) ,且 P( X c) P( X c) ,则 c 二．选择题(每题 3 分，共 12 分)： 1．设 A, B 为两事件,且 0 P( A) 1 ,则下列命题中成立的是 ( A. A, B 独立 P ( B | A) P ( B | A) C. A, B 独立 A B
, 6分
从而由贝叶斯公式,
P( A1 | B)
P( A1 B) P( A1 ) P( B | A1 ) 0.25 0.05 0.36 P( B) P( B) 0.0345 .
9分
四．解: 由题意知 X 的可能取值为 1,2,3,4,其分布列为
1 1 1 C5 C3 C5 5 15 , P ( X 2 ) , 1 1 1 C8 8 C8 C 7 56 3 1 C 2 C1 C3 C5 5 1 P( X 3) 32 5 , P ( X 4 ) 1 3 1 C8 C 6 56 C8 C 5 56 . P(1 X 3) P(( X 2) ( X 3)) P( X 2) P( X 3) .
4
长沙理工大学数计学院概率论与数理统计模拟试题三
考试类别:闭卷题号一二三得分得分评卷人复查人四考试时量:120 分钟五六七八九试卷类型: B 卷十合分

长沙理工大学概率论与数理统计练习册

第一章概率论的基本概念练习1.1 样本空间、随机事件一、写出以下随机试验的样本空间：1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。

二、有三位学生参加高考，以i A 表示第i 人考取（1,2,3i =）.试用i A 表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多64738291有两人考取；3.恰好有两人落榜。

三、投掷一枚硬币5次，问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件？1. A 表示至少出现3次正面；2. A 表示至多出现3次正面；3. A 表示至少出现3次反面。

四、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”，事件B 表示“取得的球的号码是奇数”，事件C 表示“取得的球的号码小于5”，则,,,,,C A C AC A C A B AB ⋃-⋃分别表示什么事件？五、在某系的学生中任选一名学生，令事件A 表示“被选出者是男生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是运动员”。

（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ⊆正确; （4）什么时候有等式B A =成立。

练习1.2 概率、古典概型一、填空1.已知事件A ，B 的概率()0.7,()0.6P A P B ==,积事件AB 的概率()0.4P AB =,则()P A B ⋃= , ()P A B -= , ()P A B ⋃= , ()P A B ⋃= ,()P AB = , ()P A AB ⋃= .2. 设B A ,为两个事件，7.0)(=B P ,()0.3P AB =,则=+)(B A P .3. 设B A ,为两个任意不相容事件，,则=-)(B A P .4. 设B A ,为两个事件，5.0)(=A P ,=-)(B A P 0.2，则=)(AB P . 5. 已知,41)()()(===C P B P A P =)(AB P 0，61)()(==BC P AC P ，则C B A ,,全不发生的概率为 .二、设B A ,是两事件，且()0.6P A =，()0.7P B =,求(1) 在什么条件下，()P AB 取到最大值？ (2) 在什么条件下，()P AB 取到最小值？三、一批产品20件，其中3件次品，任取10件，求(1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。

概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)

习题一1．设C B A ,,为随机试验的三个随机事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来．（1）仅仅A 发生；（2）所有三个事件都发生；（3）A 与B 均发生，C 不发生；（4）至少有一个事件发生；（5）至少有两个事件发生；（6）恰有一个事件发生；（7）恰有两个事件发生；（8）没有一个事件发生；（9）不多于两个事件发生．解：（1）C B A ；（2）ABC ；（3）C AB ；(4)C B A ；(5)AC BC AB ；(6)C B A C B A C B A ；（7）C AB C B A BC A ；（8）C B A ；（9）ABC ．2．写出下列随机试验的样本空间（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子的点数之和；（2）将一枚硬币抛三次，观察出现正反面的各种可能结果；（3）对一目标进行射击，且到击中5次为止，记录射击的次数；（4）将一单位长的线段分为三段，观察各段的长度；（5）从分别标有号码1，2，，10的10个球中任意取两球，记录球的号码．解：（1）{3，4，5，，18}；（2）{}TTT THT TTH THH HTT HTH HHT HHH ,,,,,,,;(3) {5,6,7, }；(4) }{1,0,0,0:),,(=++>>>z y x z y x z y x ;(5)}{n m n m n m ≠≤≤≤≤,101,101:),(．3．将12个球随机地放入20个盒子，试求每个盒子中的球不多于1个的概率．解：设)(A P 表式所求的概率，则：12122020!12.)(C A P =≈0.01473． 4．将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求下列事件的概率：（1）成套的书放在一起；（2）成套的书按卷次顺序排好放在一起．解：（1）设)(A P 表示所求的概率，则：)(A P =301!10!4!7=⋅．（2）设)(B P 表示所求的概率，则：)(B P =7201!10!7=．５．一辆公共汽车出发前载有５名乘客，每一位乘客独立的在七个站中的任一个站离开，试求下列事件的概率：（1）第七站恰好有两位乘客离去；（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去．解：5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数57=n ．（1）第七站恰好有两位乘客离去，其方法数3256⋅=C m ，故设)(A P 为所求概率，则：1285.076)(5325=⋅=C A P ．（2）设=B {没有两位及两位以上乘客在同一站离去}，则：1499.07!5)(557=⋅=C B P ． 6．有一个随机数发生器，每一次等可能的产生9,,2,1,0 十个数字，由这些数字随机编成的n 位数码（各数字允许重复），从全部n 位数码中任意选取一个，其最大数字不超过k （9≤k ）的概率．解：设)(A P 表式所求的概率，则由全部n 位数码的总数为n10，得：n nk A P 10)1()(+=．７．一元件盒中有50个元件，期中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率；（3）没有次品的概率．解：（1）设)(A P 为所求概率，则：41050610215225104397.6)(-⨯=⋅⋅=C C C C A P ．（2）设)(B P 为所求概率，则：03158.0)(1050825225=⋅=C C C B P ．（3）设)(C P 为所求概率，则：0825.0)(10501040==C C C P ．８．有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章，任意选出3人，记下其纪念章的号码，试求：（1）最小的号码为5的概率；（2）最大的号码为5的概率．解：从10人中任意选3人纪念章号码的总数为310C n =，（1）最小号码为5，则余下2个在6—10中选，即25C m =，设)(A P 为所求概率，则： 083.0)(31025==C C A P ．（2）同理设)(B P 为所求概率，则：05.0)(31024==C C A P ． 9．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,和r ，试求：)(),(),(),(B A P B A P B A P AB P ．解：r q p B A P B P A P AB P -+=-+=)()()()( ；p r A P A B P A B P B A P -=-=-=)()()()( （单调性）； q r B P B A P B A P B A P -=-=-=)()()()( （单调性）；r B A P B A P B A P -=-==1)(1)()( ．10．一批产品共100件，其中5件不合格．若抽检的5件产品中有产品不合格，则认为整批产品不合格，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？解：（法一）设i A ={抽检的5件产品中第i 件不合格}，i =1,2,3,4,5则所求概率为：∑===5151)()(i i i i A P A P )()()()()(54321A P A P A P A P A P ++++= 2304.0510055510019545510029535510039525510049515≈++++=C C C C C C C C C C C C C C ．（法二） 2304.01)(1)(5100595051≈-=-==C C A P A P i i ． 11．设A 和B 是试验E 的两个事件，且21)(,31)(==B P A P ，在下述各种情况下计算概率)(A B P ：（1）B A ⊂；（2）A 和B 互不相容；（3）81)(=AB P ．解：（1）613121)()()()(=-=-=-=A P B P A B P A B P ．（2）21)()(==B P A B P ．（3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P A B P A B P ． 12．现有两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，系统A 有效的概率为0.92，系统有效的概率为0.93 ．装置在一起后，至少有一个系统有效的概率则为0.988，试求装置后：（1）两个系统均有效的概率；（2）两个系统中仅有一个有效的概率．解：（1）所求概率为)(AB P ，得：)()()()(B A P B P A P AB P -+=862.0988.093.092.0=-+=；（2）所求概率为)(B A B A P ，得：)(B A B A P )()(B A P B A P +=)()()()(AB P B P AB P A P -+-=126.0862.0293.092.0=⨯-+=．13．10把钥匙上有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率．解：（法一）从10把钥匙中任取2把的试验结果总数45210==C n ，能打开门意味着取到的二两把钥匙至少有一把能打开门，其取法数24171323=+=C C C m ，故设)(A P 为所求概率，则：158)(210231713=+=C C C C A P ．（法二）记A 为“能打开门”，则=A “两把钥匙皆开不了门”，于是158452111)(1)(21027=-=-=-=C C A P A P ． 14．一个盒子中有24个灯泡，其中有4个次品，若甲从盒中随机取走10个，乙取走余下的14个，求4个次品灯泡被一人全部取走的概率．解：设=A {次品灯泡全部被甲取走}，=B {次品灯泡全部被乙取走}，则B A ,互不相容，所求概率为：)()()(B P A P B A P += 1140.0424414424410=+=C C C C ． 15．设将5个球随意地放入3个盒子中，求每个盒子内至少有一个球的概率．解：5个球随意地放入3个盒子中事件总数53=n ，3个盒子中一个或两个盒子中有球数为332533153p C p C m ++=，设所求概率为)(A P ，则：8150331)(533253315=++-=p C p C A P ． 16．已知1A 和2A 同时发生，则A 必发生，证明：1)()()(21-+≥A P A P A P ．证明：由已知，A A A ⊂21，再由单调性，)()(21A P A A P ≤，则)()()()()(212121A A P A P A P A A P A P -+=≥,1)(021≤≤A A P ．1)()()()()()()(21212121-+≥-+=≥∴A P A P A A P A P A P A A P A P ．17．掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下，第五次也是正面的概率是多少？解：设=A {第五次出现正面}，=B {第六次停止}，则：52)21()21()()()|(256146===C C B P AB P B A P ． 18．证明：0)()|(>>A P B A P ，则)()|(B P A B P >．证明：)()|()()()()|(B P B A P AB P A P AB P A B P =>=，即证． 19．设事件B A ,互不相容，且0)(>B P ，试证：)(1)()|(B P A P B A P -=．证明：)(1)()()()|(B P A P B P B A P B A P -=互不相容． 20．将两颗均匀骰子同时掷一次，已知两个骰子的点数之和是奇数，求两个骰子的点数之和小于8的概率．解：此事件的样本空间由36个样本点组成，设=A {两个骰子的点数之和小于8}，=B {两个骰子的点数之和是奇数}，则3618)(=B P ，3612)(=AB P ，于是： 322131)()()|(===B P AB P B A P ． 21．设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是次品后，另一件也是次品的概率．解：设=A {所取得两件中至少有一件是次品}，=B {所取得两件产品都是次品}，B AB A B =∴⊂, ．而321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，152)(21024==C C B P ，所求概率为：5132152)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ． 22． 10件产品有6件是正品，4件次品，对它们逐一进行检查，问下列事件的概率是多少？（1）最先两次抽到的都是正品；（2）第一、三次抽到正品，第二、四次抽到次品；（3）在第五次检查时发现最后一个次品．解：设i A ={第i 次抽到的是正品}，i =1,2,3,4,5,6．则 (1)3195106)|()()(12121=⋅=⋅=A A P A P A A P ; (2) )(4321A A A A P )|()|()|()(3214213121A A A A P A A A P A A P A P =141738594106=⋅⋅⋅=； (3) 设=B {第五次检查时发现最后一个次品}，则2104)(151********=*=C C C C C B P ． 23．某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最末一位数字是偶数．现在他试着拨最后一个号码，求他拨号不超过三次而接通电话的概率．解：设=A {接通电话}，=i B {拨号i 次}，i =1，2，3．i B 构成样本空间的一个划分，由全概率公式：)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=532110321522121=⨯+⨯+⨯=． 24．某型号的显像管主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总产品和的25%、50%、25%，甲、乙、丙三个厂的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1、0.2、0.4，求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率．解：设A ={能在规定时间内正常工作}，i B ={选取第i 个厂家的产品}，i =1，2，3．则由全概率公式：)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=225.04.025.02.05.01.025.0=⨯+⨯+⨯=．25．两批同类产品各自有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意中将第一批的一件产品混入第二批，现从第二批中取出一件，求第二批中取出次品的概率．解：设=B {第二批中取出次品}，=A {第一批的次品混入第二批}，A A ,构成样本空间的一个有限划分，由全概率公式：0985.01111211112121)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ． 26．在一个盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中，第二次比赛时，同样任意的取出三个球，求第二次取出三个新球的概率．解：设B={第二次取出3个新球}．可以看出，直接确定B 的概率)(B P 是困难的，原因是，第一次比赛之后，12个乒乓球中的新、旧球的分布情况不清楚，而一旦新旧球的分布情况明确了，那么相应的概率也容易求得．为此，设i A ={第一次取到的3个球中有i 个新球}， i =0，1，2，3．容易判断3210,,,A A A A 构成一个划分．由于3,2,1,0,)(315369==-i C C C A P i i i ，又3,2,1,0,)|(31539==-i C C A B P i i ．由全概率公式，得：)|()()(30i i i A B P A P B P ∑==∑=--=3023*******)(i i i i C C C C 0893.02070251680756075601680≈+++=． 27．仓库中存有从甲厂购进的产品30箱，从乙厂购进的同类产品25箱，甲厂的每箱装12个，废品率为0.04，乙厂的每箱装10个，废品率0.05，求：(1)任取一箱，从此箱中任取一个为废品的概率；(2)将所有产品开箱后混放，任取一个为废品的概率．解：(1)设=B {取出的是废品}，=A {从甲厂取出}，A A ,构成一个划分，则)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=0441.005.010251230102504.0102512301230=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(2) 0441.010********.0102504.01230=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯ 28．已知一批产品中96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率是0.98，而误认废品是合格品的概率是0.05，求检查合格的一件产品确系合格的概率．解：设A ={检查合格产品}，B ={确系合格}．由已知，05.0)|(,98.0)|(,96.0)(===B A P B A P B P ，由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P =)|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 9979.005.004.098.096.098.096.0≈⨯+⨯⨯=． 29．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者，现随机挑选一人，此人恰为色盲者，问此人是男人的概率为多少（假设男人女人各占总人数的一半）．解：设=A {色盲者}，=B {男人}， B B ,构成样本空间的一个划分，且05.0)|(=B A P ， 0025.0)|(=B A P ，由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P = )|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P +=9524.00025.02105.02105.021=⨯+⨯⨯=． 30．设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，由于检验手段不完善，带菌者呈阳性反应的概率为0.99，而不带菌者呈阳性反应的概率为0.05，若某人检查结果是呈阳性反应，他是带菌者的概率是多少？解：设=A {结果呈阳性}，=B {是带菌者}，则B B ,构成样本空间的一个划分，且 99.0)|(=B A P ，05.0)|(=B A P ，由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P =)|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 3798.005.097.099.003.099.003.0=⨯+⨯⨯=． 31．证明：如果)|()|(B A P B A P =，则事件A 和B 相互独立．证明：由已知和条件概率公式，有)()()()(B P B A P B P AB P =，即)()()()(AB P B P B A P B P =，即)())(1()()(AB P B P AB A P B P -=-，又A AB ⊂，上式得：)()](1[)]()()[(AB P B P AB P A P B P -=-，有)()()(B P A P AB P =，即A 和B 相互独立．32．设一个n 位二进制数是由n 各“0”或“1”数字组成，每一位出现错误数字的概率是p ，各位数字出现错误与否是独立的，问组成一个不正确的这类二进制数的概率是多少？解：每一位出现正确数字的概率是p -1，由已知，各位数字出现正确与否也是独立的，于是所求概率nP A P )1(1)(--=．33.设事件C B A ,,相互独立，且21)(,31)(,41)(===C P B P A P ，试求：（1）三个事件都不发生的概率；（2）三个事件中至少有一个事件发生的概率；（3）三个事件中恰有一个事件发生的概率；（4）至多有两个事件发生的概率.解：（1）41)211)(311)(411()()()()(=---==C P B P A P C B A P ；（2）43411)(1)(=-=-=C B A P C B A P ；（3）)(C B A C B A C B A P )()()(C B A P C B A P C B A P ++=2411213243213143213241=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=；（4）)()()(1)(1C P B P A P ABC P -=-24232131411=⋅⋅-=． 34．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球．从两袋中各取一球，试求两球颜色相同的概率．解：设C B A ,,表示两球同为白色、红色和黑色，C B A ,,互不相容，则所求概率为：)()()()(C P B P A P C B A P ++= 3312.025925152562572510253=⨯+⨯+⨯=． 35．两部机床独立的工作，每部机床不需要工人照管的概率分别为0.9和0.85，试求：(1)两部均不需照管的概率； (2)恰有一部需要照管的概率；(3)两部同时需要照管的概率．解：设=A {甲机床不需要工人照管}，=B {乙机床不需要工人照管}，则9.0)(=A P ，85.0)(=B P ，(1)765.085.09.0)()()(=⨯==B P A P AB P (2))()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=22.085.01.015.09.0=⨯+⨯= (3) 015.015.01.0)()()(=⨯==B P A P B A P ．36．求下列系统（图1.6）能正常工作的概率，其框图的字母代表组件，字母相同，下标不同的均为同一类组件，知识装配在不同的位置，A 类组件正常工作的概率为a γ，B 类组件正常工作的概率为b γ，C 类为c γ．解：(1)所求概率为)]()()()[()()()]([BC P C P B P A P C B P A P C B A P -+==c b a c a b a γγγγγγγ-+=．(2)所求概率为)()()()()(5421635241635241A A A A P A A P A A P A A P A A A A A A P -++= )()()(65432165326431A A A A A A P A A A A P A A A A P +--，又654321,,,,,A A A A A A 相互独立，则)33(33)(422642635241a a a a a a A A A A A A P γγγγγγ+-=+-= ．(3)所求概率为 )()()()]())([(22112211n n n n B A P B A P B A P B A B A B A P =)]()()([)]()()()][()()([22221111n n n n B A P B P A P B A P B P A P B A P B P A P -+-+-+= n b a b a )(γγγγ-+=．习题二1、一批晶体管中有9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上，如果取出不合格品不再放回，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的概率．解：设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量X ，则X 的所有可能取值为：0，1，2，3。

《概率论与数理统计》习题及答案第七章

《概率论与数理统计》习题及答案第七章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2σ的矩估计.解 μ的矩估计为ˆX μ=，2σ的矩估计为22*211ˆ()ni i X X S n σ==-=∑ 1(27812836280727652858)2809.05X =++++=，*215854.01170.845S =⨯=所以2ˆ2809,1170.8μσ== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kp P X k p k lu p k==-<<=-的一个样本，求p 的矩估计.解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k kk k p p p p p p p μ∞∞==-==-=-⋅----∑∑ （1）因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kk k x pk k k p p kp kp x p p p μ∞∞∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x pp x p p x p p ='⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2）（1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 212p μμμ-= 所以得p 的矩估计21221111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 和p 的矩估计解 122,(1)()Np Np p Np μμ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ 解之得1/N p μ=， 21(1)p Np μμ-+=，即1N pμ=，22111p μμμ-=-，所以 N 和p 的矩估计为ˆX N p=，*21S p X =-. 4．设总体X 具有密度11(1)1,,(;)0,.Cx x C f x θθθθ-+⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的矩估计解11111111111CCEX C x dx C xθθθθμθθθ+∞--+∞===-⎰111()11C C C C θθθθ-=-⋅=--，解出θ得11,Cθμ=-92 于是θ的矩估计为 1C Xθ=-. 5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：111210011(1),22EX x dx x ααααμααα++++==+==++⎰解出α得 1112,1μαμ-=- 所以α的矩估计为 121XX α-=-. 再求极大似然估计： 1121(,,;)(1)(1)()nn n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，1ln ln(1)ln nii L n xαα==++∑，1ln ln 01nii d L nx d αα==++∑，解得α的极大似然估计： 1(1)ln nii nxα==-+∑.6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计： 1212EX θθμ+==，22222211211222()()1243EX θθθθθθθθμ-+++==+=解方程组121221122223θθμθθθθμ⎧+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩得11θμ=±2123(θμμμ=-注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为*1X θ=-，*2X θ=.再求极大似然估计 1121212111(,,;,)()nn ni L X X θθθθθθ===--∏，1122,,,n x x x θθ≤≤，由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为11(1)min(,,)n X X X θ==；21()max(,,)n n X X X θ==.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.x x e x f x αθαθαθα--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它;已知（2）||1(;),,2x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解（1）111111(,,;)()()ni i i nx x n nn i n i L X X x ex x eααθθααθθαθα=----=∑==∏111ln (;)ln ln (1)ln nnn i i i i L X X n n x x αθθααθ===++--∑∑1ln 0ni i d L nx d αθθ==-∑解似然方程1ni i nx αθ==∑，得θ的极大似然估计94 1.ni i nx αθ==∑（2）1||||1111(;)22ni i i n x x n n i L X X e eθθθ=----=∑==∏由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2n n n X n X X n θ++⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数8．设总体X 服从指数分布(),,(;)0,.x ex f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.解 1()11(,,;),,1,2,,.ni i i nx n x n i i L X X eex i n θθθθ=-+--=∑==≥=∏1ln nii L n Xθ==-∑ln 0d Ln d θ=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，试求未知参数p 的极大似然估计. 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑解似然方程11nii n X n p p=-+=-∑，得p 的极大似然估计1p X=。

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长沙理工大学数计学院概率论与数理统计模拟试题一考试类别：闭考试时量：120 分钟一．填空题(每空2分，共32分)：1．设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P 0.3 ; 若B A ,独立,则=)(B P 0.5 .2．若)4,1(~N X ,则~21-=X Y )1,0(N .3．已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P 0.8 ,=)|(A B P 0.25 . 4．从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 0.5 .5．若],2,0[~πU X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f . 6．随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 7．设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F .8．设随机变量X 有分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,120,s i n 0,0)(ππx x x A x x F , 则=A ,=<)6|(|πX P .9．一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ . 10．设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则Z 的分布列为 .11．若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c .二．选择题(每题3分，共12分)：1．设B A ,为两事件,且1)(0<<A P ,则下列命题中成立的是 ( )A. B A ,独立)|()|(A B P A B P =⇔B. B A ,独立⇔B A ,互不相容C. B A ,独立⇔Ω=⋃B AD. B A ,独立⇔0)(=AB P2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,20,0)(x x x x x F , 则 ( )A . )(x F 是一个连续型分布函数 B. )(x F 是一个离散型分布函数C. )(x F 不是一个分布函数D. 5.0)1(==X P3．设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( ) A.⎰-=-adxx f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C. )()(a F a F =-D. 1)(2)(-=-a F a F4．设随机变量}5{},4{).5,(~),4,(~2122+≥=-≤=u Y P p u X P p u N Y u N X ,则 ( )A . 对任意实数21,p p u = B. 对任意实数21,p p u < C. 只对u 的个别值才有21p p = D. 对任意实数21,p p u >三．某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分)四．箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次数,求X 的分布列,并求)31(≤<X P .( 9分) 五．设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=,010,10,),(2y x cxy y x f , 求: 1)常数c ; 2) )241,210(<<<<Y X P ;3)43(>X P ); 4))(Y X P >. (16分)六．在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列.其它七．设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自下列两参数指数分布的样本：()()1121211,120;,x e x x f x θθθθθθθ--≥≤⎧⎪=⎨⎪⎩其中()1,θ∈-∞+∞，()20,θ∈+∞，试求出1θ和2θ的最大似然估计. (16分)长沙理工大学数计学院概率论与数理统计模拟试题二考试类别:闭卷考试时量:120分钟试卷类型: A 卷一.填空题(每空2分,共40分) 1.已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P , =)|(A B P.2. 从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5},2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P .3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P .4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32-+Y X ~ .5．设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D .6．已知,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D.7. 设X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ，则X 的分布列为 .8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 9. 设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则=EZ .10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . 11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知><-)3|1(|X P .12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P.13. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则−→−∑=Pn i i X n 11 .14. 设74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P.15. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X ,则=≤∑=∞→)11(lim 1ni i n X n P .二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分) 1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有( )①. ⎰-=-adxx f a F 0)(1)( ②. ⎰-=-adx x f a F 0)(21)(③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( )①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立 ③. B ⊂A ④. P(A-B)=0.13. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( ) ①. X 与Y 独立 ②. X 与Y 不相关 ③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( ) ①. 21②. 31 ③. 32 ④. 415. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( )①. (31,31) ②. )3,3( ③. )91,31( ④. )9,3(三. 计算题(共45分)1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率.(8分)2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为:⎩⎨⎧≤≤≤≤+=,020,10,),(2y x bxy x y x f求①常数b; ②)1(≥+Y X P ; ③)21|1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分)3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤<X P ,③EX . (9分)4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX .(8分)５．设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，X 的密度函数:(1),01()0,x x f x ββ⎧+<<=⎨⎩其他， 0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。

概率论与数理统计B试卷7

长沙理工大学考试试卷……………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 07 拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名……………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次）概率论与数理统计B 课程代号专业层次（本、专）本科（城南）考试方式（开、闭卷）闭一、填空题(本题总分10分,每小题2分)1 . 连续抛掷三次硬币，用i A 表示事件“第i 次抛掷的结果是正面向,1,2,3i =.则321A A A ⋃⋃表示事件( ).2 . 设随机变量X 的密度函数f(x)=⎩⎨⎧∈其他,0],0[,sin πx x A ，则常数A =（）. 3 . 设(X ，Y)在区域}x y 2,0x 0y){(x,D ≤≤≤≤=上服从均匀分布，则=>)1P (Y ( ).4 . 设随机变量列X 1,X 2,…,X n ,…独立同分布,它们的期望为μ,方差为σ2,Z n =∑=n 1i i Xn 1,则对任意正数ε,有∞→n lim P{|Z n -μ|≥ε}=（）. 5 . 设随机变量X ，Y 都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E （X+Y ）=（）.二、单项选择题(本题总分20分,每小题5分)1 . 如果两个随机变量X 与Y 满足Y),D(X Y)D(X -=+则X 与Y 必（）. ① 相关 ② 不相关 ③ 不相关但不独立 ④ 不相关且独立2 . 从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为( ).① 0.1 ② 0.3439 ③ 0.4 ④ 0.65613 . 若连续型随机变量X 的密度函数p(x)=⎩⎨⎧∈其它,0cos I x x ,则区间I 可以是（）.①［0，2π］ ②［0，π］ ③［0，23π］ ④［－2π，2π］ 4 . 设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，则X ＋Y 的分布是（）.第 1 页（共 2 页）① ),(2σμN ② )2,(2σμN ③ ),2(2σμN ④ )2,2(2σμN .三、计算题(本题总分60分,每小题12分)1 . 某大学的全体男生中，有60%的人爱好踢足球，50%的人爱好打篮球，30%的人两项运动都爱好，求该校全体男生中：(1) 踢足球或打篮球至少爱好一项运动的概率有多大？(2) 不爱好踢足球，也不爱好打篮球的概率有多大？2 . 对一台仪器进行重复测试，直到发生故障为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为0.1，X 表示测试次数.求：（1）X 的分布列；（2）E （X ）.3 . 设二维随机变量()Y X ,的概率密度为22,1(,)0,Cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其它. (1).试确定常数C ；(2).求边缘概率密度;（3）P （X+Y>1）.4. 设某公司有100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为服从正态分布N(1000,100²)的随机变量，求这100件产品的总成交价不低于9.9万元的概率。

概率论与数理统计习题及答案

第一章概率论的基本概念1. 设C B A ,,为三个随机事件，用C B A ,,的运算表示下列事件： (1)、C B A ,,都发生； (2)、B A ,发生, C 不发生； (3)、C B A ,,都不发生；(4)、B A ,中至少有一个发生而C 不发生； (5)、C B A ,,中至少有一个发生； (6)、C B A ,,中至多有一个发生； (7)、C B A ,,中至多有两个发生； (8)、C B A ,,中恰有两个发生。

2. 设C B A ,,为三个随机事件, 已知：3.0)(=A P ，8.0)(=B P ，6.0)(=C P ，2.0)(=AB P ，0)(=AC P ，6.0)(=BC P 。

试求)(B A P ⋃，)(B A P ，)(C B A P ⋃⋃。

3. 将一颗骰子投掷两次，依次记录所得点数，试求： (1)、两次点数相同的概率；(2)、两次点数之差的绝对值为1的概率； (3)、两次点数的乘积小于等于12的概率。

4. 设一袋中有编号为1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅, 9的球共9只, 某人从中任取3只球, 试求：(1)、取到1号球的概率； (2)、最小号码为5的概率；(3)、所取3只球的号码从小到大排序，中间号码恰为5的概率； (4)、2号球或3号球中至少有一只没有取到的概率。

.5. 已知3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，2.0)(=AB P ，试求：(1) )|(A B P ； (2))|(B A P ； (3))|(B A B P ⋃； (4))|(B A B A P ⋃⋃。

6. 设有甲、乙、丙三个小朋友, 甲得病的概率是0.05, 在甲得病的条件下乙得病的概率是0.40, 在甲、乙两人均得病的条件下丙得病的条件概率是0.80, 试求甲、乙、丙三人均得病的概率。

7. 设某人按如下原则决定某日的活动：如该天下雨则以0.2的概率外出购物，以0.8的概率去探访朋友；如该天不下雨，则以0.9的概率外出购物，以0.1的概率去探访朋友。

长沙理工大学概率论与数理统计下册考试参考题

长沙理⼯⼤学概率论与数理统计下册考试参考题长沙理⼯⼤学模拟试卷第⼋套概率论与数理统计试卷⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）.1、假设1x，2x，…，n x是样本1ξ，2ξ，…，nξ的⼀个样本值或观测值，则样本均值x表⽰样本值的集中位置或平均⽔平，样本⽅差S2和样本修正⽅差S*2表⽰样本值对于均值x的_________________.2、样本⽅差S2和样本修正⽅差S*2之间的关系为_________________.3、矩估计法由英国统计学家⽪尔逊（Pearson）于1894年提出，它简便易⾏，性质良好，⼀直沿⽤⾄今. 其基本思想是：以样本平均值（⼀阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本⽅差（⼆阶中⼼矩）2S或者以样本修正⽅差2*S作为相应总体ξ的___________________________.4、总体未知参数θ的最⼤似然估计θ?就是___________________函数的极⼤值点.5、我们在估计某阶层⼈的⽉收⼊时可以说：“⽉收⼊1000元左右”，也可以说：“⽉收⼊在800元⾄1200元间”. 前者⽤的是___________，后者就是_________________.6、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. ⼀般来讲，信度α较⼤，其置信度（1－α）较⼩，对应置信区间长度也较短，此时这⼀估计的精确度升⾼⽽可信度降低；相反地，信度α较⼩，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这⼀估计的精确度_________⽽可信度_____________.σ是否已知，正态总体均值µ的置信区间的中⼼都是7、⽆论总体⽅差2_________________.8、假设检验中统计推断的唯⼀依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第⼀类错误为弃真错误，显著⽔平α就是犯这类错误的概率；第⼆类为取伪错误，记犯这类错误的概率为β. 则关系式α＋β＝1是________________(正确、错误)的.9、假设检验中做出判断的根据是______________________________________________.10、对于单正态总体，当均值µ已知时，对总体⽅差 2σ的假设检验⽤统计量及分布为__________________________________.⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、若临界概率α＝0.05，求临界值2αu .答：2、若临界概率α＝0.01，⾃由度k ＝14，求临界值)1401.0(2；χ.答：3、若临界概率α＝0.05，⾃由度k ＝10，求临界值)1005.0(；t . 答：5、设1ξ，2ξ，…，n ξ是ξ的样本，且ξ～ N(µ,2σ)，试求：E ξ、D ξ、E 2*S .答：6、对于总体ξ有E ξ＝µ，D ξ＝2σ，1ξ，2ξ，3ξ是ξ的样本，下列⽆偏估计量中哪⼀个最有效？1?µ＝1ξ，2?µ＝1(31ξ＋2ξ＋3ξ）答：7、设总体ξ服从⼆项分布b(n ，p )，p 为待估参数，),,,(21n ξξξ为ξ的⼀个样本，求p 的矩估计量. 答：8、假设初⽣婴⼉的体重服从正态分布,随机抽取12名初⽣男婴,测得其体重为(单位:g):2950，2520，3000，3000，3000，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540. 当以95%的置信度求初⽣男婴的平均体重的置信区间时，应该选⽤什么统计量？答：9、某种电⼦元件，要求使⽤寿命不得低于1000 h .现从⼀批这种元件中随机抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命950 h ，设该元件的寿命ξ～N （µ，1002），在α＝0.05的检验⽔平下，要确定这批元件是否合格需⽤什么检验⽅法？答：10、某卷烟⼚⽣产两种⾹烟，现分别对两种烟的尼古丁含量作6次测量，结果为甲⼚：25 28 23 26 29 22 ⼄⼚：28 23 30 35 21 27若⾹烟中尼古丁含量服从正态分布，且⽅差相等，要判断这两种⾹烟中尼古丁含量有⽆显著差异（α＝0.05），应该使⽤什么检验⽅法?答：三、应⽤题（每⼩题10分，共6×8＝48分）1、设总体ξ服从泊松分布，即分布列为P(ξ＝m)＝λλ-e m m!，λ＞0为参数，m ＝1,2，…，试求样本(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布列.2、设总体ξ服从指数分布，分布密度为)(x p ＝??λ>0为待估参数，n x x x ,,,21 为ξ的⼀个观察值，求λ的最⼤似然估计值.3、已知某⼚⽣产的电⼦零件的长度ξ～N （12.5，2σ），从某天⽣产的零件中随机抽取4个，测得长度为（单位：mm ）12.6 13.4 12.8 13.2，求2σ的置信度为0.95的置信区间.4、已知某种⽊材横纹抗压⼒的实验值ξ～N （µ，2σ），对10个试件作横纹抗压⼒试验，得数据如下(单位：公⽄/平⽅厘⽶)：578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.试对2σ进⾏区间估计(α＝0.05).5、已知舞阳钢铁公司的铁⽔含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某⽇随机测定了9炉铁⽔，含碳量如下：4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42 若已知总体⽅差⽆变化，能否认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53（α＝0.05）?6、已知神马集团⽣产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N （1.405，0.0482），某⽇随机测定了5根纤维，纤维度如下： 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44 问这天维尼纶纤度波动情况是否正常（α＝0.05）?四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、假设检验的基本原理是什么？2、请你谈谈学习数理统计的⽬的及⽅法？长沙理⼯⼤学模拟试卷第⼋套⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）. 1、离散程度.2、S 2＝2*1S n n -.3、期望；⽅差.4、似然.5、点估计，区间估计.6、⼤，长，降低，升⾼.7、ξ.8、错误.9、⼩概率事件实际不可能发⽣原理.)(σµξ～2χ(n).⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、2αu ＝025.0u ＝1.96.2、)1401.0(2；χ＝)14(201.0χ＝29.141.3、)1005.0(；t ＝)10(05.0t ＝1.8125 4、)15,1005.0(；F ＝)15,10(05.0F ＝2.54 5、E ξ＝µ,D ξ＝n2σ，E 2S ＝21σn n -，E 2*S ＝2σ.6、2?µ最有效.7、因µ＝E ξ＝np ，所以p ＝n µ. ⼜µ＝ξ，所以 p ?＝n µ＝n ξ. 8、t 检验法. 9、u 检验法. 10、t 检验法.三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分）1、解设(1x ，2x ，…，n x )为(1ξ，2ξ，…，n ξ)的任⼀组样本值，则样本(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布列为P(1ξ=1x ，2ξ=2x ，…，n ξ=n x )＝∏=ni 1P(iξ=iλλ-e x i xi!＝λλn ni i x e x ni i-=∏∑=1!1.2、解由L );,,,(21θn x x x ＝∏=ni i x P i 1);(θξ知，λ的似然函数为L );,,,(21θn x x x ＝∏=-ni x ie 1)(λλ＝∑-=ni ix ne1λλ.相应的对数似然函数为lnL );,,,(21θn x x x ＝两边对λ求导，并令⼀阶导数等于0可得∑=-ni ix n 1λ＝0，解之得，λ的最⼤似然估计值为λ? ＝∑=ni ixn1＝x 1.3、解因∑=-412)(i iµξ＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.⼜ 1－α＝0.95，α＝0.05，查附表3得22αχ＝2025.0χ(4)＝11.143，221αχ-＝2975.0χ(4)＝0.484.故置信度为0.95的置信区间为（143.114.1，484.045、解设该⽇⽣产的铁⽔含碳量ξ～N （µ，2σ），已知σ＝ 0.108, n ＝9，则待检假设为Ho ：µ＝4.53, H 1：µ≠4.53. 当Ho 成⽴时，有统计量u ＝9/108.053.4-ξ～N （0，1）对于给定显著⽔平α＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得2αu ＝1.96，使得P （|u|>1.96）＝0.05.由样本观察值计算得x ＝4.49，于是有 |u|＝|9/108.053.449.4-|＝1.11＜1.96，因⼩概率事件没有发⽣，故接受Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53.6、解设该⽇⽣产的维尼纶的纤度ξ～N （µ，2σ），已知µ＝1.405，σ＝0.048, n ＝5，则待检假设为Ho ：2σ＝0.0482，H 1：2σ≠0.0482.当Ho 成⽴时，有统计量2χ＝∑=-5122048.0)405.1(i i ξ～2χ(5).对于给定显著⽔平α＝0.05，查2χ分布临界值表（附表3）得22αχ＝12.833和221αχ＞12.833）＝2α，P （2χ＜0.83)＝2α.由样本观察值计算2χ得，2χ＝13.683. 于是有2χ＝13.683＞12.833因⼩概率事件发⽣，故拒绝Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的维尼纶的纤度的均⽅差不正常.四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分） 1、略. 2、略.长沙理⼯⼤学模拟试卷第九套概率论与数理统计试卷⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）.1、在进⾏抽样时，样本的选取必须是随机的，即总体中每个个体都有同等机会被选⼊样本. 因此，抽取样本1ξ，2ξ，…，n ξ，要求满⾜下列两个特性：1）_________；2）_________. 具备这两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本.2、假设1x ，2x ，…，n x 是样本1ξ，2ξ，…，n ξ的⼀个样本值或观测值，则样本均值x 表⽰样本值的集中位置或平均⽔平，样本⽅差S 2和样本修正⽅差S *2表⽰样本值对于均值x 的__________________.3、样本⽅差S 2和样本修正⽅差S *2之间的关系为__________________.4、矩估计法由英国统计学家⽪尔逊（Pearson ）于1894年提出，它简便易⾏，性质良好，⼀直沿⽤⾄今. 其基本思想是：以样本平均值（⼀阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本⽅差（⼆阶中⼼矩）2S 或者以样本修正⽅差2*S 作为相应总体ξ的___________________________.5、θ?具有⽆偏性的意义是：θ?取值因随机性⽽偏离θ的真值，但_________________即没有系统的偏差.6、设1?θ和2?θ都是⽆偏估计量，如果________________，则称1?θ⽐2?θ有效.7、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. ⼀般来讲，信度α较⼤，其置信度（1－α）较⼩，对应置信区间长度也较短，此时这⼀估计的精确度升⾼⽽可信度降低；相反地，信度α较⼩，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这⼀估计的精确度_________⽽可信度_____________.8、假设检验中统计推断的唯⼀依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第⼀类错误为__________________，第⼆类为__________________.9、常⽤的假设检验⽅法有四种，分别为1）__________________、2）__________________、3）__________________、3）__________________.10、对于单正态总体，当均值µ已知时，对总体⽅差 2σ的假设检验⽤统计量及分布为____________________________________.⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、若α＝0.05，求2αu .答：3、若α＝0.05，k ＝10，求)1005.0(；t . 答：4、若α＝0.05＜0.5，k 1＝10，k 2＝15，求)15,1005.0(；F . 答：5、设1ξ，2ξ，…，n ξ是ξ的样本，且ξ～ N(µ,2σ)，试求：E ξ、D ξ、E 2*S .答：6、对于总体ξ有E ξ＝µ，D ξ＝2σ，1ξ，2ξ，3ξ是ξ的样本，下列统计量中哪⼀个最有效？1?µ＝1ξ，2?µ＝134ξ－231ξ，3?µ＝1(31ξ＋2ξ＋3ξ）答：7、设总体ξ服从⼆项分布b(n ，p )，p 为待估参数，),,,(21n ξξξ为ξ的⼀个样本，求p 的矩估计量. 答：8、已知⼀批元件的长度测量误差ξ服从N （µ，2σ），µ，2σ为未知参数，现从总体ξ中抽出⼀个容量是6的样本值-1.20，-0.85，-0.30，0.45，0.82，0.12，σ的最⼤似然估计值.求µ，2答：9、已知洛阳轴承⼚⽣产的滚珠直径ξ～N（µ，2σ），其中2σ为已知，µ为待估参数. 从某天⽣产的滚珠中随机抽取⼀个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值µ的置信区间.答：10、已知洛阳轴承⼚⽣产的滚珠直径ξ～N（µ，2σ），其中2σ为未知知，µ为待估参数. 从某天⽣产的滚珠中随机抽取⼀个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值µ的置信区间.答：三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分）σ的置信度为0.95的置信区间.求22、已知某种⽊材横纹抗压⼒的实验值ξ～N（µ，2σ），对10个试件作横纹抗压⼒试验，得数据如下(单位：公⽄/平⽅厘⽶)：578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.σ进⾏区间估计(α＝0.05).试对23、已知某炼铁⼚的铁⽔含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某⽇随机测定了9炉铁⽔，含碳量如下：4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42若已知总体⽅差⽆变化，能否认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53（α＝0.05）?4、已知某涤纶⼚⽣产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N（1.405，0.0482），某⽇随机测定了5根纤维，纤维度如下：1.32 1.55 1.36 1.40 1.44问这天维尼纶纤度总体的均⽅差是否正常（α＝0.05）?四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、假设检验的基本原理是什么？2、请你谈谈学习数理统计的意义？长沙理⼯⼤学模拟试卷第九套⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）. 1、1）独⽴性等；2）代表性. 2、离散程度.3、S2＝2*1S n n -.4、期望；⽅差.5、E θ?＝θ.6、D 1?θ＜D 2?θ.7、⼤，长，降低，升⾼. 8、“弃真”，“取伪”.9、1）U 检验法、2）t 检验法、3）2χ检验法、3）F 检验法.10、2χ＝∑=-ni i 122⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、2αu ＝025.0u ＝1.96.2、)1401.0(2；χ＝)14(201.0χ＝29.141.3、)1005.0(；t ＝)10(05.0t ＝1.8125 4、)15,1005.0(；F ＝)15,10(05.0F ＝2.54 5、E ξ＝µ,D ξ＝n2σ，E 2S ＝21σn n -，E 2*S ＝2σ.6、3?µ最有效.7、因µ＝E ξ＝np ，所以p ＝n µ. ⼜µ＝ξ，所以 p ?＝n µ＝n ξ. 8、µ≈ξ＝61[(-1.20)＋(-0.85)＋(-0.30)＋0.45＋0.82＋0.12]＝－0.16. 2σ≈2S ＝61[(-1.20+0.16)2＋(-0.85+0.16)2＋(-0.30+0.16)2＋(0.45+0.16)2＋(0.82+0.16)2＋(0.12+0.16)2]＝0.4980.9、（ξ2ασu n-，ξ＋)2ασu n.10、（ξnS t 2*2α-，ξ＋)2*2nS t α.三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分） 1、解因∑=-412)(i iµξ＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.⼜ 1－α＝0.95，α＝0.05，查附表3得22αχ＝2025.0χ(4)＝11.143，221αχ-＝2975.0χ(4)＝0.484.故置信度为0.95的置信区间为（143.114.1，484.04.1），即（0.13，2.89）.2、解（35.83，252.43）.3、解设该⽇⽣产的铁⽔含碳量ξ～N （µ，2σ），已知σ＝ 0.108, n ＝9，则待检假设为Ho ：µ＝4.53, H 1：µ≠4.53. 当Ho 成⽴时，有统计量u ＝9/108.053.4-ξ～N （0，1）对于给定显著⽔平α＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得2αu ＝1.96，使得P （|u|>1.96）＝0.05.由样本观察值计算得x ＝4.49，于是有|u|＝|9/108.053.449.4-|＝1.11＜1.96，因⼩概率事件没有发⽣，故接受Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53.4、解设该⽇⽣产的维尼纶的纤度ξ～N （µ，2σ），已知µ＝1.405，σ＝0.048, n ＝5，则待检假设为Ho ：2σ＝0.0482，H 1：2σ≠0.0482.当Ho 成⽴时，有统计量2χ＝∑=-5122048.0)405.1(i i ξ～2χ(5）.对于给定显著⽔平α＝0.05，查2χ分布临界值表（附表3）得22αχ＝12.833和221αχ-＝0.83使得P （2χ＞12.833）＝2α，P （2χ＜0.83)＝2α.由样本观察值计算2χ得，2χ＝13.683. 于是有2χ＝13.683＞12.833因⼩概率事件发⽣，故拒绝Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的维尼纶的纤度的均⽅差不正常.四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、略. 2、略。

概率论与数理统计模拟试题5套带答案

06—07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题（每题3分，共15分）1. 设A,B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________. 2。

已知),2(~2σN X,且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________。

3。

设X 与Y 相互独立,且2)(=X E ,()3E Y =，()()1D X D Y ==，则=-])[(2Y X E ___4。

设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从__________分布。

5。

设),3(~),,2(~p B Y p B X,且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P __________。

二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】(A) 11a a b -+-；(B) (1)()(1)a a ab a b -++-；（C ） a a b +；(D)2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【】（A ） 2; (B)12; （C) 3; （D ）13。

3．设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是【】()A ()()B P A P -=1；()B ()0=B A P ；()C ()1=B A P ；()D ()0=AB P ．4。

设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是【】 ()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；()B []π,0; ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ． 5。

设()2,~σμN X ,b aX Y -=，其中a 、b 为常数,且0≠a ，则~Y 【】()A ()222,b a b a N +-σμ; ()B ()222,b a b a N -+σμ；()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -．三、（本题满分8分) 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0。

长沙理工大学概率论与数理统计B试卷及参考答案19

长沙理工大学考试试卷……………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 19 拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名 ……………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次）概率论与数理统计B 课程代号专业层次（本、专）本科（城南）考试方式（开、闭卷）闭 ______________________________________________________________________________________一选择题（本大题总分20分，每小题5分）1. 设P(A)=a,P(B)=b,P(A ∪B)=c ，则P(A B )为( )。

(A) a-b (B) c-b (C) a(1-b) (D) b-a 2. 设随机变量X ，Y 同分布，概率密度为22()0x f x θ⎧=⎨⎩ 10x θ<<其他使1((2))E C X Y θ+=，则C 的值为（）。

（A ）12 （B ）13 （C ）212θ （D ） 23θ3. 在总体N(52, 6.32)中随机抽取容量为36的一个样本，则样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率为( )。

（A ）0.7928 （B ）0.8293 （C ）0.8105 （D ）0.75624. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～),(1p n B ，Y ～),(2p n B ，则X+Y 的分布是（）(A) ),(21p n n B + (B) )2,(21p n n B + (C) )2,(1p n B (D) )2,(2p n B 二填空题（本大题共10分，每空2分） 5.设随机变量ξ的分布列为： {}15kP k ξ==1,2,3,4,5.k = ____________________________________________________________________________________第 1 页（共 2 页）则（1）P(ξ=1或ξ=2)= （）, （2）P(0.5<ξ<2.5) = （） . 6. 已知X 的密度函数为 221()xx f x-+-=x -∞<<+∞，则EX= （）；DX= ( ) . 7. 设EX=1，EY=2，DX=1，DY=4,XY ρ=0.6，则E （2X-Y+1）2= ( ).三计算题（本大题共60分，每题12分）8. 一批产品20件，其中3件次品. 任取10件，求(1)其中恰有一件次品的概率；（2）至少有一件次品的概率.9. 假设某地在任何长为t （周）的时间内发生地震的次数N （t ）服从参数为t λ的泊松分布。

概率论与数理统计练习册(理工类) - 第7章答案

−θ (
e
∑ xi )
i =1
n
1
, 1 ), xi
2n ln θ − 3(ln( x1 xn )) − θ (∑ 取对数 ln L =
i =1
n
n 1 d ln L 2n n 1 ˆ= 0, 则θ 2n / ∑ . = −∑ = 两边求导得 dθ xi θ i 1= i 1 xi =
*4. 设 x1 , x2 , , xn 为来自正态总体 N ( µ0 , σ 2 ) 的简单随机样本，其中 µ0 已知，σ >0 未知， X 和
32
概率论与数理统计练习题
系专业班姓名第七章参数估计 §7.3 区间估计
2从正态分布 X ~ N ( µ , σ ) ，其中 µ 未知，σ 已知， X 1 , X 2 , , X n 为样本，则 µ 的置信水平为 0.95 的置信区间是 (A) ( X − Z 0.95 [ D (B) ( X − Z 0.05 ]
σ
n
, X + Z 0.95
σ
n
)
σ
n
, X + Z 0.05
σ
n
)
(C) ( X − Z 0.975
σ
n
, X + Z 0.975
σ
n
)
2
(D) ( X − Z 0.025
2
σ
n
, X + Z 0.025
σ
n
)
2．设总体 X 服从正态分布 X ~ N ( µ , σ ) ，其中 µ 和 σ 都未知， X 1 , X 2 , , X n 为样本，则 µ 的置信水平为 0.95 的置信区间是 (A) ( X − t0.95 (n − 1) [ (B) ( X − t0.05 (n − 1) D ]

概率论与数理统计第七章参数估计习题答案

概率论与数理统计第七章参数估计习题答案
3028701.设总体X 服从二项分布B(n,p),n已知,X1,X 2,L,X n为来自X的样本求参数p的矩法估计. 解：E( X ) = np, E( X ) = A1 = X ,\ np = X . \ p的矩估计量 pˆ = X n
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3028702.设总体X的密度函数（f x,q）= ìïíq22 (q - x), 0 < x < q ,
n
-q
-q xi
i=1
i =1
i =1
0 < x < 1, 其他.
n
g = ln L = n lnq -q å xi
i =1
由 dg
å å dq
=
d ln L dq
=n q
-
n i =1
xi
= 0知qˆ
=
n
n
xi
所以q的极大似然估计量为qˆ = 1 . i=1
X
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3028703.设总体X
（2）求s 2的置信概率为0.95的置信区间.
解：x = 76.6, s = 18.14,a = 1- 0.95 = 0.05, n = 20,
ta
/2
(n
-1)
=
t0.025
(19)
=
2.093,
c2 a /2
(n
-1)
=
c2 0.025
(19)
=
32.852,
c2 0.975
(19)
=
8.907
i =1
n
ln L = n lnq + (q -1) ln Õ xi
i =1