行列式的性质与计算方法

行列式的性质与计算方法
行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。

它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。

一、行列式的性质
1. 行列式与转置矩阵
矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即
$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$
2. 行列式的行列互换
行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。

行列互换会改变行列式的符号，即
$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$
其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。

3. 行列式的元素线性组合
如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即
$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}
& {a_{j}} & {\cdots} &
{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &
{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &
{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}
& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &
{a_{j}}\end{array}\right|$
4. 行列式的行列成比例
如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即
$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\
{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$
其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},
a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。

二、行列式的计算方法
1. 二阶和三阶行列式
对于$n=2$的情况，行列式的计算公式为
$\left|\begin{array}{ll}{a_{1 1}} & {a_{1 2}} \\ {a_{2 1}} &
{a_{2 2}}\end{array}\right|=a_{1 1} a_{2 2}-a_{1 2} a_{2 1}$对于$n=3$的情况，行列式的计算公式为
$\left|\begin{array}{lll}{a_{1 1}} & {a_{1 2}} & {a_{1 3}} \\
{a_{2 1}} & {a_{2 2}} & {a_{2 3}} \\ {a_{3 1}} & {a_{3 2}} &
{a_{3 3}}\end{array}\right|=a_{1 1} a_{2 2} a_{3 3}+a_{1 2} a_{2 3} a_{3 1}+a_{1 3} a_{2 1} a_{3 2}-a_{1 3} a_{2 2} a_{3 1}-a_{1 1}
a_{2 3} a_{3 2}-a_{1 2} a_{2 1} a_{3 3}$
2. 行列式的消元法
对于$n\geq 4$的情况，我们可以使用行列式的消元法来计算行列式的值。

消元法的基本思路就是通过行变换将矩阵化为一个三
角矩阵，然后求出三角矩阵的行列式。

我们以$n=4$的情况为例来说明消元法。

先将矩阵化为阶梯形式
$$\left(\begin{array}{llll}{a_{1 1}} & {a_{1 2}} & {a_{1 3}} & {a_{1 4}} \\ {0} & {a_{2 2}} & {a_{2 3}} & {a_{2 4}} \\ {0} & {0} & {a_{3 3}} & {a_{3 4}} \\ {0} & {0} & {0} & {a_{4
4}}\end{array}\right)$$
接着，将矩阵中的某一行上面的元素全部消为$0$，得到新矩阵
$$\left(\begin{array}{llll}{a_{1 1}} & {a_{1 2}} & {a_{1 3}} & {a_{1 4}} \\ {0} & {a_{2 2}} & {a_{2 3}} & {a_{2 4}} \\ {0} & {0} & {a_{3 3}} & {a_{3 4}} \\ {0} & {0} & {0} & {a_{4
4}}\end{array}\right)$$
重复上述步骤，直到最后剩下一个三角矩阵。

此时，三角矩阵的行列式就等于原矩阵的行列式。

三、总结
行列式是矩阵的一个标量，它具有一些重要的性质，例如与转置矩阵等价、通过行列互换改变符号等。

对于小规模的矩阵，我们可以使用计算公式来求出行列式的值；对于大规模的矩阵，我们可以使用消元法来计算行列式的值。

行列式在线性代数中有许多应用，例如用来求解线性方程组的解、判断矩阵是否可逆等。