河北省衡水中学2021-2022学年高三上学期六调考试数学试题(含答案解析)
河北省衡水中学2023届高三(上)六调数学试卷(解析版)(理科)
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科） 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．已知,则复数z=（ ）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i2．已知命题p:∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0,则￢p是（ ）A．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．已知已知f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,当x∈[2,3]时,f（x）=log2（x﹣1）,则f（）=（ ）A．log27﹣log23B．log23﹣log27C．log23﹣2D．2﹣log234．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M,N两点,若,则k 地取值范围是（ ）A．B．C．D．5．如图,若n=4时,则输出地结果为（ ）A．B．C．D．6．已知一个底面为正六边形,侧棱长都相等地六棱锥地正视图与俯视图如下图所示,若该几何体地底面边长为2,侧棱长为,则该几何体地侧视图可能是（ ）A．B．C．D．7．已知A,B为双曲线E地左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E地离心率为（ ）A．B．2C．D．8．已知x,y满足约束条件,则z=2x﹣3y地最小值为（ ）A．﹣6B．﹣4C．﹣3D．﹣29．已知向量,满足||=1,||=2,﹣=（,）,则|+2|=（ ）A．B．C．D．=a n+n+1,则10．若数列{a n}满足a1=1,且对于任意地n∈N*都有a n+1等于（ ）A．B．C．D．11．如图是函数f（x）=x2+ax+b地部分图象,则函数g（x）=lnx+f′（x）地零点所在地区间是（ ）A．（）B．（1,2）C．（,1）D．（2,3）12．已知函数,若关于x地方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等地实数根,则实数m地取值范围为（ ）A．B．C．D．二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分,将解析填在答题纸上13．如图,利用随机模拟地方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成地阴影部分地面积S:①先产生两组0～1地增均匀随机数,a=rand （ ）,b=rand （ ）；②产生N个点（x,y）,并统计满足条件地点（x,y）地个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1000时,N1=332,则据此可估计S地值为 ．（保留小数点后三位）14．《九章算术》是我国古代数学成就地杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用地经验公式为:弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田,由圆弧和其所对弦所围成．公式中"弦"指圆弧对弦长,"矢"等于半径长与圆心到弦地距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π,弦长等于9米地弧田．按照《九章算术》中弧田面积地经验公式计算所得弧田面积与实际面积地差为 ．15．已知{a n}满足,类比课本中推导等比数列前n项和公式地方法,可求得= ．16．已知三棱锥O﹣ABC,∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,其中AB=,AC= ,O,A,B,C四点均在球S地表面上,则球S地表面积为 ．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,D是边AB上一点．（1）求△ABC面积地最大值；（2）若CD=2,△ACD地面积为4,∠ACD为锐角,求BC地长．18．（12分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠ADC=∠BCD=90°,BC=2,,PD=4,∠PDA=60°,且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证:AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M,使二面角M﹣BC﹣D地大小为,若存在,求地值；若不存在,请说明理由．19．（12分）某校高三一次月考之后,为了为解数学学科地学习情况,现从中随机抽出若干名学生此次地数学成绩,按成绩分组,制成了下面频率分布表:组号分组频数频率第一组[90,100）50.05第二组[100,110）350.35第三组[110,120）300.30第四组[120,130）200.20第五组[130,140）100.10合计100 1.00（1）试估计该校高三学生本次月考地平均分；（2）如果把表中地频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩地概率,那么从所有学生中采用逐个抽取地方法任意抽取3名学生地成绩,并记成绩落在[110,130）中地学生数为ξ,求:①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中地概率；②ξ地分布列和数学期望．（注:本小题结果用分数表示）20．（12分）已知抛物线C:x2=2py（p＞0）地焦点为F,过抛物线上一点P作抛物线C地切线l交x轴于点D,交y轴于点Q,当|FD|=2时,∠PFD=60°．（1）判断△PFQ地形状,并求抛物线C地方程；（2）若A,B两点在抛物线C上,且满足,其中点M（2,2）,若抛物线C上存在异于A、B地点H,使得经过A、B、H三点地圆和抛物线在点H处有相同地切线,求点H地坐标．21．（12分）设函数f（x）=lnx,g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时,函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处地切线互相垂直,求n地值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调,求m﹣n地取值范围；（3）是否存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在,求出满足条件地实数a；若不存在,请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同地长度单位,以原点为极点,以x 轴正半轴为极轴,曲线C1地极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2地参数方程为（t为参数,0≤α＜π）,射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A,B,C．（1）求证:；（2）当时,B,C两点在曲线C2上,求m与α地值．[选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2,解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x,使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立,求实数a地取值范围． 2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．已知,则复数z=（ ）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、共轭复数地定义即可得出．【解答】解:,∴=（1+i）（2+i）=1+3i．则复数z=1﹣3i．故选:A．【点评】本题考查了复数地运算法则、共轭复数地定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．2．已知命题p:∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0,则￢p是（ ）A．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【考点】命题地否定．【分析】由题意,命题p是一个全称命题,把条件中地全称量词改为存在量词,结论地否定作结论即可得到它地否定,由此规则写出其否定,对照选项即可得出正确选项【解答】解:命题p:∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题,其否定是一个特称命题,故¬p:∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选:C．【点评】本题考查命题否定,解题地关键是熟练掌握全称命题地否定地书写规则,本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误,学习时要注意准确把握规律．3．已知已知f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,当x∈[2,3]时,f（x）=log2（x﹣1）,则f（）=（ ）A．log27﹣log23B．log23﹣log27C．log23﹣2D．2﹣log23【考点】函数地周期性；函数奇偶性地性质；函数地图象．【分析】由f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,可知f（4+x）=f（x）,于是f （）=f（4）=﹣f（2）=log23﹣2,从而可得解析．【解答】解:∵f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x）,∴f（4+x）=f（x）,即f（x）是以4为周期地函数；∴f（）=f（4）；又f（2﹣x）=f（x）,∴f（﹣2）=f（4）=f（）；又当x∈[2,3]时,f（x）=log2（x﹣1）,f（x）是奇函数,∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2,∴f（）=log23﹣2．故选C．【点评】本题考查函数地周期性与奇偶性,求得f（）=﹣f（2）是关键,也是难点,考查综合分析与转化地能力,属于中档题．4．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M,N两点,若,则k 地取值范围是（ ）A．B．C．D．【考点】直线和圆地方程地应用．【分析】直线与圆相交,有两个公共点,设弦长为L,弦心距为d,半径为r,则可构建直角三角形,从而将问题仍然转化为点线距离问题．【解答】解:圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4地圆心为（2,3）,半径等于2,圆心到直线y=kx+3地距离等于d=由弦长公式得MN=2≥2,∴≤1,解得,故选B．【点评】利用直线与圆地位置关系,研究参数地值,同样应把握好代数法与几何法． 5．如图,若n=4时,则输出地结果为（ ）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中地程序语句可知:该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量S地值,模拟程序地运行过程,分析循环中各变量值地变化情况,可得解析．【解答】解:输入n=4,i=1,s=0,s=,i=2≤4,s=+,i=3≤4,s=++,i=4≤4,s=+++,i=5＞4,输出s=（1﹣）=,故选:C．【点评】本题考查了程序框图地应用问题,解题时应模拟程序框图地运行过程,以便得出正确地结论,是基础题．6．已知一个底面为正六边形,侧棱长都相等地六棱锥地正视图与俯视图如下图所示,若该几何体地底面边长为2,侧棱长为,则该几何体地侧视图可能是（ ）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用该几何体地底面边长为2,侧棱长为,可得该几何体地高为,底面正六边形平行两边之间地距离为2,即可得出结论．【解答】解:∵该几何体地底面边长为2,侧棱长为,∴该几何体地高为=,底面正六边形平行两边之间地距离为2,∴该几何体地侧视图可能是C,故选:C．【点评】本题考查三视图,考查学生地计算能力,比较基础．7．已知A,B为双曲线E地左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E地离心率为（ ）A．B．2C．D．【考点】双曲线地简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1地左支上,由题意可得M地坐标为（﹣2a, a）,代入双曲线方程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解:设M在双曲线﹣=1地左支上,且MA=AB=2a,∠MAB=120°,则M地坐标为（﹣2a,a）,代入双曲线方程可得,﹣=1,可得a=b,c==a,即有e==．故选:D．【点评】本题考查双曲线地方程和性质,主要考查双曲线地离心率地求法,运用任意角地三角函数地定义求得M地坐标是解题地关键．8．已知x,y满足约束条件,则z=2x﹣3y地最小值为（ ）A．﹣6B．﹣4C．﹣3D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域,利用目标函数地几何意义求最小值．【解答】解:由约束条件得到可行域如图:z=2x﹣3y变形为y=x﹣,当此直线经过图中B（1,2）时,在y轴地截距最大,z最小,所以z地最小值为2×1﹣3×2=﹣4；故选:B．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域,利用目标函数地几何意义求最值是常规方法．9．已知向量,满足||=1,||=2,﹣=（,）,则|+2|=（ ）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积地运算；向量地模．【分析】利用向量地数量积运算即可得出．【解答】解:向量,满足||=1,||=2,﹣=（,）,可得|﹣|2=5,即||2+||2﹣2•=5,解得•=0．|+2|2=||2+4||2﹣4•=1+16=17．|+2|=．故选:C．【点评】熟练掌握向量地数量积运算是解题地关键．=a n+n+1,则10．若数列{a n}满足a1=1,且对于任意地n∈N*都有a n+1等于（ ）A．B．C．D．【考点】数列地求和．﹣a n=n+1,给n具体值列出n﹣1个式子,再他们加起【分析】由所给地式子得a n+1来,求出a n,再用裂项法求出,然后代入进行求值地值,【解答】由a n +1=a n +n +1得,a n +1﹣a n =n +1,则a 2﹣a 1=1+1,a 3﹣a 2=2+1,a 4﹣a 3=3+1…a n ﹣a n ﹣1=（n ﹣1）+1,以上等式相加,得a n ﹣a 1=1+2+3+…+（n ﹣1）+n ﹣1,把a 1=1代入上式得,a n =1+2+3+…+（n ﹣1）+n==2（）则=2[（1﹣）+（）+…+（）=2（1﹣）=,故解析选:C ．【点评】本题主要考察数列地求和、利用累加法求数列地通项公式,以及裂项相消法求数列地前n 项和,这是数列常考地方法,需要熟练掌握,属于中档题． 11．如图是函数f （x ）=x 2+ax +b 地部分图象,则函数g （x ）=lnx +f′（x ）地零点所在地区间是（ ）A ．（）B ．（1,2）C ．（,1）D ．（2,3）【考点】函数零点地判定定理．【分析】由二次函数图象地对称轴确定a 地范围,据g （x ）地表达式计算g （）和g （1）地值地符号,从而确定零点所在地区间．【解答】解:由函数f （x ）=x 2+ax +b 地部分图象得0＜b ＜1,f （1）=0,即有a=﹣1﹣b,从而﹣2＜a＜﹣1,而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增,g（）=ln+1+a＜0,由函数f（x）=x2+ax+b地部分图象,结合抛物线地对称轴得到:0＜﹣＜1,解得﹣2＜a＜0,∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0,∴函数g（x）=lnx+f′（x）地零点所在地区间是（,1）；故选C．【点评】本题主要考查了导数地运算,以及函数零点地判断,同时考查了运算求解能力和识图能力,属于基础题．12．已知函数,若关于x地方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等地实数根,则实数m地取值范围为（ ）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数地极值；根地存在性及根地个数判断．【分析】求函数地导数,判断函数地取值情况,设m=f（x）,利用换元法,将方程转化为一元二次方程,利用根地分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解:化简可得f（x）=,当x＞0时,f（x）≥0,f′（x）===,当0＜x＜时,f′（x）＞0,当x＞时,f′（x）＜0,故当x=时,函数f（x）有极大值f（）====；当x＜0时,f′（x）==＜0,f（x）为减函数,作出函数f（x）对应地图象如图:∴函数f（x）在（0,+∞）上有一个最大值为f（）=；设t=f（x）,当t＞时,方程t=f（x）有1个解,当t=时,方程t=f（x）有2个解,当0＜t＜时,方程t=f（x）有3个解,当t=0时,方程t=f（x）有1个解,当t＜0时,方程m=f（x）有0个解,则方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0等价为t2﹣mt+m﹣1=0,等价为方程t2﹣mt+m﹣1=（t﹣1）[t﹣（m﹣1）]=0有两个不同地根t=1,或t=m﹣1,当t=1时,方程t=f（x）有1个解,要使关于x地方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等地实数根,则t=m﹣1∈（0,）,即0＜m﹣1＜,解得1＜m＜+1,则m地取值范围是（1, +1）故选:A【点评】本题考查了根地存在性及根地个数地判断,考查了利用函数地导函数分析函数地单调性,考查了学生分析问题和解决问题地能力,利用换元法转化为一元二次方程,是解决本题地关键．二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分,将解析填在答题纸上13．如图,利用随机模拟地方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成地阴影部分地面积S:①先产生两组0～1地增均匀随机数,a=rand （ ）,b=rand （ ）；②产生N个点（x,y）,并统计满足条件地点（x,y）地个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1000时,N1=332,则据此可估计S地值为 1.328 ．（保留小数点后三位）【考点】几何概型．【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计,满足条件地点（x,y）地概率,再转化为几何概型地面积类型求解．【解答】解:根据题意:满足条件地点（x,y）地概率是,矩形地面积为4,设阴影部分地面积为s则有=,∴S=1.328．故解析为:1.328．【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型,将两者建立关系,引入方程思想．14．《九章算术》是我国古代数学成就地杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用地经验公式为:弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田,由圆弧和其所对弦所围成．公式中"弦"指圆弧对弦长,"矢"等于半径长与圆心到弦地距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π,弦长等于9米地弧田．按照《九章算术》中弧田面积地经验公式计算所得弧田面积与实际面积地差为 +﹣9π ．【考点】函数模型地选择与应用．【分析】利用扇形地面积公式,计算扇形地面积,从而可得弧田地实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）,从而可求误差．【解答】解:扇形半径r=3扇形面积等于=9π（m2）弧田面积=9π﹣r2sin=9π﹣（m2）圆心到弦地距离等于,所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）=（9×+）=（+）．∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣﹣平方米．故解析为: +﹣9π．【点评】本题考查扇形地面积公式,考查学生对题意地理解,考查学生地计算能力,属于中档题．15．已知{a n}满足,类比课本中推导等比数列前n项和公式地方法,可求得= ．【考点】类比推理．【分析】先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1两边同乘以4,再相加,求出其和地表达式,整理即可求出5S n﹣4n a n地表达式,即可求出．【解答】解:由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得:5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•4n=a1+4×++…+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n．故=,故解析为．【点评】本题主要考查数列地求和,用到了类比法,是一道比较新颖地好题目,关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式地方法地理解和掌握．16．已知三棱锥O﹣ABC,∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,其中AB=,AC= ,O,A,B,C四点均在球S地表面上,则球S地表面积为 14π ．【考点】球地体积和表面积．【分析】根据∠BOC=90°且OA⊥平面BOC,得到三棱锥地三条侧棱两两垂直,以三条侧棱为棱长得到一个长方体,由圆地对称性知长方体地各个顶点都在这个球上,长方体地体积就是圆地直径,求出直径,得到圆地面积．【解答】解:∵∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,∴三棱锥地三条侧棱两两垂直,∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体,由圆地对称性知长方体地各个顶点都在这个球上,∴球地直径是,∴球地半径是∴球地表面积是=14π,故解析为:14π【点评】本题考查球地体积与表面积,考查球与长方体之间地关系,考查三棱锥与长方体之间地关系,本题考查几何中常用地一种叫补全图形地方法来完成,本题非常值得一做．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）如图,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,D 是边AB上一点．（1）求△ABC面积地最大值；（2）若CD=2,△ACD地面积为4,∠ACD为锐角,求BC地长．【考点】余弦定理．【分析】（1）在△ABC中,由余弦定理,基本不等式可求,进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC地面积地最大值．（2）设∠ACD=θ,由已知及三角形面积公式可求sinθ,进而利用同角三角函数基本关系式可求cosθ,利用余弦定理可求AD地值,进而利用正弦定理可求BC地值．【解答】解:（1）∵在△ABC中,,∴由余弦定理,得AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=,∴,当且仅当AB=BC时,取等号,∴,∴△ABC地面积地最大值为；（2）设∠ACD=θ,在△ACD中,∵CD=2,△ACD地面积为4,∠ACD为锐角,∴,∴,∴,由余弦定理,得,∴AD=4．由正弦定理,得,∴,∴,此时,∴,∴BC地长为4．【点评】本题主要考查了余弦定理,基本不等式,三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,正弦定理在解三角形中地综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题．18．（12分）（2016秋•普宁市校级期末）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD 为直角梯形,∠ADC=∠BCD=90°,BC=2,,PD=4,∠PDA=60°,且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证:AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M,使二面角M﹣BC﹣D地大小为,若存在,求地值；若不存在,请说明理由．【考点】与二面角有关地立体几何综合题；空间中直线与直线之间地位置关系．【分析】（I）过B作BO∥CD,交AD于O,连接OP,则AD⊥OB,由勾股定理得出AD⊥OP,故而AD⊥平面OPB,于是AD⊥PB；（II）以O为原点建立坐标系,设M（m,0,n）,求出平面BCM地平面ABCD地法向量,令|cos＜＞|=cos解出n,从而得出地值．【解答】证明:（I）过B作BO∥CD,交AD于O,连接OP．∵AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°,CD∥OB∴四边形OBCD是矩形,∴OB⊥AD．OD=BC=2,∵PD=4,∠PDA=60°,∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2,∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB,OB⊂平面OPB,OP∩OB=O,∴AD⊥平面OPB,∵PB⊂平面OPB,∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OA⊥AD,∴OP⊥平面ABCD．以O为原点,以OA,OB,OP为坐标轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则B（0,,0）,C（﹣2,,0）,假设存在点M（m,0,n）使得二面角M﹣BC﹣D地大小为,则=（﹣m,,﹣n）,=（﹣2,0,0）．设平面BCM地法向量为=（x,y,z）,则．∴,令y=1得=（0,1,）．∵OP⊥平面ABCD,∴=（0,0,1）为平面ABCD地一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．【点评】本题考查了线面垂直地判定与性质,空间向量地应用与二面角地计算,属于中档题．19．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）某校高三一次月考之后,为了为解数学学科地学习情况,现从中随机抽出若干名学生此次地数学成绩,按成绩分组,制成了下面频率分布表:组号分组频数频率第一组[90,100）50.05第二组[100,110）350.35第三组[110,120）300.30第四组[120,130）200.20第五组[130,140）100.10合计100 1.00（1）试估计该校高三学生本次月考地平均分；（2）如果把表中地频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩地概率,那么从所有学生中采用逐个抽取地方法任意抽取3名学生地成绩,并记成绩落在[110,130）中地学生数为ξ,求:①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中地概率；②ξ地分布列和数学期望．（注:本小题结果用分数表示）【考点】离散型随机变量地期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）计算本次月考数学学科地平均分即可；（2）由表知成绩落在[110,130）中地概率,①利用相互独立事件地概率计算"在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中"地概率值；②由题意ξ地可能取值为0,1,2,3；计算对应地概率值,写出ξ地分布列与数学期望．【解答】解:（1）本次月考数学学科地平均分为=；（2）由表知,成绩落在[110,130）中地概率为P=,①设A表示事件"在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中",则,所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中地概率为；②ξ地可能取值为0,1,2,3；且,,,；∴ξ地分布列为ξ0123P数学期望为．（或,则．【点评】本题考查了离散型随机变量地分布列与数学期望地应用问题,是基础题．20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知抛物线C:x2=2py（p＞0）地焦点为F,过抛物线上一点P作抛物线C地切线l交x轴于点D,交y轴于点Q,当|FD|=2时,∠PFD=60°．（1）判断△PFQ地形状,并求抛物线C地方程；（2）若A,B两点在抛物线C上,且满足,其中点M（2,2）,若抛物线C上存在异于A、B地点H,使得经过A、B、H三点地圆和抛物线在点H处有相同地切线,求点H地坐标．【考点】直线与抛物线地位置关系．【分析】（1）设P（x1,y1）,求出切线l地方程,求解三角形地顶点坐标,排除边长关系,然后判断三角形地形状,然后求解抛物线方程．（2）求出A,B地坐标分别为（0,0）,（4,4）,设H（x0,y0）（x0≠0,x0≠4）,求出AB地中垂线方程,AH地中垂线方程,解得圆心坐标,由,求解H点坐标即可．【解答】解:（1）设P（x1,y1）,则切线l地方程为,且,所以,,所以|FQ|=|FP|,所以△PFQ为等腰三角形,且D为PQ地中点,所以DF⊥PQ,因为|DF|=2,∠PFD=60°,所以∠QFD=60°,所以,得p=2,所以抛物线方程为x2=4y；（2）由已知,得A,B地坐标分别为（0,0）,（4,4）,设H（x0,y0）（x0≠0,x0≠4）,AB地中垂线方程为y=﹣x+4,①AH地中垂线方程为,②联立①②,解得圆心坐标为:,k NH==,由,得,因为x0≠0,x0≠4,所以x0=﹣2,所以H点坐标为（﹣2,1）．【点评】本题考查直线与抛物线地位置关系地应用,直线与圆地位置关系,考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2015•盐城三模）设函数f（x）=lnx,g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时,函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处地切线互相垂直,求n地值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调,求m﹣n地取值范围；（3）是否存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在,求出满足条件地实数a；若不存在,请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中地应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）地导数,求得在x=1处切线地斜率,由两直线垂直地条件,解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）地导数,可得,得地最小值为负,运用基本不等式即可求得m﹣n地范围；（3）假设存在实数a,运用构造函数,求出导数,求得单调区间和最值,结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解:（1）当m=1时,,∴y=g（x）在x=1处地切线斜率,由,∴y=f（x）在x=1处地切线斜率k=1,∴,∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）地定义域为（0,+∞）,又,由题意,得地最小值为负,∴m（1﹣n）＞4,由m＞0,1﹣n＞0,∴,∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4,∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=,其中x＞0,a＞0,则θ'（x）=,设,∴δ（x）在（0,+∞）单调递减,δ（x）=0在区间（0,+∞）必存在实根,不妨设δ（x0）=0,即,可得（*）θ（x）在区间（0,x0）上单调递增,在（x0,+∞）上单调递减,所以θ（x）max=θ（x0）,θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0,代入（*）式得,根据题意恒成立．又根据基本不等式,,当且仅当时,等式成立即有,即ax0=1,即．代入（*）式得,,即,解得．解法二、假设存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）,其中x＞0,a＞0根据条件对任意正数x恒成立,即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立,∴且,解得且,即时上述条件成立,此时．解法三、假设存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）,其中x＞0,a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立,等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立,即对任意正数x恒成立,设函数,则φ（x）地函数图象为开口向上,与x正半轴至少有一个交点地抛物线,因此,根据题意,抛物线只能与x轴有一个交点,即,所以．【点评】本题考查导数地运用:求切线地斜率和单调区间、极值和最值,主要考查函数地单调性地运用,以及不等式恒成立思想地运用,考查运算能力,具有一定地综合性．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•桃城区校级月考）极坐标系与直角坐标系xOy有相同地长度单位,以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线C1地极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2地参数方程为（t为参数,0≤α＜π）,射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A,B,C．（1）求证:；（2）当时,B,C两点在曲线C2上,求m与α地值．【考点】简单曲线地极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）依题意|OA|=4sinφ,,利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为,命题得证．（2）当时,B,C两点地极坐标分别为,再把它们化为直角坐标,根据C2是经过点（m,0）,倾斜角为α地直线,又经过点B,C地直线方程为,由此可得m及直线地斜率,从而求得α地值．【解答】（1）证明:依题意|OA|=4sinφ,,则=；（2）解:当时,B,C两点地极坐标分别为,化为直角坐标为,曲线C2是经过点（m,0）,且倾斜角为α地直线,又因为经过点B,C地直线方程为,所以．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程,把点地极坐标化为直角坐标,直线地倾斜角和斜率,属于中档题．[选修4-5:不等式选讲]23．（2016•中山市二模）已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2,解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x,使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立,求实数a地取值范围．【考点】绝对值不等式地解法．【分析】（1）通过讨论x地范围,得到关于x地不等式组,解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性地问题,须求出不等式左边地最大值,可运用绝对值不等式地性质可得最大值,再令其大于等于a,即可解出实数a地取值范围．【解答】解:（1）a=2时:f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3,或或,解得:﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立,即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a,由绝对值不等式地性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|,即有f（x）地最大值为|a+6|,∴或,解得:a≥﹣．【点评】本题考查绝对值不等式,求解本题地关键是正确理解题意,区分存在问题与恒成立问题地区别,本题是一个存在问题,解决地是有地问题,本题是一个易错题,主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解,因思维错误导致错误．。
河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)
河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合3(1)(4)ln log (1)x x M x y x ⎧⎫--==⎨⎬-⎩⎭∣，{}2R 4N yy =>∣ð，则（）A ．2M N∈⋂B ．{[2,2](4,)}M N aa ∞⋃=∈-⋃+∣C ．{(,2)(2,)}N aa ∞∞=∈-⋃+∣D ．()R {[2,1]}M N aa ⋂=∈-∣ð2．若i 1|1|i -=--z z ，则||z z -=（）A ．1BC ．2D ．123．在△ABC 中，O 为重心，D 为BC 边上近C 点四等分点，DO mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r，则m＋n ＝（）A ．13B ．13-C ．53D ．53-4．一个灯罩可看作侧面有布料的圆台，在原形态下测得的布料最短宽度为13，将其压扁变为圆环，测得布料最短宽度为5，则灯罩占空间最小为（）A ．175πB ．325π3C ．100πD ．不存在5．若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．3406．已知函数()πsin ,(0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭将其向右平移π3个单位长度后得到()g x ，若()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，则()f x 一定满足的单调递增区间为（）A ．4π2π,5757⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．4π2π,3939⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3π5π,1313⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π7π,1919⎡⎤⎢⎣⎦7．已知0.99e 0.01100100e ,ln ,ln ln (0.99)9999a b a c c c -⎛⎫===-≠ ⎪⎝⎭，则（）A ． 1.01b a c >>>B ． 1.01b a c >>>C ． 1.01a b c>>>D ． 1.01a b c >>>8．若已知函数()e x af x +=，()lng x x ka =+，()0,a ∞∃∈+，若函数()()()F x f x g x =-存在零点（参考数据ln 20.70≈），则k 的取值范围充分不必要条件为（）A ．()0.7 1.3e ,eB ．)0.71,e⎡⎣C ．)2.23.1e ,e ⎡⎣D ．()1.32.2e ,e 二、多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，2,,,AB E F G =分别为棱1,,BB AB BC 中点，H 为1CC 近C 三等分点，P 在面11AA D D 上运动，则（）A ．1BC ∥平面1D FGB ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，则C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关C ．1BD EG⊥D ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r ，则P 10．若数列{}n a 有2142n n n a a a ++=-，n S 为{}2n a +前n 项积，{}n b 有112n n n n b b b b ++-=，则（）A ．(){}log log 2b a n a ⎡⎤+⎣⎦为等差数列（,0a b >）B ．可能()()21112n n n S a -=-+C ．1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．{}n b 第n 项可能与n 无关11．已知抛物线C ：22x py =，过点P （0，p ）直线{,}l C A B ⋂=，AB 中点为1Q ，过A ，B 两点作抛物线的切线121221,,,l l l l Q l y ⋂=⋂轴＝N ，抛物线准线与2Q P 交于M ，下列说法正确的是（）A ．21Q Q x ⊥轴B ．O 为PN 中点C ．22AQ BQ ⊥D ．M 为2PQ 近2Q 四等分点12．已知奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos sin 0f x x f x x '+>，当π2x →时，()2cos f x x →，下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2π的函数B ．()cos f x x 是最小正周期为2π的函数C ．()cos f x x关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称D ．直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，则4444,,3553k ππππ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、填空题13．6212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中常数项是_________．（写出数字）14．若⊙C ：()()221x a y b -+-=，⊙D ：()()22684x y -+-=，M ，N 分别为⊙C ，⊙D上一动点，MN 最小值为4，则34a b +取值范围为_________．15．已知双曲线22221x y a b-=，1F ，2F 分别为双曲线左右焦点，2F 作斜率为a b -的直线交by x a=于点A ，连接1AF 交双曲线于点B ，若21AB AF BF ==，则双曲线的离心率_________．16．已知函数()ln cos f x x kx x =+-，1212(0,,,)x x x x ∀∈∞≠+，使得()()12123f x f x x x ->-，k 的取值范围为_________．四、解答题17．已知O 为△ABC 外心，S 为△ABC 面积，r 为⊙O 半径，且满足()2222342cos cos 23CB AO r A B a S⋅+---=uu r uuu r (1)求∠A 大小；(2)若D 为BC 上近C 三等分点（即13CD BC =），且AD =S 最大值．18．张老师在2022年市统测后统计了1班和3班的数学成绩如下图所示22()()()()()n ad bc K a b b d c d a c -=++++，n a b c d =+++，()20P K k ≥0.0500.0250.0100.0050.0010k 3.8415.0246.6357.87910.828(1)根据卡方独立进行检验，说明是否有99.9%的把握数学成绩与班级有关；(2)现在根据分层抽样原理，从1班和3班中抽取10人，再让数学评价优秀的同学辅导一位数学评价一般的同学，每个人必有一人辅异，求在抽到甲辅导乙的情况下丙辅导丁的概率．(3)以频率估计概率，若从全年级中随机抽取3人，求至少抽到一人数学成绩为优秀的概率．(4)以频率估计概率，若从三班中随机抽取8人，求抽到x 人数学成绩为优秀的分布列（列出通式即可）及期望()E x ，并说明x 取何值时概率最大．19．在△ABC 中，π3BAC ∠=，A 、B 、C 、D 四点共球，R （已知）为球半径，O 为球心，O '为ABC 外接圆圆心，r （未知）为⊙O '半径．(1)求()max A BCD V -和此时O 到面ABC 距离h ；(2)在()max A BCD V -的条件下，面OAB （可以无限延伸）上是否存在一点K ，使得KC ⊥平面OAB ？若存在，求出K 点距OO '距离1d 和K 到面ABC 距离2d ，若不存在请给出理由．20．在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n 项和：形如()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如()()122121nn nn b +=++的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：错位相减：设11(1)n n a a q q -=≠，()()1212111,n nn n n S a a a a q q qS a q q q -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+()()()()11111(1)111n n n n n n q S a q q q a q q q a q --⎡⎤-=+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-=+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-⎣⎦111n n q S a q -=-综上：当中间项可以相消时，可将求解n S 的问题用错位相减化简裂项相消：设1111111(1)11n n n k k k n n n n n n n ++=-==-⇒-=-⇒=+++1n n n b k k 或1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列；①当1n k n =时，111n b n n =-+②当1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列时，()11111,1n n k k b n n n =++=-+；故可为简便计算省去②的讨论，111n n nS k k n +=-=+综上：可将求解n S 的问题用裂项相消转化为求解n k 的问题你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题：(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(3)融会贯通，求证：()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭前n 项和n T 满18n n S T +<．请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程．21．在平面直角坐标系中，12,F F 分别为(1,0)-，(1,0)，⊙()222:116x y F -+=，E 为⊙2F 上一点，C 为线段2EF 上一点，⊙C 过1F 和E ．(1)求C 点轨迹方程，并判断轨迹形状；(2)过12,F F 两直线12,l l 交C 分别于A 、B 和M 、N ，P ，Q 分别为AB 和MN 中点，求P 、Q 轨迹方程，并判断轨迹形状；(3)在（2）的条件下，若PQ //x 轴，12l l D ⋂=，求D 点轨迹方程，并判断轨迹形状．22．已知函数()11e ln-=-+kx f x x kx x.(1)求证：()0f x ≥；(2)若()0,x ∀∈+∞，都()211e ≥+f x ，求k 满足的取值范围．参考答案：1．B【分析】先求出集合,M N ，然后再逐个分析判断即可.【详解】由33(1)(4)0log (1)log (1)0x x x x --⎧>⎪-⎨⎪-≠⎩，得3(1)(4)log (1)011x x x x --->⎧⎨-≠⎩，解得>4x 或12x <<，所以{4M x x =>或}12x <<，因为{}2R 4N yy =>∣ð，所以{}{}2422N y y y y =≤=-≤≤，对于A ，因为(1,2)M N = ，所以2M N ∉⋂，所以A 错误，对于B ，因为{4M x x =>或}12x <<，{}22N y y =-≤≤，所以[2,2](4,)M N =-+∞ ，所以B 正确，对于C ，因为{}22N y y =-≤≤，所以C 错误，对于D ，因为{4M x x =>或}12x <<，所以R (,1][2,4]M =-∞ ð，因为{}22N y y =-≤≤，所以(){}R [2,1]2M N ⋂=-ðU ，所以D 错误，故选：B 2．A【分析】设i z a b =+，利用复数相等求出a b ，，即可求解.【详解】设i z a b =+，（,R,i a b ∈为虚数单位）.因为i 1|1|i -=--z z ,所以()1i=1a b +--，所以11a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以111i,1i 22z z =+=-，所以||i 1z z -==故选：A 3．B【分析】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，利用向量平面基本定理表示DO可得答案.【详解】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，所以()23213432=++=-+⨯+=+DB BA AE CB AB AB A DO DA CAO uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r ()()3115431212=--++=-AB AC AB AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r ，所以15,1212==-m n ，15112123+=-=-m n .故选：B.4．D【分析】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h ，由题意可知5R r -=，13l =，则12h =，利用圆台的体积公式求出体积表达式，利用二次函数的性质即可得到答案．【详解】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h由题意可知5R r -=，13l =，则12h ==则圆台的体积为()()()()2222211ππ124π315255353V h R r Rr r r r r r r ⎡=++=⨯⨯+⎤++=⎣⎦+++2512π25π2r ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当0r >时，V 单调递增，故V 不存在最小值．故选：D ．5．C【分析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；每种分组再分同学1安排的几位老师辅导解答.【详解】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C 6．A【分析】根据平移变换得函数()ππsin ,(0)36g x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，由()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得131922ω≤<，再求π6x ω+的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.【详解】解：有题意可得()πππsin ,(0)336g x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得πππ2ππ,36636x ωωω⎛⎫⎡⎤-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，所以9π2ππ13π2362ω≤+<，解得131922ω≤<，当4π2π,5757x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6576576x ππππωωω+∈-++而42[,[,)57657622ππππππωω-++⊂-，故A 正确，当4π2π,3939x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6396396x ππππωωω+∈-++而426351[,][,)3963967878ππππππωω-++⊂-，故B 不正确，当3π5π,1313x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π35[,]6136136x ππππωωω+∈++，而355298[,[,136136378ππππππωω++⊂，故C 不正确，当5π7π,1919x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π57[,]6196196x ππππωωω+∈++，而5721411[,][,)1961961143ππππππωω++⊂，故D 不正确，故选：A.7．D【分析】变形a ，b ，构造函数e ()ln xf x x x x=-+比较a ，b 的大小，构造函数()ln g x x x=-比较,e b 的大小，利用极值点偏移的方法判断1.01,c 的大小作答.【详解】依题意，0.99e 0.99a =，e 0.01ln 0.99e 10.99ln 0.99b =--=-+-，令e ()ln x f x x x x =-+，22e (1)1(e )(1)()1x x x x x f x x x x ---'=-+=，当01x <<时，e 10x x >>>，即()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)e 1f f >=-，即0.99e 0.99ln 0.99e 10.99-+>-，因此a b >，令()ln g x x x =-，1()1g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)1g g >=，而e 1(0.99)e>1.01b g =-+>，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，显然11(e)e 1,()1e eg g =-=+，则方程1(),(1,1]e g x k k =∈+有两个不等实根12,x x ，1201x x <<<，有12()()g x g x k ==，ln ln 0.99ln 0.99ln (0.99)()a c c c c g g c =-⇔-=-⇔=，而0.99c ≠，则有1c >，令()()(2)h x g x g x =--，01x <<，2112(1)()()(2)1102(2)x h x g x g x x x x x -'''=+-=-+-=-<--，即函数()h x 在(0,1)上单调递减，当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h >=，即()(2)g x g x >-，因此11()(2)g x g x >-，即有211()()(2)g x g x g x =>-，而211,21x x >->，()g x 在(1,)+∞上单调递增，于是得212x x >-，即122x x +>，取10.99x =，2x c =，于是得20.99 1.01c >-=，又()(0.99))1()(e eg g c g g <<=，()g x 在(1,)+∞上单调递增，从而1.01e c <<，所以 1.01a b c >>>，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.8．C【分析】因为求的是充分不必要条件，而非充要条件，所以采用特殊值法，只要满足()()11f g ≤，则有()()()F x f x g x =-存在零点，求出1e ak a+≥时k 的取值范围，即为一个充分条件，再由选项依次判断即可.【详解】 当0a =时，()e x af x +=的图象恒在()lng x x ka =+上方，∴若满足()()11f g ≤，即1eln1aka +≤+，1e ak a+≥，则()f x 与()g x 的图象必有交点，即()()()F x f x g x =-存在零点.令()1e x h x x+=()0x >，()()12e 1x x h x x +-'=，有当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增.()()21e h x h ∴≥=.即当2e k ≥时，一定存在()10,a =∈+∞，满足()()11f g ≤，即()()()F x f x g x =-存在零点，因此)2e ,k ⎡∈+∞⎣是满足题意k 的取值范围的一个充分条件.由选项可得，只有)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是)2e ,⎡+∞⎣的子集，所以)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是k 的取值范围的一个充分不必要条件.故选：C .9．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一解答即可.【详解】解：根据题意建立如图所示的坐标系：因为正方体的边长为2，所以1(0,0,0)A ，(0,0,1)A ，1(2,0,0)B ，1(2,2,0)C ，1(0,2,0)D ，(2,0,2)B ，(2,2,2)C ，(0,2,2)D ，(2,0,1)E ，(1,0,2)F ，(2,1,2)G ，4(2,2,3H ，对于A ，因为1(0,2,2)BC =-u u u u r ，1(1,2,2)FD =--u u u u r ，(1,1,0)FG =u u u r，设平面1D FG 的法向量为(,,)n x y z = ，则有2200x y z x y -+-=⎧⎨+=⎩，则有23y zy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩，取(2,2,3)n =-r，因为120n BC ⋅=-≠r u u u u r，所以1n BC ⊥ru u u u r不成立，所以1BC ∥平面1D FG 不成立，故错误；对于B ，设00(0,,)P y z ，则00(2,1,2)G y z P =---uu u r ，(1,1,0)GF =--uu u r ，2(0,1,)3GH =-uuu r ，又因为(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，所以0021223y z μμϕϕ⎧⎪-=-⎪-=-+⎨⎪⎪-=-⎩，所以有002433z y =-+，所以P 点轨迹为如图所示的线段1MD ，在平面11BCC B 内作出与1MD 平行的直线1NC ，易知1MD 与1NC 的距离等于平面11ADD A 与平面11BCC B 的距离为2，因为1NC 与BH 不平行，所以1MD 与BH 不平行，所以点P 到BH 的距离不是定值，所以PBH S 不是定值，又因为P BCH C BPH V V --=,即1121223233PBH S h ⨯⨯⨯⨯=⋅V ，(h 为C 点到平面PBH 的距离)，所以43PHBh S =V 不是定值，所以C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关，故正确；对于C ，因为1(2,2,2)BD =--uuu r ，(0,1,1)EG =uu u r，1220BD EG ⋅=-=uuu u r uu r ，所以1BD EG ⊥uuu r uuu r，即有1BD EG ⊥，故正确；对于D ，由B 可知P 点轨迹为002433z y =-+，令00y =，则043z =；令02z =，则02y =，所以P 3=，故正确.故选：BCD 10．BD【分析】结合递推式2142n n n a a a ++=-，取12a =-，求{}n a 的通项公式判断选项A 错误，求n S 判断B ，由递推式112n n n n b b b b ++-=，取10b =，判断C ，求数列{}n b 的通项公式判断D.【详解】因为2142n n n a a a ++=-，所以()1222n n a a +=++，所以当2,N n n *≥∈时，20n a +≥，若12a =-，则2,N n a n *=-∈，()log 2a n a +不存在，A 错误；因为12a =-时，2,N n a n *=-∈，所以20n a +=，所以0n S =，又()()211012nn a -+=-，所以可能()()21112n nn S a -=-+，B 正确；因为112n n n n b b b b ++-=，取10b =，则0,N n b n *=∈，此时1nb 不存在，C 错误；D 正确；故选：BD.11．AD【分析】设直线l 的斜率为k ，不妨设0p >，直线l 的方程为y kx p =+，()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线方程联立求出12x x +，12x x ，12y y +，得()21,+Q pk pk p ，令12=-pk x 求出1y ，求出xy p '=，可得直线1l 的方程、直线2l 的方程，由22122⨯=AQ BQ x x k k p可判断C ；联立直线1l 、直线2l 的方程可得()2,-Q pk p 可判断A ；令0x =由()1110-=-x y y x p得()0,P p 可判断B ；由()0,P p 、M 点的纵坐标为2p-、()2,-Q pk p 可判断D.【详解】由题意直线l 的斜率存在，设为k ，不妨设0p >，()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为y kx p =+，与抛物线方程联立22y kx px py=+⎧⎨=⎩，可得22220x pkx p --=，222480∆=+>p k p ，所以122x x pk +=，2122x x p =-，21222+=+y y pk p ，所以()21,+Q pk pk p ，不妨令1222==x pk x p k所以221222=+-=++y pk p ky pk p由22x y p=得x y p '=，所以直线1l 的方程为()111x y y x x p -=-，直线2l 的方程为()222x y y x x p-=-，所以2221222221-⨯===-≠-AQ BQ x x p k k p p ，故C 错误；由()()111222x y y x x p x y y x x p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得11x pk y kx y =⎧⎨=-⎩，可得((222x pk y k pk pk p k p =⎧⎪⎨=--+-=-⎪⎩，所以()2,-Q pk p ，所以21Q Q x ⊥轴，故A 正确；令0x =所以由()1110-=-x y y x p得212-=-=-+y y k p p(220,-+-N p k p ，而()0,P p，且222200pk p p pk k --+=-+=⇒=，故B 错误；因为()0,P p ，M 点的纵坐标为2p-，()2,-Q pk p ，所以322⎛⎫--= ⎪⎝⎭p p p ，()22---=p p p ，故M 为2PQ 近2Q 四等分点，故D 正确.故选：AD.12．AC【分析】根据奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，可确定函数()f x 的周期，即可判断A ；设()()cos f x g x x=确定函数()g x 的奇偶性与对称性即可判断函数B ，C ；根据()()cos sin 0f x x f x x '+>可判断函数()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上的单调性，结合对称性与周期性即可得函数()g x 的大致图象，根据直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，列不等式即可求k 的取值范围，即可判断D.【详解】解：因为()()πf x f x =-，所以()f x 的图象关于π2x =对称，又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--，则()()()πf x f x f x +=-=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为2π的函数，故A 正确；设()()cos f x g x x =，其定义域为ππ2π,2π,Z 22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()ππ0cos cos πcos cos f x f x f x f x g x g x xx x x -+-=+=+=--，所以()g x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，即()cos f x x关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；又()()()()()cos cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为上的奇函数，结合()()π0g x g x +-=可得()()π0g x g x --+-=，即()()πg x g x -=-故()cos f x x是周期为π的函数，故B 错误；当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x '+'=>，故()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，由于()g x 关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以()g x 在π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且当π2x →时，()2cos f x x →，又函数()g x 的周期为π，则可得()g x 大致图象如下：若直线y kx =与()()cos f x g x x =若有3个交点，则03π225π22k k k ⎧⎪>⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩或03π22π22k k k ⎧⎪<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-<⎪⎩，解得445π3πk ≤<或44π3πk -<≤-，故4444,,π3π5π3πk ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故D 错误.故选：AC.13．559【分析】将21x x-看作一项，利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.【详解】261(2)x x-+的展开式的通项公式是26122316661C ()22C (1)C r r r r r s s r sr r T x xx ---+-=-⋅=-，令12230r s --=，则2312r s +=，故32r s =⎧⎨=⎩或60r s =⎧⎨=⎩或04r s =⎧⎨=⎩，所以261(2)x x-+的展开式中常数项为：3322660044636662C (1)C 2C 2C (1)C 4806415559⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯-⨯=++=，故答案为：559.14．[]15,85【分析】先根据MN 的最小值求出7CD =，即()()226849a b -+-=，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离4127CD =++=，即()()226849a b -+-=，由柯西不等式得：()()()()()2222268343648a b a b ⎡⎤-+-⋅+≥-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当6834a b --=，即5168,55a b ==时，等号成立，即()234502549a b +-≤⨯，解得：153485a b ≤+≤.故答案为：[]15,8515【分析】首先求出2AF 的方程，联立两直线方程，即可取出A 点坐标，由21AB AF BF ==，即可得到B 为A 、1F 的中点，得到B 点坐标，再代入双曲线方程，即可求出226c a =，从而求出双曲线的离心率.【详解】解：依题意()2,0F c ，所以2AF ：()ay x c b=--，由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2AF b =，又21AB AF BF ==，所以B 为A 、1F 的中点，所以2,22a c ab c B c ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22222122a c b c c ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝-⎭-=，即44224b a c a -=，即()()222222+4b a b a c a -=，所以2224b a a -=，即225b a =，即2225c a a -=，所以226c a =，则离心率ce a==16．[)4,∞+【分析】不妨设12x x <，把1212()()f x f x x x --＞3化为()()11223f x x f x x <--3，构造函数()()3g x f x x =-，利用()g x 的导数()0g x '≥，求出k 的取值范围．【详解】不妨设1212,(0,),x x x x ∀∈+∞<,∵()()12123f x f x x x ->-，即()()1212)3(f x f x x x <--，()()11223f x x f x x <--3,构造函数()()3g x f x x =-，∴()g x 在(0)+∞，是单调递增函数，∴()()13sin 30g x f x k x x ''=-=++-≥,∴()1sin 3,0,k x x x ∞⎛⎫≥-++∈+ ⎪⎝⎭当0x >时，10x >，[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 1x x+>-，所以1sin 34x x ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭，所以k 的取值范围为[)4,∞+故答案为：[)4,∞+17．(1)π3【分析】（1）由向量的运算整理可得221122c b CB AO =-⋅uu r uuu r ，结合正弦定理、余弦定理和面积公式运算求解；（2）根据题意结合向量可得1233AD AB AC =+ ，再结合数量积可得221242999c bc b =++，利用基本不等式可得3bc ≤，再结合面积公式即可得结果.【详解】（1）取,AB AC 的中点,M N ，连接,OM ON ，则,OM AB ON AC ⊥⊥，可得：()cos cos NC AC AB AO AC AO AB AO OA A M A B O AB A A O C O OA =-=⋅-⋅=∠-∠⋅⋅uu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r u u r uuu r uuu r222211112222AB AC c b =-=-uu u r uuu r由()2222342cos cos 23CB AO r A B a S ⋅+---=uu r uuu r ，可得()2222223141cos 1cos 11sin 22322r A B a c b bc A +--+--=⨯，则()()2222232sin 2s 1in sin 2122r A r B a c b b c A --=++，即222223sin 21221a b a b A c b c +-=-+，整理得2222sin b A c a bc +⨯-，由余弦定理222cos sin 23b c a A A bc +-==，可得tan A =∵()0,πA ∈，故π3A =.（2）由题意可得：()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，则22221214433999AD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，可得：221242999c bc b =++，则2218244bc c b bc -=+≥，当且仅当224c b =，即2c b =时等号成立，即3bc ≤，则11sin 322S bc A =≤⨯故S18．(1)有，理由见解析(2)14(3)78(4)分布列见解析，()2E x =，2x =时，概率最大，理由见解析【分析】（1）计算卡方，与10.828比较后得到结论；（2）先根据分层抽样求出1班和3班抽到的学生分布情况，再根据条件概率求出概率；（3）计算出1班和3班的总人数，以及数学评价优秀的学生总人数，求出相应的频率作为全校数学评价优秀的概率，求出随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率，再利用对立事件求概率公式计算出答案；（4）由题意得到18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而求出分布列，数学期望，并利用不等式组，求出2x =时，概率最大.【详解】（1）22100(10204030)5010.828406050503K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握数学成绩与班级有关；（2）1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，故抽取10人，从1班抽取人数为601066040⨯=+，从3班抽取的人数为401046040⨯=+，由于1班数学评价优秀和一般人数比为4:2，故抽取的6人中有4人数学评价优秀，2人评价一般，而3班数学评价优秀和一般的人数之比为1:3，故抽取的4人中有1人数学评价优秀，3人评价一般，设抽到甲辅导乙为事件A ，抽到丙辅导丁为事件B ，则()4455A 1A 5P A ==，()3355A 1A 20P AB ==，()()()1112054P AB P B A P A ==÷=；（3）1班和3班总人数为100人，其中两班学生数学评价优秀的总人数为104050+=，故频率为5011002=，以频率估计概率，全年级的数学评价优秀的概率为12，从全年级中随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率为30311C 128⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以从全年级中随机抽取3人，至少抽到一人数学成绩为优秀的概率为17188-=.（4）由题意得：3班的数学评价优秀概率为101404=，故18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭ ，所以分布列为8811C 144xxx -⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1,2,,8x = ；数学期望()1824E x =⨯=，2x =时，概率最大，理由如下：令8171881111C 1C14444xxx xx x -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：54x ≥，令8191881111C 1C14444x xx xx x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：94x ≤，故5944x ≤≤，因为N x ∈，所以2x =.19．(1)()max A BCD V -3，此时13h R =，(2)存在K ，满足KC ⊥平面OAB ，理由见解析；1d =，223d R =.【分析】(1)设线段O O '的延长线与球的交点为1D ，则1A BCD D ABC V V --≤，设OAO θ'∠=，表示1D ABC -的体积，通过换元，利用导数求其最大值.(2)取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，过C 作KC OE ⊥，根据线面垂直判定定理证明KC ⊥平面OAB ，再通过解三角形求1d ，2d .【详解】（1）当点D 为线段O O '的延长线与球的交点时，点D 到平面ABC 的距离最大，所以1A BCD D ABC D ABC V V V ---=≤，由球的截面性质可得'⊥O O 平面ABC ，设OAO θ'∠=，π02θ≤<，则sin ,cos OO OA AO OA θθ''==，又,OA R AO r '==，所以sin ,cos OO R r R θθ'==，所以sin DO R R θ'=+，在ABC 中，π3BAC ∠=，由正弦定理可得π2sin cos 3BC r θ==，由余弦定理可得222π2cos3AB AC AB AC BC +-⋅=，所以22AB AC AB AC BC ⋅-⋅≤，故223cos AB AC R θ⋅≤，所以ABC 的面积221πsin cos 23S AB AC θ=⋅≤，当且仅当AB AC =时等号成立，所以()()12232111cos sin cos sin 133D ABC V S D O R R R θθθθ-=⋅≤⋅⋅+=⋅⋅+'，设()2cos sin 1y θθ=⋅+，令sin t θ=，则()()211y t t =-⋅+，01t ≤<所以()()2321311y t t t t '=--+=--+，当103t ≤<时，0y >' ，函数()()211y t t =-⋅+在10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，当113t <<时，0'<y ，函数()()211y t t =-⋅+在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当13t =时，函数()()211y t t =-⋅+，01t ≤<取最大值，最大值为3227，所以13D ABC V -≤，所以()max A BCD V -为327R ，此时1sin 3h OO R R θ'===，（2）由(1)点D 与点1D 重合，33AB AC BC R ===，又π3BAC ∠=，取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，则,OE AB CE AB ⊥⊥，OE CE E ⋂=，,OE CE ⊂平面OCE ，所以AB ⊥平面OCE ，过C 作KC OE ⊥，垂足为K ，因为KC ⊂平面OCE ，所以AB KC ⊥，AB OE E ⋂=，,AB OE ⊂平面OAB ，所以KC ⊥平面OAB ，由(1)AB BC AC ===，OA OB OC R ===，1133OO OA R '==，所以3OE R ==，CE ==，所以3O E '=，因为π2OO E CKE OEO CEK ''∠=∠=∠=∠，，所以CEK OEO ' ，所以EK CE EO OE ='，所以3EK R =，所以2EK OE =，所以O 为EK 的中点，又EO OO '⊥，所以E 到直线OO '的距离为3EO R '=，过K 作KM OO '⊥，垂足为M ，故点K 到OO '的距离为KM ，所以K 到直线OO '的距离为13d KM EO R '===，因为OO '⊥平面ABC ，O '为垂足，所以点O 到平面ABC 的距离为13OO R '=，过K 作KN CE ⊥，垂足为N ，则//KN OO '，所以KN ⊥平面ABC ，故点K 到平面ABC 的距离为KN ，又223KN OO R '==所以点K 到平面ABC 的距离为223d R =.20．(1)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(2)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(3)裂项过程见解析，证明见解析.【分析】(1)写出n S 的表达式，两边同乘12，与原式相减，利用等比数列求和公式化简即可；(2)对()1212nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行裂项，结合裂项相消法求和；(3)对()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进行裂项，利用裂项相消法求和，由此证明结论.【详解】（1）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()123111111357212122222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()12341111113572121222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1123111111322221222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以()1111112212222n n n S n -+⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎝⎝-⎪⎪⎭⎭，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（2）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()111122n nn a A n B An B --⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎝⎭，则()122nn a An A B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2A =，5B =，故()()111232522n nn a n n -⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎝⎝-⎪⎭⎭所以()()112171111115723252292222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎝-⎭⎭-，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（3）因为()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，设()()()122111122n nn c Dn En F D n E n F -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++++++ ⎪⎪⎣⎦-⎝⎭⎝⎭，则()2122nn c Dn E D n F D E ⎛⎫⎡⎤=+-+- ⎦⎝-⎪⎣⎭，则1,4,8D E F ===，所以()()122114861322n nn c n n n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-，即()()12211243422n nn c n n -⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++ ⎪⎪⎣⎦⎦⎝⎝-⎣⎭⎭，所以()()()()()()2111222222111111342444445434222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎝⎭⎝+--⎭++所以()21613132nn T n n ⎛⎫=++ -⎪⎝⎭，所以()()()22811152513613188182212nnn nn n n n n n S T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<⎝⎭21．(1)C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.(2)点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，其轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，其轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆.(3)点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.【分析】(1)根据椭圆的定义即可求解；(2)设出直线12,l l 的方程，与曲线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式即可求解；(3)根据（2）的结论，先得出340mt +=，再求出D 点的坐标，结合,m t 的关系式即可求解.【详解】（1）由题意可知：24F E =，1CF CE =，因为12221242CF CF CE CF EF F F +=+==>=，所以C 点的轨迹是以12,F F 为焦点，24a =为长轴长的椭圆，则2223b a c =-=，所以C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.（2）当直线1l 与x 轴重合时，点(0,0)P ；当直线1l 与x 轴不重合时，设直线1l 的方程为：1x ty =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得：22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+，所以212122268()223434t x x t y y t t -+=+-=-=++，则12212242343234P P x x x t y y t y t +-⎧==⎪⎪+⎨+⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y ++=，即221()21(0)13416x y x ++=≠，综上所述：点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，点P 的轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；同理当直线2l 与x 轴重合时，点(0,0)Q ；当直线2l 与x 轴不重合时，设直线2l 的方程为：1x my =+，3344(,),(,)M x y N x y ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：22(34)690m y my ++-=，则342634my y m -+=+，342934y y m -=+，所以234342268()223434m x x t y y m m -+=++=+=++，则34234242343234Q Qx x x m y y m y m +⎧==⎪⎪+⎨+-⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y -+=，即221()21(0)13416x y x -+=≠，综上所述：点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，点Q 的轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；（3）由（2）知：2243(,)3434tP t t -++，2243(,)3434m Q m m -++，因为//PQ x 轴，所以22333434t mt m -=++，即(34)()0mt m t ++=，又因为且12l l D ⋂=，所以340mt +=，也即43m t=-，联立12,l l 可得：11x ty x my =-⎧⎨=+⎩，解得：212D D t x t my t m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩消参可得：24123(1)y x x ++=+，即22134y x +=，所以点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.22．(1)证明见解析；(2)(],1-∞-【分析】（1）利用同构，转化为()()1e ln e e kx kx f x x x =-.构造函数1ln ey t t =-，利用导数求出最小值，即可证明；（2）把()211e≥+f x 转化为()()ln 12e ln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.构造函数()e mg m m =-，利用导数判断出单调性，转化为2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立，分离参数后，构造函数()()ln ,01xh x x x=-->，利用导数求出()min h x ，即可求解.【详解】（1）函数()11e ln -=-+kx f x x kx x 的定义域为()0,∞+.()11e ln-=-+kx f x x kx x 1e ln e kxx kx x =--()1e ln e ekx kx x x =-.令(),0e kxt x t =>，则1ln ey t t =-.因为11e e e t y t t -'=-=，所以当0<e t <时，0'<y ，1ln ey t t =-单减；当t e >时，0'>y ，1ln ey t t =-单增.所以1e ln e=0ey ≥⨯-，即0y ≥，所以()0f x ≥成立.（2）()211e≥+f x 即为121e ln e 1kx x kx x ---+≥+，亦即为ln 12e e ln 1e 2x kx kx x ----+≥+，可化为()()ln 12eln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.不妨设()e m g m m =-，则()e 1mg m '=-.当0m <时，()0g m '<，()e m g m m =-单减；当0m >时，()0g m '>，()e mg m m =-单增.所以当0ln 1kx x +-<时，有2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立.即l 1n xk x--≤.令()()ln ,01x h x x x =-->，则()2ln xh x x'=.所以当01x <<时，()0h x '<，()h x 单减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单增所以()()min 11h x h ==-.即1k ≤-.综上所述：k 的取值范围为(],1-∞-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）利用导数证明不等式．。
河北省衡水中学高三上学期综合素质评价二数学答案
2024-2025学年度高三年级上学期综合素质评价二数学学科主命题人：刘建会一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣，则A B = （）A.{}1,2 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}4【答案】D 【解析】【分析】先解一元二次不等式，确定集合A ，再根据交集的定义求两个集合的交集.【详解】因为2230x x -->⇒()()310x x -+>⇒3x >或1x <-，所以()(),13,A =-∞-+∞ ，又{}1,2,3,4B =，所以{}4A B ⋂=.故选：D2.下列函数中在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，周期为π且为奇函数的是（）A.πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.sin2y x=C.tan y x = D.πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】对于AB ：整理可得πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数性质分析判断；对于C ：根据正切函数性质分析判断；对于D ：整理可得πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，根据余弦函数性质分析判断.【详解】对于选项A ：因为πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，易知其为奇函数，其最小正周期2ππ2T ==，若ππ,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则π2,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，且sin y x =在π,π2⎛⎤⎥⎝⎦内单调递减，则sin 2y x =在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以sin 2y x =-在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，故A 正确；对于选项B ：由选项A 可知：sin 2y x =在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故B 错误；对于选项C ：若ππ,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则π2,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，且tan y x =在π,π2⎛⎤⎥⎝⎦内单调递减，所以tan y x =在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故C 错误；对于选项D ：因为πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，若ππ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则π2,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，且cos y x =在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦内单调递减，所以cos 2y x =在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故D 错误；故选：A.3.已知3log 2a =，4log 3b =， 1.20.5c =，比较a ，b ，c 的大小为（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.b a c>>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较,a b 的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较,a c 大小，即可求解.【详解】2ln 2ln 3ln 2ln 4(ln 3)ln 3ln 4ln 3ln 4a b ⋅--=-=⋅，因为ln 2,ln 40>，所以ln 2ln 4+>，即()()()22211ln 2ln 4ln 8ln 9ln 344⋅<<=，所以()2ln 2ln 4ln 3⋅<，且ln 3ln 40⋅>，所以a b <，又因为 1.2131log 2log 2,0.50.521a c =>===<，所以a c >，综上，b ac >>，故选：D.4.已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个零点，则ω的取值范围为（）A.2529,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.2331,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.2529,66⎛⎤⎥⎝⎦ D.2331,66⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】由条件结合零点的定义可得πsin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求ω的取值范围.【详解】令()π2sin 04f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则π3sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π4x ω+∈πππ,424ω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，因为函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个零点，所以7πππ8π3243ω+<≤，∴252966ω<≤，故选：A.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231117a a a ++=，212a =，则3S =（）A.78B.74 C.72D.7【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件求得公比q ，从而求得正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，依题意，1231117a a a ++=，212a =，即2222221111117q a a a a a a q qq ++=++⋅=，所以22227,2520q q q q++=-+=，解得2q =或12q =，所以12311,,142a a a ===或123111,,24a a a ===，所以31171424S =++=.故选：B6.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f xy f x f y =+，2(4)3f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（）.A.(0,4) B.(0,)+∞ C.(3,4)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】先根据()()()f xy f x f y =+以及2(4)3f =求出()81f =，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.【详解】解：()()()f xy f x f y =+ ()()()2(4)22223f f f f ∴=⨯=+=，即()123f =，()()()()()18424232313f f f f f =⨯=+==⨯= ，(2)(3)1f x f x ∴-->，可转化为：()(2)(3)8f x f x f -->，即()(2)8(3)f x f f x >+-，即()()(2)83824f x f x f x >⨯-=-⎡⎤⎣⎦，()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，()f x \在()0,∞+上单调递增，即20302824x x x x >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：34x <<，即不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为：()34，.故选：C .7.已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（）A.13B.17C.16D.2【答案】B 【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan αβα+=，故3tan()tan 32αβα+==，利用正切和角公式得到方程，求出1tan 7β=.【详解】因为()sin sin sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+，2sin cos()sin βαβα=+，所以2sin()cos 2cos()sin cos()sin αβααβααβα+-+=+，即2sin()cos 3cos()sin αβααβα+=+，则2tan()3tan αβα+=，因为tan 2α=，所以3tan()tan 32αβα+==，其中tan tan 2tan tan()31tan tan 12tan αββαβαββ+++===--，故2tan 36tan ββ+=-，解得1tan 7β=.故选：B.8.已知0x >，0y >，且2e ln x x y =+，则（）A.2e y >B.22e x y +> C.2e lnx y< D.22e 1x <-【答案】B 【解析】【分析】根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.【详解】对于A 选项：令()2e xf x x =-，0x >，()e 2x f x x ='-，令()e 2x h x x =-()e 2x h x '=-，令()0h x '=，则ln 2x =，即()0,ln 2x ∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减，′单调递减，即()ln 2,x ∞∈+时，ℎ′>0，ℎ单调递增，′单调递增，′有最小值()()ln 2min ln 2e2ln 222ln 20f x f ==-=-'>'，所以()f x 在0,+∞单调递增，故()()020e 01f x f >=-=，所以ln 1y >即e y >，故A 选项错误；对于B 选项：由A 可知：2ln e x y x =-，要证22e x y +>，即需要证明：22ln ln e x y +>，即()2ln 2y x >+，即()22e 2x xx ->+，22e220xx x --->，令()22e 22xh x x x =---，()2e 41x h x x ='--，令()2e 41x t x x =--()2e 4x t x ='-，令()0t x '=，则ln 2x =，即()0,ln 2x ∈时，()0t x '<，()t x 单调递减，()h x '单调递减，即()ln 2,x ∞∈+时，()0t x '>，()t x 单调递增，()h x '单调递增，所以()h x '有最小值()()ln 2min ln 22e4ln 2144ln 210h x h ==--=--'>'，所以ℎ在0,+∞单调递增，故()()0202e 20020h x h >=-⨯--=，所以22e x y +>成立，故B 选项正确；对于C 选项：由2e ln x x y =+得2e ln x y x -=，因为0x >，所以0e e ln e ln 1ln ln e ln lnx y y y y y->-=-=-=，所以2elnx y>，故C 选项错误，对于D 选项：令()22e 1(0)f x x x =-+>，因为()20f x x '=>，所以()f x 在0,+∞上单调递增，所以()()201e 0f x f >=-<，所以存在∈0,+∞使得()0f x >，即22e 1x >-，故D 选项错误；故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ≠+=.则以下结论正确的是（）A.168a =B.若910S S =，则43d =C.若2d =-，则n S 的最大值为21SD.若151618,,a a a 成等比数列，则4d =【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由1518224a a +=可得()112141724a d a d +++=，故1158a d +=，所以168a =，故A 正确，由910S S =可得101606a a d ==-，故43d =，故B 正确，若2d =-，则201640a a d =+=，且单调递减，故n S 的最大值为20S 或19S ，故C 错误，若151618,,a a a 成等比数列，则16161518a a a a ⋅=，即()()64882d d =-+，解得4d =或0d =（舍去），D 正确，故选：ABD10.已知()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（）A.当1a =时，若()f x 有三个零点，则b 的取值范围是()0,1B.当1a =且()0,πx ∈时，()()2sin sin f x f x<C.若()f x 满足()()12f x f x -=-，则22a b -=D.若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则01322x x +=【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，将1a =代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；对于B ，利用sin y x =的性质，得到20<sin 1,0<sin 1x x ≤≤且2sin sin x x ≥，再利用()f x 在区间(]0,1上的单调性，即可求解；对于C ，根据()()12f x f x -=-，推断函数的对称性，进而可以求得22b a -=，即可判断结果；对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，得到12a >-，进而可得200661a x x =-+，令012x x t +=，结合()()01f x f x =，再化简即可得到答案.【详解】对于选项A ，当1a =时，()3223f x x x b =-+，()2666(1)f x x x x x '=-=-，由()6(1)0f x x x '=->，得到0x <或1x >，由()6(1)0f x x x '=-<，得到01x <<，所以()3223f x x x b =-+单调递增区间为(),0-∞，()1,+∞；减区间为()0,1，故()f x 在0x =处取到极大值，在1x =处取到极小值，若()f x 有三个零点，则(0)0(1)10f b f b =>⎧⎨=-<⎩，得到01b <<，故选项A 正确，对于选项B ，当()0,πx ∈时，20<sin 1,0<sin 1x x ≤≤，又2sin sin sin (1sin )0x x x x -=-≥，即2sin sin x x >，由选项A 知，()f x 在区间(]0,1上单调递减，所以()()2sin sin f x f x ≤，当π2x =时，等号成立，故选项B 错误，对于选项C ，因为()()12f x f x -=-，即()()12f x f x -+=，所以()f x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，又()()32231f x x x a x b =-+-+的定义域为R ，所以()111123112842f a b =⨯-⨯+⎛⎫⎝⨯-+⎭=⎪，整理得到22b a -=，所以选项C 错误，对于选项D ，因为()()32231f x x x a x b =-+-+，所以()2661f x x x a '=-+-，由题有3624(1)0a ∆=-->，即12a >-，由()20006610f x x x a '=-+-=，得到200661a x x =-+，令012x x t +=，则102x t x =-，又()()01f x f x =，所以()()002=-fx f t x ，得到()()32320000002312(2)3(2)12()x x a x b t x t x a t x b -+-+=---+--+，整理得到220000(3)(626391)0x t x t tx t x a -+--++-=，又200661a x x =-+，代入化简得到20(3)(23)0x t t --+=，又012x x t +=，10x x ≠，所以00130x t x x -=-≠，得到230t -+=，即01322x x t +==，所以选项D 正确，故选：AD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D ，利用导数在函数单调性中的应用，得到12a >-，进而可得200661a x x =-+，再通过令012x x t +=，结合条件得到()()002=-f x f t x ，再代入()()32231f x x x a x b =-+-+，化简得到20(3)(23)0x t t --+=，从而解决问题.11.设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，满足()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（）A.()00f = B.()g x 的图象关于直线2x =对称C.()f x 的一个周期是4D.()20251k g k ==∑【答案】BCD 【解析】【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数()g x '的图象关于点()2,0对称，从而可得()g x 的图象关于=2对称，所以()g x 是周期函数，4是一个周期，可判断A 、B 、C 项；因为()()130g g ==，且()()20g g =-，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()202515061234202510k g k g g g g g g =⎡⎤=⨯++++==⎣⎦∑，可判断D 项.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，所以()g x 的图象关于()1,0中心对称，()()11g x g x +=--+两边求导得：()()11g x g x ''+=-+，所以()g x '的图象关于=1对称，因为()()11g x f x --=，所以()()10g x f x ''+-=；所以()()10g x f x -+'='，又()()3f x g x '=+'，所以()()130g x g x ''-++=，所以函数()g x '的图象关于点()2,0对称；所以()g x 的图象关于=2对称，故B 正确；所以()()22g x g x +=-，即()()13g x g x -+=+，又()()11g x g x +=--+，所以()()13g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，所以()()4g x g x =+，所以()g x 是周期函数，且4是一个周期，又因为()()11g x f x --=，所以()()11f x g x =--，所以()f x 是周期函数，且4是一个周期，故C 正确；因为()1g x +为奇函数，所以()g x 过()1,0，所以()10g =，令=0，代入()()11f x g x =--，可得()()0111f g =-=-，故A 错误；令=0代入()()13g x g x -+=+，可得()()130g g ==，令=1，代入()()11g x g x +=--+，可得()()20g g =-，又因为()g x 的周期为4，所以()()04g g =，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()()20251506123420255064110k g k g g g g g g g =⎡⎤=⨯++++=⨯+==⎣⎦∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1.若()()f x a f x a =+-+，则()f x 关于x a =对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ''+=--+，则()f x '关于(),0a 中心对称；2.若()()f x a f x a +=--+，则()f x 关于(),0a 中心对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ''+=-+，则()f x '关于x a =对称；3.若()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数且周期为T ；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足35a =，221n n a a =+，()*122n n n a a a n ++=+∈N，设的前n 项和为n S ，则n S =________.【答案】2n 【解析】【分析】根据题意122n n n a a a ++=+可得数列{}n a 为等差数列，设出公差及首项，再结合221n n a a =+与3125a a d =+=，从而可求解.【详解】由122n n n a a a ++=+，所以121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，并设其公差为d ，首项为1a ，又因为221n n a a =+，即()()1121211a n d a n d ⎡⎤+-=+-+⎣⎦，解得11d a =+，因为3125a a d =+=，所以11a =，1d =，所以()2122n n n S n n -=+⨯=.故答案为：2n .13.函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则函数()24y f x x =-的递增区间是_________．【答案】(0,2)【解析】【详解】【分析】试题分析：2222()log (4)log (4)f x x f x x x x =⇒-=-⇒定义域为(0,4)⇒增区间为(0,2).考点：1、复合函数；2、反函数；3、函数的单调性.【方法点晴】本题考复合函数、反函数、函数的单调性，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型.根据两函数关于直线y x =对称可得两函数互为反函数⇒2222()log (4)log (4)f x x f x x x x =⇒-=-⇒定义域为(0,4)⇒增区间为(0,2).14.若正实数a ，b 满足()1ln ln a a b a a be --+≥，则1ab的最小值为______.【答案】e 4【解析】【分析】由不等式1(ln ln )e a a b a a b --+≥变形为11lne e 10a a b b aa ---+≥（），通过换元1e a bt a-=，根据不等式恒成立得出a 与b 的关系，从而把1ab表示为关于a 的表达式，再通过构造函数求最值即可．【详解】因为1(ln ln )e a a b a a b --+≥，所以1ln ln e a b b a a a--+≥，所以11ln ln e 1e a a b b a a --++≥，即11lne e 10a a b b a a ---+≥（）令1e a b t a-=，则有ln 10t t -+≥(0t >)，设()ln 1f t t t =-+，则1()1f t t'=-，由()0f t '=得1t =当01t <<时，()0f t '>，()f t 单调递增，当1t >时，()0f t '<，()f t 单调递减，所以max ()(1)0f t f ==，即ln 10t t -+≤，又因为ln 10t t -+≥，所以ln 10t t -+=，当且仅当1t =时等号成立所以1e 1a b t a -==，从而111e a b a -=，所以121e a ab a-=(0a >)设12e ()x g x x-=(0x >)，则13(2)e ()x x g x x --'=，由()0g x '=得2x =当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以21min 2e e()(2)24g x g -===，所以1ab 的最小值为e 4．故答案为：e4．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．（13+15+15+17+17）15.记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠===sin B .【答案】（1）2π3A =（2）7【解析】【分析】（1）等价变形已知条件，得到222b c a bc +-=-，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出CD =结合正弦定理即可求得sinC =，最后根据()sin sin B A C =+即可得解；法②：由法①得CD =ACD 中由正弦定理得sinADC ∠=π2ADC B ∠=+，从而得解sin 7B =；法③：由法①得CD =，在直角ABD △中a =+，由（1）问知222a b c bc =++，代入建立关于c 的方程，解方程得2c =，从而得出217AD BD B BD ===；法④：由等面积法得ABC ABD ACD S S S =+ ，建立关于c 的方程，求得2c =，代入222a b c bc =++求得a ，最后结合正弦定理即可得解.【小问1详解】()()22222()2b c a b c a b c a b bc c a bc +-++=+-=++-=，则222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】法①：由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD ∠=∠，所以π6CAD ∠=，如图在ACD 中，由余弦定理2222cos CD AD AC AD AC DAC ∠=+-⋅316472=+-⨯=，即CD =在ACD 中由正弦定理sin sin CD AD DAC C ∠=，即1sin 2C=，所以sin C =，因为π03C <<，故cos C ==，在ABC V 中()1sin sin sin cos cos sin227B AC A C A C =+=+=⨯⨯.法②：同解法①CD =ACD 中由正弦定理sin sin CD ACDAC ADC=∠∠，即41sin2ADC=∠，所以21sin 7ADC ADC ∠∠==--，又因为π2ADC BAD B B ∠∠∠=+=+，即π21cos 27B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin 7B =.法③同上CD =ABD △中BD =，所以a =，由（1）问知222a b c bc =++，所以22416c c =++，即2210416c c c +=++，23,c =+即2440c c -+=，所以2c =，7AD BD B BD ===.法④如图由（1）知2π3A =，则π6CAD ∠=，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π11π4sin 423226c ⨯=+⨯32c =+2c =，所以222164828a b c bc =++=++=，即a =在ABC V 中，由正弦定理sin sin a bA B=4sin 32B =，解得sin 7B ==.16.已知函数()3ln2(1)2xf x x x x=++--.（1）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（2）若()()214f m f m -+<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由函数()f x 的定义域()0,2，计算()()2f x f x +-的值判断对称中心；（2）利用导数判断()f x 的单调性，结合函数对称性列不等式求实数m 的取值范围.【小问1详解】函数()3ln2(1)2xf x x x x=++--，定义域为()0,2，()()()3322ln 2(1)ln 22(1)2x xf x f x x x x x x x-+-=++-++-+--()332ln 222(1)(1)2x x x x x x x x-⎡⎤⎡⎤=⋅++-+-+-⎣⎦⎣⎦-040=++4=所以曲线()y f x =关于点()1,2对称.【小问2详解】()()2211223(1)23(1)22f x x x x x x x '=+++-=++---，因为()0,2x ∈，()202x x >-，所以()()2223(1)02f x x x x =++->-'，所以()f x 在定义域()0,2上单调递增.（方法一）又()f x 关于点()1,2对称，()()214f m f m -+<，所以212,0212,02,m m m m -+<⎧⎪<-<⎨⎪<<⎩解得112m <<.（方法二）因为()f x 关于点()1,2对称，所以()()12g x f x =+-是奇函数，且在区间()1,1-上单调递增.由()()214f m f m -+<，即()()2122f m f m ⎡⎤--<--⎣⎦，即()()221g m g m -<--，所以()()221g m g m -<-，所以221,1221111,m m m m -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得112m <<.所以实数m 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.17.已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n nn a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为nT .若()*2115N i i i T TT i ++⋅=∈，求i 的值.【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）计算出11a =，25a =，37a =，417a =.，进而得到123,,b b b ，根据等比数列得到方程，求出2λ=，验证后得到答案；（2）求出223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅，分n 为偶数和n 为奇数时，得到n T ，20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数，从而得到方程，求出2i =.【小问1详解】因为(1)2n nn a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故为等比数列，所以2λ=符合题意.【小问2详解】223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅，当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ ；当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),21,N 23(1),2,N 2n n n n k k T n n n k k **⎧+=-∈⎪⎪=⎨⎪-+=∈⎪⎩，因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.已知函数()2e31,x af x ax ax a -=+-+∈R ．（1）当1a >时，试判断()f x 在[)1,+∞上零点的个数，并说明理由；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1个，理由见解析（2）(],1-∞【解析】【分析】（1）根据题意，将函数零点问题转化为导函数极值点问题，再由零点存在定理代入计算，即可判断；（2）根据题意，分1a >与1a ≤讨论，利用导数判断函数的单调性，然后再由(0)e 3a f a -'=-的正负分情况讨论，代入计算，即可求解.【小问1详解】()11e 21a f a -=-+，令()()e 23x a a m f x a x x -='=+-，则()11e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x am x a -'=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为()1111ee 10af a --'=-<-=，()()()21232110f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的()01,x a ∈，使得()00f x '=.当[)01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又10(1)e 21e 210a f a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<，又3(3)e 10a f -=+>，所以当1a >时，()f x 在[)1,+∞上有且只有一个零点.【小问2详解】①当1a >时，10(1)e 21e 210a f a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，故1a >不满足题意.②当1a ≤时，()0e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，令()()m x f x '=，则()e 2x a a m x -=+'，()0e 2am a -'=+.记函数()e 2x q x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当()ln 2,1x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在()ln 2,1-单调递增；当(),ln 2x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()qx 在(),ln 2-∞-单调递减，所以()()ln 222ln 20q x q ≥-=->，所以()00m '>.又因为()m x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()00m x m '≥>'，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增.（i ）若(0)e 30a f a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若()0e30af a -'=-<，则()00,1a ∃∈，使得00e 30a a --=，即(]0,1a a ∈，使得()0e30af a -'=-<，因为()11e 0af a -'=-≥，且()f x '在[)0,+∞上单调递增，所以存在唯一的(]10,1x ∈，使得()10fx '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中(]10,1x ∈，且11e230x aax a -+-=.所以()12111()e31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为(]10,1x ∈，所以[)211531,3x x -+∈-.又因为(]0,1a a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】关键点点睛：第二问，应用分类讨论，结合导数问题中隐零点的处理方法判断区间函数值符号为解决本问的关键.19.若存在常数(0)k k >，使得对定义域D 内的任意()1212x x x x ≠，，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是"k -利普希兹条件函数".（1）判断函数=1是否是区间[)1+∞，上的"1-利普希兹条件函数"？并说明理由；（2）已知函数()3f x x=是区间[]0(0)a a >，上的"3-利普希兹条件函数"，求实数a 的取值范围;（3）若函数()f x 为连续函数，其导函数为()f x '，若()(),f x K K '∈-，其中01K <<，且()01f =.定义数列{}()11:0n n n x x x f x -==，，证明:()11n f x K<-.【答案】（1）是的，理由见解析（2）(]0,1（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义只需证明()()1212f x f x x x -≤-即可判断；（2）将不等式变为关于12,x x 的不等式,结合定义域即可求得参数；（3）先根据导函数得出函数得最大值，多次应用新定义结合累加法即可得出答案.【小问1详解】依题意，[)()()1212121212111,1,x x f x f x x x x x x x ∞∀∈+-=-=-，，注意到[)12,1,x x ∞∈+，因此121x x ≥，从而1211x x ≤，故()()121212121f x f x x x x x x x -=-≤-，即()f x 是区间[)1,∞+上的"1一利普希兹条件函数".【小问2详解】依题意，[]12,0,x x a ∀∈，均有()()12123f x f x x x -≤-，不妨设21x x >，则()()212133f x f x x x -≤-，即()()221133f x x f x x -≤-，设()()333p x f x x x x =-=-，则()p x 单调递减，第21页/共21页故()[]2330,0,p x x x a =-≤∀∈'恒成立，即2033a <≤，因此(]0,1a ∈.【小问3详解】因为()(),f x K K '∈-，设()()g x f x Kx =+，则()()0g x f x K ''=+>，故()g x 为单调递增函数，则12x x ∀<，恒有()()12g x g x <，即()()()()()11221221f x Kx f x Kx f x f x K x x +<+⇔-<-，设()()h x f x Kx =-，则()()0h x f x K ''=-<，故ℎ为单调递减函数，则12x x ∀<，恒有()()12h x h x >，即()()()()()11222121f x Kx f x Kx K x x f x f x ->-⇔->-，综上可知，()()1212f x f x K x x -<-，则()()()212121f x f x K x x K x K f x K -<-===，当2n ≥时，()()()()2111212n n n n n n n n f x f x K x x K f x f x K x x -------<-=-<-()()2112121n n n K f x f x K x x K ---==-<-= ，则()()()()()()()()112211n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x ---=-+-++-+ ()()()()()()()1211221111111n n n n n n n K f x f x f x f x f x f x f x K K K K K------≤-+-++-+<++++=<-- ，综上可知，()11n f x K<-.【点睛】关键点点睛：第（3）问先根据导函数得出函数得最大值，多次应用新定义结合累加法即可得出答案.。
2022年 衡水中学高三上学期第六次调研考试文数模拟练习解析解析版配套精选
2021-2021学年度上学期高三年级六调考试文数试卷第一卷一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，那么．应选：A．2. 复数，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选C.3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象〔〕A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】试题分析：因为，所以只需将函数的图像向右平移各单位即可得到函数的图象。
故D正确.4. 双曲线的离心率为〔〕A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】由双曲线的标准方程可知，，且，得，所以，所以，应选B.5. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量〔吨〕与相应的生产能耗〔吨标准煤〕的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为〔〕A. 4B. 3C.D.【答案】B【解析】由中的数据可得：，∵数据中心点一定在回归直线上∴，解得，应选：B．6. 执行如下图的程序框图，那么输出的结果为〔〕A. B. C. -1 D. 2【答案】D【解析】模拟执行程序，可得，满足条件，；满足条件；满足条件…观察规律可知，的取值以为周期，由，从而有：满足条件；不满足条件，退出循环，输出的值为．7. 函数，那么其导函数的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴其导函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除A，B，当时，，故排除D，应选：C．8. 设直线与纵轴有直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，该点恰好在区域的概率为〔〕A. B. C. D. 以上答案均不正确【答案】B【解析】画出由曲线与纵轴及直线所围成的封闭图形区域〔阴影局部〕，以及不等式组所确定的区域，如下图，那么在区域内随机取一点，该点恰好在区域的概率为：．应选：B．9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体最长的棱长等于〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如下图，由直观图可知，最长的棱为.10. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，假设的图象都经过点，那么的值不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D11. 是圆〔为圆心〕上一动点，线段的垂直平分线交于，那么动点的轨迹方程为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴，∴点轨迹是以为焦点的椭圆，，∴，∴动点的轨迹方为程,应选：D．点睛：此题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的关键．由题意得，∴，利用椭圆的定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，求出的值，即可求得椭圆的方程．12. 函数，假设对任意的，都有成立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，g′〔x〕= ，由上表可知，在处取得最大值，即，所以当时，恒成立，等价于恒成立，记，所以，可知，当时，，那么在上单调递增；当时，，那么在上单调递减；故当时，函数u〔x〕在区间，上取得最大值，所以，故实数的取值范围是，应选A．点睛：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般的对于对任意的，使得成立，将其转化函数的最大值小于的最小值；〔一般的对于对任意的，使得成立，将其转化函数的最小值小于的最大值〕建立不等式，即可求出结果.第二卷二、填空题:此题共4小题,每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上13. 一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，那么它的外接球的外表积为__________．【答案】【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为，∴外接球的半径为，∴外接球的外表积为．14. 实数满足，那么目标函数的最小值为__________．【答案】-2【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数到达最小值，∴.15. 假设向量夹角为，且，那么与的夹角为__________．【答案】【解析】,所以, ,设夹角为,那么,那么.16. 实数满足，实数满足，那么的最小值为__________．【答案】1点睛：的几何意义是点到点的距离的平方，而点在曲线上，点在直线上．故的最小值就是曲线上与直线平行的切线到该直线的距离的平方．利用导数求出曲线上斜率为的切线方程，再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 等差数列的前项和为，且成等比数列.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设数列的公差不为0，数列满足，求数列的前项和.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕由题得，，设等差数列的公差为，那么，得或.分和时，再根据，即可求出结果；〔2〕由题意可知，，然后再利用错位相减即可求出结果.试题解析：〔1〕由题得，，设等差数列的公差为，那么，化简，得或.当时，，得，∴，即；当时，由，得，即；〔2〕由题意可知，，∴，①，②①-②，得，∴.18. 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：〔1〕如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？〔2〕假设不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？〔3〕学生的学习积极性与对待班极工作的态度是否有关系？请说明理由.附：【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕有%的把握.【解析】试题分析：〔1〕随机调查这个班的一名学生，有种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有种情况，即可求出概率；〔2〕利用列举法确定根本领件的个数，即可求出两名学生中有名男生的概率是多少；〔3〕求出，与临界值比拟，即可得出结论．试题解析：〔1〕由题知，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人，所以；〔2〕设这7名学生分别为〔大写为男生〕，那么从中抽取两名学生的情况有：，，共21种情况，其中有1名男生的有10种情况，∴．〔3〕由题意得，，故有%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度〞有关系．19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为棱上一点.〔1〕证明：平面平面；〔2〕假设平面，求三棱锥的体积.【答案】〔1〕详见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由得，由此能证明平面⊥平面．〔Ⅱ〕由得，取中点，连结，由此利用，能求出三棱锥的体积．试题解析：〔1〕∵平面平面，∴．∵四边形是菱形，∴．又∵，∴平面．而平面，∴平面平面；〔2〕连接，∵平面，平面平面，∴．∵是的中点，∴是的中点．取的中点，连接，∵四边形是菱形，，∴，又，∴平面，且，故．20. 抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为3，且点在圆上.〔1〕求抛物线的方程；〔2〕椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为.直线交椭圆于两个不同的点，假设原点在以线段为直径的圆的外部，求实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕设点的坐标为，列出关于的方程组，即可求解抛物线方程．〔2〕利用条件推出的关系，设，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于，求出的范围，通过原点在以线段为直径的圆的外部，推出，然后求解的范围即可．试题解析：〔1〕设点的坐标为．由题可知，，解得，∴抛物线的方程为；〔2〕由〔1〕得，抛物线的焦点，∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆的半焦距，即，又椭圆的离心率为，∴，即，∴椭圆的方程为，设，由，得，由韦达定理，得，由，得，解得或，①∵原点在以线段的圆的外部，那么，∴，即，②由①，②得，实数的范围是或，即实数的取值范围是．点睛：此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，在解题过程中关键点是利用原点在以线段的圆的外部，将其转化为，然后再根据韦达定理对其进行化简，然后即可求出的范围.21. 函数，其中均为实数，为自然对数的底数.〔1〕求函数的极值；〔2〕设，假设对任意的恒成立，求实数的最小值.【答案】〔1〕当时，取得极大值，无极小值；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕由题得，，令，得．然后可得单调递增，单调递减，由此即可求出极值；〔2〕当时，可得在区间上为增函数，设，可得在区间上恒成立，∴在区间上为增函数，不妨设，那么等价于，即，设，那么在区间上为减函数，可得在区间上恒成立，转化为，然后再根据函数的单调性即可求出最值.试题解析：〔1〕由题得，，令，得．，列表如下：∴当时，取得极大值，无极小值；〔2〕当时，，∵在区间上恒成立，∴在区间上为增函数，设，∵在区间上恒成立，∴在区间上为增函数，不妨设，那么等价于，即，设，那么在区间上为减函数，∴在区间上恒成立，∴在区间上恒成立，∴，设，∵，∴，那么在区间上为减函数，∴在区间上的最大值，∴，∴实数的最小值为．点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般的对于对任意的，使得成立，将其转化函数的最大值小于的最小值；〔一般的对于对任意的，使得成立，将其转化函数的最小值小于的最大值〕建立不等式，即可求出结果.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线是过点，倾斜角为的直线，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.〔1〕求曲线的普通方程和曲线的一个参数方程；〔2〕曲线与曲线相交于两点，求的值.【答案】〔1〕曲线的普通方程为，由题得，曲线的一个参数方程为〔为参数〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕曲线C的极坐标方程为，把代入可得的直角坐标方程;由题得，曲线的一个参数方程；〔2〕设，把，代入中，整理得，，根据韦达定理，可得,由此即可求出结果.试题解析：〔1〕∵，∴，即曲线的普通方程为，由题得，曲线的一个参数方程为〔为参数〕；23. 选修4-5：不等式选讲设函数.〔1〕解不等式；〔2〕假设存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕先求出的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；〔2〕问题转化为：，求出的最小值，从而求出的范围即可．试题解析：〔1〕由题得，，那么有或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为；〔2〕存在，使不等式成立等价于，由〔1〕知，时，，∴时，，故，即∴实数的取值范围为．。
河北省衡水中学2022届高三数学上学期六调试题 文(含解析)
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
温差
11
13
12
8
发芽数（颗）
26
32
26
17
根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程 中的 ，则求得的 _____；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数 ，再求 与实际发芽数 的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程_____（填“可靠”或“不可靠”）．
又 ， ，
，故选B．
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题．
6.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为（）
把点 的坐标代入直线 ，解得 .
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线 简单几何性质，以及抛物线上一点的求解，属中档题.
11.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 ，不是质数．现设 ， 表示数列 的前n项和．则使不等式 成立的最小正整数n的值是（提示 ）（ ）
河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷+答案解析(附后)
河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（二）数学试题1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 如果复数其中为虚数单位，b为实数为纯虚数，那么( )A. 1B. 2C. 4D.3. “”是命题p：，成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设直线与圆：交于A，B两点，若圆的圆心在线段AB上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧AB上，则圆的半径的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 在平行四边形ABCD中，，点M在AB边上，且，则等于( )A. B. C. 1 D. 26.设，，且，则当取最小值时，__________.7.已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为A，上顶点为B，以线段为直径的圆交线段的延长线于点P，若且线段AP的长为，则该椭圆方程为( )A. B. C. D.8. 已知函数，，直线与函数，的图象分别交于N，M两点，记，函数的极大值为( )A. B. C. D.9. 已知，，则( )A. 若，则B. 若，则C. 的最小值为5D. 若向量与向量的夹角为钝角，则10. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为( )A. B. 2 C. 3 D. 411. 如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是( )A. 的最大值为B. 的最小值为C. D.平面平面12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则( )A.B.C. 取得最小值时n等于5D. 设，为的前n项和，则13. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为__________.14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，则__________.15.如图，在长方体中，，，，则点到平面的距离为__________16. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，则__________；方程在区间内的解的个数是__________.17. 随机抽取某电子厂的某种电子元件400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6元、2元、1元，而1件次品亏损2元.设1件产品的利润单位：元为求1件产品的平均利润即X的数学期望；经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为，如果此时要求1件产品的平均利润不小于元，则三等品率最多是多少？18.已知数列的前n项和为，且设，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角A的大小；若，求面积的最大值及此时边b，c的值.20. 如图所示的多面体是由三棱锥与四棱锥对接而成，其中平面AEB，，，，，，G是BC的中点．求证：；求平面DEG与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．21. 已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，求抛物线C的方程；设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．22. 已知函数的图象在处的切线为若函数，求函数的单调区间；设函数图象上存在一点处的切线为直线l，若直线l也是曲线的切线，证明：实数存在，且唯一.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合交集，属于基础题.根据给定条件结合交集的定义直接计算即可判断作答.【解答】解：因集合，，所以，故选2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的基本概念，复数的除法运算，属于基础题.根据给定条件利用复数的除法运算化简复数，再结合复数的分类即可作答.【解答】解：，因复数为纯虚数，于是得且，解得，所以故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查对数函数的应用，属于一般题.根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答】解：当时，在上单调递增，而此时，所以，成立，因此“”是命题p：，成立的充分条件；若，，则可知，且时，，因此，从而可得，故必要性成立.故选4.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，韦达定理的应用，属于中档题.先根据圆的方程找出圆心坐标与半径R的值，由题可知当圆的圆心为线段AB的中点时，圆与圆相切，切点在圆的劣弧AB上，此时圆的半径r的最大，利用距离公式求出两圆心的距离等于1，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆的半径最大值.【解答】解：由圆，可得圆心，半径，设圆的半径为r，则即故当最小时，r取最大值如图，当圆心为线段AB的中点时，取最小值且圆与圆相切，切点在圆的劣弧AB上，设切点为P，联立直线与圆的方程得，消去y得到，设，，则，线段AB的中点的横坐标为，把代入直线方程中解得，，两圆心之间的距离，圆的最大半径故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算，向量加法运算的应用，属于一般题.作于E，于F，用，进行转化，运算即可.【解答】解：如图，作于E，于F，易得，，则故选6.【答案】12【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于中档题．当取最小值时，取最小值，变形可得，由基本不等式和等号成立的条件可得．【解答】解：，，当取最小值时，取最小值，，，，，，，当且仅当即时取等号，当取最小值时，即，时，则，，故答案为7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，属于一般题.推导出、是等腰直角三角形，可得出以及，可求出a、c的值，进而可求得b的值，由此可得出该椭圆的方程.【解答】解：设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段为直径的圆上，所以又因为，所以又因为，所以是等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形，，，，得，解得，，得，所以椭圆方程为故选8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数求函数极值，属于中档题．由题意可设，则，利用函数的性质可求函数的极大值即可.【解答】解：设，，，，由，，，，解得，或，由，得，，，解得，当时，函数有极大值为故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查向量的坐标运算，向量平行、垂直和向量的夹角，属于基础题．直接利用向量的共线，向量的模，向量的数量积，向量的夹角的应用判断各选项的正误．【解答】解：由，得，A不正确;由，，，B正确;，当时，取得最小值5，C正确;当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量的夹角为钝角，则或，D不正确.10.【答案】AB【解析】【分析】本题考查正弦型函数单调性的应用，函数图象变换，属于中档题.根据给定条件求出函数的解析式，进而求出的含有数0的单调递增区间，再借助集合的包含关系列式作答.【解答】解：依题意，，由，得：，于是得的一个单调递增区间是，因为在上为增函数，因此，，即有，解得，所以，选项C，D不满足，选项A，B满足.故选11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，空间位置关系的判定，属较难题.当时，为钝角，A错误；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，可知B正确，利用平面，可得，C正确;利用平面平面，得出平面平面，D正确.【解答】解：设，则，，，当时，，即为钝角，错误；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在上图中，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，正确；由正方体的结构特征可知，，，且平面，平面，又平面，，C正确；平面即为平面，平面即为平面，且平面，平面，平面平面，平面平面，正确.故选：12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于中档题.根据给定条件求出等差数列的公差d，再逐项分析计算即可判断作答.【解答】解：在等差数列中，因，，则公差，则，，A，B正确；，当且仅当，即时取“=”，因，且，，，则取最小值时，n等于6，C不正确；因，则，D正确.故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，属于基础题.根据离心率为2，得到的值，从而得到两条渐近线方程，进而可得结果.【解答】解：，，故，所以，两条渐近线方程为：，故两条渐近线对应的倾斜角分别为和，两条渐近线所成的锐角为故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式、诱导公式的应用，属于一般题.利用正弦定理化边为角，再逆用两角和的正弦公式化简，结合三角形的内角和以及诱导公式即可求解.【解答】解：因为，由正弦定理可得：，即，所以，在中，因为，所以，即，所以，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题考查等体积法求点到面的距离，属基础题．利用，可求点到平面的距离．【解答】解：设点到平面的距离为d，由，可得，又，，解得故答案为：16.【答案】11【解析】【分析】本题考查求函数值，方程根的个数，属于中档题.根据得；根据题意作出和的图象，数形结合即可得答案.【解答】解：，…；在同一坐标系中画出满足条件：①定义域为R；②，有；③当时，的函数与函数的图象：观察图象可得：两个函数的图象在区间内共有11个交点，则方程在区间内的解的个数是：故答案为；17.【答案】解：的所有可能取值有6，2，1，，，，，故X的分布列为X621P设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得，三等品率最多为【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于一般题.的所有可能取值有6，2，1，，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．设技术革新后的三等品率为x，求出此时1件产品的平均利润为，由此能求出三等品率的最大值．18.【答案】证明：由，①则当时，有②①-②得两边同除以，得，即，即，所以数列是等差数列.由，得则，所以，，故公差，所以是以为首项，为公差的等差数列.解：由可知数列是首项为，公差为的等差数列.，即，，③，④③-④得…【解析】本题考查等差数列的判定与通项公式，利用错位相减法求数列的和，数列的递推关系，属于中档题.由已知数列的递推关系可得，与原递推式相减可得，两边同除以，得，即可证得数列是等差数列；由求出数列的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法可得数列的前n项和19.【答案】解：在中由正弦定理得：，为外接圆半径，，，化简得：即，，，，由余弦定理得，又，，，又，，则，当且仅当时，的面积取得最大值为【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于一般题.结合正弦定理化简已知条件，求得，从而求得A的大小.利用余弦定理列方程，结合基本不等式，三角形面积公式求解即可.20.【答案】解：证明：平面AEB，平面AEB，，又，，EB，平面BCFE，平面过D作交EF于H，则平面平面BCFE，，，四边形AEHD为平行四边形，，，又，，四边形BGHE为正方形，，又，平面BHD，平面BHD，平面平面BHD，解：平面BCFE，平面AEFD，平面平面BCFE由可知，平面AEFD平面AEFD，取DE的中点M，连接MH，MG ，如图四边形AEHD是正方形，，平面GHM，平面GHM，平面GHM，是二面角的平面角，在中，，，，，平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为【解析】本题考查线线垂直，考查面面角，属于中等题.证明，只需证明平面BHD，证明，即可；先证明是二面角的平面角，再在中，可求平面DEG与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.21.【答案】解：因为，在抛物线方程中，令，可得于是当直线与x轴垂直时，，解得所以抛物线的方程为由题意知直线AB的方程为，因为抛物线的准线方程为，所以由，消去x得设，，则，若点满足条件，则，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以代入化简可得，将，代入，解得将代入抛物线方程，可得于是点为满足题意的点．【解析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题.由题意可得，即可求出抛物线的方程.由题意知直线AB的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标.22.【答案】解：函数定义域为，求导得：，因的图象在处的切线为，则有，解得，即，因此，，且，，所以函数的单调递增区间为和，无单调递减区间.证明：由函数得，，，则切线l的方程为，即，设直线l与曲线相切于点，由求导得：，则直线l的方程也为，即，因此有：，即，整理得：，由知，在区间上递增，又，，于是得方程必在区间上有唯一的根，即方程在上有唯一的根，因，，因此，方程在上唯一的根就是，而，所以存在，且唯一.【解析】本题考查导数的应用，导数的几何意义，属于难题.根据给定条件结合导数的几何意义求出函数，再借助导数求出函数的单调区间.利用导数的几何意义求出直线l，设出l与曲线相切的切点，写出由该切点所得的切线l，再借助函数性质，结合函数的零点即可推理作答.。
2023年河北省衡水中学高考数学六调试卷+答案解析(附后)
2023年河北省衡水中学高考数学六调试卷1. 某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为( )A. 40B. 36C. 34D. 322. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则k ，c 的值分别是( )A. ，eB.C. D. 2，e4.设向量与的夹角为，定义已知向量为单位向量，，，则( )A. B.C.D.5. 的展开式中的系数为( )A. 5B. C. 15 D.6. 用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方法种数为( )A. 6B. 10C. 16D. 207. 为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育、美育、书法三门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为( )A. B. C. D.8. 已知实数a ，b ，c 满足，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.B.C.D.9. 某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生都参加且每人只参加其中一个社团，校团委从全校学生中随机选取一部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，则( )A. 选取的这部分学生的总人数为500B. 合唱社团的人数占样本总量的C. 选取的学生中参加机器人社团的人数为75D. 选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍10. 在二项式的展开式中( )A. 常数项是第4项B. 所有项的系数和为1C. 第5项的二项式系数最大D. 第4项的系数最小11. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是( )A. A与B相互独立B. A与D互为对立C. B与C互斥D. B与D相互独立12. 已知数列的前n项和为，且或的概率均为…，，设能被3整除的概率为，则( )A. B.C. D. 当时，13. 有一组样本数据，，，，该样本的平均数和方差均为在该组数据中加入1个数m，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________.14.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是合格品的概率为______.15. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出，令，记是的前n项和，则______ .16. 在三棱锥中，若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______ .17. 从某酒店开车到机场有两条路线，为了解这两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间单位：，数据如表所示：路线一44586650344250386256路线二62566862586161526159将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和，经计算可得求；假设路线一的全程时间X服从正态分布，路线二的全程时间Y服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲、乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人的要求，司机送甲、乙去机场应该分别选哪条路线？18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求A；若D为线段BC延长线上的一点，且，，求19. 某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．在试产初期，该款芯片的批次M生产前三道工序的次品率分别为，，①求批次M芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次M的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率；该企业改进生产工艺后生产了批次N的芯片．某手机生产厂商获得批次M与批次N的芯片，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，安装批次M有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N有60部，其中对开机速度满意的有58人．依据的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关？附：20. 某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值其中：，得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值m或等级A级B级根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在的零件的件数为，求的分布列和数学期望；该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.21. 如图，直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E ，F分别为AC，BC，的中点，，G为线段DE上一动点.证明：；求平面与平面夹角的余弦值的最大值.22. 汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码12345销量万辆1012172026统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；为了解购车车主的性别与购车种类分为新能源汽车与传统燃油汽油车的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人；②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当w为何值时，最大．附：为回归方程，答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据分层抽样的定义可得此样本中女生人数为人．故选：根据分层抽样的定义建立比例关系即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．2.【答案】A【解析】解：因为，所以令，解得或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：化简z，求出，由求得a的取值范围，由充分必要条件的定义即可得解．本题主要考查充分必要条件的判断，复数的运算，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意得，由题意可知，，则又经验回归方程为，，，即故选：由，得，结合，即可求解．本题考查线性回归方程的运用，是中档题．4.【答案】C【解析】解：已知向量为单位向量，则，又，解得，又，，，故选：先阅读题意，然后结合平面向量数量积的运算及平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．5.【答案】C【解析】解：可看作5个相乘，展开式中可由2种情况获得：①在这5个因式中，取2个式子提供，3个式子提供，则可得到；②在这5个因式中，取1个式子提供，4个式子提供，则可得到，所以的展开式中的系数为故选：利用二项式定理，分类讨论即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：按从左到右数，当第一个是白色时，数到第一个格子时，黑色的格子数为0，白色的格子数为1，不满足黑色格子不少于白色格⼦，同理数到其余格子时也一样，所以不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方案的树状图如下：满足题意的染色方法种数为故选：根据题意画出树状图即可得解．本题考查利用树状图列举事件是情况，属基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查古典概型及其计算，以及排列组合问题，属于中档题．先利用均匀分组和不均匀分组求出6名同学选3种课程的所有可能，再求出恰好有2名同学选传统体育的所有可能，再结合古典概型公式求解．【解答】解：6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一位同学选修，共有种，恰有2名同学选修传统体育的情况：种，则恰有2名同学选修传统体育的概率为故选8.【答案】C【解析】解：由题意知，，，由，得，，，设，则，当时，，单调递增，因，当且仅当时取等号，故，又，所以，故，，则，即有，故故选：通过形式构造函数，通过的性质判断大小关系．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数的大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：A选项，由题意可得，参加演讲社团的人数为50人，占选取的学生总人数的，所以选取的学生的总人数为人，故A正确；B选项，合唱社团的人数为200，则合唱社团的人数占样本总量的，故B错误；C选项，选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的，所以选取的学生中参加机器人社团的人数为人，故C正确；D选项，选取的学生中参加合唱社团的人数为200人，参加机器人社团的人数为75人，故D错误．故选：根据图条形和饼形图逐项求解即可．本题考查统计图的应用，是基础题．10.【答案】BCD【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，对于A，令，得，故常数项是第5项，故A错误；对于B，令，可得所有项的系数和是，故B正确；对于C，由可得，展开式共9项，则第5项的二项式系数最大，故C正确；对于D，因为二项式的展开式的通项公式为，假设第项的系数的绝对值最大，则解得又，所以或，当时，；当时，，所以第4项的系数最小，故D正确．故选：利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，共个基本事件，事件A共4个基本事件，事件B共6个基本事件，事件C共6个基本事件，事件D共8个基本事件，A.由于，，，故成立，所以A与B相互独立，故A正确；B.由于Ø，，故A与D是对立事件，故B正确；C.由于Ø，故B与C不互斥，故C不正确；D.由于，，，故成立，所以B 与D相互独立，故D正确．故选：根据事件相互独立、互斥、对立的概念，逐一判断可得选项．本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．12.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得，利用递推关系求出，逐项分析可得答案．本题考查等比数列的性质与概率的求法，是中档题．【解答】解：由题可知，被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2，能被3整除的概率为，被3整除的余数分别为1，2的概率为，，，且，为首项为，公比为的等比数列，，即，，A错误；，B正确；，C正确；当，且n为偶数时，，D错误．故选：13.【答案】【解析】【分析】根据平均数和方差的定义计算即可．本题考查了平均数和方差的计算问题，是基础题．【解答】解：样本数据，，，，该样本的平均数和方差均为m，在该组数据中加入1个数m，则新样本数据的平均数为，方差为故答案为：14.【答案】【解析】解：从混合产品中任取1件．取到这件产品是合格品包含以下两种情况，①从第一批抽取，取到这件产品是合格品的概率为，②从第二批抽取，取到这件产品是合格品的概率为，则取到这件产品是合格品的概率为，故答案为：先分为两种情况，再利用全概率公式求解．本题考查全概率公式的应用，属于中档题．15.【答案】【解析】解：依题意，由，可得，当时，则有，，，故答案为：本题由题干已知条件可得，再将代入可得，进一步推导可得，然后代入的表达式并运用裂项相消法进行化简整理可得，最后在求和时运用分组求和法和裂项相消法即可推导出的表达式．本题主要考查数列与组合的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，裂项相消法，组合的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16.【答案】【解析】解：由三棱锥中，；可得，所以，且，所以在中，由余弦定理得，所以，所以又，PA，平面PAC，所以平面PAC，故可将三棱锥补为直三棱柱，如图所示，则直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球．设外接圆圆心为，的外接圆圆心为，则直三棱柱的外接球球心为的中点O，连接OA，则OA即为外接球的半径．在中，根据正弦定理可得，所以，所以，所以该外接球的表面积为故答案为：根据已知推得平面PAC，可将三棱锥补为直三棱柱，转化为求直三棱柱的外接球半径即可求解结论．本题考查球的表面积，考查转化的思想和计算能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，所以，；由知，，由知，，因为，且，所以，因为，，，所以，所以送甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二．【解析】根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．根据已知条件，结合正态曲线的对称性，即可求解．本题主要考查正态曲线的对称性，以及平均数和方差公式，属于中档题．18.【答案】解：由已知得，由正弦定理，得，则，即，所以舍去或，故，所以设，在中，由正弦定理，得①，在中，由正弦定理，得②，所以，所以，解得，又，所以，即【解析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得，可得，利用三角形内角和定理即可求解A的值．设，在，中，由正弦定理，得，利用三角函数恒等变换的应用可求的值，进而可求的值．本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：①批次M芯片的次品率为②设批次M的芯片智能自功检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，则，所以工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，零假设为：芯片批次与用户对开机速度满意度无关联，列联表如下：单位：人M N合计不满意 10 2 12满意 30 58 88合计 40 60100，依据的独立性检验，我们推断此推断不成立，认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于【解析】①根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件概率和为1，即可求解．②根据已知条件，求出，，再结合条件概率公式，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：由频率分布直方图可知，质量指标值在250以下的产品所占比例为，在300以下的产品所占比例为，所以分位数一定位于区间内，所以，即估计该产品的质量指标值的分位数为；由频率分布直方图可知，样本的B级零件个数为个，质量指标值在的零件为5个，所以的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123P故的期望；设每箱零件中A级零件有X个，每箱零件的利润为Y元，则B级零件有个，则，由频率分布直方图可知，每箱零件中B级零件的概率为，所以A级零件的概率为，故，所以，所以元即每箱零件的利润是4750元．【解析】根据百分位数在频率分布直方图表示的意义计算即可；先计算出零件为B级的个数，然后求出相应概率，得到分布列，计算出数学期望；设每箱零件中A级零件有X个，每箱零件的利润为Y元，运用期望知识求解利润．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列与期望，同时考查了学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：证明：在直三棱柱中，侧面为正方形，，，又，，平面，又，平面，又平面，，，BC，BB所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建系如图，则，，，，，，，设，则，，，，，即；由可知：，设平面的法向量为，则，即，取，设平面的法向量为，则，即，取，设平面与平面的夹角为，则，令，则，，又函数在上单调递增，时，取最小值，即，时，取得最大值为，故平面与平面夹角的余弦值的最大值为【解析】根据线面垂直的判定定理先证明，再建系，根据向量法即可证明；建系，根据向量法，引入变量，构建函数模型，通过函数思想即可求解．本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理与性质，向量法求解面面角问题，函数思想，属难题．22.【答案】解：由题意得，，，则，关于x的线性回归方程为，则当时，即，解得，故x的最小整数值为12，年份，故该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆；①由题意得该地区200位购车车主中女性有名，则其中购置新能源汽车的女性车主有名，购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，由得当，即时，万辆，该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人；②由题意得，其中，则，则，则，由得或，由得，由得，在上单调递减，在单调递增，当，即，此时时，取得极大值也是最大值，，故当为30名时，最大为【解析】由题意得，，利用公式，即可得出答案；①求出购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，由得该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，即可得出答案；②由题意得，其中，则，则，利用导数研究的单调性，即可得出答案．本题考查线性回归方程和用样本数据估计总体，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
河北省衡水中学高三上学期六调数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（）A．{x|3＜x≤5}B．{x|x≥5}C．{x|x＜3}D．R2．已知复数z=，则=（）A．﹣i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（）A．B．2 C．D．35．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．36．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．C．﹣1 D．27．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．8．设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（）A．B．C．D．以上答案均不正确9．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（）A． B． C．5 D．210．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）A． B．πC． D．11．已知A（﹣1，0），B是圆F：x2﹣2x+y2﹣11=0（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为．14．若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．15．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的公差不为0，数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？ （Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P ﹣EAD 的体积．20．已知抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆C ：x 2+y 2=9上． （Ⅰ）求抛物线C 1的方程； （Ⅱ）已知椭圆C 2：=1（m ＞n ＞0）的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为．直线l ：y=kx ﹣4交椭圆C 2于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围． 21．已知函数f （x ）=mx ﹣alnx ﹣m ，g （x ）=，其中m ，a 均为实数．（Ⅰ）求函数g （x ）的极值；（Ⅱ）设m=1，a ＜0，若对任意的x 1、x 2∈[3，4]（x 1≠x 2），|f （x 2）﹣f （x 1）|＜|﹣|恒成立，求实数a的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A的极坐标方程是．（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程；（2）曲线A与曲线B相交于M，N两点，求|MP|+|NP|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（）A．{x|3＜x≤5}B．{x|x≥5}C．{x|x＜3}D．R【考点】并集及其运算．【分析】求出集合A，然后求解并集即可．【解答】解：集合A={x|y=lg（x﹣3）}={x|x＞3}，B={x|x≤5}，则A∪B=R．故选：D．2．已知复数z=，则=（）A．﹣i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z====，则=﹣1﹣i．故选：D．3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出三参数a，b，c，再根据离心率e=求出离心率．【解答】解：由题意，m2﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1∵双曲线的方程是y2﹣x2=1∴a2=1，b2=3，∴c2=a2+b2=4∴a=1，c=2，∴离心率为e==2．故选：B．5．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．3【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m 的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．C．﹣1 D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，得出y的值是以3为周期的函数，当i=2014=671×3+1时终止循环，求出输出的y值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；y=2，i=1；y=1﹣=，i=2；y=1﹣=﹣1，i=3；y=1﹣=2，i=4；…；∴y的值是以3为周期的函数，则当i=2014=671×3+1时，终止循环，且输出的结果为y=2．故选：D．7．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，故选：C．8．设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（）A．B．C．D．以上答案均不正确【考点】几何概型．【分析】根据题意，画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），以及不等式组所确定的区域E，计算阴影面积与正方形面积比即可．【解答】解：画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），以及不等式组所确定的区域E，如图所示，则在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为：P==．故选：C．9．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（）A． B． C．5 D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形，从而求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体为三棱锥，底面△ABC为俯视图中的直角三角形，∠BAC=90°，其中AC=4，AB=3，BC=5，PB⊥底面ABC，且PB=5，∴∠PBC=∠PBA=90°，∴最长的棱为PC，在Rt△PBC中，由勾股定理得，PC===5．故选：C．10．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）A． B．πC． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ＜，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值【解答】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g （x）=sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以sinθ=，又因为﹣＜θ＜，所以θ=，所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，故选：C．11．已知A（﹣1，0），B是圆F：x2﹣2x+y2﹣11=0（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】利用椭圆的定义判断点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b 的值，即得椭圆的方程．【解答】解：由题意得圆心F（1，0），半径等于2，|PA|=|PB|，∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径2＞|AF|，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，2a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为=1．故选D．12．已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为25π．【考点】球的体积和表面积．【分析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，可得直六棱柱的外接球的直径，即可求出外接球的体积．【解答】解：直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为=25π．故答案为：25π．14．若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=5时，z=x﹣y取得最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最小值3，5）=﹣2∴z最小值=F（故答案为：﹣215．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得的值，由此求得的值，可得||的值，再利用两个向量的夹角公式求得向量与+2的夹角．【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则=||•||•cos60°=2×1×=1，再由=+4+4=4+4+4=12，可得||==2．设向量与+2的夹角为θ，则cosθ====．再由0≤θ≤π可得θ=，故答案为．16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a ﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义是点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，而点（b，a）在曲线y=3x﹣ln（x+1）上，点（d，c）在直线y=2x+上．故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．利用导数求出曲线上斜率为2的切线方程，再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值．【解答】解：由ln（b+1）+a﹣3b=0，得a=3b﹣ln（b+1），则点（b，a）是曲线y=3x﹣ln（x+1）上的任意一点，由2d﹣c+=0，得c=2d+，则点（d，c）是直线y=2x+上的任意一点，因为（a﹣c）2+（b﹣d）2表示点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方，即曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．y'=，令y'=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，则曲线上的点到直线距离的最小值的平方=1．故答案为：1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的公差不为0，数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；（2）求得数列{b n}的通项公式，采用乘以公比错位相减法即可求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）等差数列{a n}公差为d，首项为a1，∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，或d=0．当d=a1，S3=3a1+×a1=9，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1，数列{a n}的通项公式a n=n+1；当d=0时，S3=3a1=9，a1=3，∴数列{a n}的通项公式a n=3；（2）若数列{a n}的公差不为0，a n=n+1，b n=（a n﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n2n，∴b n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=2+2×22+3×23+…+n×2n，2T n=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，两式相减：得﹣T n=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，=2n+1﹣2﹣n×2n+1，∴T n=（n﹣1）2n+1+2．数列{b n}的前n项和T n，T n=（n﹣1）2n+1+2．18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，即可求出概率；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出两名学生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，故概率是…（Ⅱ）设这7名学生为a，b，c，d，e，A，B（大写为男生），则从中抽取两名学生的所有情况是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴．…（Ⅲ）根据∴我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴==．20．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆C2：=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程．（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出，然后求解k的范围即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知…解得：，所以抛物线C1的方程为：y2=8x…（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4，∵椭圆C2的离心率为，∴，，∴椭圆C2的方程为：…设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0由韦达定理得：，…由△＞0⇒（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0或…①…∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则，∴===…②由①、②得实数k 的范围是或…21．已知函数f （x ）=mx ﹣alnx ﹣m ，g （x ）=，其中m ，a 均为实数．（Ⅰ）求函数g （x ）的极值； （Ⅱ）设m=1，a ＜0，若对任意的x 1、x 2∈[3，4]（x 1≠x 2），|f （x 2）﹣f （x 1）|＜|﹣|恒成立，求实数a 的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）对函数g （x ）求导，得到g'（x ）=0，得到极值点，求出极值．（Ⅱ）不妨设x 2＞x 1，则等价于：f （x 2）﹣f （x 1）＜h （x 2）﹣h （x 1），即f （x 2）﹣h （x 2）＜f （x 1）﹣h （x 1），分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．【解答】解：（Ⅰ），令g'（x ）=0，得x=1，列表如下：∴当x=1时，g （x ）取得极大值g （1）=1，无极小值；（Ⅱ）当m=1时，a ＜0时，f （x ）=x ﹣alnx ﹣1，x ∈（0，+∞），∵在[3，4]恒成立，∴f （x ）在[3，4]上为增函数，设，∵在[3，4]上恒成立，∴h （x ）在[3，4]上为增函数，不妨设x 2＞x 1，则等价于：f （x 2）﹣f （x 1）＜h （x 2）﹣h （x 1），即f （x 2）﹣h （x 2）＜f （x 1）﹣h （x 1），设u （x ）=f （x ）﹣h （x ）=，则u （x ）在[3，4]上为减函数，∴在[3，4]上恒成立，∴恒成立，∴，x∈[3，4]，设，∵，x ∈[3，4]，∴，∴v'（x）＜0，v（x）为减函数，∴v（x）在[3，4]上的最大值，∴，∴a的最小值为；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A的极坐标方程是．（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程；（2）曲线A与曲线B相交于M，N两点，求|MP|+|NP|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线A的极坐标方程得到ρ2（3+sin2θ）=12，由此能求出曲线A的普通方程，由曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，能求出曲线B 的一个参数方程．（2）设|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，把，代入中得，，由此利用韦达定理能求出|MP|+|NP|的值．【解答】解：（1）∵，∴ρ2（3+sin2θ）=12，即曲线A的普通方程为，∵曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，∴由题得，曲线B的一个参数方程为（t为参数）．（2）设|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，把，代入中，得，整理得，，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为：a+1＞（f（x））min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+3|+|x﹣1|，∴f（x）=…∴f（x）＞4⇔或或…⇔x＜﹣2或0＜x≤1或x＞1 …综上所述，不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）…（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立⇔a+1＞（f（x））min…由（Ⅰ）知，时，f（x）=x+4，∴x=﹣时，（f（x））min=…a+1＞⇔a＞…∴实数a的取值范围为（，+∞）…．2017年4月10日。
衡水中学2022-2023学年度上学期高三年级六调考试数学试题及答案
2022-2023学年度上学期高三年级六调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某年级有男生180人，女生160人，现用分层随机抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则样本中女生人数为（ ） A.40 B.36 C.34 D.322.设2i,ia a R z +∈=，则“1a >”是“z >的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.以模型(0)kx y ce c =>去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到经验回归方程21z x =−，则,k c 的值分别是（ ） A.2,e − B.12,e C.12,e− D.2,e 4.设向量a 与b 的夹角为θ，定义sin cos a b a b θθ⊕=+.已知向量a 为单位向量，2b =，1a b −=，则a b ⊕=（ ）A.2 C.2D.5.5311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A.5B.-5C.15D.-156.用黑白两种颜色随机地染如图所示的5个格子，每个格子染一种颜色，则从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（ ）A.6B.10C.16D.207.为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育､美育､书法三门选修课程.该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为（ ）A.536 B.16 C.736D.7188.已知实数,,a b c 满足ln ln ln 0a a b ce b c==−<，则（ ）A.b a c <<B.c b a <<C.a b c <<D.c a b <<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生都参加且每人只参加其中一个社团，校团委从全校学生中随机选取一部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，则（ ）A.选取的这部分学生的总人数为500B.合唱社团的人数占样本总量的35%C.选取的学生中参加机器人社团的人数为75D.选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍10.在二项式8⎛⎝的展开式中（ ）A.常数项是第4项B.所有项的系数和为1C.第5项的二项式系数最大D.第4项的系数最小11.盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A =“两个球颜色相同”，B =“第1次取出的是红球”.C =“第2次取出的是红球”，D =“两个球颜色不同”，则（ ）A.A 与B 相互独立B.A 与D 互为对立事件C.B 与C 互斥D.B 与D 相互独立12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1i a =或2i a =的概率均为()11,2,3,,2i n =.设nS 能被3整除的概率为n P ，则（ ） A.21P = B.314P = C.113411024P =D.当5n …时，13n P <第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13，有一组样本数据1234,,,x x x x .，该样本的平均数和方差均为m .在该组数据中加入一个数m ，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________.14，两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则取到这件产品是合格品的概率为__________.15.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数()11rn n C +，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出()()1111111r r r n n n n C n C nC +−+=++，令()()221111111312306012n n n a n C n C+=++++++++，记n S 是{}n a 的前n 项和，则n S =__________.16.在三棱锥P ABC −中，,24,PAC PAB PA PB AC AB BC ∠∠======若三棱锥P ABC −的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）从某酒店开车到机场有两条路线，为了解这两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min ），数据如下表所示：将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ，经计算可得50,60x y ==. （1）求2212,s s ；（2）假设路线一的全程时间X 服从正态分布()211,N μσ，路线二的全程时间Y 服从正态分布()222,N μσ，分别用2212,,,s x y s 作为221212,,,μμσσ的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过60min ，乙要求路上时间不超过70min ，为尽可能满足客人的要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？ 18.（12分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()cos cos cos 0a B C b c B C ++++=.（1）求A ；（2）若D 为线段BC 延长线上的一点，且,3BA AD BD CD ⊥=，求sin ACD ∠. 19.（12分）某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检. （1）在试产初期，批次M 芯片生产前三道工序的次品率分别为123111,,605958P P P ===. （i ）求批次M 芯片的次品率M P ；（ii ）第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验，已知智能自动检测显示批次M 芯片的合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率；（2）该企业改进生产工艺后生产了批次 N 的芯片.某手机生产厂商获得批次M 与批次N 的芯片，并在某款新型手机上使用，现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装批次M 芯片的有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N 芯片的有60部，其中对开机速度满意的有58人.依据0.005α=的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度的满意度有关？附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m （其中：100400m ≤≤），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：（2）从样本的B 级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350,400]的零件的件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A 级零件的利润是10元，一个B 级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润. 21.（12分）如图，直三棱柱111A B C ABC −中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，D ，E ，F 分别为AC ，BC ，1B B 的中点，111C F A B ⊥，G 为线段DE 上一动点.（1）证明：11C F AG ⊥；（2）求平面11GA C 与平面11GA B 夹角的余弦值的最大值. 22.（12分）汽车尾气排放超标是全球变暖､海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：x 的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车. （i ）若95w =，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；（ii ）设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为()f p ，求当w 为何值时，()f p 最大.附：ˆˆy bx a =+为回归方程，1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==−=−∑∑，ˆˆa y bx=−.参考答案及解析2022-2023学年度上学期高三年级六调考试·数学一､选择题1.D 【解析】由题意得样本中女生人数为1606832180160⨯=+.2.A 【解析】由题意得22i 2i iaz a −==−，所以z ==.令z >1a >或1a <−，故“1a >”是“z >的充分不必要条件.3.B 【解析】由题意得()ln ln ln kxy cec kx ==+，设ln z y =，可得ln z c kx =+.又经验回归方程为21z x =−， 所以ln 1,2c k =−=，故1,2c k e==. 4.C 【解析】由题意得222211a b a a b b −=−⋅+=−=，解得cos 2θ=.又[]0,θπ∈，所以sin 2θ==.所以2222112a b a b a a b b ⊕=+=+⋅+=2=5.C 【解析】5311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭可看作5个311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭相乘，展开式中3x 可由2种情况获得：①从中取2个式子提供3,3x 个式子提供1x ，则可得到()32233353110C x C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②从中取1个式子提供3,4x 个式子提供-1，则可得到()13435144(1)5C x C x −=，故5311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为10515+=.6.B 【解析】由题意得从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有3种：①全染黑色，有1种方法；②第1个格子染黑色，另外4个格子中有1个格子染白色，剩余的格子都染黑色，有144C =种染色方法；③第1个格子染黑色，另外4个格子中有2个格子染白色，剩余的格子都染黑色，有2415C −=（种）染色方法，所以从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有1+4+5=10（种）. 7.D 【解析】6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一名同学选修，共有222112336266534333C C C C C C C A A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭540（种）选课方法，佮有2名同学选修传统体育的选课方法有222122642224210C C C C A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭（种），所以恰有2名同学选修传统体育的概率210754018P ==. 8.C 【解析】由题意知0,0,0a b c >>>，由ln ln ln 0a a b ce b c==−<，得0 1.01,1a b c <<<<>.设()ln (01)xf x x x =<<，则()()21ln 0,x f x f x x−=>'单调递增.因为1x e x x +>…，所以0a e a >>.又ln 0a <，所以ln ln a a a e a>，故ln ln b ab a >，所以()()f b f a >，则b a >，故01a bc <<<<，即a b c <<. 二､多选题9.AC 【解析】由两个统计图可得参加演讲社团的人数为50，占选取的学生总人数的10%，所以选取的学生的总人数为50÷10%=500，故A 正确；合唱社团的人数为200，则合唱社团的人数占样本总量的200500⨯100%=40%，故B 错误；选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的1-40%-20%-15%-10%=15%，所以选取的学生中参加机器人社团的人数为500×15%=75，故C 正确；选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团的人数为75，故D 错误.10.BCD【解析】二项式8⎛⎝的展开式的通项为8818(1)2kk k k kk T C −−+⎛==− ⎝.48k k C x −，对于A ，令40k −=，得4k =，故常数项是第5项，故A 错误；对于B ，令1x =，则所有项的系数和是8(21)1−=，故B 正确；对于C ，展开式共9项，则第5项的二项式系数最大，故C 正确；对于D ，设第(1)k +项的系数的绝对值最大，则888819817822,22,k k k k k k k k C C C C −−−−+−⎧⋅⋅⎨⋅⋅⎩……解得23k 剟.又k Z ∈，所以2k =或3k =，当2k =时，231792T x =；当3k =时，41792T x =−，所以第4项的系数最小，故D 正确.11.ABD 【解析】设2个红球分别为12,,2a a 个白球分别为12,b b ，则样本空间为()(){1211Ω,,,a a a b =，()()()()()(12212122111,,,,,,,,,,a b a a a b a b b a b ,)()()()()}212212221,,,,,,,,a b b b a b a b b ，共12个基本事件，事件()()()({1221122,,,,,,A a a a a b b b =,)}1b ，共4个基本事件，事件()(){1211,,,B a a a b =，()()()()}12212122,,,,,,,a b a a a b a b ，共6个基本事件，事件()()()(){21112112,,,,,,,C a a b a b a a a =，()()}1222,,,b a b a ，共6个基本事件，事件({1D a =,)()()()()()11221221112,,,,,,,,,,b a b a b a b b a b a ，()()}2122,,,b a b a ，共8个基本事件.对于A ，因为()()()416121,,123122126P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =成立，则A 与B 相互独立，故A 正确；对于B ，因为,ΩA D A D ⋂=∅⋃=，所以A 与D 是对立事件，故B 正确；对于C ，因为B C ⋂≠∅，所以B 与C 不互斥，故C 错误；对于D ，因为()()()82141,,1232123P D P B P BD =====，所以()()()P B P D P BD =成立，则B与D 相互独立，故D 正确.12.BC 【解析】由题意得1233221210,,2224P P P =====，故A 错误､B 正确；n S 被3除的余数有3种情况，分别为0,1,2，所以1n P +()112n P =−，则1111323n n P P +⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭.所以1133n P −=−.112n −⎛⎫− ⎪⎝⎭，即1111323n n P −⎛⎫=−⋅−+ ⎪⎝⎭，所以10111113413231024P ⎛⎫=−⨯−+= ⎪⎝⎭，故C 正确；当6n =时，56111111323323P ⎛⎫=−⨯−+=> ⎪⎝⎭，故D 错误.三､填空题13.45m 【解析】样本数据1234,,,x x x x 的平均数和方差均为m ，在该组数据中加入一个数m ，则新样本数据的平均数()145x m m m =⨯⨯+=，方差22144()55s m m m m ⎡⎤=⨯⨯+−=⎣⎦. 14.0.957 【解析】设i A =“取到的产品来自第i 批”()1,2,i B ==“取到合格品”，则()()()()12120.3,0.7,0.95,0.96P A P A P B A P B A ====∣∣，由全概率公式得()()()()()11220.30.950.70.960.957P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=∣∣.15.1122n n −++ 【解析】由()()1111111r r r n n n n C n C nC +−+=++，得()()()12111111221n n nn C n C n C +++=+++，所以()()()()211112112n n C n n n n +=−++++， 所以111111223233434n a ⎛⎫⎛⎫⎛=−+−+−⎪ ⎪ ⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝()()()111145111n n n n n n ⎡⎤⎡⎫++−+−⎢⎥⎢⎪⨯−++⎭⎢⎥⎢⎣⎦⎣ ()()()()11111112212212n n n n n n ⎤=−=−+⎥++++++⎥⎦所以1211223n n n S a a a =+++=−+− 11111111341222222n n n n n n −+−−+=−+=+++++ 16.22π 【解析】由题意得222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，且45PAB ∠=，所以45PAC PAB ∠∠==.在PAC 中，由余弦定理得2222cos 1622410PC AC PA AC PA PAC ∠=+−⋅⋅=+−⨯=，所以22221012PB PC BC +=+==，所以PB PC ⊥.又,,PA PC P PA PC ⋂=⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，故可将三棱锥P ABC −补为直三棱柱11BA C PAC −，如图所示，则直三棱柱11BA C PAC −的外接球即为三棱锥P ABC−的外接球.设PAC外接圆圆心为211,O A BC 的外接圆圆心为1O ，则直三棱柱的外接球球心为12O O 的中点O ，连接OA ，则OA 即为外接球的半径.在PAC中，根据正弦定理可得22sin 2PC O A PAC ∠===，所以2O A =22222212222115222O O OA OO O A O A ⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该外接球的表面积为21144222OA πππ⋅=⨯=四､解答题17.解：（1）()2222222221168161681212610010s =+++++++= (22222222222124822118110s =+++++++++)2116=（2）由（1）知()()2250,10,60,4X N Y N ~~.因为()()6050P X P X >剟，且.()()150602P X P Y ==剟 所以()()6060P X P Y >剟. 因为()()()11702,70P X P X P Y μσ=+>剟?()()()2211682,2P Y P Y P X μσμσ=++=剟?()222P Y μσ+…，所以()()7070P X P Y <剟， 所以送甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二. 18.解：（1）由已知得()()cos cos cos a B C b c A +=+， 由正弦定理，得()()sin cos cos sin sin cos A B C B C A +=+， 则sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A −=−， 即()()sin sin A B C A −=−，所以C B π−=（舍去）或2B C A +=， 故2A A π−=， 所以3A π=.（2）设ACB ∠θ=， 在ACD 中，由正弦定理，得sinsin 6CDACππθ=⎛− ⎝①， 在ABC 中，由正弦定理，得sinsin 33BCACππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭②，所以sin 3sin 6πθπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫− ⎪⎝⎭，1sin cos 222θθ+=，解得tan θ=所以sin 14θ=，即sin 14ACD ∠=. 19.（1）（i ）批次M 芯片的次品率为()()()12359585711111160595820M P P P P =−−−−=−⨯⨯=（ii ）设批次M 的芯片智能自功检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ， 由已知得98119(),()111002020M P A P AB P ==−=−=， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率为()1910095()()209898P AB P B A P A ==⨯=.（2）零假设为0H ：芯片批次与用户对开机速度满意度无关联. 由已知可建立22⨯列联表如下：220.005100(1058230)10.6697.879.40601288x χ⨯⨯−⨯=≈>=⨯⨯⨯根据0.005α=的独立性检验，我们推断此推断0H 不成立，即认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联.此推断犯错误的概率不大于0.005. 20.解：（1）质量指标值在250以下的产品所占比例为()0.0010.0020.003500.30.6++⨯=<，在300以下的产品所占比例为0.30.008500.70.6+⨯=>. 所以60%分位数一定位于区间[)250,300内.由0.60.325050287.50.70.3−+⨯=−，可以估计该产品的质量指标值的60%分位数为287.5.（2）()0.0010.0015010010+⨯⨯=，所以样本的B 级零件个数为10个， 质量指标值在[350，400]的零件为5个， 故ξ可能取的值为0，1，2，3，30553101(0)12C C P C ξ===，()21553105112C C P C ξ===，()12553105212C C P C ξ===，03553101(3)12C C P C ξ===随机变量ξ的分布列为所以()1212122E ξ=++=. （3）设每箱零件中A 级零件有X 个，每箱零件的利润为Y 元，则B 级零件有()500X −个，由题意知：()10550052500Y X X X =+−=+，由（2）知：每箱零件中B 级零件的概率为()0.0010.001500.1+⨯=，A 级零件的概率为1-0.1=0.9所以()~500,0.9X B ， 所以()5000.9450E X =⨯=，所以()()()52500525004750E Y E X E X =+=+=（元）. 所以每箱零件的利润是4750元21.（1）证明：在直三棱柱111A B C ABC −中，侧面11AA B B 为正方形， 所以11111AB A B A B B B ⊥，∥，而111C F A B ⊥，1111,,B B C F F B B C F ⋂=⊂平面11BB C C ， 所以11A B ⊥平面11BB C C ， 所以AB ⊥平面11BB C C ，又BC ⊂平面11BB C C ，，所以BC ⊥，以B 为坐标原点，,,AB BC BB ，所在的直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则11(2,0,2),(0,2,2),(1,1,0),(0,1,0),A C D E1(0,0,1),(0,0,2),F B故()()11,0,0,0,2,1ED C F ==−−.设()01EG ED λλ=剟，则()1,0,0EG λ=，故(,1,0)G λ 所以()12,1,2AG λ=−−， 故()()110,2,12,1,20C F AG λ⋅=−−⋅−−=， 所以11C F AG ⊥，即11C F A G ⊥. （2）解由（1）可知：11111(2,2,0),(2,1.2),(2,0,0)AC AG A B λ=−=−−=−， 设平面11C A G 的法向量为(),,m x y z =，则11100m AC m AG⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2+20(2)20x y x y z λ−=⎧⎨−+−=⎩，令2x =，则2,1y z λ==−，则平面11GA C 的一个法向量为(2,2,1)m λ=−， 设平面11A GB 的法向量为(),,n a b c =，则1110n A B n A G ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20(2)20a a b c λ−=⎧⎨−+−=⎩，则0a =，令1c =，则2b =，则平面11GA B 的一个法向量为(0,2,1)n =， 设平面11GA C 与平面11GA B 的夹角为θ，故|||||cos |c |os ,|||5m n mm n n θ=〈〉==⋅=⋅令3,[3,4]t t λ+=∈，则cos |θ===， 而函数22481y t t =−+在111[,]43t ∈时单调递增，故114t =时，22481y t t=−+取最小值， 即当114t =，即4,1t λ==时，cos θ=5. 故平面11GA C 与平面11GA B . 22.（1）解：由题意得1234535x ++++==，1012172026175y ++++==，1110212317542052269ni ii x y==⨯+⨯+⨯++=⨯⨯∑22222211234555nii x==++++=∑.所以12212955317ˆ45545ni ii nii x ynx ybxnx ==−⋅−⨯⨯===−−∑∑，ˆˆ17435a y bx =−=−⨯=. 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ45y x =+， 令ˆ4550yx =+>，得11.25x >， 又x 为正整数，所以12x …. 所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆.（2）解：（i ）由题意知，该地区200名购车者中女性有200954560−−=名， 故其中购置新能源汽车的女性车主的有602040−=名.所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为408404517=+.所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为817.当7x =时，ˆ47533y=⨯+=， 所以预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆， 因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为83315.517⨯≈万人 （ii ）由题意知，45,013545p w w =≤≤+，11,4p 剟则()3325435()C (1)102f p p p p p p =−=−+所以()()43222()1058310583f p p p pp pp =−+−+'210(1)(53)p p p =−−当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，知()0f p '>所以函数()f p 单调递增 当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，知()0f p '<所以函数()f p 单调递减所以当()3,5p f p =取得最大值即323max 5333216()C 1555625f p f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 此时453455w =+，解得30w =， 故当30w =时()f p 取得最大值216625.。
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考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－4x－12≤0}，B＝{x|4x－4>0}，则A∩B＝A.{x|1<x≤2}B.{x|x≥－2}C.{x|1<x≤6}D.{x|x≥－6}2.已知复数z＝1ii，则z＝A.12＋12i B.12－12i C.－12＋12i D.－12－12i3.某年1月25日至2月12日某旅游景区A及其里面的特色景点a累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是A.1月29日景区A累计参观人次中特色景点a占比超过了1 3B.2月4日至2月10日特色景点a 累计参观人次增加了9700人次C.2月6日至2月8日景区A 累计参观人次的增长率大于特色景点a 累计参观人次的增长率D.2月8日至2月10日景区A 累计参观人次的增长率小于2月6日到2月8日的增长率4.“3sin 2α－sin αcos α－2＝0”是“tan α＝2”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.函数()22sin x 1f x x -=的部分图象是6.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，则AE ＝A.31AD AF 42+B.11AD AF 22+C.13AD AF 24+D.1AD AF 2+ 7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为A.37B.47C.314D.11148.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为双曲线右支上一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为3 3 C.3123＋1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2022届高三数学试题
河北省衡水中学2022届高三上学期六调数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）A ．y n =（0m >）B ．y mx n =+（0m >）C ．2y mx n =+（0m >）D ．x y ma n =+（0m >，0a >且1a ≠）2．要得到函数y x =的图象，只需将函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向上平移4π个单位D ．向下平移4π个单位3．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 12,π则椭圆C 的方程为（ ） A ．221916x y +=B ．22134x y +=C ．2211832x y +=D ．221436x y +=4．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）A ．2xey x =B ．()21x xe y x+=C ．2xe y x=D ．22xe y x=5．在正方体1111ABCD A B C D -中，过点D 作直线l 与异面直线AC 和1BC 所成角均为θ，则θ的最小值为（ ） A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒6．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.已知()4x f x ae =--在R 上为“局部奇函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．[)4,-+∞B ．[)4,0-C ．(],4-∞-D ．(],4-∞7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种8．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为A．3B ．CD ．2二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，越接近于0线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），则()10.5P ξ>=10．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前4项的和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则q 的值可能为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．311．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是非奇非偶函数C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x 12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为43π，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点,,ABC 的球的截面圆的面积为4π B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为3πD ．球离球托底面DEF 1三、填空题13．已知集合{}1,0,1A =-，02x B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则A B =_____________． 14．在6x ⎛ ⎝的展开式中，3x 的系数为 _______15．如图，已知抛物线2y x =及两点()110,A y 和()220,A y ，其中120y y >>.过1A 、2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B 、2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点()330,A y ，此时就称1A 、2A 确定了3A .依此类推，可由2A 、3A 确定4A 、.记()0,n n A y ，1n =、2、3、.给出下列三个结论：①数列{}n y 是递减数列；①对任意*n ∈N ，0n y >；①若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则tan tan tan A B C ++的最小值是______．四、解答题17．已知数列{}n a 满足：2112322216n n a a a a n -++++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）令12log 2n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=，F 是平面ABCD 外一点，在四边形ADEF 中，EA 交FD 于点M .4FD =，2AM =，1ME =，DF =FA CD ⊥.(1)证明：FA ⊥平面ABCD ；(2)求平面MAC 与平面ACB 夹角的余弦值.19．①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a +c =2bcosA . （1）证明：B =2A ；（2）设D 为BC 边上的中点，点E 在AB 边上，满足DE CB DE CA ⋅=⋅，且b =，四边形ACDE ，求线段CE 的长.20．如图所示，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>()2,1P -，（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过Р作两条直线分别交椭圆C 于两点A ，B ，直线PQ 平分APB ∠，且直线AB 过点()1,0R -，求四边形PAQB 的面积．21．十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为1p ，2p ． (1)若13p 4=，223p =，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；(2)当1265p p +=，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？22．已知函数()()ln (0)f x mx x m =->有两个不同的零点1x ，2x . (1)求m 的取值范围；(2)若212x x >，求实数m 的取值范围.参考答案：1．A【分析】根据函数y x =，y =2yx ，12,2xxy y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象特征判断.【详解】在同一坐标系中作出函数y x =，y =2yx ，12,2xxy y ⎛⎫== ⎪⎝⎭在第一象限的图象，如图所示：由函数图象，根据折线图可知，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是y n =（0m >）， 故选：A 2．A【解析】先变形：)2y x x π+，再根据左加右减原理即可得解.【详解】因为)2y x x π=+，所以由函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，根据左加右减，只需向左平移4π个单位. 故选：A. 3．A【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a 、b 的方程组，求解方程组即可得答案．【详解】解：由题意，设椭圆C 的方程为()222210y x a b a b+=>>，因为椭圆C12π，所以12c e a ab ππ⎧⎪===⎨⎪=⎩2216,9a b ==，所以椭圆C 的方程为221169y x +=，故选：A. 4．C【分析】根据题意，用排除法分析排除A 、B 、D ，综合可得答案． 【详解】根据题意，用排除法分析：对于A ，()2xf x ex =，当0x <时，有()0f x <，不符合题意，对于B ，当0x <时，()()210x x e f x x+=<，不符合题意，对于D ，()22x f x e x=，()2218e f =<，不符合题意，故选：C ． 5．B【解析】计算异面直线AC 和1BC 所成角，则θ的最小值为异面直线AC 和1BC 所成角的一半 【详解】解：因为AC ①11A C ，所以11BC A ∠为异面直线AC 和1BC 所成角， 因为1111AC BC A B ==，所以11A BC 是等边三角形，所以1160BC A ∠=︒，过点B 作直线l 的平行线'l ，则当'l 与11BC A ∠的角平分线平行时，θ取得最小值为30︒， 故选：B【点睛】此题考查异面直线所成角，属于基础题． 6．B【分析】由()()f x f x -=-得出a （用x 表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．【详解】因为()4x f x ae =--，所以()4x f x ae --=--，所以44x x ae ae ---=+，则8e e x x a -=-+.因为2x xe e -+≥（当且仅当0x =时，等号成立），所以84e e x x--≥-+，即40a -≤<.故选：B ． 7．B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C CA 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种， 故选：B.8．A【详解】[方法一]：特殊值法2,1x y ==+12xy λμ+=+=+>故选A [方法二]：解析法如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 易得圆的半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+， 则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P xy 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A .【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 9．BCD【分析】直接利用方差关系式的变化和原数据的关系，回归直线方程，相关系数的关系式，正态分布的关系式的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】解：对于A ：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的2a 倍，故A 错误；对于B ：设有一个回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加1个单位时，35(1)355y x x =-+=--，所以平均减少5个单位，故B 正确；对于C ：线性相关系数r 的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，越接近于0线性相关性越弱，故C 正确；对于D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，对称轴为1μ=则(1)0.5P ξ>=，故D 正确；故选：BCD ． 10．AC【分析】根据2a ，31a +，4a 成等差数列，以及数列前4项的和为114a +，求出a 3，再根据2a ，3+1a ，4a 成等差数列，将各项化为a 3和q ，进而求出q .【详解】因为2a ，31a +，4a 成等差数列，所以()2432+1a a a +=，又因为数列前4项的和为114a +，所以1431231332144a a a a a a a a +=+++⇒+==+， 而数列公比为q ，再根据()24321a a a +=+有，()331115214102a q a q q q q q ⎛⎫⎛⎫+=+⇒+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2q或12q =. 故选：AC. 11．ABD【分析】先根据周期函数定义判断选项A ，再根据[]y x =函数的意义，转化()f x 为分段函数判断B 选项，结合三角函数的图象与性质判断C ，D 选项. 【详解】[][]()2sin co (cos in )s s f x x x f x π+=+=，f x 的一个周期是2π，故A 正确；sin11,01,0,2cos1,21sin1,,2()3cos1sin1,,23cos1,,22cos1,,02x x x x f x x x x πππππππππ+=⎧⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎛⎤⎪-∈ ⎪⎥=⎝⎦⎨⎪⎛⎫⎪-∈ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎛⎫⎪∈- ⎪⎪⎝⎭⎩， ()f x ∴是非奇非偶函数，B 正确；对于C ，(0,)2x π∈时，()1f x =，不增不减，所以C 错误；对于D ，[0,)2x π∈，()sin11sin 11 1.74f x π=+>+=+>>D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题. 12．BCD【分析】求出ABC 外接圆面积判断A ，作出异面直线所成的角并求出这个角后判断是B ，根据直线民平面所成的角定义判断C ，求出球心到平面DEF 的距离可判断D ． 【详解】根据图形的形成，知,,A B C 三点在底面DEF 上的射影分别是DEF 三边中点,,M N P ，如图，ABC 与MNP △全等且所在面平行，截面圆就是ABC 的外接圆与MNP △的外接圆相同．由题意MNP △的边长为1，其外接圆半径为1r ==213S r π==，A 错；由上面讨论知AC 与MP 平行且相等，而MP 与NF 平行且相等，因此AC 与NF 平行且相等，从而ACFN 是平行四边形，//CF AN ，所以DAN ∠是异面直线AD 与CF 所成的角（或其补角）．由已知，2AD =，DN =2AN CF ==， 2224435cos 22228AN AD ND DAN AN AD +-+-∠===⋅⨯⨯，B 正确；由平面ADE 与平面DEF 垂直知AE 在平面AEF 内的射影是DE ，所以AED ∠为直线AD 与平面DEF 所成的角，此角大小3π，C 正确． 由上面讨论知1AB BC CA ===，设O 是球心，球半径为R ，由34433R ππ=得1R =，则O ABC -是正四面体，棱长为1，设H 是ABC 的中心，则OH ⊥平面ABC ，又CH ⊂平面ABC ，所以OH CH ⊥，CH =，则OH ==AM =所以球离球托底面DEF 1-，D 正确． 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查空间折叠问题，掌握空间的垂直关系是解题关键．由垂直平行关系得出ABC 与MNP △全等且所在面平行，从而易得截面圆与MNP △的外接圆相同，从而可得//CF AN ，得异面直线所成的角，得直线与平面所成的角，根据正四面体积的性质求得其高，得出距离的最小值． 13．{1}【分析】结合已知条件求出集合B ，然后利用集合的交运算即可求解. 【详解】由02xx>-可知，(2)0x x ->，即(2)0x x -<， 解得02x <<，从而{|02}B x x =<<， 因为{}1,0,1A =-， 所以{1}A B ⋂=. 故答案为：{1}. 14．154##3.75 【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解﹒【详解】二项式的通项公式366216612rrr r rr r T C x C x --⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝＋＝＝． 令3632r -＝可得2r ＝，则3x 的系数为226111515244C ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭＝＝．故答案为：15415．①①①.【分析】根据题意得出数列{}n y 的递推公式，结合数列{}n y 的递推公式对题中三个命题进行分析，可得出结论.【详解】由题意知，()2111,n n n B y y ---，()2222,n n n B y y ---，直线12n n B B --的斜率为122212121n n n n n n y y y y y y -------=-+， 则直线12n n B B --的方程为()211121n n n n y y x y y y -----=-+，令0x =，则21112n n n n y y y y y ------=+，1212n n n n y y y y y ----∴=+，即1212n n n n n y y y y y ----=+，在等式1212n n n n n y y y y y ----=+两边取倒数得12111n n n y y y --=+.10y >，20y >，由此可得出30y >，40y >，，命题①正确；121110n n n y y y ---=>，则111n n y y ->，由①知，对任意的n N *∈，0n y >， 1n n y y -∴<，即数列{}n y 是单调递减数列，命题①正确；若14y =，23y =，则3127y =，41211y =，323y =，命题①正确. 故答案为：①①①.【点睛】本题考查数列与解析几何的综合，考查数列基本性质的判断，解题的关键就是求出数列的递推公式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．【分析】由余弦定理及所给等式可得22cos 4sin 6a bc A bc Aπ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得2sin a A =，然后利用正弦定理进行边化角可整理得tan tan tan B C B C +=，再由tan tan()A B C =-+可推出tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，令tan tan 1(0)B C m m ⋅-=>将所求式子整理为关于m 的函数，利用基本不等式即可求得最小值.【详解】由余弦定理，得2222cos b c a bc A +=+，则由224sin 6b c bc Aπ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得22cos 4sin 2cos )6a bc A bc A bc A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin a A =，由正弦定理，得2sinsin sin A B C A =⋅⋅，所以sin sin A B C =， 所以sin()sin B C B C +=，sin cos cos sinsin B C B C B C +=，tan tan tan B C B C +=．因为tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-，所以tan tan tan tan tan tan A B C AB C ++=⋅⋅，则tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1B C A B C B C B C B C +++=⋅⋅=⋅-．令tan tan 1B C m ⋅-=，而tan tan tan tan 1,0tan tan B CB C m A A⋅-=+∴> 则tan tan 1B C m⋅=+，)221tan tan tan m m A B C m++++=1223(22)m m m ⎫=++=⎪⎭当且仅当1m =时，等号成立，故tan tan tan A B C ++的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式、正切公式，基本不等式的应用，换元法的应用等，属于较难题．根据条件中边和角的关系求解三角形的相关问题的一般方法：（1）利用正弦定理将边化为角，然后利用三角函数的知识及其他知识求解；（2）利用正弦定理或余弦定理将角化为边，然后利用代数知识求解．17．（1）52nn a -=，*n ∈N ；（2）()9212n n n n T -=+-，*n ∈N .【分析】（1）利用n a 与n S 的关系，即可求出{}n a 的通项公式；（2）5112log 2252n n n n b n ---=+=-+，利用分组求和即可求出数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】解：（1）当1n =时，116a =，当2n ≥时，2211231222216n n n n a a a a a n ---++++=，①()221231222161n n a a a a n --++++=-，①①-①得1216n n a -=，52n n a -∴=，当1n =时，116a =满足通项公式， 52n n a -∴=，*n ∈N .（2）5112log 2252n n n n b n ---=+=-+，()()()()012142322252n n T n -=++++-+++-+()()012143252222n n -=++++-+++++⎡⎤⎣⎦()9212n n n -=+-，*n ∈N .18．(1)证明见解析【分析】（1）通过证明,FA AD FA CD ⊥⊥来证得FA ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面MAC 与平面ACB 夹角的余弦值. (1)在EAD中，由余弦定理，得1cos 2DAE ∠==， 所以60DAE ∠=︒，所以ADM △为等边三角形. 所以2MA MD MF ===，则FA AD ⊥， 又,FA CD AD CD D ⊥=， 所以FA ⊥平面ABCD . (2)设G 是CD 的中点，60,ADC ABC AD CD ∠=∠==， 所以三角形ACD 是等边三角形，所以,AG CD AG AB ⊥⊥， 由（1）知，FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AG ⊥⊥，以A 为坐标原点，,,AB AG AF 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,0),2A C M ⎛- ⎝，所以1(1,3,0),2AC AM ⎛==- ⎝. 设平面MAC 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1100n ACn AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得0102x x y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩, 令x =1(3,1,1)n =-.又平面ABCD 的一个法向量为2(0,0,1)n =，所以1212111cos ,5n n n nn n ⋅〈〉===⋅所以平面MAC 与平面ACB 【点睛】19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）结合正弦定理边化角，然后化简证明即可； （2）根据题意作出图形，然后结合正余弦定理解三角形即可. 【详解】（1）由正弦定理得①s sin 2sin c i o n s C B A A +=()sin sin 2cos sin A A B A B ⇒++=sin sin cos cos sin 2cos sin A A B A B A B ⇒++= sin cos sin sin cos A A B A B ⇒=-sin sin()A B A =-①A ，B ①(0，π) ①A =B -A ①B =2A（2）由0DE CB DE CA DE AB ⋅=⋅⇒⋅=①DE ①ABsin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B A A A A a A A A====①cos 2b a A ===①6A π=，3B π=，2C π=①1cos 4BE DB B a ==而四边形ACDE的面积21172224ACD AED a a S S S b ∆∆=+=⨯+⨯=22a == 由余弦定理得①CE == 20．（1）22182x y +=；（2【分析】（1）由题知224a b =，22411a b+=，进而解得28a =，22b =，即椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）根据题意，设AB ：()1y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，进而与椭圆联立方程得212221228414841k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，再根据直线PQ 平分APB ∠0AP BP k k +=，进而化简整理得22651091k k k ++=-，解得12k =-，1212172x x x x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，进而得121212y y x x -=-=，最后计算四边形PAQB的面积1212S PQ y y =-. 【详解】解：（1）由离心率c e a===224a b =（*）， 由于点()2,1P -在椭圆C 上，故22411a b+=（**）， 联立（*）（**）得28a =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22182x y +=． （2）由直线AB 过点()1,0R -，可设AB ：()1y k x =+，它与椭圆C 的方程联立得()2222418480k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212221228414841k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，① 因为直线PQ 平分APB ∠，所以0AP BP k k +=，即()()12121111022k x k x x x +++++=--，整理得()()()121221410kx x k x x k --+-+=，将①代入上式并化简得22651091k k k ++=-， 所以12k =-，所以1212172x x x x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以121212y y x x -=-=， 所以四边形PAQB的面积1211422S PQ y y =-=⨯= 【点睛】本题考查椭圆的方程的求解，椭圆中的四边形的面积问题，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将直线PQ 平分APB ∠转化为0AP BP k k +=，进而设AB 方程()1y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，通过设而不求计算得12k =-,最后结合1212S PQ y y =-求解面积. 21．(1)23(2)19轮竞赛【分析】（1）分甲答对1次，乙答对2次，甲答对2次，乙答对1次，甲答对2次，乙答对2次三类求解；（2）先求得获“优秀小组”的概率的最大值，设他们小组在n 轮竞赛中获“优秀小组”的次数为ξ，由(),B n P ξ'求解.【详解】（1）解：由题可知，所有可能的情况有：①甲答对1次，乙答对2次的概率121212231214436P C C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ①甲答对2次，乙答对1次的概率22122232114334P C C ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； ①甲答对2次，乙答对2次的概率2222322321434P C C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故所求的概率11164342P =++=． （2）他们在一轮竞赛中获“优秀小组”的概率()1222221122211P C p p C p C p '=⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅()1222222221221C p p C p C p ⋅⋅-+⋅⋅⋅()()212121223p p p p p p =⋅+-． 因为101p ≤≤，201p ≤≤，1265p p +=， 所以1115p ≤≤，2115p ≤≤， 所以()212121235P p p p p '=-， 由基本不等式212129225p p p p +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1235p p ==时，等号成立， 所以12192525p p ≤≤，令12t p p =， 则()2212212335525P h t t t t ⎛⎫'==-+=--+ ⎪⎝⎭，19,525t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当925t =时，max 297625P '=， 设他们小组在n 轮竞赛中获“优秀小组”的次数为ξ，则(),B n P ξ'，由max 9nP '=，得96251929733625n ==≈，所以理论上至少要进行19轮竞赛．22．(1)(e,)+∞ (2)2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由()0f x =分离常数m ，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.（2）由()()1122ln ,ln mx x mx x ==整理得2211ln x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用换元法表示12,x x ，通过构造函数法，利用导数证得10ln 21x <<<，结合（1）求得m 的取值范围.(1)()f x 的定义域为{}0x x >. 令()0f x =，得e =xm x， 令()(0)x e g x x x=>，则2e (1)()-'=x x g x x ， 令()0g x '=，可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增.所以min ()(1)e g x g ==，当x 趋近于0时，y 趋近于+∞；当x 趋近于+∞时，y 趋近于+∞，所以(e,)m ∈+∞.(2)()()1122ln ,ln mx x mx x ==， 两式相减，得2211ln x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令212x t x =>，则1ln (1)t t x =-， 故12ln ln ,11t t t x x t t ==--， 记ln (),21t h t t t =>-， 则211ln ()(1)t th t t '--=-， 构造函数()()11ln 2H t t t t=--≥， ()'22111t H t t t t-=-=，所以()H t 在[)2,+∞上()()'0,H t H t <递减， 由于()11121ln 2ln 20222H =--=-<-=， 所以当2t >时，()0H t <， 所以211ln ()0(1)t t h t t -'-=<-，所以函数()h t 在区间(2,)+∞上单调递减，故1()(2)ln 2x h t h =<=，即10ln 21x <<<，而e ()xm g x x==， ()g x 在区间(0,1)上单调递减，故()12(ln 2)ln 2m g x g =>=， 即2,ln 2m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】根据函数()f x 的零点个数来求参数的取值范围，可采用导数来进行研究，具体步骤是：首先令'0f x ，然后分离参数，接着构造函数，然后利用导数研究所构造的函数，再结合零点个数来求得参数的取值范围.。
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河北省衡水中学2022届上学期高三年级六调考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录，根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面函数模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是
A ．)0(>+=m n x m y
B ．)0(>+=m n mx y
C ．)0(2
>+=m n mx y
D ．)10,0(=/>>+=a a m n ma y x
且
2．要得到函数x y cos 2=
的图象，只需将函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=4sin 2πx y 的图象
A ．向上平移
4π
个单位 B ．向下平移
4π
个单位 C ．向左平移4π
个单位
D ．向右平移4
π
个单位
3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆
C 的离心率为
4
7
，面积为π12，则椭圆C 的方程为 A ．136
422=+y x B ．14322=+y x C ．132182
2=+y x
D ．116
92
2=+y x
4．某函数图象如图所示，下列选项中的函数最适合的是
A ．x
e y x 2|
|=
B ．x e x y x
)1(2+= C ．|
2|x e y x
=
D ．2
2x e y x =
5．在正方体1111D C B A ABCD -中，过点D 作直线l 与异面直线AC 和1BC 所成的角均为θ，则θ的最小值为
A ．15o
B ．30o
C ．45o
D ．60o
6．对于函数)(x f ，若在定义域内存在实数0x ，满足)()(00x f x f -=-，则称)(x f 为“局部奇函数”．已知4)(--=x
ae x f 在R 上为“局部奇函数”，则a 的取值范围是 A ．),4[+∞-
B ．]4,(--∞
C ．)0,4[-
D ．]4,(-∞
7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有 A ．60种 B ．78种 C ．84种 D ．144种
8．在矩形ABCD 中，1=AB ，2=AD ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若
=AP AD AB μλ+，则μλ+的最大值为
A ．3
B ．22
C ．5
D ．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列说法正确的是
A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍
B ．设有一个回归方程为x y
53ˆ-=，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位 C ．线性相关系数r 的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，越接近于0，线
性相关性越弱 D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2
>σσN ，则5.0)1(=>ξP
10．已知等比数列}{n a 的公比为q ，前4项和为141+a ，且2a ，13+a ，4a 成等差数列，则q 的
值可能为
A ．
2
1 B ．1 C ．
2 D ．
3 11．已知函数]cos[sin ]sin[cos )(x x x f +=，其中][x 表示不超过实数x 的最大整数，关于)(x f 有
下述四个结论，其中正确的结论是 A ．)(x f 的一个周期是π2
B ．)(x f 是非奇非偶函数
C ．)(x f 在区间),0(π上单调递减
D ．)(x f 的最大值大于2
12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠
军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为
3
4π
，托盘由边长为4的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②，则下列结论正确的是
A ．经过三个顶点C
B A ,,的球的截面圆的面积为4
π B ．异面直线AD 与CF 所成角的余弦值为8
5 C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为
3
π D ．球离球托底面DFF 的最小距离为13
63-+
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合}1,0,1{-=A ，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
>-=02x x
x
B ；则B A = ．
14．在6
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 的展开式中，3x 的系数为 ．
15．如图，已知抛物线x y =2
及两点),0(11y A 和),0(22y A ，其中>1y 02>y ．过1A ，2A 分别作
y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线21B B 与y 轴交于点),0(33y A ，此时就称1A ，2A 确定了3A ．依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，…，记),0(n n y A ，3,2,1=n ，…．
给出下列三个结论：
①数列}{n y 是递减数列；②对任意*N ∈n ，0>n y ；③若41=y ，
=2y 3，则3
2
5=
y ．其中，所有正确结论的序号是 ． 6．在锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=+6sin 42
2
πA bc c b ，则C B A tan tan tan ++的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题．共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列}{n a 满足：n a a a a n n 162221
3221=+⋅⋅⋅+++-．
(1)求}{n a 的通项公式；
(2)令1
22log -+=n n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S ．
18．（12分）
如图，已知菱形ABCD 的边长为2，
60=∠ABC ，F 是平面ABCD 外一点，在四边形ADEF 中，EA 交FD 于点M ．4=FD ，2=AM ，13-=ME ，
6=DF ，CD FA ⊥．
(1)证明：⊥FA 平面ABCD ；
(2)求平面MAC 与平面ACB 夹角的余弦值．
19．（12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋c =2b cos A ． (1)证明：B =2A ；
(2)设D 为BC 边上的中点，点E 在AB 边上，满足CA DE CB DE ⋅=⋅，且a b 3=，四边形
ACDE 的面积为
8
3
15，求线段CE 的长． 20．（12分）
如图，已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的离心率为23，且过点).1,2(-P
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 作两条直线分别交椭圆C 于点A ，B ，直线PQ 平分APB ∠，且直线AB 过点)0,1(-R ，求四边形PAQB 的面积．
21．（12分）
十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为1p ，2p ．
(1)若431=
p ，3
2
2=p ，则在第一轮竞赛中，求他们获得“优秀小组”的概率； (2)当5
6
21=+p p ，且每轮比赛互不影响，如果甲、乙两位同学的小组在此次竞赛活动中要想获
得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？ 22．（12分） 已知函数)0(ln )(>-=m x mx x f 有两个不同的零点1x ，2x ．
(1)求m 的取值范围；
(2)若122x x >，求实数m 的取值范围．
数学参考答案。