河北省衡水中学2021-2022学年高三上学期六调考试数学试题(含答案解析)

河北省衡水中学2022届上学期高三年级六调考试

数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1．第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录，根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面函数模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是

A ．)0(>+=m n x m y

B ．)0(>+=m n mx y

C ．)0(2

>+=m n mx y

D ．)10,0(=/>>+=a a m n ma y x

且

2．要得到函数x y cos 2=

的图象，只需将函数⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=4sin 2πx y 的图象

A ．向上平移

4π

个单位 B ．向下平移

4π

个单位 C ．向左平移4π

个单位

D ．向右平移4

π

个单位

3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆

C 的离心率为

4

7

，面积为π12，则椭圆C 的方程为 A ．136

422=+y x B ．14322=+y x C ．132182

2=+y x

D ．116

92

2=+y x

4．某函数图象如图所示，下列选项中的函数最适合的是

A ．x

e y x 2|

|=

B ．x e x y x

)1(2+= C ．|

2|x e y x

=

D ．2

2x e y x =

5．在正方体1111D C B A ABCD -中，过点D 作直线l 与异面直线AC 和1BC 所成的角均为θ，则θ的最小值为

A ．15o

B ．30o

C ．45o

D ．60o

6．对于函数)(x f ，若在定义域内存在实数0x ，满足)()(00x f x f -=-，则称)(x f 为“局部奇函数”．已知4)(--=x

ae x f 在R 上为“局部奇函数”，则a 的取值范围是 A ．),4[+∞-

B ．]4,(--∞

C ．)0,4[-

D ．]4,(-∞

7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有 A ．60种 B ．78种 C ．84种 D ．144种

8．在矩形ABCD 中，1=AB ，2=AD ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若

=AP AD AB μλ+，则μλ+的最大值为

A ．3

B ．22

C ．5

D ．2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9．下列说法正确的是

A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍

B ．设有一个回归方程为x y

53ˆ-=，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位 C ．线性相关系数r 的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，越接近于0，线

性相关性越弱 D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2

>σσN ，则5.0)1(=>ξP

10．已知等比数列}{n a 的公比为q ，前4项和为141+a ，且2a ，13+a ，4a 成等差数列，则q 的

值可能为

A ．

2

1 B ．1 C ．

2 D ．

3 11．已知函数]cos[sin ]sin[cos )(x x x f +=，其中][x 表示不超过实数x 的最大整数，关于)(x f 有

下述四个结论，其中正确的结论是 A ．)(x f 的一个周期是π2

B ．)(x f 是非奇非偶函数

C ．)(x f 在区间),0(π上单调递减

D ．)(x f 的最大值大于2

12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠

军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为

3

4π

，托盘由边长为4的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②，则下列结论正确的是

A ．经过三个顶点C

B A ,,的球的截面圆的面积为4

π B ．异面直线AD 与CF 所成角的余弦值为8

5 C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为

3

π D ．球离球托底面DFF 的最小距离为13

63-+

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知集合}1,0,1{-=A ，⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

>-=02x x

x

B ；则B A = ．

14．在6

21⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-x x 的展开式中，3x 的系数为 ．

15．如图，已知抛物线x y =2

及两点),0(11y A 和),0(22y A ，其中>1y 02>y ．过1A ，2A 分别作

y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线21B B 与y 轴交于点),0(33y A ，此时就称1A ，2A 确定了3A ．依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，…，记),0(n n y A ，3,2,1=n ，…．

给出下列三个结论：

①数列}{n y 是递减数列；②对任意*N ∈n ，0>n y ；③若41=y ，

=2y 3，则3

2

5=

y ．其中，所有正确结论的序号是 ． 6．在锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

=+6sin 42

2

πA bc c b ，则C B A tan tan tan ++的最小值是 ．

四、解答题：本题共6小题．共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）

已知数列}{n a 满足：n a a a a n n 162221

3221=+⋅⋅⋅+++-．

(1)求}{n a 的通项公式；

(2)令1

22log -+=n n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S ．

18．（12分）

如图，已知菱形ABCD 的边长为2，

60=∠ABC ，F 是平面ABCD 外一点，在四边形ADEF 中，EA 交FD 于点M ．4=FD ，2=AM ，13-=ME ，

6=DF ，CD FA ⊥．

(1)证明：⊥FA 平面ABCD ；

(2)求平面MAC 与平面ACB 夹角的余弦值．