2022年12月高三全国大联考(全国乙卷)文科数学试卷及答案
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2022年12月高三全国大联考（全国乙卷）文科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点的坐标是（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．3
12．已知各项不等于0的数列 满足 ， ， .设函数 ， 为函数 的导函数.令 ，则 （）
A． B．36C． D．54
二、填空题
13．已知平面向量 ， ，则平面向量 与 的夹角为______.
14．已知圆 ： ，且圆外有一点 ，过点 作圆 的两条切线，且切点分别为 ， ，则 ______.
3．自古以来，斗笠是一种防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录.下图是一个斗笠的实物图和三视图，由三视图中数据可得该斗笠的侧面积为（）
A． B． C． D．
4．函数 的部分图像大致是（）
A． B．
C． D．
5．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 （）
(1)求曲线 的普通方程，曲线 的直角坐标方程；
(2)设 ，曲线 ， 的交点为A， ，求 的值.
23．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】解不等式得到 ，进而求出交集.
【详解】 或 ，
故 .
故选：A
2．B
【分析】利用复数的运算法则化简即可求解.
(1)求 的值；
(2)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
21．已知抛物线 ： ，直线 交抛物线 于 两点， ， ，且 .
(1)求坐标原点 到直线 的距离的取值范围；
(2)设直线 与 轴交于 点，过点 作与直线 垂直的直线 交椭圆 ： 于 ， 两点，求四边形 的面积的最小值.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
18．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度 （℃）与绿豆新品种发芽数 （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：
(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；
【详解】由抛物线 ： ，可知 ，焦点 ，
因为 过焦点 ，所以 ，
设 ，
联立 ，消元得 ，
则 ，
由抛物线定义知 .
故选：A
7．D
【分析】根据图像变换求得 的解析式，再求得 的对称中心.
【详解】函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 ，所以 ，
令 ，即 的对称中心为 ，
令 ，求得 的一个对称中心为 .
故选：C.
9．A
【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较 的大小，分别比较 与 的大小即可得 的大小，从而得答案.
【详解】解：因为 在R上为单调递减函数，
所以 ，
又因为 在 上为单调递增函数，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
又因为 ，
，
即有
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
综上所述： .来自百度文库
故选：A.
10．B
【详解】因为复数 ，所以 ，
则 ，
所以复数 在复平面内所对应的点的坐标是 ，
故选： .
3．C
【分析】根据圆锥的侧面积公式求出答案即可.
【详解】该几何体为圆锥，由三视图可得其底面半径为 ，高为 ，
所以其母线长为 ，
所以其侧面积为 ，
故选：C.
4．C
【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.
【详解】因为 , .
故选：D
8．C
【分析】先判断函数 的奇偶性与单调性，再解不等式，求不等式成立的一个充分不必要条件是求其一个真子集.
【详解】函数 定义域为R，
因为 ，所以 是一个奇函数.
因为 ，所以 在R上单调递增.
因为 ，又 是一个奇函数，
所以 ，
又 在R上单调递增，
所以 ，解得 .
不等式 成立的一个充分不必要条件是集合 的真子集，所以选项C正确.
(2)建立 关于 的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.
参考数据： ， ， ， .
参考公式：相关系数 ，回归直线方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
， .
19．如图，正三棱柱 的底面边长为2，高为3， 在棱 上， ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
20．已知函数 ， ， 为常数， 的图象在点 处的切线方程为 .
9．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
10．在正三棱锥 中， ，点 ， 分别在棱 和 上，且 ，则异面直线 和 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 ： 上的一点 （异于顶点），过点 作双曲线 的一条切线 .若双曲线 的离心率 ， 为坐标原点，则直线 与 的斜率之积为（）
15．已知函数 的导函数 ，若 在 处取到极小值，则 的取值范围是______.
16．已知 中，点 在边 上， ， ， .沿 将 折起，使 ，若折起后 ， ， ， 四点都在以 为球心的球面上，则球 的表面积为______.
三、解答题
17．在 中，点 在边 上， ， ， .
(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ，求 的面积 的取值范围.
A．5B．0C． D．
6．已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 过点 且与抛物线 交于 ， 两点，则 （）
A．8B．6C．2D．4
7．将函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 图像的对称中心可以为（）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，则不等式 成立的一个充分不必要条件可以是（）
A． B． C． D．
【分析】作出异面直线 和 所成角，结合余弦定理求得其余弦值
【详解】过 作 ，交 于 ，则 或其补角为异面直线 和 所成的角，
所以 为奇函数,故 选项错; ,故 选项错;
故选: .
5．D
【分析】由等差数列性质得 ，从而求得 ，再得 后可得公差 ，然后求出 ，再由等差数列的前 项和公式、等差数列的性质求得结论．
【详解】设 的公差为 ， 是等差数列，则 ，
， ，又 ，
所以 ，从而 ， ，
．
故选：D．
6．A
【分析】由抛物线方程求出焦点，得出 ，再由根与系数的关系及抛物线定义得解.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点的坐标是（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．3
12．已知各项不等于0的数列 满足 ， ， .设函数 ， 为函数 的导函数.令 ，则 （）
A． B．36C． D．54
二、填空题
13．已知平面向量 ， ，则平面向量 与 的夹角为______.
14．已知圆 ： ，且圆外有一点 ，过点 作圆 的两条切线，且切点分别为 ， ，则 ______.
3．自古以来，斗笠是一种防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录.下图是一个斗笠的实物图和三视图，由三视图中数据可得该斗笠的侧面积为（）
A． B． C． D．
4．函数 的部分图像大致是（）
A． B．
C． D．
5．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 （）
(1)求曲线 的普通方程，曲线 的直角坐标方程；
(2)设 ，曲线 ， 的交点为A， ，求 的值.
23．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】解不等式得到 ，进而求出交集.
【详解】 或 ，
故 .
故选：A
2．B
【分析】利用复数的运算法则化简即可求解.
(1)求 的值；
(2)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
21．已知抛物线 ： ，直线 交抛物线 于 两点， ， ，且 .
(1)求坐标原点 到直线 的距离的取值范围；
(2)设直线 与 轴交于 点，过点 作与直线 垂直的直线 交椭圆 ： 于 ， 两点，求四边形 的面积的最小值.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
18．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度 （℃）与绿豆新品种发芽数 （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：
(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；
【详解】由抛物线 ： ，可知 ，焦点 ，
因为 过焦点 ，所以 ，
设 ，
联立 ，消元得 ，
则 ，
由抛物线定义知 .
故选：A
7．D
【分析】根据图像变换求得 的解析式，再求得 的对称中心.
【详解】函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 ，所以 ，
令 ，即 的对称中心为 ，
令 ，求得 的一个对称中心为 .
故选：C.
9．A
【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较 的大小，分别比较 与 的大小即可得 的大小，从而得答案.
【详解】解：因为 在R上为单调递减函数，
所以 ，
又因为 在 上为单调递增函数，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
又因为 ，
，
即有
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
综上所述： .来自百度文库
故选：A.
10．B
【详解】因为复数 ，所以 ，
则 ，
所以复数 在复平面内所对应的点的坐标是 ，
故选： .
3．C
【分析】根据圆锥的侧面积公式求出答案即可.
【详解】该几何体为圆锥，由三视图可得其底面半径为 ，高为 ，
所以其母线长为 ，
所以其侧面积为 ，
故选：C.
4．C
【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.
【详解】因为 , .
故选：D
8．C
【分析】先判断函数 的奇偶性与单调性，再解不等式，求不等式成立的一个充分不必要条件是求其一个真子集.
【详解】函数 定义域为R，
因为 ，所以 是一个奇函数.
因为 ，所以 在R上单调递增.
因为 ，又 是一个奇函数，
所以 ，
又 在R上单调递增，
所以 ，解得 .
不等式 成立的一个充分不必要条件是集合 的真子集，所以选项C正确.
(2)建立 关于 的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.
参考数据： ， ， ， .
参考公式：相关系数 ，回归直线方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
， .
19．如图，正三棱柱 的底面边长为2，高为3， 在棱 上， ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
20．已知函数 ， ， 为常数， 的图象在点 处的切线方程为 .
9．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
10．在正三棱锥 中， ，点 ， 分别在棱 和 上，且 ，则异面直线 和 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 ： 上的一点 （异于顶点），过点 作双曲线 的一条切线 .若双曲线 的离心率 ， 为坐标原点，则直线 与 的斜率之积为（）
15．已知函数 的导函数 ，若 在 处取到极小值，则 的取值范围是______.
16．已知 中，点 在边 上， ， ， .沿 将 折起，使 ，若折起后 ， ， ， 四点都在以 为球心的球面上，则球 的表面积为______.
三、解答题
17．在 中，点 在边 上， ， ， .
(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ，求 的面积 的取值范围.
A．5B．0C． D．
6．已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 过点 且与抛物线 交于 ， 两点，则 （）
A．8B．6C．2D．4
7．将函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 图像的对称中心可以为（）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，则不等式 成立的一个充分不必要条件可以是（）
A． B． C． D．
【分析】作出异面直线 和 所成角，结合余弦定理求得其余弦值
【详解】过 作 ，交 于 ，则 或其补角为异面直线 和 所成的角，
所以 为奇函数,故 选项错; ,故 选项错;
故选: .
5．D
【分析】由等差数列性质得 ，从而求得 ，再得 后可得公差 ，然后求出 ，再由等差数列的前 项和公式、等差数列的性质求得结论．
【详解】设 的公差为 ， 是等差数列，则 ，
， ，又 ，
所以 ，从而 ， ，
．
故选：D．
6．A
【分析】由抛物线方程求出焦点，得出 ，再由根与系数的关系及抛物线定义得解.