非线性椭圆型方程
非线性偏微分方程
应用
研究方向
突破
1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学 问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、 偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。
2．该研究是现代数学与电力生产的交叉学科研究课题，它对电力生产及管理有着十分重要的理论指导意义和 实际应用价值，为控制系统设计、分析和计算都可提供一些重要的理论依据。在应用数学学科的这一研究领域中 本课题属于国内外前沿性研究工作。
发展情况
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE)。很多意义重大的自然科学 和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究。现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述， 很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE。另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程 近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出 了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪 50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学 中的热点。
3．应用现代数学所获得的理论，研究最有控制系统的微分方程，为控制系统设计、分析和计算提供一些重要 的理论依据和方法。
谢谢观看
定义
非线性偏微分方程(NLPDE)，又称非线性数学物理方程、非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程领域 如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。
函数是一个广义的偏微分方程，如果 u，v是此微分方程的两个解，而（au+bv)也是此微分方程的解，则此 偏微分方程则为线性偏微分方程，否则为非线性偏微分方程 。
非线性椭圆型方程的nehari流形
非线性椭圆型方程的nehari流形首先，让我们先来了解非线性椭圆型方程的定义。
非线性椭圆型方程是指形式为$-\Delta u=f(u)$的偏微分方程，其中$\Delta$是拉普拉斯算子，$f(u)$是关于未知函数$u$的非线性项。
这类方程的解可以具有多个极小值点，而且其极小值点可能不止一个。
为了解决这个问题，我们需要引入最小极值解的概念。
最小极值解是指在给定边界条件下，满足一定条件下解的存在性和唯一性的解。
然而，要得到最小极值解并非易事。
Nehari流形的引入正是为了解决非线性椭圆型方程最小极值解的确定性问题。
Nehari流形是指在给定边界条件下，满足一定能量条件的函数的集合。
具体来说，设$H^1_0(\Omega)$是在区域$\Omega$上的Sobolev空间，定义Nehari流形为：$$\mathcal{N}=\{u\in H^1_0(\Omega)\backslash \{0\} \midI'(u)u=0\},$$其中$I(u)$是与非线性椭圆型方程相关的能量泛函。
Nehari流形的定义意味着在流形上的每一点，曲线在该点的切向量与其自身的导数正交。
为了更好地理解Nehari流形的性质，我们需要研究其切空间的结构。
Nehari流形上的曲线可以通过切向量的线性组合来表示。
设$v\in\mathcal{N}$，则$\varphi(t)=u+tv$对应于一个流形上的曲线。
根据曲线在点$u$处的切向量定义，我们可以得到：$$\frac{d}{dt}\bigg，_{t=0}\，\varphi(t)\，^2=\frac{d}{dt}\bigg，_{t=0}(u+tv,u+tv)=2(u,v).$$因此，曲线在点$u$处的切向量为$v$。
我们可以看出，切空间是由与$u$的内积为0的函数$v$组成的，即$\{v\in H^1_0(\Omega)\mid(u,v)=0\}$。
了解了Nehari流形的切空间后，我们可以通过对切空间进行适当的限制来获得最小极值解的存在性和唯一性。
极小曲面
极小曲面 设 2D R ⊂是有界开区域，边界为D ∂。
函数(,)x y ϕ在D ∂上有定义。
设2(,)()u u x y C D =∈，则曲面(,)zu x y =的面积为()DI u =⎰⎰。
设2{(,):(,)(),|}D W u x y u x y C D u ϕ∂=∈=， 考虑泛函I 在W 上的极小值是否存在的问题。
几何意义，以空间封闭曲线Γ为边界的曲面中，寻找其面积最小者。
这里{(,,):(,),(,)}x y z x y D z x y ϕΓ=∈∂= 。
这样的问题称为极小曲面问题。
假若泛函I 在u W ∈处达到最小值，我们考查其必要条件。
记20{(,):(,)(),|0}D W v x y v x y C D v ∂=∈=，显然，若I 在u W ∈处达到最小值， 则对任意0v W ∈，()I u tv +在0t =处达到最小值，所以0()|0t d I u tv dt =+=，而()DI u tv +=⎰⎰，()dI u tv dt +22Du v tv u v tv +++=⎰⎰，于是有x x y y Du v u v +=⎰⎰，设在xz平面上有一条显式曲线=≤≤≤。
z u x a x b(),(0)如果固定z轴不动，让xz平面绕着z 轴旋转360，那么这一条曲线就扫出一张旋转曲面，这个旋转曲面∑的方程为2222:)z u D a x y b=≤+≤。
r=。
我们寻找旋转的极小曲面。
历史资料极小曲面面积在法向变分下达到临界值的曲面，也即平均曲率（见曲面）为零的曲面。
目录简介研究同名图书简介研究同名图书展开小的曲面就是所谓极小曲面，从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。
这个问题可以用变分法来解。
从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。
由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h=0。
因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。
北京理工大学2018版学术型研究生培养方案
课程 层次
硕士 硕士 博士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士 硕士 博士
学分 要求
硕士≥ 4
本博≥ 4
硕士 2 博士 2 硕士≥
3 普博≥
48 3 1/2 必修
32 2 1/2 必修
48 3 1/2 必修
16 1 1/2 必修
32 2 1/2 必修
48 3 1/2 选修
48 3 1/2 选修
48 3 1/2 选修
48 3 1/2 选修
48 3 1/2 选修
48 3 1/2 选修
32 2 1/2 选修
48 3 1/2 选修
32 2 1/2 选修
无
论文评阅送审前完成
论文答辩
距离开题至少 12 个月
博士研究生应掌握数学学科坚实宽广的基础理论和系统深入的专门知识，掌握本学科的现代研 究方法和技能，具有独立从事本学科研究工作的能力，较强的组织和管理能力，有良好的合作精神 和交流能力，良好的英语听说能力，能够熟练地阅读本专业英文文献资料、用英文撰写论文，能够 在科学研究或专门技术上做出创新性的成果。博士研究生毕业后能够胜任高等院校、科研院所及高 科技企业的教学、科学研究、技术开发和管理等工作。
前沿交 0000001
叉课
1700104 核 心 1700105 课
1700106
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1701146
1700113
课程名称 硕士公共英语中级 硕士公共英语高级 博士公共英语中级 博士公共英语高级 学术道德与综合素质 泛函分析（模块 1） 泛函分析（模块 2） 代数学（模块 1） 代数学（模块 2） （英）拓扑学（模块 1） （英）拓扑学（模块 2） 学科前沿交叉课
fdm有限差分法不能求解的方程
有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。
然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。
本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。
一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。
这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。
二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。
以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。
2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。
3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。
4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。
2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。
3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。
2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。
国家自然科学基金学科分类目录
国家自然科学基金学科分类目录Ａ数理科学部A01 数学A02 力学A03 天文学A04 物理学ⅠA05 物理学ⅡＢ化学科学部B01 无机化学B02 有机化学B03 物理化学B04 高分子化学B05 分析化学B06 化学工程及工业化学B07 环境化学Ｃ生命科学部C01 基础生物学C0101 微生物学C0102 植物学C0103 动物学C0104 生物化学和分子生物学C0105 生物物理学与生物医学工程学C0106 神经生物学C0107 生理学C0108 心理学C0109 细胞生物学及发育生物学C0110 遗传学C0111 生态学C02 农业科学C0201 农业基础科学C0202 农学C0203 畜牧、兽医学C0204 蚕桑、养蜂学C0205 水产学C0206 林学C03 医学与药学C0301 预防医学与卫生学C0302 基础医学C0303 临床医学C0304 药物学C0305 中医中药学Ｄ地球科学部D01 地理学、土壤学和遥感D02 地质学D03 地球化学D04 地球物理学和空间物理学D05 大气科学D06 海洋科学Ｅ工程与材料科学部E01 金属材料学科E02 无机非金属材料科学E03 有机高分子材料学科E04 冶金与矿业学科E05 机械工程学科E06 工程热物理与能源利用学科E07 电工学科E08 建筑环境与结构工程学科E09 水利学科E10 农业工程*E11 林业工程*E12 食品工程*E13 纺织科学技术*Ｆ信息科学部F01 电子学与信息系统F02 计算机科学F03 自动化科学F04 半导体科学F05 光学和光电子学Ｇ管理科学部G01 管理科学G02 工商管理G03 宏观管理与政策第 1 页共39 页学科分类与代码目录Ａ数理科学部A01 数学A0101 基础数学A010101 数论A01010101 解析数论A01010102 代数数论A01010103 丢番图分析A01010104 超越数论A01010105 模型式与模函数论A01010106 数论的应用A010102 代数学A01010201 群论A01010202 群表示论A01010203 李群A01010204 李代数A01010205 代数群A01010206 典型群A01010207 同调代数A01010208 代数K理论A01010209 KacMoody代数A01010210 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疲劳与断裂力学A020203 损伤、破坏机理和微结构演化A020204 本构关系A020205 复合材料力学A020206 新型材料的力学问题A020207 极端条件下的材料和结构A020208 微机电系统中的固体力学问题A020209 岩体力学和土力学A020210 冲击动力学A020211 结构力学A020212 结构振动与噪声A020213 结构优化和可靠性分析A020214 制造工艺力学A020215 实验固体力学A020216 计算固体力学A020217 流固耦合作用A0203 流体力学第 5 页共39 页A020301 流动的稳定性A020302 湍流A020303 水动力学A020304 空气动力学A020305 分层流A020306 非平衡流A020307 渗流A020308 多相流A020309 非牛顿流A020310 内流A020311 化工流体力学A020312 工业空气动力学A020313 微重力流体力学A020314 微机电系统中的流体力学问题A020315 流动噪声与控制A020316 稀薄气体力学A020317 实验流体力学A020318 计算流体力学A0204 交叉与边缘领域的力学A020401 物理力学A020402 爆炸力学A020403 环境流体力学A020404 生物力学A020405 电磁流体力学和等离子体动力学A03 天文学A0301 宇宙学A0302 星系和类星体A0303 恒星物理与星际物质A0304 太阳和太阳系A0305 射电天文A0306 空间天文A0307 理论天体物理A0308 天体测量和天文地球动力学A0309 天体力学和人造卫星动力学A0310 时间、频率A0311 天文仪器A0312 天文学史A0313 其它A04 物理学ⅠA0401 凝聚态物性Ｉ：结构、力学和热学性质A040101 液体和固体结构；晶体、非晶、准晶的物质结构A040102 凝聚态物质的力学和声学性质A040103 晶格动力学和晶体统计学A040104 状态方程、相平衡和相变A040105 凝聚态物质的热学性质A040106 凝聚态物质的输运性质A040107 量子流体和固体;液态氦和固态氦A040108 表面和界面;薄膜和晶须；人工微结构（结构和非电子性质）A0402 凝聚态物性Ⅱ：电子结构、电学、磁学和光学性质A040201 电子态A040202 凝聚态物质中的电子输运A040203 表面、界面、薄膜和低维系统的电子结构及电学性A040204 超导电性第 6 页共39 页A040205 磁学性质A040206 凝聚态物质的磁共振和弛豫;穆斯堡尔效应A040207 介电性质A040208 光学性质、凝聚态物质的波谱学、物质与粒子的相互作用和辐射A040209 液体和固体的电子发射和离子发射;碰撞现象A040210 与凝聚态物理有关的交叉学科A0403 原子和分子物理A040301 原子和分子理论A040302 原子光谱及原子与光子相互作用A040303 分子光谱及分子与光子相互作用A040304 原子和分子碰撞过程及相互作用A040305 研究原子和分子性质的实验设备和技术A040306 特殊原子和分子的研究A040307 与原子、分子有关的其它物理问题和交叉学科A0404 光学A040401 光在均匀介质中的传播A040402 光在非均匀介质中的传播A040403 像的形成和分析A040404 全息照相A040405 量子光学A040406 微波激射A040407 激光发射过程A040408 激光系统和激光与物质相互作用A040409 非线性光学A040410 光学材料中物理问题及固体发光A040411 光源和光学标准A040412 光学透镜和反射镜系统A040413 光学器件的原理A040414 与光学有关的其它物理问题和交叉学科A0405 声学A040501 普通线性声学A040502 非线性声学和强声学A040503 航空声学和大气声学A040504 水声A040505 超声、量子声学和声的物理效应A040506 次声A040507 噪声、噪声效应及其控制A040508 建筑声学A040509 声的信号处理A040510 声全息照相A040511 语言声学A040512 乐声A040513 声的测量及专用仪器A040514 声的转换原理A040515 与声学有关的其它物理问题和交叉学科A05 物理学Ⅱ第7 页共39 页A0501 基础物理学A050101 物理教育学及物理学史A050102 物理学中的数学问题A050103 经典物理学和量子理论A050104 相对论与引力A050105 热力学与统计物理学(含混沌) A050106 测量科学、一般实验技术和测试系统A0502 粒子物理学和场论A050201 粒子基本特性及粒子物理一般问题A050202 场论中的基本问题和新方法A050203 对称性及对称破缺A050204 量子色动力学、强相互作用和强子物理A050205 电－弱相互作用及其唯象学A050206 非标准模型及其唯象学A050207 新粒子A050208 粒子的延展体理论A050209 宇宙射线和超高能现象A050210 粒子物理与宇宙学A0503 核物理A050301 原子核特性A050302 原子核结构模型的理论研究A050303 原子核统计理论研究A050304 原子核高激发态、高自旋态和超形变A050305 带奇异数系统、奇异核和超核A050306 核内非核子自由度A050307 核力与少体系统A050308 强子、轻子与核相互作用A050309 核物质理论及核多体方法A050310 核衰变、核裂变、核聚变A050311 低能核反应与散射A050312 重离子核物理A050313 中高能核物理A050314 核天体物理A050315 核数据分析和计算机模拟A0504 核技术及其应用A050401 离子束与物质相作用和辐照损伤A050402 核分析技术(RBS、PIXE、NRA)A050403 穆斯堡尔谱学及其应用A050404 正电子湮灭技术及其应用A050405 中子衍射及其应用A050406 扰动角关联及其应用A050407 核磁共振及其应用A050408 中子活化和同位素示踪技术A050409 离子束材料改性A050410 核技术在地学中的应用A050411 核技术在医学中的应用A050412 核技术在农业中的应用A050413 核技术在工业中的应用A050414 核科学和其它学科的交叉A0505 粒子物理与核物理实验设备第8 页共39 页A050501 加速器原理和关键技术A050502 离子源和电子枪A050503 预加速装置和加速器部件A050504 束流输运和性能测量A050505 真空和超高真空技术A050506 反应堆A050507 辐射探测方法A050508 探测技术和谱仪A050509 辐射剂量及其防护A050510 核电子学A0506 等离子体物理A050601 等离子体中的基本过程与特性A050602 等离子体的加热、约束和辐射A050603 等离子体动力学与电磁流体力学A050604 等离子体中的混沌、孤立波、湍流等非线性现象A050605 等离子体的模拟、数值方法和软件A050607 等离子体诊断技术A050608 等离子体与固体相互作用A050609 激光束、粒子束、微波与等离子体A050610 低气压低温等离子体的应用A050611 热平衡低温等离子体的应用A050612 非中性等离子体A050613 强耦合等离子体A050614 空间等离子体Ｂ化学科学部B01 无机化学B0101 无机合成和制备化学B010101 合成技术B010102 合成化学B010103 特殊聚集态制备B0102 丰产元素化学B010201 稀土化学B010202 钨化学B010203 钼化学B010204 锡化学B010205 锑化学B010206 钛化学B010207 钒化学B010208 稀有碱金属化学B010209 稀散元素化学B0103 配位化学B010301 固体配位化学B010302 溶液配位化学B010303 金属有机化学B010304 原子簇化学B010305 功能配合物化学B0104 生物无机化学B010401 金属酶化学及其化学模拟B010402金属蛋白化学及其化学模拟B010403 生物体内微量元素的状态及功能、受体底物相互作用B010404 金属离子与生物膜的作用及其机理B010405 金属离子与核酸化学B0105 固体无机化学第9 页共39 页B010501 缺陷化学B010502 固体反应B010503 固体表面化学B010504 无机固体材料化学B0106 分离化学B010601 萃取化学B010602 无机色层B010603 无机膜分离B0107 物理无机化学B010701 无机化合物结构与性质B010702 理论无机化学B010703无机反应机制及反应动力学B010704 熔盐化学及相平衡B0108 同位素化学B010801 同位素分离B010802 同位素分析B010803 同位素应用B0109 放射化学B010901 核燃料化学B010902 超铀元素化学B010903 裂片元素化学B010904 放射性核素及其标记化合物的制备和应用B010905 放射分析化学B010906 放射性废物处理和综合利用B0110 核化学B011001 低能核化学B011002 高能核化学B011003 裂变化学B011004 重离子核化学B011005 核天体化学B02 有机化学B0201 有机合成B020101 有机合成反应B020102 新化合物和复杂化合物的设计与合成B020103 高选择性有机合成试剂B020104 不对称合成B0202 金属有机及元素有机化学B020201 有机磷化学B020202 有机硅化学B020203 有机硼化学B020204 有机氟化学B020205 金属有机化合物的合成及其应用B0203 天然有机化学B020301 甾体及萜类化学B020302 糖类黄酮类化学B020303 中草药有效成份B020304 具有重要应用价值的天然产物的研究B0204 物理有机化学B020401 活泼中间体化学B020402 化学动态学B020403 有机光化学B020404 立体化学B020405 有机分子结构与活性关系B020406 具有光、电、磁特性的化合物研究B020407 计算有机化学B0205 药物化学B020501 新药物分子设计和合成B020502 药物构效关系B0206 生物有机化学第10 页共39 页B020601 多肽化学B020602 核酸化学B020603 仿生及模拟酶B020604 天然酶的化学修饰及应用B020605 生物合成及生物转化B0207 有机分析B020701 新化合物和复杂化合物的结构研究B020702 有机分析、分离新方法新技术研究B020703 有机化合物结构波谱学B0208 应用有机化学B020801 除草剂B020802 植物生长促进剂B020803 害虫引诱剂、昆虫信息素B020804 高效、低毒、低抗性农药B020805 食品化学B020806 香料化学B020807 染料化学B03 物理化学B0301 结构化学B030101 体相静态结构B030102 表面结构B030103 溶液结构B030104 动态结构B030105 谱学B030106 结构化学方法和理论B0302 量子化学B030201 基础量子化学B030202 应用量子化学B0303 催化B030301 多相催化B030302 均相催化B030303 人工酶催化B030304 光催化B0304 化学动力学B030401 宏观反应动力学B030402 分子动态学B030403 反应途径和过渡态B030404 快速反应动力学B030405 结晶过程动力学B0305 胶体与界面化学B030501 表面活性剂B030502 分散体系B030503 流变性能B030504 界面吸附现象B030505 超细粉和颗粒B0306 电化学B030601 电极过程及其动力学B030602 腐蚀电化学B030603 熔盐电化学B030604 光电化学B030605 半导体电化学B030606 生物电化学B030607 表面电化学B030608 电化学技术B030609 电催化B0307 光化学B030701 激光闪光光解B030702 激发态化学B030703 电子转移光化学、光敏化B030704 光合作用B030705 大气光化学B0308 热化学B030801 热力学参数第11 页共39 页B030802 相平衡B030803 电解质溶液化学B030804 非电解质溶液化学B030805 生物热化学B030806 量热学B0309 高能化学B030901 辐射化学B030902 等离子体化学B030903 激光化学B0310 计算化学B031001 化学信息的运筹B031002 计算模拟B031003 计算控制B031004 计算方法的最优化B04 高分子化学B0401 高分子合成B040101 催化剂、聚合反应及聚合方法B040102 高分子设计和合成B040103新单体及单体的新合成方法B040104 聚合反应动力学B040105 高分子光化学、辐射化学、等离子体化学B040106 微生物参与的聚合反应、酶催化聚合反应B0402 高分子反应B040201 高分子老化、降解、交联B040202 高分子接枝、嵌段改性B040203 高分子功能化改性B040204 粒子注入、辐射、激光等方法对高分子的改性B0403 功能高分子B040301 吸附、分离、离子交换、螯合功能的高分子B040302 用于有机合成、医疗、分析等领域的高分子试剂B040303 医用高分子、高分子药物B040304 液晶态高分子B040305 有机固体电子材料、磁性高分子B040306 储能、换能、敏感材料及高分子催化剂B040307 高分子功能膜B040308 微电子材料、分子组装材料及器件B0404 天然高分子B0405 高分子物理及高分子物理化学B040501 高分子溶液性质和溶液热力学B040502 高分子链结构B040503 高分子流变学B040504 高聚物聚集态结构B040505 高分子结构与性能关系B040506 高聚物测试及表征方法B040507 高分子材料的传质理论、强度理论、破坏机理B040508 高分子多相体系B0406 高分子理论化学B040601 高分子聚合、交联、聚集态统计理论第12 页共39 页B040602 数学、计算机方法在高分子凝聚态、分子动态学方面的应用B0407 聚合物工程及材料B040701 聚合工程反应动力学及聚合反应控制B040702 聚合物成型理论及成型方法B040703 塑料、纤维、橡胶及成型研究B040704 涂料、粘合剂及高分子助剂B040705 可生物降解薄膜B040706 高分子润滑材料B040707 其它领域中应用的高分子材料B040708 高分子资源的再生和综合利用B05 分析化学B0501 色谱分析B050101 气相色谱B050102 液相色谱B050103 薄层色谱B050104 离子色谱B050105 超临界液体色谱B050106 毛细管电泳B0502 电化学分析B050201 伏安法B050202 极谱法B050203 化学修饰电极B050204 库伦分析B050205 光谱电化学分析B050206 电化学传感器B0503 光谱分析B050301 原子发射光谱（包括ICP）B050302 原子吸收光谱B050303 原子荧光光谱B050304 X射线荧光光谱B050305 分子发射光谱（包括荧光光谱、磷光光谱和化学发光）B050306 紫外和可见光谱B050307 光声光谱B050308 红外光谱B050309 拉曼光谱B0504 波谱分析B050401 顺磁B050402 核磁B0505 质谱分析B050501 有机质谱B050502 无机质谱B0506 化学分析B050601 萃取剂、显色剂、特殊功能试剂B050602 色谱柱固定相、分离膜B0507 热分析B0508 放射分析B050801 活化分析B050802 质子荧光B0509 生化分析及生物传感B0510 联用技术B0511 采样、分离和富集方法B0512 化学计量学B051201 分析方法与计算机技术B051202 分析讯号与数据解析B0513 表面、微区、形态分析B051301 表面分析B051302 微区分析B051303 形态分析B06 化学工程及工业化学B0601 化工热力学和基础数据B060101 状态方程与溶液理论第13 页共39 页B060102 相平衡B060103 热化学B060104 化学平衡B060105 热力学理论模型和分子系统的计算机模拟B060106 热力学数据和数据库B0602 传递过程B060201 化工流体力学和传递性质B060202 传热过程及设备B060203 传质过程B060204 流变学B060205 颗粒学及浆料化学B0603 分离过程及设备B060301 蒸馏B060302 蒸发与结晶B060303 干燥B060304 吸收B060305 萃取B060306 吸附与离子交换B060307 机械分离过程B060308 膜分离B060309 其它分离技术B0604 化学反应工程B060401 化学(催化)反应动力学B060402 反应器原理及传递特性B060403 反应器的模型化和优化B060404 流态化技术和多相流反应工程B060405 固定床反应工程B060406 聚合反应工程B060407 电化学反应工程B060408 生化反应工程B060409 催化剂工程B0605 化工系统工程B060501 化学过程的控制与模拟B060502 化工系统的优化B060503 化工过程动态学B0606 无机化工B060601 常规无机化工B060602 工业电化学(电解、电镀、化学腐蚀与防腐)B060603 精细无机(无机颜料、吸附剂及表面活性剂等)B060604 核化工与放射化工B0607 有机化工B060701 工业有机化工B060702 精细有机化工（染料、涂料、感光剂、粘合剂与日用化工等）B0608 生物化工与食品化工B060801 生化反应动力学及反应器B060802 发酵物的提取和纯化B060803 生化过程的化工模拟及人工器官B060804 酶化工B060805 天然产物和农副产品的化学改性及深度加工B060806 生物医药工程B0609 能源化工B060901 煤化工B060902 石油化工B060903 燃料电池B060904 其它能源化工B0610 化工冶金第14 页共39 页B061001 矿产资源的利用研究B061002 化学选矿与浸出B061003 湿法冶金物理化学B061004 等离子体冶金B061005 化学涂层B0611 环境化工B061101 环境治理中的物理化学原理B061102 三废治理技术中的化工基础B061103 环境友好的化工过程B061104 可持续发展环境化工的新概念B0612 制药工程B061201 医药工程B061202 农药工程B061203 兽药工程B07 环境化学B0701 环境分析化学B070101 环境中微量生命元素及其化合物的分离、分析技术B070102 环境中微量有机污染物的分离、分析技术B0702 环境污染化学B070201 大气污染化学B070202 水污染化学B070203 土壤污染化学B070204 固体废弃物及放射性核素污染化学B0703 污染控制化学B070301 化学控制、防治新工艺、新技术及其基础性研究B070302 无害化工艺(原料、能源和资源的综合利用)B0704 污染生态化学B0705 理论环境化学B0706 全球性环境化学问题Ｃ生命科学部C01 基础生物学C0101 微生物学C010101 微生物分类学C01010101 细菌分类C01010102 放线菌分类C01010103 真菌分类C010102 微生物生理及生物化学C010103 微生物遗传育种C010104 微生物方法学C010105 微生物资源与生态C010106 应用微生物学基础C01010601 工业微生物C01010602 农业、土壤微生物C010107 病毒学C01010701 动物病毒C01010702 植物病毒C01010703 微生物病毒C010108 医学与兽医微生物学C01010801 病毒C01010802 立克次氏体(含衣原体)C01010803 病原细菌(含支原体与螺旋体)C01010804 病原真菌C0102 植物学C010201 植物结构学C01020101 植物形态解剖学C01020102 植物形态发生C01020103 植物胚胎学C010202 植物系统学与分类学C01020201 植物系统发育与演化第15 页共39 页C01020202 种子植物分类C01020203 孢子植物分类C01020204 植物区系与地理学C010203 植物生理学C01020301 光合作用及固氮C01020302 呼吸作用、采后生理及次生物质代谢C01020303 矿质营养及有机物质运输C01020304 水分生理及抗性生理C01020305 植物激素、生长发育及生殖生理C010204 植物资源学C01020401 植物资源评价C01020402 植物引种驯化C01020403 植物种质保存C01020404 资源植物化学C0103 动物学C010301 动物形态学C010302 动物胚胎学C010303 动物分类学C010304 动物生理学C010305 动物行为学C010306 动物进化和动物遗传学C010307 动物地理学C010309 动物资源与保护生物学C010310 实验动物学C0104 生物化学和分子生物学C010401 生物分子的结构与功能、合成机理及调节过程C01040101 蛋白质与肽C01040102 核酸C01040103 酶C01040104 多糖及糖复合物C01040105 激素C01040106 天然产物化学C010402 生物膜的结构与功能C010403 无机生物化学C0105 生物物理学与生物医学工程学C010501 理论生物物理C01050101 量子生物学C01050102 生物信息论和生物控制论C01050103 生物功能的计算机模拟、生物数学C01050104 生命现象的生物物理理论阐述C010502 环境生物物理C01050201 电离辐射生物物理C01050202 光生物物理C01050203 电磁辐射生物物理C01050204 声生物物理C01050205 其它环境因素对生物的作用C01050206 自由基生物学C010503 生物组织的物理特性C01050301 生物光学C01050302 生物电磁学C01050303 生物声学C01050304 生物力学和生物流变学C01050305 生物组织的其它物理特性C010504 分子生物物理第16 页共39 页C01050401 生物分子结构的运动性C01050402 生物分子的相互作用C01050403 生物分子中的能量传递与电子传递C010505 膜与细胞生物物理C010506 感官与神经生物物理C010507 生物物理技术C010508 生物物理学研究中的新概念和新方法C010509 人工器官C010510 生物医学信号处理C010511 生物医学测量技术C010512 生物系统的建模与应用C010513 生物医学超声C010514 生物医学传感技术C010515 生物材料C010516 生物医学图象C010517 其它生物医学工程学研究C0106 神经生物学C010601 分子神经生物学C010602 细胞神经生物学C010603 系统神经生物学C010604 高级神经生物学C010605 比较神经生物学C010606 发育神经生物学C010607 感觉系统神经生物学C0107 生理学C010701 循环生理学C010702 血液生理学C010703 呼吸生理学C010704 消化生理学C010705 泌尿生理学C010706 内分泌生理学C010707 特殊环境生理学C010708 生殖生理学C010709 年龄生理学C0108 心理学C010801 心理学的基本过程研究C010802 认知心理学C010803 生物心理学C010804 医学心理学(含精神卫生学)C010805 工程心理学C010806 发展与教育心理学C010807 运动心理学C0109 细胞生物学及发育生物学C010901 细胞结构与功能C010902 细胞增长、分裂与分化C010903 模型动植物及实验体系的建立C010904 细胞工程(生物技术和细胞培养)C010905 细胞代谢C010907 细胞信息C010908 胚的成因、形态及其形成C010909 细胞间的作用、演变和再生C0110 遗传学C011001 植物遗传学C011002 动物遗传学C011003 微生物遗传学C011004 人类遗传学C011005 医学遗传学及遗传病第17 页共39 页C011006 细胞遗传学C011007 分子遗传学C011008 基因工程C0111 生态学C011101 生态学一般理论和方法C011102 个体生态学及生理生态学C011103 种群生态学C011104 群落与系统生态学C011105 行为生态学与进化生态学C011106 景观生态学与地理生态学C011107 毒理生态学C011108 保育生态学及恢复生态学C011109 生态管理与农业生态学C011110 其它生态学及环境问题C02 农业科学C0201 农业基础科学C020101 农业数学C020102 农业物理学C020103 农业气象学C020104 农业化学C020105 肥料学C020106 农业系统管理工程C0202 农学C020201 作物栽培学C020202 作物营养学C020203 作物生理学C020204 作物品种资源学C020205 作物遗传育种学C02020501 稻类遗传育种学C02020502 麦类遗传育种学C02020503 其它禾谷类作物遗传育种学C02020504 油料作物遗传育种学C02020505 薯类作物遗传育种学C02020506 棉麻作物遗传育种学C02020507 饲料作物遗传育种学C02020508 糖料作物遗传育种学C02020509 热带、亚热带作物遗传育种学C02020510 其它经济作物遗传育种学C02020511 作物遗传育种新方法C02020512 作物种子学C020206 植物保护学C02020601 病虫测报学C02020602 作物真菌病害C02020603 作物细菌病害C02020604 作物病毒病害C02020605 作物其它病害C02020606 作物虫害C02020607 杂草、鼠害防治C02020608 化学保护(抗药性)C02020609 作物病虫害检疫学C020207 植病生防C020208 害虫生防C020209 抗病、抗虫作物选育C020210 园艺学C02021001 蔬菜学C02021002 瓜果学C02021003 果树学C02021004 食用真菌学第18 页共39 页。
几个典型非线性方程组的显式精确解
几个典型非线性方程组的显式精确解郭鹏;张磊;万桂新;王小云【摘要】By introducing suitable trial function,the trial function method is extended to find sever-al types of exact solutions to coupled Burgers equation,coupled KdV equation and modified cou-pled KdV equation.The results indicate that this approach is simple and efficient for solving sys-tems of nonlinear equations.%对试探函数方法进行了扩展，通过引入恰当的试探函数找到了耦合 Burgers 方程、耦合 KdV 方程和修正cKdV方程组的几类精确解。
实例证明在对非线性方程组的求解中，试探函数方法仍是一种简便易行的方法。
【期刊名称】《兰州交通大学学报》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】5页(P171-175)【关键词】试探函数方法;耦合Burgers方程;耦合KdV方程;修正 cKdV方程组;精确解【作者】郭鹏;张磊;万桂新;王小云【作者单位】兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070; 兰州交通大学铁道车辆热工教育部重点实验室，甘肃兰州 730070;兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070;兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O411.1非线性现象是自然界中普遍存在的一种重要现象.随着科学技术的发展，研究这些非线性现象所包含的非线性问题已经成为现代科学研究的热点问题.而其中许多非线性问题的研究最终可用非线性方程来描述，因此如何求解这些非线性方程成为广大科技工作者研究的一个重要课题.近年来，在这一研究领域人们提出了许多求解非线性方程的有效方法，特别是针对一些被归为可积的非线性方程.常用的方法有逆散射法、Bäcklund变换法、齐次平衡法、双曲函数法、Weierstrass椭圆函数展开法、Jacobi椭圆函数展开法、同伦分析法、辅助方程法、F-展开法、（G′／G）展开法、指数函数展开法等［1-13］.这些方法多数都可以借助计算机代数系统得以部分甚至完全实现，从而大大提高了工作效率.然而，由于没有一套统一而普适的方法，对非线性方程的求解仍是很困难的，以上所提到的方法也只能应用于某个或某些非线性方程的求解.因此，继续寻找一些简便、有效的求解方法仍是一项十分重要的工作.文献［14-17］中提出了一种求解非线性方程的简洁方法——试探函数法，并用该方法求解了几类非线性方程.试探函数方法的关键在于选取试探函数.只要选取合适的试探函数，就可使非线性方程的求解变得非常简便.本文将试探函数方法进行了扩展，具体应用于求解耦合Burgers方程、耦合KdV方程和修正cKdV方程组等物理学中的典型非线性方程组.非线性方程组相比较于单个的非线性方程更复杂，求解更为困难.在对这几个非线性方程组求解的过程中，通过引入恰当的试探函数，这些非线性方程组被化为一组代数方程组，然后再求解此代数方程组确定相应的常数，从而求得非线性方程组一般形式的行波解.当选取一些特定参数时该行波解可化为孤波解、奇异行波解与三角函数周期波解.结果表明，试探函数方法对于非线性方程组的求解也是简洁而有效的.1 耦合Burgers方程的求解耦合Burgers方程的形式为式中：c为常数.该模型可以从二层不可压缩的无黏流体的欧拉方程组中推导出来，并应用于许多物理领域.当v＝0时，方程（1）退化为通常的Burgers方程.对于该方程，可选取如下形式的试探函数：式中：k，ω，u0，v0，a，e，b为待定常数.将式（2）代入式（1）可得下列代数方程：令式（3）中y各次幂的系数为零可解得：式中：k，ω，u0，b为任意常数.将式（4）和式（5）代入式（2）可得：式（6）和式（7）为耦合Burgers方程一般形式的行波解，b取不同数值可求得式（1）的多个不同特解.下面举例说明.取b＝1，由式（6）和式（7）可求得耦合Burgers方程如下形式的扭结型孤波解：取b＝-1，由式（6）和式（7）可求得耦合Burgers方程如下形式的奇异行波解：如果作代换可将式（8）-（11）化为式（12）-（15）为耦合Burgers方程的三角函数周期波解.因为k，ω，u0，b可取任意数值，所得到的解还有很多，不再列出.2 耦合KdV方程的求解耦合KdV方程的形式为式中：α为常数.耦合KdV方程可以用来描述分层流体内部波之间的近共振相互作用，也可用来描述星际间波的近共振相互作用等.当v＝0时，方程（16）退化为通常的KdV方程.对于该方程，可选取如下形式的试探函数：式中：k，ω，u0，v0，a，e，b仍为待定常数.将式（17）代入式（16）可得下列代数方程：令式（18）中y各次幂的系数为零可解得：式中：k，ω，b为任意常数.将式（19）和式（20）代入式（17）可得：式（21）和式（22）为耦合KdV方程一般形式的行波解，由b取不同数值可求得式（16）多个不同的特解.下面举例说明.取b＝1，由式（21）和式（22）可求得耦合KdV方程如下形式的钟型孤波解：取b＝-1，由式（21）和式（22）可求得耦合KdV方程如下形式的奇异行波解：如果作代换可将式（23）-（26）化为式（27）-（30）为耦合KdV方程的三角函数周期波解.因为k，ω，b可取任意数值，所得到的解还有很多，不再列出.3 修正cKdV方程组的求解修正cKdV方程组的形式为式中：β为常数.在文献［18］中，石玉仁等人利用函数展开法求解了该方程，得到了几类孤立波解，并讨论了孤立波的稳定性.对于该方程，可选取如下形式的试探函数：式中：k，ω，u0，v0，a，e，b仍为待定常数.将式（32）代入式（31）可得下列代数方程：令式（33）中y各次幂的系数为零可解得：式中：ω，b为任意常数.将式（34）和式（35）代入式（32）可得：式（36）和式（37）为修正cKdV方程组一般形式的行波解，由b取不同数值可求得式（31）多个不同的特解.下面举例说明.取b＝1，由式（36）和式（37）可求得修正cKdV方程组如下形式的孤波解：取b＝-1，由式（36）和式（37）可求得修正cKdV方程组如下形式的奇异行波解：如果作代换可将式（38）-（41）化为式（42）-（45）为修正cKdV方程组的三角函数周期波解.由于ω，b可取任意数值，所得到的解还有很多，不再列出.4 结论本文对试探函数方法进行了扩展，具体应用于求解耦合Burgers方程、耦合KdV 方程和修正cKdV方程组等物理学中的典型非线性方程组.通过选择适当的试探函数，这些非线性方程组被化为一组代数方程组，然后再求解此代数方程组确定相应的常数，从而求得非线性方程组一般形式的行波解.当选取一些特定参数时该行波解可化为孤波解、奇异行波解与三角函数周期波解.对于这些精确解，应用数学软件还可以很方便的对它们进行数值模拟.从求解过程可以看出，试探函数方法与其它非线性方程求解方法相比更加简便.本文所采用的这种扩展的试探函数方法也可推广应用于求解其它非线性方程组.【相关文献】［1］ Gu C H，Guo B L，Li Y S，et al.Soliton theory and its application［M］.Hangzhou：Zhejiang Scientific and Technological Press，1990.［2］ Ablowitz M J，Clarkson P A.Solitons，nonlinear evolution equations and inverse scatting［M］.New York：Cambridge University Press，1991.［3］ Li B，Chen Y，Zhang H Q.Auto-bäcklund transformation and exact solutions for compound KdV-type and compound KdV-burgers-type equations with nonlinear terms of any order［J］.Phys.Lett.A，2002，305（6）：377-382.［4］ Wang M L.Solitary wave solution for boussinesq equations［J］.Phys.Lett.A，1995，199（3／4）：162-172.［5］ Fan E G.Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations ［J］.Phys.Lett.A，2000，277（4／5）：212-218.［6］ Zhang G X，Li Z B，Duan Y S.Exact solitary wave solutions to nonlinear wave equations［J］.Science in China（A），2000，30（12）：1103-1108.［7］ Li J B，Zhang Y.Exact travelling wave solutions in a nonlinear elastic rod equation ［J］put，2008，202（2）：504-510.［8］ Shi Y R，Guo P，LüK P，et al.Expansion method for modified jacobi elliptic function and its application［J］.Acta.Phys.Sin.，2004，53（10）：3265-3269.［9］ Zhang S，Zhang H Q.Fractional sub-equation method and its applications to nonlinear fractional PDEs［J］.Phys.Lett.A，2011，375（7）：1069-1073.［10］ Wazwaz A M.Two integrable extensions of the Kadomtsev-Petviashvili equation ［J］.Cent.Eur.J Phys.，2011，9（1）：49-56.［11］ Wang M L，Li X Z，Zhang J L.The（G＇／G）-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］.Phys.Lett.A，2008，372（4）：417-423.［12］ He J H，Wu X H.Exp-function method for nonlinear wave equations［J］.Chaos，Solitons and Fract，2006，30：700-708.［13］ Shi Y R，Xu X J，Wu Z X，et al.Application of the homotopy analysis method to solving nonlinear evolution equations［J］.Acta.Phys.Sin.，2006，55（4）：1555-1560. ［14］ Liu S K，Fu Z T，Liu S D，et al.A simple fast method in finding particular solutions of some nonlinear PDE［J］.Appl.Math.Mech.，2001，22（3）：326-331.［15］ Xie Y X，Tang J S.A simple fast method in finding the analytical solutions to a class of nonlinear partial differential equations［J］.Acta.Phys.Sin.，2004，53（9）：2828-2830. ［16］ Xie Y X，Tang J S.New solitary wave solutions to the KdV-Burgers equation［J］.Int.J Theor.Phys.，2005，44（3）：304-312.［17］ Xie Y X，Tang J S.A unified trial 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数学物理方程中的非线性椭圆方程研究
数学物理方程中的非线性椭圆方程研究数学物理方程的研究在科学领域占据重要地位，而非线性椭圆方程作为其中的一类方程，具有广泛的应用背景和深远的理论意义。
本文将对非线性椭圆方程进行研究，探讨其基本特性和解的存在性。
1.非线性椭圆方程的定义非线性椭圆方程是具有形式如下的方程：$-\Delta u + f(u) = 0$其中，$u$是未知函数，$\Delta$是拉普拉斯算子，$f(u)$是一个非线性函数。
非线性椭圆方程在数学物理中具有重要的应用，例如用于描述流体力学中的非线性椭圆方程和量子力学中的非线性薛定谔方程等。
2.解的存在性研究非线性椭圆方程时，关注的一个重要问题是解的存在性。
根据椭圆型偏微分方程的性质，可以得知非线性椭圆方程有解的条件是$f(u)$满足适当的增长条件和非线性度量条件。
其中，增长条件是指$f(u)$必须足够增长，以支持解的存在性；非线性度量条件是指$f(u)$具有一定的非线性程度。
对于非线性度量条件，通常需要对$f(u)$进行具体的假设。
常见的假设包括：$f(u)$为凸函数、增长条件满足Carathéodory条件等。
在满足这些假设的前提下，可以使用变分方法、逼近方法等数学方法，来证明非线性椭圆方程的解的存在性。
3.非线性椭圆方程的解的性质非线性椭圆方程的解不仅有存在性，还具有一些重要的性质。
其中，最重要的性质之一是正解的存在性。
正解指的是方程的解在物理意义上是非负的，这在实际应用中是非常重要的。
另一个重要的性质是解的稳定性。
对于边值问题，通常需要研究解对边界条件变化的稳定性。
在理论研究中，可以通过能量估计、变分方法等来证明解的稳定性。
4.应用举例非线性椭圆方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
举例来说，非线性椭圆方程可以应用于材料科学中的相变问题。
相变问题在材料科学和工程中具有重要的应用，在材料的相变过程中，需要描述材料性质的非线性椭圆方程来研究相变界面的变化规律。
此外，在非线性光学中，也可以使用非线性椭圆方程来描述光的传播和变化规律。
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。
本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。
关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。
The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。
In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪 论1。
偏微分方程基本分类
偏微分方程基本分类偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学领域中的一个重要学科，广泛应用于物理学、工程学、经济学等众多领域。
对于一个偏微分方程的分类，可以从多个角度进行划分，本文将介绍几种基本的分类方法。
1. 按照方程的阶数进行分类偏微分方程根据方程中各导数的最高阶数进行分类，可以分为一阶、二阶、三阶等不同阶数的方程。
一阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂u/∂x + b(x, y)∂u/∂y = c(x, y)二阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂²u/∂x² + b(x, y)∂²u/∂x∂y + c(x, y)∂²u/∂y² = d(x, y)类似地，可以推广到更高阶的偏微分方程。
2. 按照方程的类型进行分类偏微分方程根据方程的类型进行分类，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型方程。
椭圆型方程在物理学中描述了稳定状态，如静电场、热传导等问题；双曲型方程描述了波动传播问题，如声波、电磁波等；抛物型方程描述了扩散问题，如热传导方程、扩散方程等。
3. 按照边界条件进行分类偏微分方程根据边界条件进行分类，可以分为边值问题和初值问题。
边值问题是在给定区域上给出边界条件，需要求解在该区域上满足边界条件的解；初值问题是在给定初始条件下，需要求解在给定时间范围内的解。
4. 按照线性性质进行分类偏微分方程根据方程中的线性性质进行分类，可以分为线性方程和非线性方程。
线性方程满足叠加原理，如果 u1 和 u2 是其解，那么k1u1 + k2u2 也是其解；非线性方程则不满足叠加原理。
5. 按照解的形式进行分类偏微分方程根据其解的形式进行分类，可以分为解析解和数值解。
解析解是通过数学分析得到的解的表达式；数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
6. 按照方程的系数性质进行分类偏微分方程根据方程中的系数性质进行分类，可以分为恒定系数方程和变系数方程。
几类分数阶非线性椭圆方程解的存在性与集中性
几类分数阶非线性椭圆方程解的存在性与集中性分数阶拉普拉斯问题可以用来描述物理学、生物学、化学、金融经济、概率等领域中的许多重要现象.特别地,在概率的观点下,分数阶拉普拉斯算子被视为稳态Levy扩散过程的无穷小生成元.因此,分数阶拉普拉斯微分方程解的相关问题研究目前已成为非线性分析领域的热门研究方向之一在本论文中,我们利用非线性分析中的临界点理论和变分约化等方法研究了两类具有临界指数的分数阶椭圆方程解的存在性、多重性及分数阶非线性Schrodinger方程解的存在性和集中性,获得了一系列新的结果.具体包含以下四章内容：在第一章中,我们利用Nehari流形方法和Ljusternik-Schnirelmann筹数理论研究了一类具有临界指数的分数阶非线性Schrodinger方程.证明了方程在两种不同情形下具有基态解和catΛδ(Λ)个非平凡解.在第二章中,我们利用变分扰动方法研究了分数阶
非线性Schrodinger方程解的存在性及集中性.设合理的假设下,证明了所得解集中在函数г(x)的临界点.我们所得结果推广了文献[36]和[44]的结果.在第三章中,我们研究了一类分数阶非线性椭圆方程的多峰解,其中Q(x)为正的连续有界函数.利用 Lyapunov-Schmidt变分约化方法得到,对任意的正整数七,方程具有一个七-峰的正解,且其集中在Q的严格局部极小点处.我们把文献[65]的结果推广到了分数阶情形.最后,我们利用调和扩展技术和临界点理论,研究了一类具有临界指数的非齐次分数阶Laplacian司题,证明了此类问题至少具有两个正解.同时,在一类线性正型区域上,我们获得了一个正解的不存在性结果.此结论推广了文献[85]中的不存在性结果.。
非线性椭圆型方程的Nehari流形的开题报告
非线性椭圆型方程的Nehari流形的开题报告
1.引言
非线性椭圆型方程在物理学、工程学、化学等领域有广泛的应用。
而其中最为著名的非线性椭圆型方程就是经典的Laplace方程和Poisson
方程。
本文主要研究一类非线性椭圆型方程的Nehari流形，介绍其定义、性质和应用等方面的内容。
2.非线性椭圆型方程及其解的存在性和唯一性
在数学研究中，非线性椭圆型方程的研究通常涉及到解的存在性和
唯一性问题。
对于一般的非线性椭圆型方程，这个问题是非常困难的。
但对于一些特殊的非线性椭圆型方程，存在一些解的存在性和唯一性结果。
3. Nehari流形的定义
Nehari流形是由C. Nehari在研究非线性椭圆型方程的解存在性问题时，提出的一种特殊的流形。
在一些特殊的非线性椭圆型方程中，Nehari 流形的存在性可以说明解的存在性和唯一性问题。
4.Nehari流形的性质
Nehari流形具有一些独特的性质。
例如它是有限维的、它是一个连
通的流形等。
同时，它的边界也具有重要的性质，例如各种曲率的界等。
这些性质对于研究非线性椭圆型方程解的存在性和唯一性问题非常有用。
5.Nehari流形的应用
Nehari流形的存在性和性质在解的存在性和唯一性问题的研究中发
挥了很大的作用。
同时，它也被广泛地应用于其他一些领域，例如最小
表面问题、四色问题等。
6.结论
本文主要介绍了非线性椭圆型方程的Nehari流形的定义、性质和应用等方面的内容。
Nehari流形在解的存在性和唯一性问题中具有重要的作用，同时它也被广泛地应用于其他一些领域。
非线性椭园方程边值问题的多解存在性
非线性椭园方程边值问题的多解存在性
非线性椭圆方程边值问题的多解存在性
1、什么是非线性椭圆方程边值问题
非线性椭圆方程边值问题是一类特殊的偏微分方程，它是一个带有边值条件的非线性方程，它能够说明各种物理现象，例如弹性力学以及边界层理论等。
它是以椭圆型的形式来描述问题的，即所研究的问题可以转化为求解椭圆型方程。
2、多解存在性
多解存在性是指非线性椭圆方程边值问题可能会有不止一个解，即存在多解。
这是因为这种方程经过改变后可以转化为多组方程，并且这组方程具有相同的边界条件，因此会出现多个解。
同时，不同类型的椭圆方程也会出现不同的解，特别地，在特定的跟边界条件下，甚至可能存在无穷多的解。
3、解的性质
虽然该方程可能会有多解，但是这些解的性质并不完全一致。
例如，其中一些解可能是渐近解，其他解则可能是定常解。
从数学的角度来看，渐近解表示的是解的收敛性，即解会不断向某个特定方向收敛；而定常解表示的则是解的稳定性，即这一解会不断地存在，而不会出现任何改变。
4、椭圆方程边值问题的实际应用
非线性椭圆方程边值问题的多解存在性在很多领域都得到了广泛的应用，比如可以应用于工程设计中的力学和流体力学，还可以用于金融学中的价格计算。
除
此之外，这一方程还可以用于生物学中的生物医学建模，用于细胞信号传递中的活性水平，用于材料力学中的材料损伤航空航天等等。
简述坡印廷定理的内容意义
简述坡印廷定理的内容意义坡印廷定理是应用最广泛的二阶椭圆型偏微分方程，其名称来自美国的e。
h。
坡印廷（ warrenpeich）教授，他于1967年证明了该定理，并将其应用到随机场理论中。
1、内容：设椭圆型方程： y^2+bx+c=0，若存在一个具有初始条件的系统解y^2=0，即： y=0或y=a(x)+b(x)，那么它必然存在唯一的确定解y=c(x)这时y可以通过： c(x)取得。
即： y^2+cx+c=0这是一类常见的二阶非线性偏微分方程。
2、在实际问题中，不同的几何条件和初始条件会使其解空间的形式发生变化。
但是无论如何变化，其解仍满足一定的条件，这些条件包括： x,y都连续，这里“都”是指任意相邻两点的横坐标、纵坐标都相等，即y^2+bx+c=0。
利用坡印廷定理，我们可以把某一系统从不同的几何条件下，用适当的方法转化为在同一个条件下求解，即将方程组系统化，然后再运用相关的工具对系统进行求解，并且保持其原系统的几何结构，以便有助于运用各种边界条件进行处理。
通过解坡印廷定理，我们也能够有效地掌握分析系统中局部范围的动态特征。
在坡印廷定理的基础上，坡印廷还证明了以下的定理：如果在同一个平面内的两个已知点，由一个公式f(x,y)可以求出另一个已知点p的坐标，那么，这两个点在平面内的距离至少是常数的整数倍。
其中，平面内，一般是指闭区域。
3、有限差分法是应用数值计算的一种重要手段，这种方法是由美国的D。
S。
费曼于1953年首先提出的。
他于1954年证明了有限差分法， 1956年提出了它的变量代换原则。
在经典的有限差分方法中，分成两个步骤： (1)积分， (2)求解。
第一步是求解第一个差分方程： y^2+bx+c=0，即差分方程可写成： y^2+cx+c=0,第二步是对差分方程的解作差分运算，以获得待求的差分方程的近似解。
坡印廷定理就是一种近似解，所以应用坡印廷定理的前提是：对差分方程作出精确解，即：（ 1） y^2+cx+c=0;（ 2）对差分方程作出精确解，即：（ 1） y^2+cx+c=0;（ 2）有限差分法不仅是一种科学计算的手段，而且可以加快运算速度，因此，越来越多的工程技术人员采用有限差分法来解决各类科学与工程计算中的计算问题。
fritz john 偏微分方程
Fritz John 是一位著名的数学家，他对偏微分方程领域做出了重要的贡献。
其中最著名的是他的一些研究成果与变分原理和非线性偏微分方程相关。
John 发展了一种称为"Fritz John条件"的变分原理。
该条件是用于非线性偏微分方程的分析和研究中的一个重要工具。
具体来说，John条件是一组必要的和充分的条件，用于判断非线性偏微分方程的某个解是否为数学表达式中给定函数的一个严格局部极值点。
它通过偏微分方程的变分问题进行了描述和证明。
除了John条件，Fritz John 还在非线性偏微分方程的许多方面做出了重要的贡献。
他对椭圆型偏微分方程、非线性椭圆方程和非线性椭圆型系统方程的理论研究都有深入的探索。
Fritz John的工作对于现代偏微分方程理论的发展和应用都产生了重要的影响，他的成果被广泛地应用于许多领域，包括数学物理、流体力学、控制论等。
他的研究不仅深化了对偏微分方程及其变分学理论的理解，也为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
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非线性椭圆型方程
非线性椭圆型方程是一类重要的研究深层数学方程的数学理论。
它的几何表达式是最常见的，可以用来描述多种直线和曲线，在线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等多个领域有广泛的应用。
首先，我们来介绍一下什么是非线性椭圆型方程。
非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，它在数学上就是一个椭圆的方程，但是它有比一般椭圆方程更复杂的结构。
它在椭圆方程的基础上，加入了一些非线性的元素，使得它的形式变得更加复杂。
其次，我们来看一下非线性椭圆型方程的几何表示。
一般来说，非线性椭圆型方程的几何表示式为：
F(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0，其中a,b,c,d,e和f是常量。
它们可以映射出各种直线和曲线，比如圆、椭圆、抛物线等。
再次，我们来看一下非线性椭圆型方程的应用。
非线性椭圆型方程有着广泛的应用领域，比如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等。
在线性代数中，它可以用来求解系统方程，或者求解向量空间等问题；在几何学中，它可用来处理各种几何舞台上的问题，如求解相对于其他确定性几何图形的不同类型图形；在机器学习中，它可以用来表达分类问题，建立模型，或者进行参数估计；在计算机图形学中，它可以用来模拟物体的表面，绘制3D图形；在知识工程中，它可以用来处理不同类型的数据，如文本数据、文档数据和语音数据等。
最后，我们来总结一下，非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，其几何表示可以映射出各种直线和曲线，并且有着广泛的应用领域，如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等，可以用来求解系统方程、表达分类问题、模拟物体表面、处理不同类型的数据等。