高一数学教案[苏教版]三角函数的周期性2

1.3.1 三角函数的周期性

一、课题：三角函数的周期性

二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；

2.会求正、余弦函数的最小正周期。

三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。 四、教学过程： （一）引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

自变量x 2π- 32π- π

-

2

π-

2π

π

32

π 2π 函数值sin x

1 0 1- 0

1

1-

正弦函数()sin f x x =性质如下：

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．

也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 （二）新课讲解： 1．周期函数的定义

对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 【思考】

（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin(

)sin 636π

ππ+

=，能否说

23

π

是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）

（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*

k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）

2．最小正周期的定义

对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。 说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；

（2）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； （3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3．例题分析：

– –

例1：求下列函数周期：

（1）3cos y x =，x R ∈；

（2）sin 2y x =，x R ∈；

（3）12sin()26

y x π

=-

，x R ∈．

解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，

∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，

∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．

（3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()262626

x x x πππ

ππ-+=+-=-，

∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π． 说明：（1）一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且

0A ≠，0ω>）的周期2T πω

=

； （2）若0ω<，例如：①3cos()y x =-，x R ∈；②sin(2)y x =-，x R ∈；

③12sin()26

y x π

=-

-，x R ∈． 则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||

T π

ω=． 例2：求下列函数的周期：

（1）sin(

)32y x π

π

=-

； （2）33cos

cos sin sin 2222

x x x x y =+；

（3）sin cos y x x =+； （4）22cos sin 22

x x y =-； （5）2

cos y x =．

解：（1）24||2T π

π==-，∴周期为4；

（2）333cos cos sin sin cos()cos 222222

x x x x x x

y x =+=-=，∴周期为2π；

（3

）cos sin sin()4

y x x x π

=-=- ∴周期为2π；

（4）2

2sin cos cos 22

x x

y x =-=-，∴周期为2π； （5）2111

cos (1cos 2)cos 2222

y x x x ==-=-+，∴周期为π．

说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为sin()y A x ωϕ=+的形式，再利用公式2T π

ω

=进行求解。

五、课堂练习：求下列函数的周期： （1）sin3y x =，x R ∈； （2）cos 3x y =，x R ∈； （3）3sin 4

x

y =，x R ∈； （4）sin()10

y x π

=+

，x R ∈；

（5）cos(2)3

y x π=+，x R ∈；

（6

）1sin()

24

y x π=-，x R ∈．