§9.7第一型曲面积分的计算1

0 2 2 0
4a
a
1
dy
h 2
1
2
dz
2 2 例 4．计算 ( xy yz zx)dS ，其中 是由锥面z x y
被柱面 x y 2 2ax 所截得的有限部分。
2
解：∵ 关于xoz 而对称，而
y z x ，被积函数
2 2
z
y
中 xy, yz 都是 y 的 奇函数，
§9.7 第一型曲面积分的计算
一、第一型曲面积分的概念与性质
定义设曲面 是光滑的， f ( x, y, z) 定义在 上且有界 。
把 任意分成 n 小块 si (i 1, 2, , n) （ si 也同时代表第
i 小 块 曲面的面积） ，任取 (i , i , i ) si ，作和式

o
x
2 2 a h 2
a
d
a y

Dxy
add a
2 2
a d
0
2
a
2
0
1 2 2 2a[ ln(a )] 2
a 2 h 2 0
a 2a ln . h
例 2．计算 xyzdS ，其中是 由平面

z
4 1
x 0 ， y 0 ， z 0 及 x y z 1 所围
4 2
dS
2 2 2
1 x y z
o
a y
其中 1是位于第一卦限的部分 ，
1 的方程为 x a y ， x y
2 2
x
， xz 0 ，
y a2 y2
ds
1 x 2 x 2 dydz y z

a a y
2 2
dydz ，
z h
1
把 1 投影到 yoz 平面， 得 D yz {( y, z ) 0 y a, 0 z h} ，
f ( x, y, z )ds dlim0 f ( i ,i , i )si
i 1

n
其中 f ( x, y , z ) 称为被积函数， 称为 积分曲面。 注：
（1）当 f ( x, y, z ) 在光滑曲面上 连续时， f ( x, y, z )dS 存在。
2 2 a cos 3 cosd d 0 2
2
4

2 4 5 2a cos d 8 2

2a
4
0
2
cos d
5
4 2 64 2 4 8 2a 4 1 a . 5 3 15
o
a y
x 2 y 2 z 2 4 a 2 z 2 4 a 2 z 2
1 D yz
dS
dS
1
x
a
2 2
a y
dydz
a z a y y a 1 z h 1 h h 4a(arcsin ) 0 ( arctan ) 0 4a arctan 2arctan . a a a 2 a a a
成的四面体的整个边界曲面。
解： 整个边界曲面在平面 x 0 ，
y 0 ， z 0 及 x y z 1 上的部
2
o3
y
x
分依次记为 1 ， 2 ， 3 ， 4 。
xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzds
1 2 3 4
（2）面密度为连续函数( x, y, z ) 的光滑曲面 的 质量为
m ( x, y, z )dS 。


一、第一型曲面积分的计算法
设光滑曲面 的 方程为 z z ( x, y) ， 在 xy 面上的 投影区域为 Dxy ，函数 z ( x, y ) 在 Dxy 上有一阶连续偏 导数，如果 f ( x, y, z) 在 上连续，则有
2
2
∴ xyzdS xyzdS
4

Dxy
3xy(1 x y)dxdy
1
y 2 y 3 1x 3 xdx y(1 x y)dy 3 x[(1 x) ] dx 0 0 0 2 3 0 3 1 (1 x) 3 1 3 2 3 4 3 x dx ( x 3x 3x x )dx . 0 6 6 0 120
∴ xydS yzdS 0 ，

o
x
∴ ( xy yz zx)dS zxdS 。

∵ z x y ，zx
2 2
2
2
x x y
2 2
，z y
y x y
2 2
，
dS 1 z x z y dxdy 2dxdy ，
∴ ( xy yz zx )dS zxdS 2 zxdxdy

分后与重积分应用中求曲面面积公式一致。
dS 2 2 2 2 例 1．计算曲面积分 ，其中 是球面 x y z a z
被平面 z h (0 h a ) 截出的顶部。
a
h
z
o
x
a
a y
例 2．计算 xyzdS ，其中 是 由平面

x 0 ， y 0 ， z 0 及 x y z 1 所围
f ( x, y, z)dS

f ( x, y, z( x, y)) 1 z x ( x, y) z y ( x, y)dxdy
2 2 Dxy

注： （1）计算第一型曲面积分 f ( x, y, z )dS 时，只要将被积
函数 f ( x, y, z) 中的 z 换成 z( x, y) ，曲面的面积元素 ds 换成
1
1x
例 3．计算

dS x y z
2 2 2
，其中 ： x y a ，
2 2 2
0 z h ， (a 0, h 0) 。
z
h
1
解：∵曲面关于 yoz 平面和xoz 平面对称， ∴
dS
2 2 x y z dS 4 2 2 1 a z
成的四面体的整个边界曲面。
z
4 1
2
o3
y
x
例 3．计算

dS x y z
2 2 2
，其中 ： x y a ，
2 2 2
0 z h ， (a 0, h 0) 。
z
h
1
o
a y
x
2 2 例 4．计算 ( xy yz zx)dS ，其中 是由锥面z x y
∵在 1 ， 2 ， 3 上， f ( x, y, z) xyz 0 ，
∴ xyzdS xyzdS xyzdS 0 。
1 2 3
在 4 上 ， z 1 x y ，
∵
2 2 1 z x z y
1 (1) (1) 3 ，
被柱面 x y 2 2ax 所截得的有限部分。
2
z
y
o
x
dS 2 2 2 2 例 1．计算曲面积分 ，其中 是球面 x y z a z
被平面 z hБайду номын сангаас(0 h a ) 截出的顶部。
2 2 2
解： 的 方程为 z a x y ，
在 xoy 面上的投影区域为
a
h
z
o
D xy ： x 2 y 2 a 2 h 2 ，
x
y
2 2
a
，
2
a y
zx
x a x y
2 2 2
，z y
a x y
1 z 2 z 2 x y

a a x y
2 2 2
，
a
h
z
dS adxdy ∴ 2 2 2 z D a x y xy
f ( i ,i , i )si
i 1
n
(i 1, 2, , n) ，设 d max{S i的直径} ，
1 i n
如果当 d 0 时，这和式的极限总存在，则称此极限为
f ( x, y , z ) 在曲面上 的第一型曲面积分或对面积的曲面
积分，记作 f ( x, y, z )dS ，即
D yz
（3）若曲面 的 方程为y y( x, z ) ，( x, z ) D xz ，则
f ( x, y, z )dS f ( x, y( x, z ), z )
Dxz
2 2 1 y x ( x, z ) y z ( x, z ) dxdz
。
（4） f ( x, y, z ) 1 时， dA曲面的面积 。化为二重积
2 2 D 曲面 换成其投影区域 xy 即可。 1 z x ( x, y) z y ( x, y)dxdy ，
（2）若曲面 的 方程为x x( y, z ) ，( y , z ) D yz ，则
f ( x, y, z )dS

f ( x( y, z ), y, z ) 1 x 2 ( y, z ) x 2 ( y, z ) dydz ， y z