求数列极限的十五种解法

1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
xn1
2(1 xn ) 2 xn
，两边同时取极限：
l
2(1 l) 2l
，
∴l
2 或l
2
（舍负）；∴
lim
n
xn
2．
例15．证明： lim(1 1 1 1 ln n) 存在．（此极限值称为 Euler 常数）．
例 4．（有界变差数列收敛定理）若数列 {xn} 满足条件：
xn xn1
x x n1
n2
x2 x1
M，
(n 1, 2, ) ，则称 {xn} 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．
证：令 y1 0,
yn
xn xn1
x x n1
n2
x2 x1
，
那么 {yn} 单调递增，由已知可知：{yn} 有界，故 {yn} 收敛，
sin n sin sin 2 sin n
解：因为： n
n
n n n n n
n
n，
n 1
n1 n 1
n 1
n 1
2
n
n
sin sin 2 sin n
又： lim n
n
n
n
n 1
lim
n
n n 1
1
n
(sin
n
sin
2 n
sin
n n
)
sin sin 2 sin n
从而 0 ， 正整数 N ，使得当 n m N 时，有 yn ym ；
此即
xn xm
xn xn1
x x n1
n2
xm1 xm
；由柯西收敛准则，数列{xn} 收敛．
注：柯西收敛准则把 N 定义中的 an 与 a 的关系换成了 an 与 am 的关系，其优点在于无需借用数
n 1 n2 n
(1
) n1 n1
(1
n
1 n2 2 ) n1
；
n n2
n2
n2
由归结原则：（取 xn
n2 , n 1
n 2,
3,
），
lim(1
n
1)
n2 n1
2
lim(1
n
1)
n2 n1
lim(1
n 1)2
lim(1
n
1)
n2 n1
lim(1
1)x
e
；
n
n2
n
n2
n
n2
n
n2
x
x
由迫敛性，得： lim(1 1 1 )n e ．
解：记：
xn
n2
1 n
1
n2
2 n
2
n2
n n
n
，则：
1 2 n n2 n n
xn
1 2 n n2 n 1
；
∴
n(n 1) 2(n2 2n)
xn
n(n 1) 2(n2 n 1)
；从而
lim
n
n(n 1) 2(n2 2n)
1 2
lim
n
n(n 1) 2(n2 n 1)
，
∴由迫敛性，得： lim( 1 2 n ) 1 ．
(xn )
2(1 xn ) 2 xn
xn1 ,
xn
0,
(n 0, 1,
2,
)，
考虑级数： xn1 xn ； n0
5
求数列极限的十五种方法
由于 xn1 xn f (xn ) f (xn1 ) f '( )(xn xn1) 1 ；
xn xn1
xn xn1
xn xn1
2
所以，级数 xn1 xn 收敛，从而 (xn1 xn ) 收敛．
n n2 n 1 n2 n 2
n2 n n 2
注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用．
2
求数列极限的十五种方法
5．利用定积分的定义计算极限 黎曼积分定义：设为 f (x) 定义在 [a, b] 上的一个函数， J 为一个确定的数，若对任给的正数
0 ，总存在某一正数 ，使得对 [a, b] 的任意分割 T ，在其上任意选取的点集{i } ，i xi1, xi ，
越性，它可以说是求数列极限的洛必达（ L'Hospita ）法则．
8．利用级数求和求数列极限 由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级
数求和的知识使问题得到解决．
例13．求： lim(1 2 n ) ， (a 1) ．
a a n
2
an
解：令 x 1 ，则
lim xn1 xn l ，则有 lim xn l ，其中 l 为有限数，或 ，或 ．
y y n
n1
n
y n n
stolz
定理2： (0) 0
型：若{yn} 是严格递减的趋向于零的数列， n
时，
xn
0且
lim xn1 xn l ，则有 lim xn l ，其中 l 为有限数，或 ，或 ．
n
n n2
注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以
借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决．
7．利用施托尔茨（ stolz ）定理求数列极限
stolz
定理1：
(
)
型：若
{
yn
}
是严格递增的正无穷大数列，它与数列
{xn }
一起满足：
n k 1
sin k 2k
(n 1, 2, 3, ) 为收敛数列．
证：
xn xm
sin(m 1) sin n
2m1
2n
1 1
2m1
2n
1 2m1
1 (
1 2nm
1 1
)
1 2m
1， m
2
0 ，取 N
1
，当
n
m
N
时，有
xn xm
，
由柯西收敛准则，数列 {xn} 收敛．
1
求数列极限的十五种方法
y y n
n1
n
y n n
例11．求：
1p lim
2p
np
(pN) ．
n
n p1
解：令 xn 1p 2p np , yn np1, n N ，则由定理1，得：
1p 2p np
(n 1)p
lim
lim
lim
(n 1)p
1．
n
n p1
n (n 1) p1 n p1 n ( p 1)n p ( p 1) p n p1 1 p 1
n
只要 T ，就有 f (i )xi J ，则称函数 f (x) 在 [a, b] 上（黎曼）可积，数 J 为 f (x) 在 [a, b] i1
上的定积分，记作 J b f (x)dx ． a
1
例7．求：
lim
n
n! 1
nn
2n!
n
．
1
解：原式 lim n n
2n!
lim n n!nn n
例14．设
x0
0
，
xn1
2(1 xn ) 2 xn
(n 0, 1,
2,
)
，证明：数列
{xn
}
收敛，并求极限
lim
n
xn
．
证：由 x0 0 ，可得： xn
0
(n 0, 1,
2,
) ，令 f (x) 2(1 x) , 2 x
(x 0) ，
则0
f '(x) 2 (2 x)2
1 ，且 2
f
n 1n 22n
nn
lim
n
(1
1 n
)(1
2) n
(1
n n
)
n
exp
lim
n
n i1
1 ln(1 n
i n
)
exp
1
ln(1 x)dx
exp2ln 2 1 ．
0
例8．求：
lim
sin
n
n n 1
sin 2 n
n 1 2
sin n n
n 1 n
．
sin sin 2 sin n sin sin 2
4．利用迫敛性准则（即两边夹法）
迫敛性：设数列 {an} 、 {bn} 都以 a 为极限，数列 {cn} 满足：存在正数 N ，当 n N 时，有：
an
cn
bn
，则数列
{cn
}
收敛，且
lim
n
cn
a
．
例 6．求： lim( 1 2 n ) ．
n n2 n 1 n2 n 2
n2 n n
证：当 a 1 时，结论显然成立．
当
a
1 时，记
1
an
1，则
0
，由
a
1 n
1
n
1
1
n( n
1)
，得
1
an
1
a
1 ，
n
任给
0 ，则当 n
a 1
N
1
时，就有 an
1
，即
1
an
1
1
，即 lim an
1．
n
当 0 a 1 时，令 b
1
，则 b
1
1 ，由上易知： lim bn
1
1 ，∴ lim a n
）极限存在，并求
lim
n
xn
．
事实上， 0 xn1 a xn a a 1 ( a 1)2 a 1 ；
由①②可知：
{xn
}
单调递增有上界，从而
lim
n
xn
l
存在，对①式两边取极限得： l
al ，
解得： l 1
1 4a 和 l 1 2
1 4a 2
（舍负）；∴
lim
n
xn
1
1 4a ． 2
n!
6! n
∴
0 ， N
77 6!
1
，则当
n
N
时，有
7n 0
n!
77 1
6! n
；∴ lim 7n n n!
0．
2．利用柯西收敛准则
柯西收敛准则：数列{an} 收敛的充要条件是： 0 ， 正整数 N ，使得当 n、m N 时，总
有： an am 成立．
例
3．证明：数列
xn
∴ lim n
n
n
1
sin xdx 2 ；
n
n 1
0
sin sin 2
同理： lim n
n
sin n n
2
；
n
n 1
n
由迫敛性，得：
lim
sin
n
n n 1
sin 2 n
n 1 2
sin n n
n 1 n
2
．
注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，
2
注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．
4
求数列极限的十五种方法
n
ln
Ck n
例12．设 Sn
k 0
n2
，求：
lim
n
Sn
．
解：令 yn n2 ，则 {yn} 单调递增数列，于是由定理2得：
n
ln
Ck n
lim
n
Sn
lim
n
k 0
n2
n1
n
ln
Ck n1
ln
Ck n
a
n
n
1 1 1．
lim bn
n
1
综上， lim an 1，其中 a 0 ． n
例 2．求： lim 7n ． n n!
解：变式： 7n 7 7 7 7 7 7 7 77 7 77 1 ；∴ 7n 0 77 1 ，
n! 1 2 7 8 9 n 1 n 7! n 6! n
A．
1
例9．求： lim en 1 ． 1 n
n
1
1
解： lim en 1 lim en e0 (ex ) 1 ．
1 n
n 1 0
x0
n
n
例10．计算：
lim
n
1
1 n
1 n2
n
．
解：一方面， (1 1 1 )n (1 1)n e (n ) ；
n n2
n
另一方面， (1 1
1
)n
x
1 ，考虑级数：
nxn
．∵ lim an1
(n 1)xn1 lim
x 1，
a
n1
a n n
n
nxn
∴此级数是收敛的．令 S(x) nxn x nxn1 ，再令 f (x) nxn1 ，
n1
n1
n1
∵
x
f (t)dt
x nt n1dt xn
x
；∴ f (x) ( x )
n
23
n
证：设 an
1
1 2
1 3
1 n
ln n
，则
an
an1
1 ln n ln(n 1) ；
n
对函数 y ln n 在 [n 1, n] 上应用拉格朗日中值定理，
可得： ln n ln(n 1) 1 (0 1) ， n 1
lim k0
k 0
n (n 1)2 n2
n
ln
n 1
n1
(n 1) ln(n 1) ln k