3数轴(1)
第一章 有理数 考点3 数轴(解析版)
第一章有理数（解析板）3、数轴知识点梳理数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．同步练习一．选择题（共11小题）1．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（）①b＜0＜a；②|b|＜|a|；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．A．①②B．①④C．②③D．③④【考点】数轴．【分析】数轴可知b＜0＜a，|b|＞|a|，求出ab＜0，a﹣b＞0，a+b＜0，根据以上结论判断即可．【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴①正确；②错误，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴③错误；∵b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴a﹣b＞a+b，∴④正确；即正确的有①④，故选：B．【点评】本题考查了数轴，有理数的乘法、加法、减法等知识点的应用，关键是能根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|．2．数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，且|c﹣1|﹣|a﹣1|＝|a﹣c|．若下列选项中，有一个表示A、B、C三点在数轴上的位置关系，则此选项为何？（）A．B．C．D．【考点】数轴；绝对值．【分析】从选项数轴上找出a、B、c的关系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|＝|a﹣c|．看是否成立．【解答】解：∵数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，设B表示的数为b，∴b＝1，∵|c﹣1|﹣|a﹣1|＝|a﹣c|．∴|c﹣b|﹣|a﹣b|＝|a﹣c|．A、b＜a＜c，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|＝c﹣b﹣a+b＝c﹣a＝|a﹣c|．正确，B、c＜b＜a则有|c﹣b|﹣|a﹣b|＝b﹣c﹣a+b＝2b﹣c﹣a≠|a﹣c|．故错误，C、a＜c＜b，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|＝b﹣c﹣b+a＝a﹣c≠|a﹣c|．故错误．D、b＜c＜a，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|＝c﹣b﹣a+b＝c﹣a≠|a﹣c|．故错误．故选：A．【点评】本题主要考查了数轴及绝对值．解题的关键是从数轴上找出a、B、c的关系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|＝|a﹣c|是否成立．3．在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离是（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【考点】数轴．【分析】根据正负数的运算方法，用3减去﹣2，求出在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离为多少即可．【解答】解：3﹣（﹣2）＝2+3＝5．所以在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离为5．故选：A．【点评】此题主要考查了正负数的运算方法，关键是根据在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离列出式子．4．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【考点】数轴．【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解．【解答】解：AB＝|﹣1﹣3|＝4．故选：D．【点评】本题考查了数轴，主要利用了两点间的距离的表示，需熟记．5．在数轴上，与表示数﹣5的点的距离是2的点表示的数是（）A．﹣3B．﹣7C．±3D．﹣3或﹣7【考点】数轴．【分析】符合条件的点有两个，一个在﹣5点的左边，一个在﹣5点的右边，且都到﹣5点的距离都等于2，得出算式﹣5﹣2和﹣5+2，求出即可．【解答】解：数轴上距离表示﹣5的点有2个单位的点表示的数是﹣5﹣2＝﹣7或﹣5+2＝﹣3．故选：D．【点评】本题主要考查了数轴，当要求的点在已知点的左侧时，用减法；当要求的点在已知点的右侧时，用加法．6．已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（）A．B．C．D．【考点】数轴．【分析】根据a+b+c＝0可判断三个数中一定有一个正数和一个负数，讨论：若第三个数为负数，根据绝对值的意义得到两负数表示的点到原点的距离等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两正数表示的点到原点的距离等于负数到原点的距离，然后利用此特征对各选项进行判断．【解答】解：已知a+b+c＝0，A．由数轴可知，a＞0＞b＞c，当|a|＝|b|+|c|时，满足条件．B．由数轴可知，a＞b＞0＞c，当|c|＝|a|+|b|时，满足条件．C．由数轴可知，a＞c＞0＞b，当|b|＝|a|+|c|时，满足条件．D．由数轴可知，a＞0＞b＞c，且|a|＜|b|+|c|时，所以不可能满足条件．故选：D．【点评】考查了数轴．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．7．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．【考点】数轴．【分析】根据数轴的概念判断所给出的四个数轴哪个正确．【解答】解：A没有原点，故此选项错误；B、单位长度不统一，故此选项错误；C、没有正方向，故此选项错误；D、符合数轴的概念，故此选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．8．如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（）A．﹣2πB．3﹣2πC．﹣3﹣2πD．﹣3+2π【考点】数轴．【分析】线段AB＝2πr＝2π，点A到原点的距离为3，则点B到原点的距离为2π﹣3，点B在原点的左侧，因此点B所表示的数为﹣（2π﹣3）＝3﹣2π，于是得出答案．【解答】解：由题意得：AB＝2πr＝2π，点A到原点的距离为3，则点B到原点的距离为2π﹣3，∵点B在原点的左侧，∴点B所表示的数为﹣（2π﹣3）＝3﹣2π，故选：B．【点评】考查实数的意义，数轴等知识，理解符号和绝对值是确定一个数在数轴上位置的两个必要条件．9．如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB＝BC＝3CD．若A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，则线段BD的中点所表示的数是（）A．6B．5C．3D．2【考点】数轴．【分析】首先设出BC，根据2AB＝BC＝3CD表示出AB、CD，求出线段AD的长度，即可得出答案．【解答】解：设BC＝6x，∵2AB＝BC＝3CD，∴AB＝3x，CD＝2x，∴AD＝AB+BC+CD＝11x，∵A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，∴11x＝11，解得：x＝1，∴AB＝3，CD＝2，∴B，D两点所表示的数分别是﹣2和6，∴线段BD的中点表示的数是2．故选：D．【点评】题目考查了数轴的有关概念，利用数轴上的点、线段相关性质，考察学生对数轴知识的掌握情况，题目难易程度适中，适合学生课后训练．10．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边【考点】数轴；绝对值．【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b＝a+3，c＝b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为4、1，即可得出a＝±4、b＝±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．【解答】解：∵|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，∴b＝a+3，c＝b+5，∵原点O与A、B的距离分别为4、1，∴a＝±4，b＝±1，∵b＝a+3，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∵c＝b+5，∴c＝4．∴点O介于B、C点之间．故选：C．【点评】本题考查了数值以及绝对值，解题的关键是确定a、b、c的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键．11．如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（）A．﹣6B．6C．0D．无法确定【考点】数轴；相反数．【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出B表示的数即可．【解答】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数为﹣6，∴点B表示的数为6，故选：B．【点评】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．二．填空题（共17小题）12．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为﹣6．【考点】数轴．【分析】先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．【解答】解：设点C所表示的数为x，∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，∴AB＝4﹣（﹣1），AC＝﹣1﹣x，根据题意AB＝AC，∴4﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，解得x＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．13．如果数轴上的点A对应的数为﹣1，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为﹣4或2．【考点】数轴．【分析】考虑在A点左边和右边两种情形解答问题．【解答】解：在A点左边与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为﹣4；在A点右边与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为2．故答案为﹣4或2．【点评】此题考查数轴上点的位置关系，注意分类讨论．14．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C 所表示的数是﹣1．【考点】数轴．【分析】根据A、B两点所表示的数分别为﹣4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可．【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和2，∴线段AB的中点所表示的数＝（﹣4+2）＝﹣1．即点C所表示的数是﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．15．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝2b+2c﹣2a．【考点】数轴；绝对值．【分析】去绝对值符号的关键是判断绝对值符号里面的数的符号，根据题意确定了符号，容易去绝对值符号．【解答】解：根据图形，a﹣b＜0，b+c＞0，c﹣a＞0，所以|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝b﹣a+b+c+c ﹣a＝2b+2c﹣2a．故答案是：2b+2c﹣2a．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．16．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣，处，AP＝2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“1或6站台”．【考点】数轴．【分析】先根据两点间的距离公式得到AB的长度，再根据AP＝2PB求得AP的长度，再用﹣加上该长度即为所求．【解答】解：AB＝﹣（﹣）＝，AP＝×＝，P：﹣+＝＝1；或AP＝×2＝，P：﹣+＝6．故P站台用类似电影的方法可称为“1或6站台”．故答案为：1或6．【点评】此题考查了数轴，关键是用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．17．在数轴上与﹣2所对应的点相距4个单位长度的点表示的数是2或﹣6．【考点】数轴．【分析】由于题目没有说明该点的具体位置，故要分情况讨论．【解答】解：当该点在﹣2的右边时，由题意可知：该点所表示的数为2，当该点在﹣2的左边时，由题意可知：该点所表示的数为﹣6，故答案为：2或﹣6【点评】本题考查数轴，涉及有理数的加减运算、分类讨论的思想．18．如图，数轴上，点A表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是﹣3029．【考点】数轴．【分析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动3n个单位．每左移右移各一次后，点A右移3个单位，故第2018次右移后，点A向右移动3×（2018÷2）个单位，第2019次左移2019×3个单位，故点A2019表示的数是3×（2018÷2）﹣2019×3+1．【解答】解：第n次移动3n个单位，第2019次左移2019×3个单位，每左移右移各一次后，点A右移3个单位，所以A2019表示的数是3×（2018÷2）﹣2019×3+1＝﹣3029．故答案为：﹣3029．【点评】本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动的后的实际距离和方向是解答次题的关键．19．在数轴上，点A表示的数是3+x，点B表示的数是2﹣x，且A，B两点的距离为8，则x＝ 3.5或﹣4.5．【考点】数轴．【分析】分两种情况：①当点A在点B左侧时，②当点A在点B右侧时，分别根据距离为8，列方程求解．【解答】解：①当点A在点B左侧时，2﹣x﹣（3+x）＝8，解得：x＝﹣4.5；②当点A在点B右侧时，3+x﹣（2﹣x）＝8，解得：x＝3.5．故答案为：3.5或﹣4.5【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的知识，解答本题的关键是读懂题意，注意分情况列方程求解．20．数轴上A、B两点之间的距离为3，若点A表示数2，则B点表示的数为﹣1或5．【考点】数轴．【分析】分点B在点A的左边和右边两种情况分别求解可得．【解答】解：当点B在点A的左边的时候，点B表示的数为2﹣3＝﹣1；当点B在点A的右边的时候，点B表示的数为2+3＝5；所以点B表示的数为﹣1或5，故答案为：﹣1或5．【点评】本题主要考查数轴，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离及分类讨论思想的运用．21．数轴上表示﹣3的点与表示7的点之间的距离是10．【考点】数轴．【分析】数轴上两点间的距离，即两点对应的数的差的绝对值．【解答】解：数轴上表示﹣3的点与表示7的点之间的距离是7﹣（﹣3）＝10．故答案为：10．【点评】此题考查了数轴上两点间的距离的求法．22．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是﹣2．【考点】数轴．【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，可以表示出AC的距离，在根据A′B＝3，表示出A′C，由折叠得，AC＝A′C，列方程求解即可．【解答】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，∵A′B＝3，B点表示的数为9，∴点A′表示的数为9+3＝12，根据折叠得，AC＝A′C∴x+16＝12﹣x，解得，x＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点A、B在数轴上表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．23．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数，是7，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．【考点】数轴．【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A12表示的数为16+3＝19，则可判断点A n与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8；…则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A6表示的数为7+3＝10，A8表示的数为10+3＝13，A10表示的数为13+3＝16，A12表示的数为16+3＝19，所以点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．故答案为7，13．【点评】本题考查了规律型问题，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决问题的关键．24．在数轴上与表示数﹣1的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是﹣4或2．【考点】数轴．【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．由于点与﹣1的距离为3，那么应有两个点，记为A1，A2，分别位于﹣1两侧，且到﹣1的距离为3，这两个点对应的数分别是﹣1﹣3和﹣1+3，在数轴上画出A1，A2点如图所示．【解答】解：因为点与﹣1的距离为3，所以这两个点对应的数分别是﹣1﹣3和﹣1+3，即为﹣4或2．故答案为﹣4或2．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．25．已知在数轴上，位于原点左边的点A到原点的距离是5，那么点A所表示的数是﹣5．【考点】数轴．【分析】根据题意求出点A表示的数即可．【解答】解：根据题意得：A点表示的数为﹣5．故答案为：﹣5．【点评】此题考查了数轴，解题是注意：数轴上点A到原点的距离等于5个单位的数有5与﹣5，题中点A位于原点左边这个条件．26．a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①a+b＞0；②a+b＞a+c；③bc ＞ac；④ab＞ac．其中正确的有（填上序号）①②③④【考点】数轴．【分析】先确定a，b，c的关系，再运用不等式的性质判定大小．【解答】解：由数轴上数的位置可得c＜0＜b＜a，①a+b＞0；正确，②a+b＞a+c；正确，③bc＞ac，正确，④ab＞ac正确，所以4个式子都正确，故选答案为：①②③④【点评】本题主要考查了数轴及不等式的性质，解题的关键是运用不等式的性质判定大小．27．数轴上到原点的距离小于3个单位长度的点中，表示整数的点共有7个．【考点】有理数；数轴．【分析】利用数形结合的思想，结合数轴观察即可得出正确结果．【解答】解：画出数轴，如下图从数轴上可以看到，若|a|＜3.5，则﹣3.5＜a＜3.5，表示整数点可以有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共七个故答案为7．【点评】本题考查的是绝对值的概念，结合数轴理解绝对值的定义更为简单．28．在数轴上，与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是2或﹣4．【考点】数轴．【分析】此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点的左侧或右侧．【解答】解：若点在﹣1的左面，则点为﹣4；若点在﹣1的右面，则点为2．故答案为：2或﹣4．【点评】注意：要求的点在已知点的左侧时，用减法；要求的点在已知点的右侧时，用加法．三．解答题（共9小题）29．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．【考点】数轴．【分析】（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案；（2）根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案；（3）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，解得x＝．故相遇点M所对应的数是．（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．综上所述：t的值为2、6.5、11或17．【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用PO与BQ的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．30．在数轴上表示下列各数：0，﹣4.2，，﹣2，+7，，并用“＜”号连接．【考点】数轴．【分析】先分别把各数化简为0，﹣4.2，，﹣2，7，，再在数轴上找出对应的点，注意在数轴上标数时要用原数，最后比较大小的结果也要用化简的原数．【解答】解：这些数分别为0，﹣4.2，，﹣2，7，，在数轴上表示出来如图所示，根据这些点在数轴上的排列顺序，从左至右分别用“＜”连接为：﹣4.2＜﹣2＜0＜＜+7．【点评】由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．31．如图，已知A，B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为﹣10，点B在原点的右边，且BO＝3AO．点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动（点M，点N同时出发）．（1）数轴上点B对应的数是30，点B到点A的距离是40；（2）经过几秒，原点O是线段MN的中点？（3）经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？【考点】数轴．【分析】（1）根据点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，可得点B对应的数，点B对应的数减去点A对应的数就是点B到点A的距离；（2根据题意列方程解答即可；（3）根据题意分M，N在B点同侧异侧列方程解答即可．【解答】解：（1）因为点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，所以OB＝3OA＝30，30﹣（﹣10）＝40．故B对应的数是30，点B到点A的距离是40，故答案为：30，40；（2）设经过y秒，原点O是线段MN的中点，根据题意得﹣10+3y+2y＝0，解得y＝2．答：经过2秒，原点O是线段MN的中点；（3）设经过x秒，点M、点N分别到点B的距离相等，根据题意得3x﹣40＝30﹣2x或﹣10+3x＝2x，解得x＝14或x＝10．答：经过14秒或10秒，点M、点N分别到点B的距离相等．【点评】此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．32．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【考点】数轴．【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{M，N}中，前面的点M是到后面的数N 的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知：分4种情况列式：①PB＝3P A；②P A ＝3PB；③AB＝3P A；④P A＝3AB；可以得出结论．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）30﹣（﹣50）＝80，80÷（3+1）＝20，30﹣20＝10，﹣50+20＝﹣30，﹣50﹣80÷3＝﹣76（舍去），﹣50﹣80×3＝﹣290（舍去）．故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．故答案为：3；﹣1．【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．33．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC＝3，则AB＝3π+3；（2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），则AC＝BD；（填“＝”或“≠”）【解决问题】如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．（3）若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．【考点】数轴；一元一次方程的应用．【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可；（2）根据线段的大小比较即可；（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM＝x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度；（4）根据圆周率伴侣线段的定义可求D点所表示的数．【解答】解：（1）∵AC＝3，BC＝πAC，∴BC＝3π，∴AB＝AC+BC＝3π+3．故答案为：3π+3；（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，∴BC＝πAC，AD＝πBD，∴设AC＝x，BD＝y，则BC＝πx，AD＝πy，∵AB＝AC+BC＝AD+BD，∴x+πx＝y+πy，∴x＝y∴AC＝BD故答案为：＝．（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM＝x，x+πx＝π+1，解得x＝1，∴MN＝π+1﹣1﹣1＝π﹣1；（4）设点D表示的数为x，如图1，若CD＝πOD，则π+1﹣x＝πx，解得x＝1；如图2，若OD＝πCD，则x＝π（π+1﹣x），解得x＝π；如图3，若OC＝πCD，则π+1＝π（x﹣π﹣1），解得x＝π++2；如图4，若CD＝πOC，则x﹣（π+1）＝π（π+1），解得x＝π2+2π+1；综上，D点所表示的数是1、π、π++2、π2+2π+1．【点评】本题主要考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．34．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．（结果保留π）（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数（填“无理”或“有理”），这个数是﹣2π；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是4π或﹣4π；（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？【考点】正数和负数；数轴．【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（2）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（3）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出A点移动距离变化；②利用绝对值的性质以及有理数的加减运算得出移动距离和A表示的数即可．【解答】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是﹣2π；故答案为：无理，﹣2π；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是4π或﹣4π；故答案为：4π或﹣4π；（3）∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3，∴第4次滚动后，A点距离原点最近；第3次滚动后，A点距离原点最远．【点评】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值的性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．35．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、。
数轴
刻度尺是我们生活中用的非常多的工具， 我们可以在上面找到很多数字.
类似的，在小学里，我们曾经用以下的方法 表示正数和零.
0 2 4.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8
思考： 前几天我们学习了负数，那么能不嫩更 像一个方法，将负数、正数、0用同一 个模型表示出来呢？ 请同学们自己在草稿本上画一画。
原点、正方向、单位长度一个也不能少。
判断下列各图形是否是数轴：
-1
-1 0
1
1
2
2
少原点 少正方向 单位长度 不统一
1
-1
02-10 Nhomakorabea不是直线 是数轴
0
1
练一练： 1、画数轴
3 2、在数轴上标出这些点 ： - 4， - 3.5， 2.5， 2， - ， -1， 1， 2 1.5， 2.5， 3.5， 4
例1 如图，指出数轴上点A、B、C 表示的数：
A -4 -3 -2 -1 B 0 1 2 C 3 4
解：点A、B、C 表示的数分别是
－2、－0.5、3.
数轴定义：数学中可以用一条直线上 的点表示数，这条直线叫做数轴。 特点： 1、在直线上人去一点表示数0，这个点叫 做原点。 2、通常规定直线上从原点向右（或向上） 为正方向，从原点向左（或向下）为负方 向。 3、选取适当的长度为单位长度。
原点：数轴上表示零的点，是正数与负数的分界 点，可以任意选择位置，根据题目需要而定。 正方向：告诉读图者，哪边是正数，同时顺着这 个方向越来越 大．画数轴直线走向可以任意确 定，同样，正方向可以在直线自由选择，但习惯 上大家都画水平的直线，并把向右定为数轴的正 方向． 单位长度：告诉别人一个单位用多长线段表示， 有了它数轴上的点才能找到自己的位置．一条数 轴只能规定统一的单位长度．
3数轴第一课时
（五）自我检测 1．在数轴上表示的两个数中， 2．在数轴上，表示－5 的数在原点的 长度。 3．在数轴上，表示+2 的点在原点的 的 侧，距原点 个单位；两点之间的距离为 个单位长度。 侧，距原点 个单位；表示－7 的点在原点 的数总比 的数大。 个单位
侧，它到原点的距离是
4．在数轴上，把表示 3 的点沿着数轴向负方向移动 5 个单位，则与此位置相对应的数 是 。 个，它们表示的有理数是 个，它们是： 。 。
1 2 3 ① 4 5
-1
0
1 2 ②
3
-2 -1
0 1 ③
2
0 ④
-2 -1 0 ⑦ 1 2
-1 0 ⑤
1
-3 -2 -1 0 1 2 ⑥
答：① ③ ⑤ ⑦
② ④ ⑥
7 3
2、试一试：用你画的数轴上的点表示 4，1.5，-3，-
，0
3、练一练 （1）画出数轴并表示下列有理数： 1.5 —2 2 —2.5
15 7
…｝ …｝
在这 4 个国家中，服务出口率增长的国家是 ，服务出口额减少 的国家是 ，增长率最高的是 ，增长率最低的 是 。 二、指导自学 认真阅读课本 P8—P9 的内容，掌握数轴的概念，会正确地画出数轴,会用数轴上的 点表示给定的有理数,会根据数轴上的点读出所表示的有理数。 （一）独立思考，解决问题 1、在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东 3m 和 7.5m 处分别有一棵柳树和一 棵杨树,汽车站西 3m 和 4.8m 处分别有一棵槐树和一根电线杆,你能画图表示这一情境 吗？
2．在数轴上，老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出 的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来。
教学反思：
1.3数轴3
-(-(-6))
练习: 练习:简化下列各数的符号 +(+9), +(-9), +(-
(2)下列两对数中 哪对数是相等的? (2)下列两对数中,哪对数是相等的?哪对数是互为相反 下列两对数中, 数? -(-8)与+(-8); 8)与+(-(+8)与+(-8) (+8)与+(-
(3)如果a= (3)如果a= -13 , 那么 –a=_________;若-x= -6 ,则 a=_________;若 ,则 x=_____
（1）+3 ，
1 4
，-4， -1.5
-1.5
-4 -3 -2 -1
|
1
0
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| | | | 4
1
2
3
4
画出数轴， （2） 画出数轴，并用数轴上 的点表示下列各数： 的点表示下列各数：
，5 ， 0 ，－ 5 ，－ 4
－ ，
-5 -5 -4 -3
－ -2 -1
0 0 1 2 3 4
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小结： 小结 本节课的学习，你有什么收获？ 通过本节课的学习，你有什么收获？ （数轴和相反数的概念，把有理数 数轴和相反数的概念， 表示在数轴上） 表示在数轴上）
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5 5
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来 表示。
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2与-2有什么相同点与不同点？它们在数轴上位 与 有什么相同点与不同点 有什么相同点与不同点？ 置有什么关系？ 置有什么关系？ 3 3 ，5与-5呢？ 与与 呢 2 2 3 2
|
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
《数轴》3精品 课件
闲着闲着，一个人就废了。
蔡康永曾说过：“当你没有上进心的 时候， 你是在 杀人， 你不小 心，杀 了你自 己。”
朋友大学毕业后，凭着高学历进了 一家大 公司， 以为从 此一生 安稳， 本职工 作完成 后便悠 闲地追 剧。
身边有同事下班后忙着考证、进修时 ，她嗤 之以鼻 ，认为 别人学 历不如 自己， 再怎么 努力也 无济于 事。
•
五、秒回的人应该很温柔吧，因为一直 在等喜 欢的人 ，也舍 不得让 喜欢的 人等。
•
六、多想和你有一个长久的未来，陪你 走完这 一生。 让所有 人祝福 我们， 彼此温 暖，互 不辜负 。
•
七、最让人羡慕的，不是被很多人追， 而是遇 见一个 不管怎 样，都 不会放 弃你的 人；纵 然知道 活不会 这么轻 易，但 我希望 你在我 的未来 里，余 生都是 你。
7、如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的 部分内含有的整数有____________
-1.3
2.6
8、在数轴上， （1）原点右边距原点3个单位长度的点表示哪个数？ （2）原点左边距原点3个单位长度的点表示哪个数？ （3）原点右边距原点个单位长度的点表示哪个数？ （4）原点表示什么数？
作业：被很多人追， 而是遇 见一个 不管怎 样，都 不会放 弃你的 人；纵 然知道 活不会 这么轻 易，但 我希望 你在我 的未来 里，余 生都是 你。
•
八、总要允许有人错过你，才能赶上最 好的相 遇。总 有人真 诚地爱 着你， 相爱， 从来都 不是一 个人的 事，先 经营好 自己， 最好的 爱情是 你刚好 成熟我 刚好温 柔。
有人说，想要看一个人是否优秀，那 就看他 闲下来 做什么 。
这世上有人忙里偷闲，利用坐车和排队 的间隙 ，读书 ，思考 ，写作 ，也有 人终日 无所事 事，虚 度光阴 。
《数轴》说课稿（通用3篇）
《数轴》说课稿《数轴》说课稿（通用3篇）在教学工作者开展教学活动前，通常需要用到说课稿来辅助教学，说课稿是进行说课准备的文稿，有着至关重要的作用。
怎样写说课稿才更能起到其作用呢？下面是小编为大家整理的《数轴》说课稿（通用3篇），仅供参考，欢迎大家阅读。
《数轴》说课稿1一、说教材首先谈谈我对教材的理解，《数轴》是人教版初中数学七年级上册第一章的内容，本节课的内容是数轴的概念概念，三要素，和用数轴表示数。
有理数已经在上一节已经进行了讲解，并且之前也有生活中的温度计的常识性经验，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。
数轴是一个重要概念，后续的直角坐标系也是以数轴为基础的。
它是学生第一次学习正式接触数形结合思想，在整个数学体系中有着不可或缺的作用。
二、说学情接下来谈谈学生的实际情况。
新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。
本阶段的学生已经具备了一定的分析能力，也能做出简单的逻辑推理，而且在生活中也为本节课积累了很多经验。
所以，学生对本节课的学习是相对比较容易的。
三、说教学目标根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：（一）知识与技能了解数轴的概念，能用数轴上的点准确地表示有理数。
（二）过程与方法通过观察与实际操作，体会有理数与数轴上的点的对应关系，体会数形结合的思想。
（三）情感态度价值观在数与形结合的过程中，体会数学学习的乐趣。
四、说教学重难点我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。
而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。
那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：用数轴上的点表示有理数。
数形结合的思想方法学生首次正式接触，所以本节课的教学难点是：数形结合的思想方法。
五、说教法和学法现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。
七年级上册数学数轴三要素
七年级上册数学数轴三要素
七年级上册数学中，数轴的三要素包括：
1. 原点（Origin）：数轴上的一个固定点，通常用符号"O"表示。
所有的距离测量都是从原点开始的。
2. 正方向（Positive Direction）：在数轴上规定的一个方向，通常用箭头表示。
在这个方向上，数值按照增大的顺序排列。
3. 单位长度（Unit Length）：数轴上每个刻度之间的距离是一个固定的长度，这个长度被称为单位长度。
单位长度的选择是任意的，但一旦确定后，就必须在整个数轴上保持一致。
单位长度决定了数轴上数值的比例关系。
通过这三个要素，数轴可以用来表示所有实数，包括正数、负数和零。
数轴是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们直观地理解数的关系和运算。
在数轴上，每个点都对应着一个唯一的数，反之，每一个数也可以用数轴上的一个点来表示。
七年级数学上第二章 第3课时 数轴(1)
七年级数学(上)第二章有理数第3课时数轴(一)1．规定了_________、_________、_________的直线叫做数轴．2．若数轴规定了原点向右的方向为正方向，则原点表示的数为________，负数所表示的点在原点的_________，正数所表示的点在原点的__________．3．在数轴上，有理数－3与原点的距离为_________个单位长度．4．画一条数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：－3，0，1，－32，1．5，+5，162，－103．5．下列图形中，不是数轴的是 ( )6．如图，在数轴上A、B两点所表示的有理数分别为 ( )A．3．5和3 B．3．5和－3 C．－3．5和3 D，－3．5和－37．在数轴上，原点及原点右边的点表示 ( )A．正数 B．整数 C．非负数 D．有理数8．下列说法中，正确的是 ( )A．数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线B．离原点近的点所表示的有理数较小C．数轴可以表示任意有理数D．原点在数轴的正中间9．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 ( )A．a、b、c均是正数 B．a、b、c均是负数C．a、b是正数，c是负数 D．a、b是负数，c是正数10．如图，在数轴上到原点的距离为3个单位长度的点是 ( )A．D点 B．A点 C．A点和D点 D．B点和C点11．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列判断中，正确的是 ( )A．a>1B．b>1C．a<－1D．b<012．点A为数轴上表示－2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的数为 ( )A．2 B．－6 C．2或－6 D．不同于以上答案13．如图，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若a b+=3，则原点是 ( )A．M或R B．N或PC．M或N D．P或R14．在数轴上表示+2的点在原点的_______侧，它距原点的距离为_______个单位长度；表示－3的点在原点的_________侧，它距原点的距离为________个单位长度；表示+2的点在表示－3的点的________侧，它们之间的距离为________个单位长度．15．如图，分别写出数轴上点A、B、C、D所表示的数：16．小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，你能确定墨迹盖住的整数是哪几个吗?17．画一条数轴，在数轴上画出表示下列有理数的点：+3，－2，0．5，0，－114，－12．18．在数轴上，点A表示－13，点B表示12，则这两个点中，离原点较近的点是_______．19．已知点A是数轴上表示－5的点，如果将点A向右移动4个单位长度，那么移动后点A表示的数为_________．20．如图，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上(该圆的周长为3个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2)．先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4……所对应的点分别与圆周上1，2，0，1……所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．(1)若圆周上的数字以与数轴上的数5对应，则a=________．(2)若数轴绕过圆周n圈(n为正整数)后，数轴上的一个整数点，刚好落在圆周上数字l所对应的位置，则这个整数是___________(用含托的代数式表示)．参考答案1．原点正方向单位长度2．0 左侧右侧3．34．略5．B 6．C 7．C 8．C 9．D 10．C 11．C 12．C 13．A14．右 2 左 3 右 515．点A、B、C、D表示的数分别是－3．5、－2、0、2．516．－6，－5，－4，－3，－2，1，2，3，417．略18．点A 19．－1 20．(1)2 (2)3n+1。
练习3 数轴-2020-2021学年七年级数学(苏科版)(解析版)
练习3 数轴1．对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以m （m ≠0），再把所得数对应的点沿数轴向左平移n （n ＞0）个单位长度，得到点P '．称这样的操作为点P 的“倍移”，对数轴上的点A ，B ，C 进行“倍移”操作得到的点分别记为A '，B '，C '． （1）当m =12，n ＝2时，①若点A 表示的数为﹣6，则它的对应点A '表示的数为 ﹣5 ． ②若点B '表示的数是3，则点B 表示的数为 10 ．③数轴上点M 表示的数为1，若点M 到点C 和点C '的距离相等，求点C 表示的数． （2）若点A '到点B '的距离是点A 到点B 距离的3倍，求m 的值． 【分析】（1）①由∴﹣6×12−2＝﹣5，即可得出对应点A '表示的数为﹣5， ②设点B 表示的数为x ，12x ﹣2＝3，解得x ＝10；③设点C 表示的数为a ，则C ′表示的数为a 2−2，由∴|a ﹣1|＝|a 2−2﹣1|，解得a ＝﹣4或83；（2）设点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，则点A ′表示的数为am ﹣n ，点B ′表示的数为bm ﹣n ，则|bm ﹣n ﹣am +n |＝3|b ﹣a |，解得m ＝±3． 【解答】解：（1）①∵点A 表示的数为﹣6， ∴﹣6×12−2＝﹣5，∴它的对应点A '表示的数为﹣5； 故答案为﹣5；②设点B 表示的数为x ， ∵点B '表示的数是3，∴12x ﹣2＝3，解得：x ＝10， 故答案为：10；③设点C 表示的数为a ，则C ′表示的数为a2−2，∵点M 到点C 和点C '的距离相等， ∴|a ﹣1|＝|a2−2﹣1|，解得：a ＝﹣4或a =83， 故C 表示的数为：﹣4或83；（2）由题意得：2m +3＝﹣5， 解得：m ＝﹣4， 故答案为：﹣4；（3）设点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ， 则点A ′表示的数为am ﹣n ，点B ′表示的数为bm ﹣n ， ∴|bm ﹣n ﹣am +n |＝3|b ﹣a |， ∴|m （b ﹣a ）|＝3|b ﹣a |， 解得：m ＝±3．【点评】本题考查了新概念“倍移”、数轴、两点间的距离、绝对值等知识；熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．2．如图，已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为﹣1、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ． （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数是 1 ； （2）数轴上存在点P 到点A 、点B 的距离之和为10，则x ＝ ﹣4或6 ；（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数 5 表示的点重合；（4）若数轴上M 、N 两点之间的距离为2021（M 在N 的左侧），且M 、N 两点经过（3）折叠后互相重合，则M ，N 两点表示的数分别是：M ： 1014.5 ，N ： 1016.5 ．【分析】（1）由于点P 到点A 、点B 的距离相等，所以点P 为线段AB 的中点，即可得出点P 对应的数； （2）由题点P 到点A 、点B 的距离之和为10，对P 的位置进行分类讨论，即可求出x ；（3）由题若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，即可求解；（4）由题M，N两点经过（3）折叠后互相重合，可求出对折点对应的数值为1，根据M、N两点之间的距离为2011（M在N的左侧）即可求出M，N两点表示的数．【解答】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P为线段AB的中点，∴点P对应的数为1；故答案为：1；（2）∵点P到点A、点B的距离之和为10，对点P的位置分情况讨论如下：①点P在点A左边，∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，∴点P到点A的距离为3，∴x＝﹣4；②点P在线段AB上，不符合题意，舍去；③点P在点B右边，∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，∴点P到点B的距离为3，∴x＝6；∴综上所述：x＝﹣4或6；故答案为：﹣4或6；（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，∵﹣3到1的距离为4，∴5到1的距离也为4，∴则﹣3表示的点与数5表示的点重合；故答案为：5；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为1，∴点M到1的距离为1015.5，∴M对应的数为﹣1014.5，∵点N到1的距离为1015.5，∴N点对应的数为1016.5．故答案为：﹣1014.5，1016.5．【点评】本题考查了数轴和对称的基本性质以及实数的基本运算，难度不大．3．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：1，B：﹣2.5；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5；（3）若将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则B点与数0.5表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2019（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：﹣1010.5，N：1008.5．【分析】（1）观察数轴即可求解；（2）分点A左边4个单位和右边4个单位两种情况；（3）根据点A与﹣3表示的点重合可得对称中心，继而可得点B关于﹣1对称的点；（4）根据题意得出M、N两点到对称中心的距离，继而由对称中心分别向左和向右得出点M、N所表示的数．【解答】解：（1）A：1，B：﹣2.5．故答案为：1，﹣2.5；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是1﹣4＝﹣3或1+4＝5．故答案为：﹣3或5；（3）将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则对称点是﹣1，则B点与数0.5表示的点重合．故答案为：0.5；（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2019（M在N的左侧）可知，M点表示数﹣1010.5，N点表示数1008.5．故答案为：﹣1010.5、1008.5．【点评】本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解．4．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）（1）则数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合．（2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是﹣7或3．（3）若数轴上M，N两点之间的距离为2018，并且M，N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N 点表示的数大，则M点表示的数是1008；则N点表示的数是﹣1010．【分析】（1）数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，1﹣（﹣3）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5，可得数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合；（2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或﹣5，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数是﹣7或3；（3）依据M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数是1008，N点表示的数是﹣1010．【解答】解：（1）∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，1﹣（﹣3）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5，所以数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合；故答案为：﹣5；（2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或﹣5，∵A、B两点经折叠后重合，∴当点A表示﹣5时，﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣1+4＝3，当点A表示5时，5﹣（﹣1）＝6，﹣1﹣6＝﹣7，∴B点表示的数是﹣7或3；故答案为：﹣7或3；（3）M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，∴﹣1+12×2018＝1008，﹣1−12×2018＝﹣1010，又∵M点表示的数比N点表示的数大，∴M点表示的数是1008，N点表示的数是﹣1010．故答案为：1008，﹣1010．【点评】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键．5．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6①第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．【分析】（1）①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，然后比较大小即可；②总路程与方向无关把每次的移动的距离相加即可；（2）分同向和反相两种情况讨论，同向路程之差为9π，反向路程之和为9π，然后求出相应时间，再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数【解答】解：（1）①：第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π|＝2π第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π|＝2π第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π所以第四次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远．故答案为4；②总路程为：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π（2）当它们同向运动时9π2π−π=9秒，小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π， 或小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣18π， 当它们反向运动时9π2π+π=3秒，小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π， 或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣6π，【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．6．如图，数轴上有A 、B 、C 三点，点A 和点B 所表示的数分别为﹣3和+52，点C 到点A 、点B 的距离相等．（1）点C 表示的数为 −14；（2）若数轴上有一点P ，若满足P A +PB ＝10，求点P 表示的数； （3）若数轴上有一点Q ．若满足QA +QB ﹣QC =103，求点Q 表示的数．【分析】（1）先根据数轴上两点的距离＝较大的数﹣较小的数计算AB 的长，由点C 到点A 、点B 的距离相等，可得结论；（2）设点P 表示的数是x ，分两种情况：根据P A +PB ＝10列方程可得结论； （3）设点Q 表示的数为y ，分四种情况：根据QA +QB ﹣QC =103列方程可得结论． 【解答】解：（1）∵点A 和点B 所表示的数分别为﹣3和+52， ∴AB =52−（﹣3）＝5.5， ∵AC ＝BC ， ∴点C 表示的数为52−114=−14，故答案为：−14；（2）设点P 表示的数是x ， ∵P A +PB ＝10，分两种情况：①P 在A 的左边时，52−x +（﹣3）﹣x ＝10，x =−214②P 在B 的右边时，x −52+x ﹣（﹣3）＝10，x =194 ∴点P 表示的数是−214或194； （3）设点Q 表示的数为y ， 分四种情况：①当Q 在点A 的左边时，如图1，∵QA +QB ﹣QC =103， ∴QA +BC =103，即﹣3﹣y +114=103，y =−4312∴点Q 表示的数是−4312； ②当Q 在点B 的右边时，如图2，∵QA +QB ﹣QC =103，∴QB +AC =103，即y −52+114=103，y =3712 ∴点Q 表示的数是3712；③当Q 在点A 和点C 之间时，如图3，∵QA +QB ﹣QC =103，∴AB ﹣QC =103，即5.5﹣（−14−y ）=103，y =−2912 ∴点Q 表示的数是−2912；④当Q 在点B 和点C 之间时，如图4，∵QA +QB ﹣QC =103， ∴AB ﹣QC =103，即5.5﹣（y +14）=103，y =3312， ∴点Q 表示的数是3312；综上，点Q 表示的数是−4312或3712或−2912或2312．【点评】此题考查了数轴上两点的距离和一元一次方程的应用，弄清题意，得出距离之间的关系是解决本题的关键．7．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，D ，其中点A 与点B 之间距离为3，点B 与点C 之间距离为2，点C 与点D 之间距离为1．设点A ，B ，C ，D 所对应数的和为w ． （1）若点C 为数轴的原点．请你写出点A 、B 、D 所对应的数，并计算w 的值； （2）若点C 与数轴原点的距离为2020时，求w 的值； （3）若点C 与数轴原点的距离为a （a ＞0）时，求w 的值．【分析】（1）利用C 点表示的数为0，再利用A 、B 、D 三点到原点的距离确定它们对应的数，然后计算w 的值；（2）由于点C 与数轴原点的距离为2020，所以C 点对应的数为2020或﹣2020，当C 点对应的数为2020，利用A 、B 、D 三点到C 点的距离确定它们对应的数，再计算w 的值；当C 点对应的数为﹣2020，利用A 、B 、D 三点到原点的距离确定它们对应的数，然后计算w 的值；（3）由于点C 与数轴原点的距离为a （a ＞0），则C 点对应的数为a 或﹣a ，然后和（2）一样的方法解决问题．【解答】解：（1）若点C 为数轴的原点，即C 点表示的数为0， ∵点C 与点D 之间距离为1， ∴D 点对应的数为1， ∵点B 与点C 之间距离为2，∴B 点对应的数为﹣2，∵点A与点B之间距离为3，∴A点表示的数为﹣5，∴w＝﹣5+（﹣2）+1＝﹣6；（2）点C与数轴原点的距离为2020时，即C点对应的数为2020或﹣2020，当C点对应的数为2020，∴D点表示的数为2020+1＝2021，B点对应的数为2020﹣2＝2018，A点表示的数为2018﹣3＝2015，∴w＝2021+2018+2020+2015＝8074；当C点对应的数为﹣2020，∴D点表示的数为﹣2020+1＝﹣2019，B点对应的数为﹣2020﹣2＝﹣2022，A点表示的数为﹣2022﹣3＝﹣2025，∴w＝﹣2025﹣2022﹣2020﹣2025＝﹣8086；即w的值为8074或﹣8086；（3）若点C与数轴原点的距离为a（a＞0），即C点对应的数为a或﹣a，当C点对应的数为a，∴D点表示的数为a+1，B点对应的数为a﹣2，A点表示的数为a﹣2﹣3＝a﹣5，∴w＝a﹣5+a﹣2+a+a+1＝4a﹣6；当C点对应的数为﹣a，∴D点表示的数为﹣a+1，B点对应的数为﹣a﹣2，A点表示的数为﹣a﹣2﹣3＝﹣a﹣5，∴w＝﹣a﹣5﹣a﹣2﹣a﹣a+1＝﹣4a﹣6；即w的值为﹣4a﹣6或4a﹣6．【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数；数轴上右边的数总比左边的数大．也考查了数形结合的思想．8．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4，表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（请依据此情境解决下列问题）①则数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合．②若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是4或﹣8．③若数轴上M，N两点之间的距离为2020，并且M，N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是1009，则N点表示的数是﹣1011．【分析】①数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6，可得数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合；②点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数是5或7；③依据M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数是1007，N点表示的数是﹣1013．【解答】解：①∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6，∴数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合；故答案为：﹣6；②点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6，∵A、B两点经折叠后重合，∴当点A表示﹣6时，﹣1﹣（﹣6）＝5，﹣1+5＝4，当点A表示6时，6﹣（﹣1）＝7，﹣1﹣7＝﹣8，∴B点表示的数是4或﹣8；故答案为：4或﹣8；③M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，∴﹣1+12×2020＝1009，﹣1−12×2020＝﹣1011，又∵M点表示的数比N点表示的数大，∴M点表示的数是1009，N点表示的数是﹣1011，故答案为：1009，﹣1011．【点评】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键．9．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后向西走了8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼．（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置．（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示）（2）小明家与小刚家相距多远？（3）若货车每千米耗油1.5升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？【分析】（1）根据已知，以百货大楼为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米一辆货车从百货大楼出发，向东走了4千米，到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后西走了8.5千米，到达小刚家，最后返回百货大楼，则小明家、小红家和小刚家在数轴上的位置可知．（2）用小明家的坐标减去与小刚家的坐标即可．（3）这辆货车一共行走的路程，实际上就是4+1.5+8.5+3＝17（千米），货车从出发到结束行程共耗油量＝货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程．【解答】解：（1）如图所示：（2）小明家与小刚家相距：4﹣（﹣3）＝7（千米）；（3）这辆货车此次送货共耗油：（4+1.5+8.5+3）×1.5＝25.5（升）．答：小明家与小刚家相距7千米，这辆货车此次送货共耗油25.5升．【点评】本题是一道典型的有理数混合运算的应用题，同学们一定要掌握能够将应用问题转化为有理数的混合运算的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具．如工程问题、行程问题等都是这类．10．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2．（1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是G；写出【N，M】美好点H所表示的数是﹣4或﹣16．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．【解答】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定﹣4符合条件．点M 的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是﹣16．故答案是﹣4或﹣16．（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2﹣3＝﹣1，因此t＝1.5秒；第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2﹣6＝﹣4，因此t＝3秒；第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2﹣18＝﹣16，因此t＝9秒；第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2﹣27＝﹣25，因此t＝13.5秒；第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2﹣13.5＝﹣11.5，因此t＝6.75秒；第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，第八种情况，N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．【点评】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．11．如图，在数轴上，点A 表示﹣10，点B 表示11，点C 表示18．动点P 从点A 出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，P 、Q 两点相遇？相遇点M 所对应的数是多少？（2）在点Q 出发后到达点B 之前，求t 为何值时，点P 到点O 的距离与点Q 到点B 的距离相等； （3）在点P 向右运动的过程中，N 是AP 的中点，在点P 到达点C 之前，求2CN ﹣PC 的值．【分析】（1）根据题意，由P 、Q 两点的路程和为28列出方程求解即可；（2）由题意得，t 的值大于0且小于7．分点P 在点O 的左边，点P 在点O 的右边两种情况讨论即可求解；（3）根据中点的定义得到AN ＝PN =12AP ＝t ，可得CN ＝AC ﹣AN ＝28﹣t ，PC ＝28﹣AP ＝28﹣2t ，再代入计算即可求解．【解答】解：（1）根据题意得2t +t ＝28， 解得t =283， ∴AM =563＞10，∴M 在O 的右侧，且OM =563−10=263， ∴当t =283时，P 、Q 两点相遇，相遇点M 所对应的数是263； （2）由题意得，t 的值大于0且小于7．若点P 在点O 的左边，则10﹣2t ＝7﹣t ，解得t ＝3． 若点P 在点O 的右边，则2t ﹣10＝7﹣t ，解得t =173． 综上所述，t 的值为3或173时，点P 到点O 的距离与点Q 到点B 的距离相等；（3）∵N是AP的中点，∴AN＝PN=12AP＝t，∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴．解题时，一定要“数形结合”，这样使抽象的问题变得直观化，降低了题的难度．12．阅读下面的材料：如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：（2）点C到点A的距离CA＝5cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为﹣5或3；（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；（用代数式表示）（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．【分析】（1）根据题意容易画出图形；（2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；（4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示：（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；设D表示的数为a，∵AD＝4，∴|﹣1﹣a|＝4，解得：a＝﹣5或3，∴点D表示的数为﹣5或3；故答案为：5，﹣5或3；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；故答案为：﹣1+x；（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝2+3t，∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3，∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．【点评】此题考查了数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．13．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．【分析】（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案；（2）根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案；（3）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）点P 运动至点C 时，所需时间t ＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒）， （2）由题可知，P 、Q 两点相遇在线段OB 上于M 处，设OM ＝x ． 则10÷2+x ÷1＝8÷1+（10﹣x ）÷2， 解得x =163．故相遇点M 所对应的数是163．（3）P 、O 两点在数轴上相距的长度与Q 、B 两点在数轴上相距的长度相等有4种可能： ①动点Q 在CB 上，动点P 在AO 上，则：8﹣t ＝10﹣2t ，解得：t ＝2． ②动点Q 在CB 上，动点P 在OB 上，则：8﹣t ＝（t ﹣5）×1，解得：t ＝6.5． ③动点Q 在BO 上，动点P 在OB 上，则：2（t ﹣8）＝（t ﹣5）×1，解得：t ＝11． ④动点Q 在OA 上，动点P 在BC 上，则：10+2（t ﹣15）＝t ﹣13+10，解得：t ＝17． 综上所述：t 的值为2、6.5、11或17．【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用PO 与BQ 的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．14．某景区一电瓶小客车接到任务从景区大门出发，向东走2千米到达A 景区，继续向东走2.5千米到达B 景区，然后又回头向西走8.5千米到达C 景区，最后回到景区大门．（1）以景区大门为原点，向东为正方向，以1个单位长表示1千米，建立如图所示的数轴，请在数轴上表示出上述A 、B 、C 三个景区的位置． （2）A 景区与C 景区之间的距离是多少？（3）若电瓶车充足一次电能行走15千米，则该电瓶车能否在一开始充足电而途中不充电的情况下完成此次任务？请计算说明．【分析】（1）根据以景区大门为原点，向东为正方向，在数轴上表示出A 、B 、C 的位置； （2）根据两点间的距离公式列式计算即可； （3）计算出电瓶车一共走的路程，即可解答． 【解答】解：（1）如图，（2）A 景区与C 景区之间的距离是：2﹣（﹣4）＝6（千米）；（3）不能完成此次任务．理由如下：电瓶车一共走的路程为：|+2|+|2.5|+|﹣8.5|+|+4|＝17（千米），因为17＞15，所以不能完成此次任务．【点评】本题考查了利用数轴表示一对具有相反意义的量，借助数轴用几何方法解决问题，有直观、简捷，举重若轻的优势．。
【专题3】数轴
【专题3】数轴教学目标1.数轴的定义.2.理解有理数与数轴上的点的对应关系.3.会根据数轴上两点的位置比较其所对应的有理数的大小.4.相反数的意义. 课前练习1、将下列各数按要求分别填入相应的集合中： -10， 4.5， -631， 0， -50， +241, -2.03， 0.002， +63， -73， 1034， 8 （1）正整数集合 { } （2）负整数集合 { } （3）正分数集合 { } （4）负分数集合 { } （5）整数集合 { } （6）分数集合 { } （7）非正数集合 { } （8）有理数集合 { } 【知识点1 数轴】同学们都会读温度计吧？同温度计类似，可以在一条直线上画出刻度标上数，用直线上的点表示有理数.定义：画一条水平直线，在直线上取一点，表示0（叫做原点）选取某一长度为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到一条数轴，画数轴的具体方法：1.画直线（一般水平方向），标出一点为原点0.2.规定从原点向右的方向为正方向，那么向左方为负方向.3.选择适当的长度单位为单位长度.思考：1.原点表示的数是______.2.原点右边的数是_____，左边的数是_____.3.4.指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数：解：A 点表示______，B 点表示______，C 点表示______，D 点表示______，E 点表示______. 总结：一条正确的数轴，必须要有______，______，______. 【随堂练习】一、填空题1.在数轴上，－0.01表示A 点，－0.1表示B 点，则离原点较近的是_______.2.在所有大于负数的数中最小的数是_______.3.在所有小于正数的数中最大的数是_______.4.在数轴上有一个点，已知离原点的距离是3个单位长度，这个点表示的数为_______.5.已知数轴上的一个点表示的数为3，这个点离开原点的距离一定是_______个单位长度. 二、判断题1. 规定了正方向的直线叫数轴. （ ）2. 数轴上表示数0的点叫做原点.（ ）3. 如果A 、B 两点表示两个相邻的整数，那么这两点之间的距离是一个单位长度.（ ）判断下列哪个数轴画的正确 -2-1021（E ） -2-1021（F ）（D ） -2-12112-1-2（A ） 12-1-20（C ） （B ）E D C B A54321-1-2-3-4-5三、选择题1.每个有理数都可以用数轴上的以下哪项来表示（ ） A.一个点B.线C.单位D.长度2.下列图形中不是数轴的是（ ）3.下列各式中正确的是（ ） A.－3.14<－πB.－121>－1 C.3.5>－3.4 D.－21<－2 4.下列说法错误的是（ ）A.零是最小的整数B.有最大的负整数，没有最大的正整数C.数轴上两点表示的数分别是－231与－2，那么－2在－231右边 D.所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来四、解答题1、分别指出数轴上点A 、B 、C 、D 、E 所表示的数：2、在数轴上画出表示下列各点的数：－5.5，－2.5，－4，－33、在数轴上画出表示下列个数的点，并指出这些点之间的关系： －6，6，－3，3，－1.5，1.5【知识点2 相反数】（1）代数意义是：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数。
3数轴
1.2 有理数
1.2.2 数轴
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
观察如图所示的温度计，回答下列
50
问题：
40
（1）点A表示多少摄氏度？点B呢？ 30
点C呢？
20
（2）温度计刻度的正负是怎样规定 10
的?以什么为基准?
0
（3）每摄氏度两条刻度线之间的距 -10
-20
离有什么特点?
45
B
35
●
●
●
●
-3 -2 -1 0 1 2 3
9
2
●
45
1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位 长度的直线叫数轴. 2.数轴的画法.
3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示.原 点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是 正负数的分界限.
画数轴注意事项： (1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2)直线一般画水平的； (3)正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻
度均匀.
二 在数轴上表示有理数
..
-3 -2 -1 0 1 2 3 思考： 1.观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点
4．在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示
的数为_-_1_0_或__6__．
5.如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的
数．
解：点A，B，C，D，E表示的数
分别是 0，-2，1，2.5，-3.
6. 画出数轴并表示下列有理数：
1.5，- 2.5， 0，-1，9 2
- 2.5 -1 0
1.5
例2 在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什 么数？
专题03 数轴动点问题中的说理(解析版)
专题03 数轴动点问题中的说理例1．（2021·河北古冶期中）已知，数轴上的A在原点左边，到原点的距离为6个单位长度，点B在原点右边，从点A到点B，要经过10个单位长度．（1）直接写出A点在数轴上表示的数，B点在数轴上表示的数；（2）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C的对应的数；（3）已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P，直接写出线段PO-AM的值．【答案】（1）点A表示-6，点B表示4；（2）c=-2或c=1；（3）2.【解析】解：（1）由题意知，点A表示-6，点B表示4；（2）设点C表示的数为x，∵点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，∴|x-4|=3|x|，∴x-4=3x或x-4=-3x，解得：x=-2或x=1即点C对应的数为-2或1.（3）设运动时间为t秒，则AM=t，NO=4+2t，∵点P是NO的中点，∴PO=2+t，∴PO-AM=2+t-t=2.例2．（2021·广东龙岗期中）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，记AB＝|a﹣b|．（1）求AB的值；（2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝2BP时，P点对应的数是多少？（3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（1＜x＜2），若在运动过程中，2MP—MQ的值与运动的时间t无关，求x的值．【答案】（1）6；（2）1；（3）4 3 .【解析】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣4|＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴AB＝|﹣2﹣4|＝6；（2）设P运动t秒时，BQ＝2BP，①当0≤t＜6时，BP＝6﹣t，BQ＝2t，2t＝2（6﹣t），解得t＝3，故点P对应的数是﹣2+1×3＝1；②当t≥6时，BQ＝2BP不成立，综上所述，点P对应的数是1；（3）点P、M、Q向运动t秒后，分别表示的数是：﹣2+t，xt，4+2t，∴MP＝xt﹣（﹣2+t），MQ＝4+2t﹣xt，∴2MP﹣MQ＝2[xt﹣（﹣2+t）]﹣（2+2t﹣xt）＝（3x﹣4）t，∵当2MP﹣MQ的值与运动时间t无关时，∴3x﹣4＝0，解得：x=43．例3．（2021·吉林四平市期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向右移动3cm到达B点，然后再向右移动8cm3到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA=_______cm．（3）若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？（4）若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动。
2.1 认识有理数(第3课时 数轴)(课件)-七年级数学上册(北师大版2024)
)
A. a ＜ b ＜ c ＜ d
B. b ＜ a ＜ d ＜ c
C. a ＜ b ＜ d ＜ c
D. d ＜ c ＜ b ＜ a
4. [2024株洲期末]如图，在单位长度为1的数轴上，若点 A 、点 B 到原点的距离
相等，则点 C 表示的数是( C
A. －1
B. 0
)
C. 1
D. 2
5. [情境题·生活应用·2024·沧州模拟]规定向东为正，向西为负，将遥控小汽车两
类似地，表示数 a 的点到表示数2的点的距离可表示为 ｜ a －2｜
.
(3)应用：①表示数 a 的点到表示数3的点的距离是7，可记为｜ a －3｜＝7，
那么 a ＝
－4或10
.
②当 a 取何值时，｜ a ＋4｜＋｜ a －3｜的值最小，最小值是多少？请说
明理由.
【解】当－4≤ a ≤3时，｜ a ＋4｜＋｜ a －3｜的值最小，最小值为7.
方向
像这样，规定了原点、单位长度、正方向的直线称为数轴。
概念归纳
画数轴注意事项：
1. 直线是水平的；
2. 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
（1）原点 —— 在直线上任意一点表示数“0”；
（2）正方向用箭头表示，一般取从左到右为正方向；
（3）取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀，单
位长度统一。
(3)标数:在实心小圆点上标出数字.
课本例题
例4
（1）下图数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数?
...
A
D
C
-2
-1
0
.
B
1
2
3
解：点A表示-2，点B表示2，点C表示0，点D表示-1.
《数轴》课件3
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线. ⒊从确原定 点正向方左向，，用并类用似箭方头法表依示次表. 示－1，－2，－3，….
数运轴用的 数概形念结：合规的定思了想原方点法、解正决方问向题、，单能位够长准度确的画直出线数轴. ，并在数轴上表示出相应的有理数以及在数轴上读出点所表示的有理数． 8（m3）处选分取别适有当一的棵长槐度树为和单一位根长电度线，杆直,试线画上图从表原示点这向一右情，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；
电
汽
线
车
西
杆 槐树 站 柳树 杨树 东
- -3 0 3
思考 怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位 置关系 (方向、距离)?
请读出下面温度计所表示的温度
下列说法正确的是（ ）
思考：你认为数轴最重要的是哪几点？
单位，那么在新数轴上点A表示的数是（ ） （2）写出数轴上点A、B、C、D、E 表示的数： ⒊确定正方向，并用箭头表示. 单位，那么在新数轴上点A表示的数是（ ） 运用数形结合的思想方法解决问题，能够准确画出数轴，并在数轴上表示出相应的有理数以及在数轴上读出点所表示的有理数．
2.数轴的画法：一画二定三方向四单位. 掌表握示数轴－的a的三点要在素原，点能的正_确__画__出_边数，轴与；原点的距离是______个单位长度.
表思示考数 ：－你a认的为点数在轴原最点重的要_的__是__哪_边几，点与？原点的距离是______个单位长度. 单一位般， 地那，么设在a是新一数个轴正上数点，A则表数示轴的上数表是示（数a）的点在原点的______边，与原点的距离是______个单位长度； 8二m、处画分出别数有轴一，棵并槐用树数和轴一上根的电点线表杆示,试下画列图各表数示：这一情
初中数学之数轴三要素及相关知识点(一)2024
初中数学之数轴三要素及相关知识点（一）引言概述：数轴是数学中常用的图形工具之一，它可以帮助我们直观地理解和比较数值大小。
在初中数学中，掌握数轴的三个要素及相关知识点是非常重要的。
本文将介绍数轴的起点、方向和单位长度三个要素，并详细讨论数轴上的点、有理数、绝对值和相反数等相关知识点。
正文内容：A. 数轴的起点1. 数轴是以一个固定点为起点开始绘制的，通常选择整数0作为起点。
2. 数轴上的负数值表示在起点的左侧，正数值表示在起点的右侧。
B. 数轴的方向1. 数轴是从左往右绘制的，表示数值的增大。
2. 左侧表示较小的数值，右侧表示较大的数值。
C. 数轴的单位长度1. 数轴上的两个连续整数之间的距离被定义为单位长度，通常设定为1。
2. 单位长度的选择可以根据具体情况进行调整，让数轴更直观和方便计算。
D. 数轴上的点1. 数轴上的每个点都表示一个数值，可以通过有向线段来表示。
2. 数轴上的点与实数一一对应，可以表示整数、小数和无理数等不同类型的数值。
E. 数轴上的相关知识点1. 有理数是指可以表示为整数的商或整数间的比值的数值。
2. 数轴上的有理数可以通过点对应的整数坐标来表示。
3. 绝对值是一个数离数轴原点的距离，可以看作是该数到原点的非负距离。
4. 数轴上的绝对值用来表示数的大小，不论正负。
5. 相反数是指与一个数在数轴上关于原点对称的数，它们的绝对值相等但符号相反。
总结：数轴是初中数学中一个重要的工具，掌握数轴的三要素：起点、方向和单位长度，以及相关知识点：数轴上的点、有理数、绝对值和相反数，对于理解和运用数学概念和计算都具有重要意义。
通过深入学习和熟练运用这些知识点，我们可以更好地解决与数值大小和数值关系有关的问题。
3数轴
双湾中学教案NO: 课题 1.2.2数轴时间教学目标1、掌握数轴概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系。
2、会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数，会根据数轴上的点读出所表示的有理数。
3、使学生初步理解数形结合的思想。
教学重点数轴的概念。
教学难点从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念，并初步体会数形结合的思想方法。
教学方法自主探究教具多媒体板书设计1.2.2数轴数轴三要素：原点正方向单位长度::例题1：画出数轴并表示下列有理数1.5 －2 2 －2.592例题2：指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数．教学过程：一．创设情境：问题1：在一条东西走向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3米和7.5米处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3米和4.8米处分别有一棵槐树和一根电线杆，你能画图表示这一情境吗？师提出问题：（1）先画什么呢？（2）先找什么？再找什么？（3）怎样正确摆放这几者的位置呢？问题2：怎样用数轴简明地表示这些树，电线杆与汽车站的相对位置关系（方向、距离）二．展示目标三．合作交流，探索新知引导学生思考上面的问题，引导学生建立数轴的概念。
问题3：怎样正确地画一条数轴，数轴需哪几个条件？怎样才能将不同数的点清楚表示出来？尝试画满足条件的数轴。
可以先让学生试着画出自己想象的数轴，然后师生共同分析归纳得出数轴的特征：（1）数轴是一条直线。
（2）数轴三要素：原点正方向单位长度由此我们可以说：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
教师示范讲解：画一条直线（通常画成水平位置），在这条直线上任取一点作为原点（origin）,用这点表示0．规定直线上从原点向右为正方向，画上箭头，而相反方向为负方向．再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1、2、3…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1、-2、-3…（如下图）．教师展示有问题的数轴让学生观察，并在此强调数轴的三要素！ 四．动手操作，亲身体验。
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XXXX 六年级数学学科导学案序号：3
学案内容
学习随笔
（教师、学生活动及设
计思路）4．例题；
例1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？
分析：原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。
解答：都不正确，（1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原点；
（4）单位长度不一致。
例2：把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：
（1）2，-1，0，
3
2
3
，+3.5
(2)―5，0，+5，15，20；
(3)―1500，―500，0，500，1000。
例3：借助数轴回答下列问题
(1)有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出
来；
(2)有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它标出
来。
解答：观察数轴易知：
(1)有最小的正整数，它是1，没有最大的正整数；
(2)没有最小的负整数，有最大的负整数，它是-1。
三、课堂小结：
1．数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关
系，它揭示了数与形之间的内在联系；所有的有理数都可以用数轴上的点
表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数；
2．画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适
当选取，注意不要漏画正方向、不要漏画原点，单位长度一定要
统一，数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确。
学（教）后记：板书设计。