第七讲数字信号处理系统函数流图

Y (z) 0.25z 1Y (z) 0.125z 2Y (z) X (z) z 1 X (z)
Y (z)
1 z 1
1 z 1
H (z) X (z) 1 0.25z 1 0.125z 2 1 0.5z 1 1 0.25z 1
极点：z 0.5, z 0.25
系统收敛域：z 0.5
x(n) a0
y(n) x(n)
Z-1 a1 Z-1 a2 Z-1 aM
b1
Z-1
b2
对调 Z-1
b N-1 Z-1
bN Z-1
第一部分 第二部分 对调
y2(n) a0 y(n)
b1
Z-1 Z-1 a1
b2 Z-1 Z-1 a2 b N-1 Z-1 Z-1 aM
bN
Z-1 Z-1
(4)直接II型特点
i 1
i 1
系统频率响应 的几何确定
N
Ci
H (e j )
A
i 1 N
Di
i 1
N
N
() i i
i 1
i 1
当频率ω从零变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时 针旋转一周，分别估算出系统的幅度特性和相位特性
N
M
有理系统分类 y(n) ai y(n i) bi x(n i)
对应关系
1-9 系统函数
x(n)
y(n)
h(n)
X (e j )
Y (e j )
H (e j )
y[n] x[n] h[n] h[k]x[n k] k
一. 系统函数的定义
Y(e j ) H (e j ) X (e j )
• 一个线性时不变离散系统可以用它的单位脉冲响应来 表示其输入和输出序列的关系，而其单位脉冲响应的Z
4
2
4 48
Z-1的有 理分式
8 4z 1 11z 2 2z 3
1 5 z 1 3 z 2 1 z 3
4
4
8
解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；
x(n) 8 Z-1 -4 Z-1 11 Z-1 -2
y(n)
5/4 Z-1 -3/4 Z-1 1/8 Z-1
x(n)
5 3
z 0.5 z 0.25
h(n) 2 (0.5)n u(n) 5 (0.25)n u(n)
3源自文库
3
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列 1-3 DT 系统 和 LTI系统 1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
--时域表示—差分方程 （补充） -- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图
对应关系
1.10.1 方框图、流图表示法
方框图表示法： 单位延时
Z-1
信号流图表示法：
Z-1
系数乘
a
a
相加
把上述三个基本单元互联，可构成不同数字网络或运 算结构，也有方框图表示法和流图表示法。
2.例子
例1：一阶数字滤波器：
y(n) a0x(n) a1x(n 1) b1y(n 1)
Y (z) a0 X (z) a1z1X (z) b1z1Y (z)
b1
是一个对输入x(n)的M节延时链 Z-1 结构。即每个延时抽头后加权相
b2 Z-1 b N-1 Z-1
加，即是一个横向网络。
第二部分
N
bi y(n i)
i 1
bN
Z-1
是一个N节延时链结构网络。不 过它是对y(n)延时，因而是个反
馈网络。
(2)结构的特点
此结构的特点为： (1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现 零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。 (2)共需(N+M)级延时单元
直接II型结构特点： (1)两个网络级联。 第一个有反馈的N节延时网络实现极点； 第二个横向结构M节延时网络实现零点。 (2)实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时 单元，所需延时单元最少。
H（z) 8z3 4z 2 11z 2 8z3 4z 2 11z 2
(z 1 )( z 2 z 1 ) z3 5 z 2 3 z 1
y(n) a1 Z-1
Z-1 a2
x(n) b0 a1
y(n) Z-1
a2 Z-1
看出：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。
以后我们用流图来分析数字滤波器结构。
1.10.3 IIR DF的基本结构
M
aiZ i
H（z)
i0 N
1 biZ i
Y (z) X (z)
i 1
一、IIR DF特点
(1 pi z 1 ) (1 1i z 1 2i z 2 )
i 1
i 1
(6)级联结构的特点
•它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。
•调整β1i,β2i,只单独调整滤波器第 i 对极点，而不影响其它极 点。
•同样，调整 1i , 2i ,……只单独调整滤波器第 i 对零点，而
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列 1-3 DT 系统 和 LTI系统 1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
--时域表示—差分方程 （补充） -- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图
d
* i
z
1
)
i 1
i 1
式中：gi , ci为实根；hi , di为复根。 其中: N1 2N2 N；M1 2M 2 M 若将每一对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子
M1
M2
(1 gi z 1 ) (1 1i z 1 2i z 2 )
H (z)
A
i 1 N1
i 1 N2
i 1
i0
M
•
H( z )
Y( X(
z) z)
1
br z r
r 0
N
ak zk
k 1
ARMA系统 IIR系统
M
• 若所有ak 0, H(z) br zr , 系统称为MA系统
－－－全零 r 0 点模型
h(n)为有限长序列－－－FIR系统（有限长单位脉冲响应）
• 若除b0 1外，所有br 0,
di
z 1
)
i 1
i 1
H (z)的系数ai ,bi都是实数，零、极点ci和di只有两种情况： (a)或者是实根 (b)或者是共轭复根
(2)系统函数系数分析
M1
M2
(1 gi z1) (1 hi z1)(1 hi*z1)
H(z)
A
i 1 N1
i 1 N2
(1 ci z1)
(1
di
z
1
)(1
i 1
i0
i 1
i0
M
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi z i
i0 N 1 ai z i
B
(1 ci z 1)
i 1
N
(1 di z 1)
i 1
i 1
除了比例常数，整个系统函数可以由它的全部零极点来唯一确定
系统频率响应 的几何确定法
当M=N时，
N (1 ci z1 )
N
(z ci )
• 原理：一个线性时不变系统，若交换其级联 子系统的次序，系统函数不变。把此原理应 用于直接I型结构。即：
• （1）交换两个级联网络的次序 • （2）合并两个具有相同输入的延时支路。 • 得到另一种结构即直接II型。
H (z) H1(z)H2(z) H2(z)H1(z)
(2)直接II型的结构流图过程1--对 调
1、 IIR DF系统函数及差分方程
一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：
M
ai Z i
H（z)
i0 N
1
bi Z i
Y (z) X (z)
i 1
以下我们讨论M<=N情况。
则这一系统差分方程为：
N
M
y(n) bi y(n i) ai x(n i)
i 1
i0
2、直接I型
(1)流图 N
H(z)
1
N
1 ak zk
k 1
－－－全极点模型－－－AR 系统
h(n)为无限长序列－－－IIR系统（无限长单位脉冲响应）
一个稳定的LTI因果系统的差分方程为 y(n) 0.25y(n 1) 0.125y(n 2) x(n) x(n 1) 求系统函数H(z)，单位冲激响应h(n)
解：
变换就定义为这个系统的系统函数。
H (z) [h(n)]
X (z)
Y (z)
H (z)
h(n) 1[H ( z)]
Y( z) H (z)X (z)
系统函数、z变换和频率响应的关系
x(n)
y(n)
H (e j )
H( z ) h( n )zn n
H (e j ) F h(n) H (z) ze j
即收敛域包 括单位圆
r z ,0 r 1
即所有的极点 都在单位圆内
1
Re(Z )
r
P.38 (1-87)
收敛域内不能 出现极点
三. 差分方程与系统函数
• 一个线性时不变的离散系统可用差分方程来表示，对 这个差分方程两端取Z变换，化简后即可得到对应系统 函数的表达式。
N
M
N
M
y(n) ai y(n i) bi x(n i) Y (z) ai ziY (z) bi zi X (z)
3、直接II型（正准型/典范型）
（1)直接II型原理
• 从上面直接型结构的两部分看成两个 独立的网络（即两个子系统）。
• 横向网络
H1(z)
M
ai zi
i0
• 反馈网络 H2 (z)
1
N
1 bi zi
i 1
H (z) H1(z)H2(z)
3、直接II型（正准型/典范型）
（1)直接II型原理
8
Z-1 5/4 -4
Z-1 -3/4 11
1/8Z-1 -2
y(n)
注意 反馈 部分 系数 符号
4、级联型结构
(1)系统函数因式分解
一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示，即对系统函数的 分子、分母进行因式分解：
M
ai Z i
M
(1
ci
z 1 )
H(z)
i0 N
1
bi Z i
A
i 1
N
(1
数字域频 率响应
单位脉冲响 应的傅氏变
换
单位圆上的 系统函数
LTI系统的系统函数和ROC
因果系统
稳定系统 因果稳定系统
h(n)
h(n)=0,n<0 右边序列
H(z) Rx z 极点在某圆 内，收敛域 在此圆外
j Im(Z )
h(n)
n
h(n)=0,n<0
h(n)
n
H (e j ) 存在， 收敛域为
H(z)
B
i 1
N (1 di z1 )
A
i 1
N
(z
di )
i 1
i 1
N
e j ci
N
Ci e
ji
H (e j )
A
i 1 N
e j di
A
i 1
N
Di e
ji
i 1
i 1
Im
C1
D c1
1
1
1
d1
e j
Re
N
Ci
H (e j )
A
i 1 N
Di
i 1
N
N
() i i
1
1
A2 d2
z
1
1
AN dN
z
1
X (z) P(z) Q(z)
a0 a1z1 a2 z2 aM zM (当M
1 b1z1 b2 z2 bN zN
N时，A0
0）
A0
aN bN
M
y(n) bi y(n i) ai x(n i)
i 1
i0
• IIR DF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实 现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。）
x(n) a0 Z-1 a1 Z-1 a2 Z-1 aM
y(n)由两部分组成：
M
y(n) 第一部分 ai x(n i) i 0
稳定：收敛域包含单位圆
1 z1
z(z 1)
H(z) 1 0.5z1
1 0.25z1
z 0.5 z 0.25
z 0.5
H(z) z
z
z 1
0.5 z
0.25
z
A1 0.5
z
A2 0.25
A1
Re s
z
z1 0.25 z0.5
2 3
A2
Re
s
z1 z 0.5 z0.25
不影响其它零点。
•级联结构特点：
•每个二阶基本节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于 控制频率响应。
5、并联型
(1)系统函数的部分分式展开
将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现
M
ai Z i
H ( z)
i0 N
1
bi Z i
A0
N
Ai
i1 1 di z 1
i 1
A0
1
A1 d1 z
1.单位冲激响应h(n)是无限长的n→∞ 2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0<|Z|<∞)有 极点存在。
3.结构上存在输出到输入的反馈，也即结构 上是递归型的。
4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单 位圆内。
二、IIR DF基本结构
IIR DF类型有：直接型、级联型、并联型 直接型结构：直接I型、直接II型（正准型）
其方框图及流图结构如下：
y(n)
a0
x(n)
Z-1 a1
Z-1
b1
x(n) a0 Z-1 a1
y(n) Z-1 b1
例2：二阶数字滤波器：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
Y( z ) a1z1Y( z ) a2 z2Y( z ) b0 X ( z )
x(n) b0