机械振动基础经典例题
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例1：如图所示是一个倒置的摆， 摆球质量 m，刚杆质量忽略不计， 每个弹簧的刚度是k/2， 求：倒摆作微幅振动时的 固有频率 可以有几种解法？
m k/2 k/2 a l
解法1：
m k/2
零平衡位置1
k/2
广义坐标θ，零平衡位置1
动能
1 2 1 2 2 T J ml 2 2
11 2 U 2 k a mgl 1 cos 22
k/2
m
x
0 k/2 l =5 m
c
x
f
x
f
a
z
l
记：满载时振幅 X1，空载时振幅 X2 有：X 1
a 1 (2 1r1 ) 0.68 2 2 2 (1 r1 ) (2 1r1 )
2
X2 1 (2 2 r2 ) 2 1.13 2 2 2 a (1 r2 ) (2 2 r2 )
解： (1)系统的固有频率
共振时
1 X 2 F / k
1 n 2 10 0.20
有
c
F 25 62.66 2 X 1.27 10 10
c 62.66 0.51 2mn 2 1.95 10
(2)振动频率为 f = 4Hz ， 频率比 r f 4 0.8
无阻尼固有频率：
kb 2 b k n 2 ml l m
c a
k b
m
ml
ca 2n 2 ml
2
ca 2 ca 2 m 2 2ml n 2mlb k
阻尼固有频率：
d n
1 1 4kmb 2l 2 c 2 a 4 2ml 2
2
临界阻尼系数：
解法2： 广义坐标θ，零平衡位置2 动能 势能
1 2 1 2 2 T J ml 2 2
11 2 U 2 k a mgl cos 22
m k/2
k/2
l
a
零平衡位置2
1 2 2 ka mgl 1 2sin 2 2 2
1 2 2 1 ka mgl mgl 2 2 2 1 (ka 2 mgl ) 2 mgl 2
d T U 0 dt
2ml 2 2 (ka 2 mgl ) 0 2ml 2 2(ka 2 mgl ) 0
ka 2 mgl n ml 2
2 ,T
4
T 0, 2
当 n 取奇数时
8 2 T bn F (t ) sin ntdt T 0 T
T 4 0
4F0 F0 sin ntdt n
n 1,3,5
于是，周期性激励F(t)可写为：
F (t ) bn sin nt
n
平衡位置
P m k x0
0
求导
n 2 x0 t x(t ) e sin d t d
n
x c
设在时刻 nt21x0 t 质量越过平衡位置到达最大位移，这时
x(t1 )
速度为：
d
e
n1
sin d t1 0
t1
x1 x(t1 ) x0e
3）传到地基上的力幅 ：
FT TF F 0.149 1470 219 N
例：弹簧－质量系统受到周期为T 的方波激励， 系统固有频率为ωn
F (t )
T 0t F0 , 2 F (t ) F , T t T 0 2
F0
0 T /2
F0
l =5 m
a
z
求： 拖车在满载和空载时的振幅比
解：汽车行驶的路程可表示为：
2 v x f a sin t 因此： l
z vt
m
x
0 k/2 l =5 m
k/2
c
路面的激励频率：
2 v 34.9 rad / s l
x
f
x
f
a
z
l
有 c 2 km
c、k 为常数，因此 与 m 成反比
例题：如图，两弹簧的刚度分别是k1和k2，摆球的 质量为m。若杆的质量忽略不计，用能量法求系统 的固有频率。 b 解：取摆球偏离平衡位置 k 的角位移θ为广义坐标， θ 作简谐振动，有
A sin(nt )
max A
k1 a c θ
2
An cos(nt ) max An
k mn 2 880 (2 12.5) 2 5.43 106 N 弹性支承的刚度：
F 1 X 0.0291(mm) 机器振动的振幅 ： k 2 2 2 (1 r ) (2 r )
2）主动隔振系数 ：
1 (2 r ) 2 TF 0.149 2 2 2 (1 r ) (2 r )
ca 2 m 1 2mlb k
2bl ccr 2 mk a
例题：一个质量为1.95kg的物体在粘性阻尼介质中 作强迫振动，激励力为 F 25sin(2 ft )N， (1)测得系统共振时的振幅为1.27cm，周期为0.20s， 求系统的阻尼比及阻尼系数；(2)如果 f = 4Hz，无 阻尼时振幅是有阻尼时振幅的多少倍
2 1
m1 1.0 m2
因此得到空载时的阻尼比为：
满载和空载时的频率比： r1
r2
m 1 1.87 n1 k m2 0.93 n 2 k
满载时阻尼比 1 0.5
空载时阻尼比 2 1.0 满载时频率比 r1 1.87 空载时频率比 r2 0.93
由
Tmax U max
得
b k2
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 mA n c k1 A a k2 A b mgcA2 2 2 2 2
θ
整理得
k1
a c θ
k1a 2 k2b 2 mgc n mc 2
m
例：在图示系统中，弹簧长l，其质量ms ，质量块m， 求弹簧的等效质量及系统的固有频率。
（1）写出运动微分方程
（2）阻尼固有频率，临界阻尼系数
解：广义坐标θ，受力分析 力矩平衡：
m l l c a a k b b 0
ml ca kb 0
2 2 2
2n x n 2 x 0 x
c a b l k m
例题：偏心质量系统，共振时 测得最大振幅为0.1m，由自由 衰减振动测得阻尼系数为
m 10% 0.05 ，假定 M
k 2
c e m
t
x
k 2
求：
（1）偏心距 e，
me 2 sin t
M
x
（2）若要使系统共振时振幅为
0.01m，系统的总质量需要增加多少？
k
c
解：（1）共振时最大振幅
f A
动力学方程
mx k ( x x f ) 0
mx kx (kbd / a ) sin t
X
振幅：
kbd / a 1 bd 1 k 1 r2 a 1 r2
例题：机器安装在弹性支承上 ，已测得固有频率 fn=12.5Hz ，阻尼比 =0.15 ，参与振动的质量是 880kg ，机器转速 n=2400r/min ，不平衡力的幅值 1470N ； 求：1）机器振幅 2）主动隔振系数 3）传到地基 上的力幅 2 n 1 解：1）频率比： r 60 2 f 3.2 n n
n t1
x0e
1 2
d
x1 x(t1 ) x0e
n t1
x0e
1 2
由题设质量块最大位移为初始位移的 10％，可知
x1 e x0
1Hale Waihona Puke Baidu2
10%
解得：
0.59
例： 小球质量 m ， 刚杆质量不计 求：
a b l c k m
2
例：阻尼缓冲器
平衡位置
静载荷 P 去除后质量块 越过平衡位置得最大位移 为初始位移的 10％
k
P x0 m c
0
x
求：
缓冲器的相对阻尼系数ζ
解：由题知 x(0) 0 ，设x(0) x0 x0 n x0 t x(t ) e ( x0 cos d t sin d t ) d
n
fn 1/ 20
无阻尼时系统振幅
F 1 X k 1 r2
X F 1 k (1 r 2 ) 2 (2 r ) 2
有阻尼时系统振幅
无阻尼与有阻尼系统振幅比为
X 2 r 2 2 0.51 0.8 2 1 ( ) 1 ( ) 2.48 2 2 X 1 r 1 0.8
1 me 0.1 (m) 2 M
e 0.1 (m)
（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m
1 me 0.01 (m) 2 M M
1 m 0.1 0.01 (m) 2 0.05 M M
m 0.1 M
M 9 M
M 9 M
例题1：
汽车的拖车在波形道路 x 上行驶，已知拖车的质 m 0 c 量满载时为 m1 =1000kg， k/2 k/2 x 空载时为 m2 =250kg， x f 悬挂弹簧的刚度为 f k =350kN/m，阻尼比在 l 1 0.5 满载时为 ， 2 z 车速为 v = 100 km/h， x f a sin l 路面呈正弦波形，可表示为
T
t
求系统响应
解：
F0 a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n 1 0
bn sin nt
n 1
F (t )
F0
T /2
T
t
2 T =0 a0 T 0 F (t )dt 2 T an 0 F (t ) cos ntdt T 2 T bn T 0 F (t ) sin ntdt
n 1
4 F0
1 n sin nt n 1,3,5
a
l
势能
1 2 2 ka mgl 1 1 2sin 2 2 2
1 (ka 2 2 mgl 2 ) 2
1 (ka 2 mgl ) 2 2
Tmax U max
max
n max
ka 2 mgl n ml 2
系统最大动能
Tmax
m
1 ) 2 1 mA2 2 c 2 m(c n 2 2
1 1 2 U1 k1 ( max a ) k2 ( max b) 2 最大弹性势能 2 2 1 1 2 U 2 mg (1 cos max )c mgc max mgcA2 最大重力势能 2 2
因此满载和空载时的振幅比：
X1 0.6 X2
例题2：已知梁截面惯性矩I， B A m 弹性模量E，梁质量不计， yA 支座A产生微小竖直振动 b a y A d sin t ，支座B不动 求：质量m的稳态振动振幅 解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度δ n g / 固有频率： xf 是因 yA 的运动而产生的质量m处的运动 x (b / a ) y (bd / a ) sin t
a0在一个周期内总面积为0 ；
=0
区间[0,T]内，F(t)关于T/2为反
对称，而cosnωt关于T/2对称。
F (t ) bn sin nt
n 1
F (t )
F0
0 T /2
2 bn F (t ) sin ntdt T 0
T
F0
T 4
T
t
区间
内，F(t)关于 对称， T sin nt 4 而 n 取偶数时， 关于 反对称； T 3T 区间 内，F(t) 关于 对称， 3T sin nt 4 而 n 取偶数时， 关于 反对称； 因此 bn=0, n=2,4,6 …
l 解：令 x 表示弹簧右端的位移， 也是质量 m 的位移。假设 弹簧各点在振动中任一瞬时 d 的位移和一根直杆在一端固 定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样， 左端距离为 的截面的位移为 x ，
l
则d 弹簧的动能为
1 ms dTs d 2 l l
x
m k/2 k/2 a l
解法1：
m k/2
零平衡位置1
k/2
广义坐标θ，零平衡位置1
动能
1 2 1 2 2 T J ml 2 2
11 2 U 2 k a mgl 1 cos 22
k/2
m
x
0 k/2 l =5 m
c
x
f
x
f
a
z
l
记：满载时振幅 X1，空载时振幅 X2 有：X 1
a 1 (2 1r1 ) 0.68 2 2 2 (1 r1 ) (2 1r1 )
2
X2 1 (2 2 r2 ) 2 1.13 2 2 2 a (1 r2 ) (2 2 r2 )
解： (1)系统的固有频率
共振时
1 X 2 F / k
1 n 2 10 0.20
有
c
F 25 62.66 2 X 1.27 10 10
c 62.66 0.51 2mn 2 1.95 10
(2)振动频率为 f = 4Hz ， 频率比 r f 4 0.8
无阻尼固有频率：
kb 2 b k n 2 ml l m
c a
k b
m
ml
ca 2n 2 ml
2
ca 2 ca 2 m 2 2ml n 2mlb k
阻尼固有频率：
d n
1 1 4kmb 2l 2 c 2 a 4 2ml 2
2
临界阻尼系数：
解法2： 广义坐标θ，零平衡位置2 动能 势能
1 2 1 2 2 T J ml 2 2
11 2 U 2 k a mgl cos 22
m k/2
k/2
l
a
零平衡位置2
1 2 2 ka mgl 1 2sin 2 2 2
1 2 2 1 ka mgl mgl 2 2 2 1 (ka 2 mgl ) 2 mgl 2
d T U 0 dt
2ml 2 2 (ka 2 mgl ) 0 2ml 2 2(ka 2 mgl ) 0
ka 2 mgl n ml 2
2 ,T
4
T 0, 2
当 n 取奇数时
8 2 T bn F (t ) sin ntdt T 0 T
T 4 0
4F0 F0 sin ntdt n
n 1,3,5
于是，周期性激励F(t)可写为：
F (t ) bn sin nt
n
平衡位置
P m k x0
0
求导
n 2 x0 t x(t ) e sin d t d
n
x c
设在时刻 nt21x0 t 质量越过平衡位置到达最大位移，这时
x(t1 )
速度为：
d
e
n1
sin d t1 0
t1
x1 x(t1 ) x0e
3）传到地基上的力幅 ：
FT TF F 0.149 1470 219 N
例：弹簧－质量系统受到周期为T 的方波激励， 系统固有频率为ωn
F (t )
T 0t F0 , 2 F (t ) F , T t T 0 2
F0
0 T /2
F0
l =5 m
a
z
求： 拖车在满载和空载时的振幅比
解：汽车行驶的路程可表示为：
2 v x f a sin t 因此： l
z vt
m
x
0 k/2 l =5 m
k/2
c
路面的激励频率：
2 v 34.9 rad / s l
x
f
x
f
a
z
l
有 c 2 km
c、k 为常数，因此 与 m 成反比
例题：如图，两弹簧的刚度分别是k1和k2，摆球的 质量为m。若杆的质量忽略不计，用能量法求系统 的固有频率。 b 解：取摆球偏离平衡位置 k 的角位移θ为广义坐标， θ 作简谐振动，有
A sin(nt )
max A
k1 a c θ
2
An cos(nt ) max An
k mn 2 880 (2 12.5) 2 5.43 106 N 弹性支承的刚度：
F 1 X 0.0291(mm) 机器振动的振幅 ： k 2 2 2 (1 r ) (2 r )
2）主动隔振系数 ：
1 (2 r ) 2 TF 0.149 2 2 2 (1 r ) (2 r )
ca 2 m 1 2mlb k
2bl ccr 2 mk a
例题：一个质量为1.95kg的物体在粘性阻尼介质中 作强迫振动，激励力为 F 25sin(2 ft )N， (1)测得系统共振时的振幅为1.27cm，周期为0.20s， 求系统的阻尼比及阻尼系数；(2)如果 f = 4Hz，无 阻尼时振幅是有阻尼时振幅的多少倍
2 1
m1 1.0 m2
因此得到空载时的阻尼比为：
满载和空载时的频率比： r1
r2
m 1 1.87 n1 k m2 0.93 n 2 k
满载时阻尼比 1 0.5
空载时阻尼比 2 1.0 满载时频率比 r1 1.87 空载时频率比 r2 0.93
由
Tmax U max
得
b k2
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 mA n c k1 A a k2 A b mgcA2 2 2 2 2
θ
整理得
k1
a c θ
k1a 2 k2b 2 mgc n mc 2
m
例：在图示系统中，弹簧长l，其质量ms ，质量块m， 求弹簧的等效质量及系统的固有频率。
（1）写出运动微分方程
（2）阻尼固有频率，临界阻尼系数
解：广义坐标θ，受力分析 力矩平衡：
m l l c a a k b b 0
ml ca kb 0
2 2 2
2n x n 2 x 0 x
c a b l k m
例题：偏心质量系统，共振时 测得最大振幅为0.1m，由自由 衰减振动测得阻尼系数为
m 10% 0.05 ，假定 M
k 2
c e m
t
x
k 2
求：
（1）偏心距 e，
me 2 sin t
M
x
（2）若要使系统共振时振幅为
0.01m，系统的总质量需要增加多少？
k
c
解：（1）共振时最大振幅
f A
动力学方程
mx k ( x x f ) 0
mx kx (kbd / a ) sin t
X
振幅：
kbd / a 1 bd 1 k 1 r2 a 1 r2
例题：机器安装在弹性支承上 ，已测得固有频率 fn=12.5Hz ，阻尼比 =0.15 ，参与振动的质量是 880kg ，机器转速 n=2400r/min ，不平衡力的幅值 1470N ； 求：1）机器振幅 2）主动隔振系数 3）传到地基 上的力幅 2 n 1 解：1）频率比： r 60 2 f 3.2 n n
n t1
x0e
1 2
d
x1 x(t1 ) x0e
n t1
x0e
1 2
由题设质量块最大位移为初始位移的 10％，可知
x1 e x0
1Hale Waihona Puke Baidu2
10%
解得：
0.59
例： 小球质量 m ， 刚杆质量不计 求：
a b l c k m
2
例：阻尼缓冲器
平衡位置
静载荷 P 去除后质量块 越过平衡位置得最大位移 为初始位移的 10％
k
P x0 m c
0
x
求：
缓冲器的相对阻尼系数ζ
解：由题知 x(0) 0 ，设x(0) x0 x0 n x0 t x(t ) e ( x0 cos d t sin d t ) d
n
fn 1/ 20
无阻尼时系统振幅
F 1 X k 1 r2
X F 1 k (1 r 2 ) 2 (2 r ) 2
有阻尼时系统振幅
无阻尼与有阻尼系统振幅比为
X 2 r 2 2 0.51 0.8 2 1 ( ) 1 ( ) 2.48 2 2 X 1 r 1 0.8
1 me 0.1 (m) 2 M
e 0.1 (m)
（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m
1 me 0.01 (m) 2 M M
1 m 0.1 0.01 (m) 2 0.05 M M
m 0.1 M
M 9 M
M 9 M
例题1：
汽车的拖车在波形道路 x 上行驶，已知拖车的质 m 0 c 量满载时为 m1 =1000kg， k/2 k/2 x 空载时为 m2 =250kg， x f 悬挂弹簧的刚度为 f k =350kN/m，阻尼比在 l 1 0.5 满载时为 ， 2 z 车速为 v = 100 km/h， x f a sin l 路面呈正弦波形，可表示为
T
t
求系统响应
解：
F0 a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n 1 0
bn sin nt
n 1
F (t )
F0
T /2
T
t
2 T =0 a0 T 0 F (t )dt 2 T an 0 F (t ) cos ntdt T 2 T bn T 0 F (t ) sin ntdt
n 1
4 F0
1 n sin nt n 1,3,5
a
l
势能
1 2 2 ka mgl 1 1 2sin 2 2 2
1 (ka 2 2 mgl 2 ) 2
1 (ka 2 mgl ) 2 2
Tmax U max
max
n max
ka 2 mgl n ml 2
系统最大动能
Tmax
m
1 ) 2 1 mA2 2 c 2 m(c n 2 2
1 1 2 U1 k1 ( max a ) k2 ( max b) 2 最大弹性势能 2 2 1 1 2 U 2 mg (1 cos max )c mgc max mgcA2 最大重力势能 2 2
因此满载和空载时的振幅比：
X1 0.6 X2
例题2：已知梁截面惯性矩I， B A m 弹性模量E，梁质量不计， yA 支座A产生微小竖直振动 b a y A d sin t ，支座B不动 求：质量m的稳态振动振幅 解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度δ n g / 固有频率： xf 是因 yA 的运动而产生的质量m处的运动 x (b / a ) y (bd / a ) sin t
a0在一个周期内总面积为0 ；
=0
区间[0,T]内，F(t)关于T/2为反
对称，而cosnωt关于T/2对称。
F (t ) bn sin nt
n 1
F (t )
F0
0 T /2
2 bn F (t ) sin ntdt T 0
T
F0
T 4
T
t
区间
内，F(t)关于 对称， T sin nt 4 而 n 取偶数时， 关于 反对称； T 3T 区间 内，F(t) 关于 对称， 3T sin nt 4 而 n 取偶数时， 关于 反对称； 因此 bn=0, n=2,4,6 …
l 解：令 x 表示弹簧右端的位移， 也是质量 m 的位移。假设 弹簧各点在振动中任一瞬时 d 的位移和一根直杆在一端固 定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样， 左端距离为 的截面的位移为 x ，
l
则d 弹簧的动能为
1 ms dTs d 2 l l
x