解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘

解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘

作者：黄伟军

来源：《广东教育·高中》2012年第01期

在平面解析几何这个知识版块里，定点、定值与最值问题历来都是中学数学中的重点问题，同时又是高考的热点问题，常考常新.据统计2011年高考各省市（区）解析几何大题中涉及考查定点、定值与最值问题的就有10个省份左右.为帮助2012届的高三考生在复习中能更好地把握这三个问题，探索这三种类型问题的解题规律，本文特地详细介绍了这三种类型问题的基本概念、分类，并结合典型的高考试题、各地最新模拟试题给予剖析、小结归纳，并且给出相应的变式题目，让同学们小试牛刀，相信对同学们的复习有一定的帮助.

一、解析几何中的定点、定值问题

解析几何中的定点、定值问题一般是指在一定的情境下，不随其它因素的改变而改变的量．从近几年的新课标高考题来看，定点、点值问题多数以选择、填空题的形式出现，考查特殊与一般的转化思想，也有以证明等解答题面目出现，着重考查逻辑推理能力．处理定点、点值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定点、定值，然后给以证明．值得注意的是，解析几何中的定点、定值问题与一般几何证明不同，它的结论中没有确定的定点、定值对象，所以探求定点、定值成为首要任务.其一，要有一定量的基本图形、基本结论作基础，先设一般问题成为一个特殊问题，动中取静，使图形极端化（考虑图形的特殊位置和临界位置等），从而求得定点、定值，然后，从图形或数据的直观观察中，获得合乎情理的猜想，再进行逻辑证明；其二，要注意前面解答结论中的暗示功能和桥梁作用.

由于解析几何中的定点、定值问题在解题之前不知道定点、定值的结果，因而更增添了题目的神秘色彩，因而是颇有难度的问题，解决这类问题时，要运用辩证的观点去思考分析，在“变”中寻求“不变”，用特殊探索法（即用特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定点、定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.另外，有许多定点、定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定点、定值，还可以为我们提供解题的线索.

例1．已知抛物线y2=2px（p＞0），问：在轴的正半轴上是否存在一点M，使得过M点的抛物线的任意一条弦P1P2都有∠P1OP2=■（O为坐标原点）？请说明理由.

分析：这是一道与探索性相结合的定点问题，通过阅读题意我们发现几个关键词：“正半轴”，“任意一条弦”，抛物线y2=2px（p＞0）的开口向右，先假设满足题设条件的点M存

在，并求出M的坐标，然后证明过M点的任意一条直弦P1P2都有∠P1OP2=■，也就是先证

明存在性，后证明任意性.

假设满足条件的点M存在，设M（x0 ，0），P1（x1 ，y2），P2（x2 ，y2），则当

P1P2⊥OM时，应有∠P1OP2=■，∠P1OM=■，此时P1（2p ，2p），从而有M（2p ，0），

这表明若满足题设条件的点M存在，其坐标只能是（2p ，0），设P1P2是过点（2p ，0）的

任意一条弦，其斜率为k，则P1P2的方程为y=k（x-2p），代入y2=2px得k2x2-

2（2k2+1）px+4k2p2=0.

由韦达定理可得x1x2=4p2，又y1y2＜0，y2=2px1，y22=

2px2，故y1y2=-■·■=-4p 2，

因为x1x2+y1y2=4p 2-4p2=0，故∠P1OP2=■，这表明过点（2p ，0）的任意一条弦P1P2

都满足∠P1OP2=■，综上所述，在x轴的正轴上存在唯一的一点M（2p ，0）满足题设条件.

点评：本题从特殊情形入手，探求了解题的目标，再对一般情况给以证明，过程自然流畅.

牛刀小试1：已知椭圆C的方程为■+y2=1，A，B为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l∶x=2■于E，F两点.证明：以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点.

解析：由题可得A（-2 ，0），B（2 ，0）.设P（x0 ，y0），直线AP的方程为y=■

（x+2），令x=2■，则y=■，即E（2■，■）；

直线BP的方程为y=■（x-2），

令x=2■，则y=■，即F（2■，

■）；

设点M（m，0）在以线段EF为直径的圆上，则■·■=0，（m-2■）2+■=0，∴（m-2■）

2=■，而■+y20=1，即4y20=4-x20，

∴（m-2■）2=1，∴m=2■+1或m=2■-1.

所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点（2■＋1，0）或（2■-1，0）.

例2．已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且■=?姿■(?姿＞0)，

过A，B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.证明■=■为定值.

分析：我们知道当题目给出定值时，这就是单纯的证明问题，这类问题容易下手解答；当题目未给出具体定值时，还需要找出这个定值,或用特殊化法猜测出这个定值后，再予以证明，因此本题应属于后一种情形，我们不妨令?姿=1，当?姿=1时，弦AB为抛物线x2=4y的通径，从对称性看，S的最小值必在特殊点（位置）取到，所以FM⊥AB，即得到■=■为定值0，即我们要证的定值为零.

证明：由已知条件，得F（0，1），?姿＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由■=?姿■，得（-x1，1-y1）=?姿（x2，y2-1），

∴-x1=?姿x2， ?譹?訛1-y1=?姿（y2-1）. ?譺?訛

将①式两边平方，并把y1=■x21，y2=■x22代入，

得y1=?姿2y2，③

解②③式得y1=?姿，y2=■，且有x1x2=-?姿x22=-4?姿y2=-4.

∵抛物线方程为y=■x2，求导得y′=■x，

∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是y=■x1（x-x1）+y1，y=■x2（x-x2）+y2，即y=■x1x-■x21，y=■x2x-■x22.

∴两条切线的交点M的坐标为（■，■）=

（■，-1）．

∴■·■=（■，-2）·（x2-x1，y2-y1）=■（x22-x21）-2（■x22-■x21）=0．

即■·■为定值0．

点评：解答本题的关键是令?姿=1，再探讨出■·■为定值0，这为我们解题指明了前进的方向.

牛刀小试2：已知动直线l与椭圆C: ■+■=1交于P（x1 ，y1）、Q（x2 ，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=■,其中O为坐标原点.证明x21+x22和y21+y22均为定值.

证明：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y2=-y1因为P（x1 ，y1）在椭圆上，因此■+■=1. ①