解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘

解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘作者：黄伟军来源：《广东教育·高中》2012年第01期在平面解析几何这个知识版块里，定点、定值与最值问题历来都是中学数学中的重点问题，同时又是高考的热点问题，常考常新.据统计2011年高考各省市（区）解析几何大题中涉及考查定点、定值与最值问题的就有10个省份左右.为帮助2012届的高三考生在复习中能更好地把握这三个问题，探索这三种类型问题的解题规律，本文特地详细介绍了这三种类型问题的基本概念、分类，并结合典型的高考试题、各地最新模拟试题给予剖析、小结归纳，并且给出相应的变式题目，让同学们小试牛刀，相信对同学们的复习有一定的帮助.一、解析几何中的定点、定值问题解析几何中的定点、定值问题一般是指在一定的情境下，不随其它因素的改变而改变的量．从近几年的新课标高考题来看，定点、点值问题多数以选择、填空题的形式出现，考查特殊与一般的转化思想，也有以证明等解答题面目出现，着重考查逻辑推理能力．处理定点、点值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定点、定值，然后给以证明．值得注意的是，解析几何中的定点、定值问题与一般几何证明不同，它的结论中没有确定的定点、定值对象，所以探求定点、定值成为首要任务.其一，要有一定量的基本图形、基本结论作基础，先设一般问题成为一个特殊问题，动中取静，使图形极端化（考虑图形的特殊位置和临界位置等），从而求得定点、定值，然后，从图形或数据的直观观察中，获得合乎情理的猜想，再进行逻辑证明；其二，要注意前面解答结论中的暗示功能和桥梁作用.由于解析几何中的定点、定值问题在解题之前不知道定点、定值的结果，因而更增添了题目的神秘色彩，因而是颇有难度的问题，解决这类问题时，要运用辩证的观点去思考分析，在“变”中寻求“不变”，用特殊探索法（即用特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定点、定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.另外，有许多定点、定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定点、定值，还可以为我们提供解题的线索.例1．已知抛物线y2=2px（p＞0），问：在轴的正半轴上是否存在一点M，使得过M点的抛物线的任意一条弦P1P2都有∠P1OP2=■（O为坐标原点）？请说明理由.分析：这是一道与探索性相结合的定点问题，通过阅读题意我们发现几个关键词：“正半轴”，“任意一条弦”，抛物线y2=2px（p＞0）的开口向右，先假设满足题设条件的点M存在，并求出M的坐标，然后证明过M点的任意一条直弦P1P2都有∠P1OP2=■，也就是先证明存在性，后证明任意性.假设满足条件的点M存在，设M（x0 ，0），P1（x1 ，y2），P2（x2 ，y2），则当P1P2⊥OM时，应有∠P1OP2=■，∠P1OM=■，此时P1（2p ，2p），从而有M（2p ，0），这表明若满足题设条件的点M存在，其坐标只能是（2p ，0），设P1P2是过点（2p ，0）的任意一条弦，其斜率为k，则P1P2的方程为y=k（x-2p），代入y2=2px得k2x2-2（2k2+1）px+4k2p2=0.由韦达定理可得x1x2=4p2，又y1y2＜0，y2=2px1，y22=2px2，故y1y2=-■·■=-4p 2，因为x1x2+y1y2=4p 2-4p2=0，故∠P1OP2=■，这表明过点（2p ，0）的任意一条弦P1P2都满足∠P1OP2=■，综上所述，在x轴的正轴上存在唯一的一点M（2p ，0）满足题设条件.点评：本题从特殊情形入手，探求了解题的目标，再对一般情况给以证明，过程自然流畅.牛刀小试1：已知椭圆C的方程为■+y2=1，A，B为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l∶x=2■于E，F两点.证明：以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点.解析：由题可得A（-2 ，0），B（2 ，0）.设P（x0 ，y0），直线AP的方程为y=■（x+2），令x=2■，则y=■，即E（2■，■）；直线BP的方程为y=■（x-2），令x=2■，则y=■，即F（2■，■）；设点M（m，0）在以线段EF为直径的圆上，则■·■=0，（m-2■）2+■=0，∴（m-2■）2=■，而■+y20=1，即4y20=4-x20，∴（m-2■）2=1，∴m=2■+1或m=2■-1.所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点（2■＋1，0）或（2■-1，0）.例2．已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且■=?姿■(?姿＞0)，过A，B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.证明■=■为定值.分析：我们知道当题目给出定值时，这就是单纯的证明问题，这类问题容易下手解答；当题目未给出具体定值时，还需要找出这个定值,或用特殊化法猜测出这个定值后，再予以证明，因此本题应属于后一种情形，我们不妨令?姿=1，当?姿=1时，弦AB为抛物线x2=4y的通径，从对称性看，S的最小值必在特殊点（位置）取到，所以FM⊥AB，即得到■=■为定值0，即我们要证的定值为零.证明：由已知条件，得F（0，1），?姿＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由■=?姿■，得（-x1，1-y1）=?姿（x2，y2-1），∴-x1=?姿x2， ?譹?訛1-y1=?姿（y2-1）. ?譺?訛将①式两边平方，并把y1=■x21，y2=■x22代入，得y1=?姿2y2，③解②③式得y1=?姿，y2=■，且有x1x2=-?姿x22=-4?姿y2=-4.∵抛物线方程为y=■x2，求导得y′=■x，∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是y=■x1（x-x1）+y1，y=■x2（x-x2）+y2，即y=■x1x-■x21，y=■x2x-■x22.∴两条切线的交点M的坐标为（■，■）=（■，-1）．∴■·■=（■，-2）·（x2-x1，y2-y1）=■（x22-x21）-2（■x22-■x21）=0．即■·■为定值0．点评：解答本题的关键是令?姿=1，再探讨出■·■为定值0，这为我们解题指明了前进的方向.牛刀小试2：已知动直线l与椭圆C: ■+■=1交于P（x1 ，y1）、Q（x2 ，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=■,其中O为坐标原点.证明x21+x22和y21+y22均为定值.证明：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y2=-y1因为P（x1 ，y1）在椭圆上，因此■+■=1. ①又因为S△OPQ=■，所以｜x1｜｜y1｜=■.②由①②得｜x1｜=■,｜y1｜=1此时x21+x22=3，y21+y22=2.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由题意知m≠0，将其代入■+■=1，得（2+3k2）x2+6kmx+3（m2-2）=0，其中△=36k2m2-12（2＋3k2）（m2-2）＞0，即3k2+2＞m2…………………………（?鄢）又x1+x2＝-■，x1x2＝■.所以｜PQ｜=■·■=■·■.因为点O到直线l的距离为d=■,所以S△OPQ=■｜PQ｜·d=■■·■·■=■.又S△OPQ=■，整理得3k2+2=m2，且符合（?鄢）式，此时x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-■）2-2×■=3，y21+y22=■（3-x21）+■（3-x22）=4-■（x21+x21）=2.综上所述，x21+x21=3，y21+y22=2，结论成立.二、解析几何中的最值问题解析几何中的最值问题，是历年新课标高考重点考查的知识点之一，其题型比较灵活，可以有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、向量、数列、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学各分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．最值问题的解答能充分检验考生的运算能力，分析问题和解决问题能力．求最值问题可以分为两类：一是距离、面积的最值问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之相关的一些问题，在探求最值问题时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解，同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件等.例 3．已知椭圆G∶■+y2=1.过点（m,0）作圆x2+y2=1的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将｜AB｜表示为m的函数，并求｜AB｜的最大值.分析: 本题是求距离的最值问题，解答的关键是充分利用直线与椭圆的位置关系得到｜AB｜的表达式，再根据m的取值利用均值不等式则可求出｜AB｜的最大值.解析：（Ⅰ）由已知得a=2，b=1所以c=■-■，所以椭圆G的焦点坐标为（-■，0）（■，0）离心率为e=■=■.（Ⅱ）由题意知，｜m｜≥1.当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为（1，■），（1，-■），此时｜AB｜=■.当m=－1时，同理可得｜AB｜=■.当｜m｜＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），由y=k（x-m），■+y2=1. 得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设A，B两点的坐标分别为（x1 ，y1），（x2 ，y2），则有x1 +x2=■，x1x2=■.又由l与圆x2+y2=1相切，得■=1，即m2k2=k2+1.所以｜AB｜=■=■=■.由于当m=±3时，｜AB｜=■，所以｜AB｜=■，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞).因为｜AB｜=■=■≤2，且当m＝±■时，｜AB｜=2，所以｜AB｜的最大值为2.点评：解答第（II）问时应注意使用均值不等式求最值的条件，即一定、二正、三相等. 解析几何的最值问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.牛刀小试3: 已知M为椭圆■＋■＝1上的一点，F为椭圆的右焦点，以M为圆心，MF长为半径作圆M，若过点E(-1,0)可作圆M的两条切线EA,EB（A，B为切点），求四边形EAMB面积的最大值．解析:设M (x0 ,y0)，圆M：(x -x0)2+(y-y0)2=r2，其中r=｜MF｜=■.由两切线存在可知，点E在圆M外，所以，■＞■，即x0＞0，又M (x0 ,y0)为椭圆C上的点，所以0＜x0≤2．而｜MF｜=■=■｜x0-4｜，所以1≤｜MF｜＜2，即1≤r＜2．E（-1，0）为椭圆的左焦点.根据椭圆定义知，｜ME｜+｜MF｜=4，所以｜ME｜=4-r，而｜MB｜=｜MF｜= r，所以在直角三角形MEB中，｜ EB｜=■=2■，S△MEB=■｜EB｜·｜MB｜=r■，由圆的性质知，四边形EAMB面积S=2S△MEB=2r■，其中1≤r＜2．即S=2■（1≤r＜2）．令y=-2r3+4r2（1≤r＜2），则y′=-6r2+8r=-2r（3r-4），当1＜r＜■时，y′＞0，y=-2r3+4r2单调递增；当■＜r＜2时，y′＜0，y=-2r3+4r2单调递减．所以，当r=■时，y取极大值，也是最大值，此时Smax=2■=■■．（作者单位：广东省五华县五华中学）责任编校徐国坚。