第三章 无限长单位脉冲响应1
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H a ( j ) 0 s 2
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
设计方法：
1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变 换成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成 熟，模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设 计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字 域，作为设计数字滤波器的工具。
H (Z ) ai z i
i 0 M
1 bi z i
ω c ωr
通带
阻带
1 1 | H (e ) | 1, c | H (e ) | 2 ,
j
j
r
在具体技术指标中，往往用通带波动δ 和最小 阻带衰减At来表示。
| H (e j ) |max 1 20 lg 20 lg 20 lg(1 1 ) j | H (e ) |min 1 1 At 20 lg 1 | H (e ) |max
P104
小结 1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变 换是线性的，ω ＝Ω Τ ，ω 与Ω 是线性关系。
因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话 ，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响 应与频率的关系。
H (e ) Ha ( j)
j
/T
例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响 应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模 拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿， 一般使用脉冲响应不变法。
j
c
20 lg
1
2
20 lg 2
r
式中，通 带中| H (e j ) |max 1， 阻带带| H (e j ) |max 2
数字滤波器的数学描述：
1)差分方程
y (n) ai x(n i) bi y (n i)
i 0 i 1
i 1
N
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
一般M N
2）最优化设计方法
分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则 | H (e j ) | ，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 j （与所要求的理想频率响应 | H d (e ) | 的均方 2 误差最小， M
n 0 i 1
N
si nT
z
n
Ai (e z )
siT i 1 n 0
N
1 n
第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，
1 (e z ) siT 1 1 e z
si T
1 k k
必有
(e z )
siT
1 k
k
0,
所以有
Ai H ( z) siT 1 z i 1 1 e
1 i 1 N
u (t )
单位阶跃
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
h(n) ha(nT ) Ai e
i 1
N
si nT
u(n) Ai (e ) u (n)
siT n i 1
N
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
H ( z ) Ai e
N
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
1 2 ˆ ( s) Ha Ha s j T m T m ˆ ① 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与模拟信号 ha (t )
的拉氏变换
H a (s)
之间的关系。
ˆ ② 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与采样序列 h (n)的 Z 变换 H (z ) 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。
1 T 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
模拟滤波器的频率响应为:
2 2 H a ( j) H (s) s j ( j 1)( j 3) (3 2 ) j 4
图a所示
数字滤波器的频率响应为:
H (e
i 1
ji
) H d (e
ji
)
min
此外还有其他多种误差最小准则， b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 a i 和 bi 通过不断地迭代运算，改变 a 、 b ， i i 直到 满足要求为止。
以上两种设计方法中，着重讲第一种， 因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务 与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通 及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是 “模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中， 采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机 技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐 增多。
T
2
r eT ,
T 的横带部 S平面上每一条宽为 分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面 上:
每一横带的左半部分映射到Z平面单位 圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平 j 面单位圆以外， j 轴映射到单位圆上， 轴上每一段 2 T 都对应于绕单位圆一周 。
j
3 T
j Im(z )
N
N
2)系统函数
H (Z ) ai z i
i 0 M
1 bi z i
i 1
N
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
一般M N
分类:
1) 按计算方法分类: 递归系统 ，非递归系 统 2) 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR 3) 按频带分类： 低通 , 高通 ,带通 ,带阻，全 通滤波器
3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映 射后得到的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓 效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很 好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应 越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不 衰减，因此将完全混淆在低频响应中 s ，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 的频带 2 ，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加 设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率 线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。
H (e ) H ( z) z e j
j
(e T e 3T )e j T 3T j 4T j 2 1 (e e )e e e
H (e j ) 与采样间隔T有关,如图b, 显然
T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不 计,为什么混迭呢?
§3.1
根据模拟滤波器设计IIR滤波器
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的 模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器系统函数 H(z)，这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这 种映射变换应遵循两个基本原则： 1）H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的 虚轴应映射到Z平面的单位圆 e j 上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H(z)后保持不变， 即S平面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单位 圆以内|Z|<1。
数字滤波器的设计步骤：
i
1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近 这个性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 ai 、bi 或零极点ci 、di ，以使滤波器满 足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。 包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、 频率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合 适的字长和有效数字的处理方法等(第五章)。
Ha ( j ) T
0
H ( e j )
0
脉冲响应不变法中的频响混淆
例 将一个具有如下系统函数
2 1 1 H (s) ( s 1)(s 3) s 1 s 3
的模拟滤波器数字化。
解： H ( z )
1 1 1 T 1 3T 1 z e 1 z e
第三章 无限长单位 脉冲响应（IIR）滤波 器设计
概述
许多信息处理过程，如信号的过滤，检 测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是 数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系 统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输 入的数字序列通过一定的运算后转变为另一 组输出的数字序列。实现方法主要有两种： 数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。
st ˆ ( s) Ha [ha (t ) (t nT )]e dt n
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n)e nsT
H ( z)
下面讨论两种常用的映射变换方法： 一、脉冲响应不变法(冲激响应不变法) 利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使 数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不 同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使 数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤 波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。 如以 Ha(s) 及 H(z)分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，一个模拟滤波器的系统函数可以表 达部分分式形式。
0
T
0
Re(z )
T
T
3
S 平面
: ~
Z 平面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延 拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关 系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并 没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射 关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。 混迭： 还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模 拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：
H z z e ST
1 ˆ ( s) H s j 2 m Ha a T m T
He
j
1 2m H a j j T m T
正如第一章的采样定律中所讨论的， 如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率 ΩS/2 以内， 即
二、双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应 关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平 面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除 多值性，也就消除了混淆现象。
计算 H(Z) : 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函 数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母 的阶数高于分子阶数 N＞M，则可表达为部分分式形 N 式； A
H a ( s)
i 1
i
s si
其拉氏反变换为：
ha (t ) L ( H a ( s)) Ai e si t u (t ),
n
h( n ) z n
s平面与z平面的映射关系
ze
sT
以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换 为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变 换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先 对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 zeS T 的映射 关系映射到 Z 平面上。
稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左 半平 面，即 Re[si]＜0 , 那么变换后H(Z)的极点 e siT sT R ( s )T 也都在单位圆以内，即 e i e e i 1 , 因此数字滤波器保持稳定。
映射关系 zeS T
令
则
：
j
z re
,
s j
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
设计方法：
1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变 换成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成 熟，模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设 计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字 域，作为设计数字滤波器的工具。
H (Z ) ai z i
i 0 M
1 bi z i
ω c ωr
通带
阻带
1 1 | H (e ) | 1, c | H (e ) | 2 ,
j
j
r
在具体技术指标中，往往用通带波动δ 和最小 阻带衰减At来表示。
| H (e j ) |max 1 20 lg 20 lg 20 lg(1 1 ) j | H (e ) |min 1 1 At 20 lg 1 | H (e ) |max
P104
小结 1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变 换是线性的，ω ＝Ω Τ ，ω 与Ω 是线性关系。
因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话 ，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响 应与频率的关系。
H (e ) Ha ( j)
j
/T
例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响 应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模 拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿， 一般使用脉冲响应不变法。
j
c
20 lg
1
2
20 lg 2
r
式中，通 带中| H (e j ) |max 1， 阻带带| H (e j ) |max 2
数字滤波器的数学描述：
1)差分方程
y (n) ai x(n i) bi y (n i)
i 0 i 1
i 1
N
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
一般M N
2）最优化设计方法
分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则 | H (e j ) | ，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 j （与所要求的理想频率响应 | H d (e ) | 的均方 2 误差最小， M
n 0 i 1
N
si nT
z
n
Ai (e z )
siT i 1 n 0
N
1 n
第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，
1 (e z ) siT 1 1 e z
si T
1 k k
必有
(e z )
siT
1 k
k
0,
所以有
Ai H ( z) siT 1 z i 1 1 e
1 i 1 N
u (t )
单位阶跃
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
h(n) ha(nT ) Ai e
i 1
N
si nT
u(n) Ai (e ) u (n)
siT n i 1
N
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
H ( z ) Ai e
N
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
1 2 ˆ ( s) Ha Ha s j T m T m ˆ ① 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与模拟信号 ha (t )
的拉氏变换
H a (s)
之间的关系。
ˆ ② 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与采样序列 h (n)的 Z 变换 H (z ) 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。
1 T 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
模拟滤波器的频率响应为:
2 2 H a ( j) H (s) s j ( j 1)( j 3) (3 2 ) j 4
图a所示
数字滤波器的频率响应为:
H (e
i 1
ji
) H d (e
ji
)
min
此外还有其他多种误差最小准则， b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 a i 和 bi 通过不断地迭代运算，改变 a 、 b ， i i 直到 满足要求为止。
以上两种设计方法中，着重讲第一种， 因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务 与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通 及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是 “模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中， 采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机 技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐 增多。
T
2
r eT ,
T 的横带部 S平面上每一条宽为 分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面 上:
每一横带的左半部分映射到Z平面单位 圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平 j 面单位圆以外， j 轴映射到单位圆上， 轴上每一段 2 T 都对应于绕单位圆一周 。
j
3 T
j Im(z )
N
N
2)系统函数
H (Z ) ai z i
i 0 M
1 bi z i
i 1
N
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
一般M N
分类:
1) 按计算方法分类: 递归系统 ，非递归系 统 2) 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR 3) 按频带分类： 低通 , 高通 ,带通 ,带阻，全 通滤波器
3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映 射后得到的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓 效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很 好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应 越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不 衰减，因此将完全混淆在低频响应中 s ，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 的频带 2 ，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加 设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率 线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。
H (e ) H ( z) z e j
j
(e T e 3T )e j T 3T j 4T j 2 1 (e e )e e e
H (e j ) 与采样间隔T有关,如图b, 显然
T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不 计,为什么混迭呢?
§3.1
根据模拟滤波器设计IIR滤波器
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的 模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器系统函数 H(z)，这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这 种映射变换应遵循两个基本原则： 1）H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的 虚轴应映射到Z平面的单位圆 e j 上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H(z)后保持不变， 即S平面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单位 圆以内|Z|<1。
数字滤波器的设计步骤：
i
1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近 这个性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 ai 、bi 或零极点ci 、di ，以使滤波器满 足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。 包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、 频率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合 适的字长和有效数字的处理方法等(第五章)。
Ha ( j ) T
0
H ( e j )
0
脉冲响应不变法中的频响混淆
例 将一个具有如下系统函数
2 1 1 H (s) ( s 1)(s 3) s 1 s 3
的模拟滤波器数字化。
解： H ( z )
1 1 1 T 1 3T 1 z e 1 z e
第三章 无限长单位 脉冲响应（IIR）滤波 器设计
概述
许多信息处理过程，如信号的过滤，检 测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是 数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系 统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输 入的数字序列通过一定的运算后转变为另一 组输出的数字序列。实现方法主要有两种： 数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。
st ˆ ( s) Ha [ha (t ) (t nT )]e dt n
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n)e nsT
H ( z)
下面讨论两种常用的映射变换方法： 一、脉冲响应不变法(冲激响应不变法) 利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使 数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不 同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使 数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤 波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。 如以 Ha(s) 及 H(z)分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，一个模拟滤波器的系统函数可以表 达部分分式形式。
0
T
0
Re(z )
T
T
3
S 平面
: ~
Z 平面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延 拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关 系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并 没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射 关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。 混迭： 还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模 拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：
H z z e ST
1 ˆ ( s) H s j 2 m Ha a T m T
He
j
1 2m H a j j T m T
正如第一章的采样定律中所讨论的， 如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率 ΩS/2 以内， 即
二、双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应 关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平 面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除 多值性，也就消除了混淆现象。
计算 H(Z) : 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函 数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母 的阶数高于分子阶数 N＞M，则可表达为部分分式形 N 式； A
H a ( s)
i 1
i
s si
其拉氏反变换为：
ha (t ) L ( H a ( s)) Ai e si t u (t ),
n
h( n ) z n
s平面与z平面的映射关系
ze
sT
以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换 为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变 换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先 对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 zeS T 的映射 关系映射到 Z 平面上。
稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左 半平 面，即 Re[si]＜0 , 那么变换后H(Z)的极点 e siT sT R ( s )T 也都在单位圆以内，即 e i e e i 1 , 因此数字滤波器保持稳定。
映射关系 zeS T
令
则
：
j
z re
,
s j