第三章 无限长单位脉冲响应1
微积分讲座---Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
特征根为：
1 1, 2 3
所以：
h(k) [C1(1)k C2 (3)k ] (k)
代入初始值得：
h(0) C1 C2 3
h(1) C1 3C2 11
解得：
C1 1,C2 4
由于h(0), h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足
h(k)隐含的条件：
f(k)=δ(k) h(-1) = h(-2) = 0 (对二阶系统)
基本信号：单位脉冲序列δ(k) 基本响应：单位脉冲响应h(k)
2
3.2 基本信号与基本响应 2.求法
第三章 离散系统的时域分析
由于单位脉冲序列δ(k)仅在k=0处等于1，而在k>0时 为零，因而此时单位脉冲响应h(k)与系统的零输入响 应的函数形式相同。这样就把求解h(k)的问题转换为 求解齐次方程的问题。而k=0处的值h(0)可按零状态的 条件由差分方程确定。
右边加法器的输出为：
y(k) 3x(k) x(k 1)
4
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
y(k) 4y(k 1) 3y(k 2) 3 f (k) f (k 1)
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1) (1)
初始状态： h(1) h(2) 0
k=0和k=1。所以系统的单位脉冲响应为：
h(k) [1 4(3)k ] (k)
6
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.13
第三章 离散系统的时域分析
单位脉冲响应的定义和求解
主要内容：
1. 单位脉冲响应的定义 2. 单位脉冲响应的求解
基本要求：
自动控制原理第三章答案
n
临界阻尼：ts 4.75T 4.75
1
4.75
n
1 0.95s 5
3-3 原系统传递函数为 G（s） 0.2s 1 ， 现采用如题所示的负反馈方式，欲将反 馈系统的调节时间减小为原来的0.1倍， 并且保证原放大倍数不变，试确定参数 K0 ， KH的值。 解：原系统传递函数 新系统传递函数
K 10
0
1 10K 10 （时间常数为
H
1 ） 10
K 0.9
H
问题 非标准形式 10K 0 1 1 10K H , 0 .2 s 1 Ts 1 1 10K H
3
3-4
已知系统的单位阶跃响应为 试求取系统的传递函数
y(t ) 1 e
t
e
2t
Y(s) X（s)
n
2
问题 1、没有完成 2、计算错误
0.146
8
1 KK
1
2
3-9 设题3-9图（a)所示的单位 阶跃响应如题3-9图（b)所示。 试确定系统参数K1，K2和a。
解：据题意
K K （s） s(s a ) K K K K s as K s 2 s 1 s(s a )
（s） s（0.1s 1)
K 1 s（0.1s 1) K 10K 0.1s s K s 10s 10K
2 2
对应二阶系统标准形式，取ζ=1,得
问题
1、没有求调节时间 2、临界阻尼，调节时间 计算错误
2 10 5
n n
5 10K K 2.5 10
t
p
0.1
1.1 1.0 100% 10% 1.1 根据二阶欠阻尼系统指标计算公式
自动控制原理第三章课后习题答案(最新)汇总
3-1设系统的微分方程式如下:(1)0.2c(t) 2r(t)单位脉冲响应：C(s) 10/s g(t) 103t3 3tc(t) 1 e cos4t e si n4t413-2 温度计的传递函数为 —，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的Ts 198%的数值。
若加热容器使水温按 10(C/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数由一阶系统阶跃响应特性可知： c(4T) 98 o o ，因此有 4T 1 min ，得出T 0.25 min 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为(s)1K 1TG(s)—1(s) Tsv 1用静态误差系数法，当r(t) 10t 时，e ss10 10T 2.5 C oK(2) 0.04c(t)0.24c(t) c(t)r(t)试求系统闭环传递函数① 部初始条件为零。
解：(s),以及系统的单位脉冲响应 g(t)和单位阶跃响应 c(t)。
已知全(1)因为 0.2sC(s)2R(s) 闭环传递函数(s)C(s) 10R(s) s单位阶跃响应c(t) C(s) 10/s 2c(t) 10t t 0(2) (0.04s 20.24s 1)C(s) R(s)C (s )闭环传递函数(s)C(s) R(s)120.04s0.24s 1单位脉冲响应:C(s)120.04s 2 0.24s 1g(t)25 e 33tsi n4t单位阶跃响应h(t) C(s)25 s[(s 3)216]1 s 6 s (s 3)216(s)1 Ts 1解法二依题意，系统误差疋义为e(t) r(t) c(t)，应有e(s)E(s)1 C(s)R(s)11 TsR(s) Ts 1 Ts 13-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为c(t) 10 12.5e 1.2t sin(1.6t 53.1o)试求系统的超调量c%、峰值时间t p和调节时间t'si n( 1n t )t p Jl- 1.96(s■1 2n1.63.5 3.5t s 2.92(s)n 1.2或：先根据c(t)求出系统传函，再得到特征参数，带入公式求解指标。
自动控制原理第三章课后习题 答案()
3-1 设系统的微分方程式如下：（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C `闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Tss s s G 1)(1)()(=Φ-Φ=⎩⎨⎧==11v TK ！用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T sTs Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 203-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
第三章 IIR滤波器设计方法.ppt
u的单位圆内部必须对应于z 的单位圆内部。 3）G(z -1) 必须是全通函数。 为使两个函数的频率响应满足一定的变换要求，z 平面的
单位圆应映射到 u 平面的单位圆上，若以 e jθ 和 e jω 分别表 示u平面和z 平面的单位圆，则由上式为
波器为
Ha
(s)
1
1
s
解 首先确定上下边界频率
T 2f
fs
1 2f1 / fs 2 105/ 1000 0.21
2 2f2 / fs 2 95/ 1000 0.19
求中心频率
coso
sin(0.21 0.19 ) sin0.21 sin0.19
解：确定数字频域的上下边带的角频率
1 2f1 / f s 0.55 2 2f 2 / f s 0.45 3 2f 3 / f s 0.6
T 2f
fs
求中心频率：
cos0
sin0.45 0.55
sin 0.45 sin 0.55
0.9695(z2 1.6188z 1) z2 1.5695z 0.9390
17
3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的 频率变换
前面讨论由模拟低通滤波器原型来设计各种数字滤波器 的方法，该设计方法同样也可直接在数字域上进行。
数字低通滤波器 原型函数Hp(z)
变换
各种数字滤 波器的H(z)
2
0.6 0.2
cos(
)
a
2
0.6 0.2
第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
ˆ H a ( s)
[ha (t ) (t nT )]e
n
st
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n )e nsT
H ( z)
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
填空题答案
1、 信号常分为 模拟信号 ， 连续时间信号 ， 离散时间信号 ， 数字信号 。
2、 模拟信号是 时间 连续，幅度也 连续 的信号。
3、 连续时间信号是在规定的 连续 时间内，信号的 幅度 可以连续的，也可以是 离散的信号。
4、 离散时间信号是在一组 离散 的时间下，表示信号 数值 的函数。
5、 数字信号是在 时间 上和 幅度 上都经过 量化 的信号。
6、 系统是指反应信号处理 因果关系的设备或运算 。
7、 系统可分为 连续时间系统 ， 离散时间系统 ， 模拟系统 ， 数字系统 。
8、 连续时间系统是指输入输出皆为 连续时间信号 的系统。
9、 离散时间系统是指输入输出皆为 离散时间信号 的系统。
10、模拟系统是指输入输出皆为 模拟信号 的系统。
11、数字系统是指输入输出皆为 数字信号 的系统。
12、处理就是 变换 ，数字信号处理就是用 数字 的方法，对信号的波形进行变换。
13、数字信号处理是 多种计算机算法的 汇集，因此可以认为它是 计算数学 的另一个分支。
14、数字信号处理的主要内容是 数字滤波 ， 谱分析 。
15、数字信号处理的主要理论为 离散时间线性非时变系统 ， 离散傅里叶变换 。
16、数字信号处理的过程可分为 前置取样 ， A/D ， 数字信号处理 ， D/A 。
17、数字信号处理突出的优点 精度高 ， 灵活性大 ， 可靠性强 ， 易于大规模集成，时分复用 。
1、信号的取样可分为 实际取样 ， 理想取样 。
2、 理想 取样可以看出是实际取样的 科学的本质 的抽象。
3、著名的山农取样定理是h s Ω≥Ω2。
4、折叠频率＝0Ω2/s Ω。
5、奈奎斯特频率＝h Ω 信号中最高频率 。
6、奈奎斯特取样频率为h Ω2。
7、离散时间信号是用 序列 表示8、序列的运算规则有 积 ， 加减 ， 标乘 ， 延时 ， 分支运算 。
9、常用典型序列 单位取样序列 ， 单位阶跃序列 ， 矩形序列 ， 正弦序列 ，实指数序列 ， 复指数序列 。
自动控制原理第三章习题参考答案
Y (s) 1 1 600 ( s) 12 （ ） 2 R( s ) s 10 s 60 s 70 s 600
n 600 24.5
70 70 1.43 2 n 2 24 .5
3-7 简化的飞行控制系统结构图如下，试选择参数K1和Kt， 使系统的ωn=6，ξ=1
S2+5=0
S3 16/3 S2 5
S1 10 S0 25
s1, 2 5 j
有1对纯虚根，系统临界稳定。
3-13单位反馈系统的开环传递函数为：
K (0.5s 1) G( s) 2 s( s 1)(0.5s s 1)
确定使系统稳定的K值范围。 解：闭环传递函数为：
K (0.5s 1) ( s) 0.5s 4 1.5s 3 2 s 2 (1 0.5 K ) s K K ( s 2) 4 s 3s 3 4 s 2 ( 2 K ) s 2 K
K 速度误差系数： P lim sG ( s ) 10
s 0
速度误差：
1 e ss 0.1 Kp
3-11 已知系统的特征方程为：
3s 4 10 s 3 5s 2 s 2 0
用劳斯判据确定系统的稳定性 解：列劳斯列表 S4 3 5 2
S3 10
S2 4.7 S1 -3.26
1
2
S0 2 第1列符号变化两次， 说明有两个正根，系统不稳定。
3-12 已知Βιβλιοθήκη 统的特征方程如下，试求系统在S右半平面的根 数及虚根值。
（1） s 3s 12 s 24 s 32 s 48 0
5 4 3 2
S5 1 S4 3 S3 4 S2 12
第三章系统的时间响应分析机械工程控制基础教案
第三章系统的时间响应分析机械⼯程控制基础教案Chp.3时间响应分析基本要求(1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统⾃由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。
(2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常⽤的典型输⼊信号及其特点。
(3) 掌握⼀阶系统的定义和基本参数，能够求解⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握⼀阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。
掌握线性系统中，存在微分关系的输⼊，其输出也存在微分关系的基本结论。
(4) 掌握⼆阶系统的定义和基本参数；掌握⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；掌握⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(5) 了解主导极点的定义及作⽤；(6) 掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
(7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。
重点与难点重点(1) 系统稳定性与特征根实部的关系。
(2) ⼀阶系统的定义和基本参数，⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。
(3) ⼆阶系统的定义和基本参数；⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(4) 系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
难点(1) ⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(2) 系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
建⽴数学模型后进⼀步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。
第三章 一阶系统、二阶系统、高阶
t 0
n e t
n
1
2
sin d t t 0
2 3.临界阻尼 1 k (t ) n tent
t 0
4.过阻尼 1 k (t )
n
2 2 1
[e
( 2 1)n t
e
( 2 1Biblioteka n t]二阶系统的单位脉冲响应曲线
y (t ) 1 Ai e sit Bk e k nk t cos(dk t ) Ck e k nk t sin(dk t )
i 1 q k 1 r k 1
q
r
r
1 Ai e sit Dk e k nk t sin(dk t k )
K3
eb
1 Ra
或写成 ia
ea eb Ra
ea
ia
eb
ey
y
r
y
电动机力矩平衡方程式 d 2 d J 0 2 b0 M dt dt 其中 M K 2ia 电磁转矩
ia
M
K2
M
1
s
1 M ( s) s( J 0 s b0 )
( s)
1 J 0 s b0
ey
y
r
y
输入：输入电位计转角r(t)
输出：输出电位计转角y(t)
ey
y
r
y
输入电位计和输出电位计电压: er K0 r ey K 0 y
放大器输入电压 ev 和输出电压 ea ev er e y K 0 (r y ) ea K1ev
r y
K0
ev
K1
ea
ey
第三章数字滤波器的基本结构
k
k
k
k 1
k 1
18
其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表 示复共轭零点，dk ，dk*表示复共轭极点， M=M1+2M2，N=N1+2N2
再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶 因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例， 则得
M1
(1
pk
z
) 1 M2
(1
1k
z
1
2
k
z
2
)
H (z)
A
k 1
结构，如图3-5示。
13
A(z)
B(z)
x(n) x'(n) b0 y(n)
a z1 z1 1
a 2 z1 z1
a
z1
N 1
aN z1
图（a）
b1 b2
bM 1
bM
A(z) B(z)
x(n)
b0 y(n)
a1
z1 b1
a z1 b2
2
直
bM 1 接
b aN1 z1 M II
a z1 N
型
图（b）
图3-5 IIR数字滤波器的直接II型结构
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
k 1
k 0
其系统函数为
M
H (z)
Y (z) X (z)
bk z k
k0 N 1 ak zk
B(z) A(z)
k 1
10
式中，
B z
M
，
bk z
k
k 0
可知，
Az
1
M
1 ak zk
k 1
B实(z现) 了系统的零点；
自动控制原理第三章课后习题 答案(最新)
3-1 设系统的微分方程式如下：（1） )(2)(2.0t r t c =&（2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++&&&试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Tss s s G 1)(1)()(=Φ-Φ=⎩⎨⎧==11v TK 用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
第三章 无限长单位脉冲响应2
为了方便学习数字滤波器，先讨论几种常用的模拟低通滤波
器设计方法，高通、带通 、带阻等模拟滤波器可利用变量变换
方法，由低通滤波器变换得到。
模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数
Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。 因果系统中
Ha ( j)
0
ha
(t
)e
jt
dt
式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。
∴ Ha ( j)
不难看出
0
ha
(t
)cos
t
j sin tdt
H a (
j)
H
a
(
j)
定义振幅平方函数
A(2 )
Ha(
j) 2
Ha(
j)H
a
(
j)
A(2 ) Ha ( j)Ha ( j) H a(s)Ha (s) s j (1)
A2 1
N
K (k)K (
1 k12 )
K (k1 )K ( 1 k 2 )
1
K (k) 0
dt (1 t 2 )1/ 2 (1 k 2t 2 )1/ 2
为第一类完全椭圆积分
上面讨论了三种最常用的模拟低通 滤波器的特性和设计方法，设计时按照指 标要求，合理选用。
为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点 ，零点可选用任一半。
例：已知
A(2 )
2 2 1 4
,求对应的Ha(s)。
解：
A(s2 )
2 s2 1 s4
数字信号处理训练题
第一章习题一. 判断题1. 周期分别为N1,N2的两离散序列，在进行周期卷积后，其结果也是周期序列。
对2. FFT可用来计算IIR滤波器，以减少运算量。
错3. 相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。
正确答案是: 错4. 频率采样法设计FIR滤波器，增加过渡带采样点可增加过渡带衰减。
正确答案是: 对二、选择题1. 采样率过低时，______。
A 量化误差增加 b. 必须增加信号频率c. 产生混叠2. 滤波器的单位脉冲响应的DTFT给出了滤波器的_____。
a. 频率响应b. 幅度c. 相位3. 滤波器的单位脉冲响应的DTFT给出了滤波器的_____。
a. 频率响应b. 幅度c. 相位4. ____序列的收敛域在Ｚ平面上是一环状的。
a. 右边序列b. 双边序列c. 有限长序列5. 稳定系统的收敛域应当_______。
a. 包含单位圆b. 不包含单位圆c. 可以包含单位圆6. A/D 是_____的缩写a. asynchronous digitalb. analog to digitac. analog to discrete7. 连续信号的理想采样值是_____。
a. 连续的b. 离散的c. 时间上连续的8. 一个离散系统，a. 若因果必稳定b. 若稳定必因果c. 稳定与因果无关9. 下列哪一个不是信号的实例a. 语音b. 音乐c. 调制解调器10. 若输出不超前于输入，该系统称为______。
a. 线性b. 非线性c. 因果11. 抗混叠滤波器的目的是a. 去掉模拟信号混叠b. 等效一个高通滤波器c. 将高于采样率一半的频率分量去掉12. 抽样可以表述为______。
a. 将数字信号转化为模拟信号b. 将模拟信号转化为数字信号c. 获得模拟信号的幅度值13. 下面哪个表达式是将x(n)左移三位得到_______a. 3x(n)b. x(3n)c. x(n+3)14. 下面哪个表达式是将x(n)右移三位得到_______a. 3x(n)b. x(3+n)c. x(n-3)15. 关于线性系统的描述正确的是_____a. 遵从叠加原理b. 非时变c. 因果16. D/A变换的第一步是a. 零阶保持 b . 低通抗混叠滤波 c. 将数字代码转换为相应的模拟电平级三、计算题1. 和表示一个序列及其傅氏变换,并且为实因果序列,利用求下列各序列的傅氏变换:解:注意：当t为偶数时[ .] =2x(2n)，当t为奇数时[ .] =0分析：以频率为400Hz的正弦信号为例，分别以2000Hz和1000Hz进行采样，序列长分别为2048点和1024点，对应的频谱如图1、图2所示。
自动控制原理第三章习题参考答案
入分别为r(t)=2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。
（1）G(s)
100
(0.1s 1)(s 5)
特征方程：1+G(s)=0 0.1s2+1.5s+105=0
解：
Kv
lim sG(s) 0 s0
S2 0.1 105
r(t) 2t ess
2 Kv
r(t) 2 2t t 2
-
-
10
C(s)
s(s 1)
2s
（1）取τ1=0， τ2=0.1，计算测速反馈系统的超调量、调 节时间和速度误差。
（2）取τ1=0.1， τ2=0，计算比例微分校正系统的超调量、
调节时间和速度误差。
解（1）开环传递函数
G(s)
s2
10
(1 10 2 )s
10 s2 2s
n 10 3.162 2 1 0.316
S1 1.5 S0 105
系统稳定
Kp
lim G(s)
s0
20
Kv 0
ess
2 1 Kp
2 Kv
2 Ka
Ka
lim
s0
s 2G(s)
0
3-15已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求输 入分别为r(t)=2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。
（3）G(s) 10（2s 1)
3-6 已知控制系统的阶跃响应为：
h(t) 1 0.2e60t 1.2e10t
试确定系统的阻尼比ξ和自然频率ωn 解：对h(t)求导，得系统的单位脉冲响应为：
y(t) h’(t) 12e60t 12e10t 12（e10t - e ） 60t
自动控制原理精品课程第三章习题解(1)
3-1 设系统特征方程式：4322101000s s Ts s ++++=试按稳定要求确定T 的取值范围。
解：利用劳斯稳定判据来判断系统的稳定性，列出劳斯列表如下：4321011002105100(10250)/(5)100s T s s T s T T s ---欲使系统稳定，须有5025102500T T T ->⎧⇒>⎨->⎩ 故当T>25时,系统是稳定的。
3-2 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为,21(),t t t 和 时，系统的稳态误差(),()().ssp ssv ssa e e e ∞∞∞和22107(1)8(0.51)(1)()(2)()(3)()(0.11)(0.51)(4)(22)(0.11)s s D s D s D s s s s s s s s s ++===++++++解：（1）根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： ()(0.11)(0.51)100.050.6110D s sz s s s =+++=++=由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。
由G(s)可知，系统是0型系统，且K=10，故系统在21(),t t t 和输入信号作用下的稳态误差分别为： 11(),(),()111ssp ssv ssa e e e K ∞==∞=∞∞=∞+ (2)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： 432()6101570D s s s s s =++++=由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且2212032143450,/16.8a a a a a a a ∆=-=>∆>=以及，因此系统是稳定的。
227(1)(7/8)(1)()(4)(22)s(0.25s+4)(0.5s 1)s s D s s s s s s ++==+++++由G(s)可知，系统式I 型系统，且K=7/8,故系统在21(),t t t 和 信号作用下的稳态误差分别为：()0,()1/,()ssp ssv ssa e e K e ∞=∞=∞=∞ (3)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： 32()0.1480D s s s s =+++=由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且21203 3.20a a a a ∆=-=>因此系统是稳定的。
单位脉冲响应、单位阶跃响应
单位阶跃响应1——非振荡型
y(t)
1
0.9 y( )
误差带Δ=5%
1.05 y( )
0.95 y( )
ess
0.1 y( )
0
tr ts
ess:稳态误差 tr:上升时间 ts:调节时间
t
16
单位阶跃响应2——衰减振荡型
y(t)
误差带Δ=5%
超调量
1
y( )
0
tr
tp
ess:稳态误差 tr:上升时间 tp:峰值时间
对上式进行拉氏反变换得
t
y(t) 1 e T , t 0
T<0时， y(t)？
稳态分量
暂态分量
K≠1 时， y(t)=？
19
0.9 0.1
暂态性能指标：ts= 3T（Δ=5% ）, tr=2.2T, σp= 0
稳态指标：ess= 0
ts= 4T（Δ=2% ）
特点：T↓（极点与虚轴的距离↑） 快速性↑
属于衰减振荡
其中 tg1( 1 2 ) cos1( ) ：阻尼角（见注）
d n( 1 2 ) ：阻尼振荡频率。
1
1 2
特点：n 快速性 ； 或 振荡性
该式对 1 0 也成立，对应的y( t )? 31
,
R(s) = A
r( t )dt 1时 单位脉冲函数，记作δ(t)
8
⑤ 正弦信号
r(
t
)
A 0,
sin( t
t0
),
t0
A为振幅，ω为角频率，φ为初始相角。
s sin cos
《自动控制理论(第4版)》第三章习题参考答案
第三章习题参考答案（缺1张图）3-1 分三种情况讨论 (a) 当1>ζ时()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+----+-=-+-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---221221222211112121,122ζζζζωζωζωζζωζζωζζωζζt t n n nn n n e e t t c s s (b) 当10<<ζ时()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-=---+---=-+-=---=---22222222222121121sin 1121sin 1211cos 221,1ζζζωζωζωζωζωζζωζωζωζωζζωζζζωζωζωarctg t et t e t et t c j s j s n tnnn t nn tnnn n n n n(c) 当1=ζ时3-3 （1）())24.0,/12.2(,%286.7%,6.46==±==ζωs rad s t M n s p ；（2）())5.0,/1(,%28%,3.16==±==ζωs rad s t M n s p ；（3）s t s 15=)25.1,/4.0(,==ζωs rad n ，过阻尼系统，无超调。
3-4 s rad n /588.19,598.0==ωζ. 3-7 (1) %).2(33.3,96.1,%49.9±===s t s t M s p p(2)44.240)()(2++=s s s R s C ，s rad n /2,6.0==ωζ. 3-8 （1） t te e t g 10601212)(--+-=;(2)60070600)()(2++=s s s R s C , s rad n /49.24,429.1==ωζ. 3-10 （1）系统稳定。
()⎪⎭⎫⎝⎛++-=-=-t e t t c s n t n nn n 21222,1ωωωωω（2）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。
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N
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
1 2 ˆ ( s) Ha Ha s j T m T m ˆ ① 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与模拟信号 ha (t )
的拉氏变换
H a (s)
之间的关系。
ˆ ② 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与采样序列 h (n)的 Z 变换 H (z ) 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。
i 1
N
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
一般M N
2）最优化设计方法
分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则 | H (e j ) | ，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 j （与所要求的理想频率响应 | H d (e ) | 的均方 2 误差最小， M
1 i 1 N
u (t )
单位阶跃
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
h(n) ha(nT ) Ai e
i 1
N
si nT
u(n) Ai (e ) u (n)
siT n i 1
N
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
H ( z ) Ai e
H z z e ST
1 ˆ ( s) H s j 2 m Ha a T m T
He
j
1 2m H a j j T m T
正如第一章的采样定律中所讨论的， 如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率 ΩS/2 以内， 即
数字滤波器的设计步骤：
i
1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近 这个性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 ai 、bi 或零极点ci 、di ，以使滤波器满 足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。 包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、 频率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合 适的字长和有效数字的处理方法等(第五章)。
H (e ) H ( z) z e j
j
(e T e 3T )e j T 3T j 4T j 2 1 (e e )e e e
H (e j ) 与采样间隔T有关,如图b, 显然
T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不 计,为什么混迭呢?
j
c
20 lg
1
2
20 lg 2
r
式中，通 带中| H (e j ) |max 1， 阻带带| H (e j ) |max 2
数字滤波器的数学描述：
1)差分方程
y (n) ai x(n i) bi y (n i)
i 0 i 1
设计方法：
1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变 换成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成 熟，模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设 计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字 域，作为设计数字滤波器的工具。
H (Z ) ai z i
i 0 M
1 bi z i
第三章 无限长单位 脉冲响应（IIR）滤波 器设计
概述
许多信息处理过程，如信号的过滤，检 测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是 数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系 统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输 入的数字序列通过一定的运算后转变为另一 组输出的数字序列。实现方法主要有两种： 数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。
二、双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应 关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平 面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除 多值性，也就消除了混淆现象。
1 T 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
模拟滤波器的频率响应为:
2 2 H a ( j) H (s) s j ( j 1)( j 3) (3 2 ) j 4
图a所示
数字滤波器的频率响应为:
0
T
0
Re(z )
T
T
3
S 平面
: ~
Z 平面
应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延 拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关 系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并 没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射 关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。 混迭： 还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模 拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：
H (e
i 1
ji
) H d (e
ji
)
min
此外还有其他多种误差最小准则， b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 a i 和 bi 通过不断地迭代运算，改变 a 、 b ， i i 直到 满足要求为止。
以上两种设计方法中，着重讲第一种， 因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务 与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通 及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是 “模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中， 采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机 技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐 增多。
3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映 射后得到的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓 效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很 好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应 越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不 衰减，因此将完全混淆在低频响应中 s ，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 的频带 2 ，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加 设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率 线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。
T
2
r eT ,
T 的横带部 S平面上每一条宽为 分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面 上:
每一横带的左半部分映射到Z平面单位 圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平 j 面单位圆以外， j 轴映射到单位圆上， 轴上每一段 2 T 都对应于绕单位圆一周 。
j
3 T
j Im(z )
H a ( j ) 0 s 2
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
Ha ( j ) T
0
H ( e j )
0
脉冲响应不变法中的频响混淆
例 将一个具有如下系统函数
2 1 1 H (s) ( s 1)(s 3) s 1 s 3
的模拟滤波器数字化。
解： H ( z )
1 1 1 T 1 3T 1 z e 1 z e
N
N
2)系统函数
H (Z ) ai z i
i 0 M
1 bi z i
i 1
N
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
一般M N
分类:
1) 按计算方法分类: 递归系统 ，非递归系 统 2) 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR 3) 按频带分类： 低通 , 高通 ,带通 ,带阻，全 通滤波器
下面讨论两种常用的映射变换方法： 一、脉冲响应不变法(冲激响应不变法) 利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使 数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不 同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使 数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤 波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。 如以 Ha(s) 及 H(z)分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，一个模拟滤波器的系统函数可以表 达部分分式形式。
n
h( n ) z n
s平面与z平面的映射关系
ze
sT
以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换 为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变 换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先 对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 zeS T 的映射 关系映射到 Z 平面上。
n 0 i 1
N
si nT
z
n
Ai (e z )
siT i 1 n 0
N
1 n
第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，
1 (e z ) siT 1 1 e z
si T
1 k k
必有
(e z )
siT
1 k
k
0,
所以有
Ai H ( z) siT 1 z i 1 1 e