一元线性回归方程教案

8.5 一元线性回归案例

湘教版选修 2-3 第 8.5 节

【教学目标】

（一） 知识与技能

了解样本、样本容量、线性回归的概念，理解变量之间的相关系数的概念、 相关系数、一元线性回归直线等概念。 （二） 过程与方法

熟练利用公式求相关系数，掌握求一元线性回归直线方程 l : y = bx + a. 的方 法，加深理解线性回归模型的意义。判断变量间是否线性相关。 （三） 情感、态度与价值观

培养学生分析问题、解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力。

【教材分析】

1. 教学重点：让学生了解线性回归的基本思想和方法。

2. 教学难点：掌握建立回归模型的基本步骤。

3. 变量间的关系：

函数关系：自变量 x 确定 y 唯一确定；（确定关系）

相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的 随机性的两个变量之间的

关系称为相关关系 。

例如：在水稻产量与施肥量的关系中，施肥量是可控制变量，而水稻产量

是随机变量。因此只能说明水稻产量与施肥量是相关关系。

现实生活中相关关系大量存在，从某种意义上看，函数是一种理想的关系模型， 而相关关系式一种更为一般的情况，因此更有研究相关关系的必要了。

4. 一元线性回归分析

在具有相关关系的变量中如果因变量仅与一个变量有关，相应的统计分析成 为一元回归分析；若与因变量与多个自变量有关，称为多元线性回归分析。

5. 线性相关性检验：

（相关系数检验法）

当 r

>0 时，我们称其正相关；

当 r

xy <0 时，我们称其负相关； 当

r xy

=0 时，我们称其不相关。

教学过程教师活动学生活动

问题一：如果有两个变量X

和Y，那么这两个变量之间

有什么关系呢？答：

设计意图

引入新知

讲授新知（联系我们之前学过的知函数：涉及了两个变量，自通过对两识，哪些涉及了两个变量并变量X因变量Y，个变量之着重强调两个变量之间的随着自变量X的变化相应间关系的关系呢？）的有唯一的因变量Y与之探讨，既用身高和体重这个例子引对应复习了已出相关关系学的函数那么什么叫做相关关系函数关系知识，又呢？引出这节函数关系与相关关系之间课所要关又有什么异同点呢？相关关系注的相关那么这节课我们就一起来关系。研究一下相关关系。

在此之前，我们先一起来看

一道例题。

首先我们先一起分析一下答：通过学生表中所给数据，你能得到怎（1）随着年份的增加，船对数据的样的结论呢？只数量X也是在逐年增加观察可以

的；大概得到这是我们从表中数据直接（2）并且随着船只数量的两个变量得到的，一般情况下对于数增加，被撞死的海牛数整体间的关据的处理我们除了可以采呈现一种上升的趋势。系，但是用列表法，还可以采用图像未来更加法。那么为了更加直观的反直观便可映整体走势，下面请同学们以借助散根据表中数据在坐标系中点图来帮绘出相应各点。看看能得到助我们分什么样的结论呢？析。

（用excel绘制散点图）

我们发现绘制出的图形呈

现一个一个的散点，我们称

这样的图形为散点图。

并且从数据散点图看到y

i

有随着x的增加而沿某一

i

直线增加的趋势。并且这些

n x

2 n - x 2

∑ ( x - x )( y

- y )

∑ ( x - x ) ∑ ( y

- y )

2

x, y , ∑ x 2 , ∑ y 2 , ∑ x y 系数 r 。

散点是相对较均匀的分布 在这条直线的两侧。那么这 条直线就被我们叫做一元 线性回归直线，

讲

授 新

知

那么这条直线该如何确定 呢？（为了解决确定直线的 问题，我们先给出一些必要 的公式。）

下面介绍一个新的名词定 义——相关系数。

当 s s ≠ 0 时，…………

x y

我们称其为相关系数、并且 相关系数有如下几条性质：

x + x + ...... + x

x = 1 2 n

n

y + y + ...... + y y = 1 2 n

n

( x - x )2 + ( x - x ) 2 + ...

+ ( x - x )

s 2 = 1 2 n

x

x y + x y + ⋅⋅⋅ + x y

s =

n

- xy

1 1

2

2 n

n

xy

n

i i

r =

i =1

xy

n n

2

i i

2

=

n ∑ i =1

i

1、正相关、负相关和不相

关；（主要根据 90 至 91 页的图形加以说明）

2、.相关系数的取值为[-1,1]

3、相关系数的大小与相关

程度的关系。

既然学习了相关系数，下面 i =1 i =1

从 90 页的六个散点图中， 我们可以发现散点图的密 集程度是不一样的，并且这 种密集程度与相关系数有 着一定的联系，相关系数越 接近 1，X,Y 的线性相关性 越强，并随着 X 的增加 Y 也在线性增加。

我们就一起来解决例一中

的两个问题。

（1）答：要求解 s 和 s , s

xy x

y

（1） 首 先 我 们 先 一 起 来

计算一下例一中两

个变量 X 、Y 的相关

n n n

i i i i =1 i =1 i =1

i

所以

xy

要计算相关系数，就要求解 r = xy 哪些量呢？

（我们发现 r 很接近 1，说 xy

明被撞死的海牛数 Y 和机

动船数 X 正相关，即随着 X 的增加 Y 也是在增加的。就 此我们可以预测出机动船

979.36

88.56 ⨯11.75

≈ 0.9412