软件学院离散数学单元测试题(半群与群答案)
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近世代数单元测试题（二） （院系：软件学院 年级：2007级）
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末括号里）
1．下列运算中，哪中运算关于整数集不能构成半群（ ）。
A ．max{,}a b a b =
B ．a b b =
C ．||a b a b =-
D ． 2a b ab =
2．在自然数集合N 上定义运算*为：对任意a ，b ∈N ，a *b =a +b +a
b ，
则下面说法正确的是（ ）。
A ．
B ．
C ．
D ．
3．R 为实数集，运算*定义为：,*||a b ,a b a b ∈=⋅R ，则代数系统*,> 4．下列代数系统中，哪个是群（ ）。 A ．{1,3,4,5,9}S = ，*是模11乘法 B ．S =Q （有理数集合） ，*是普通乘法 C ．S =Z （整数集合） *是一般减法 D ． {0,1,3,5}S =，*是模7加法 5．下列代数系统,*G <>中，哪个不构成群（ ）。 A ．{1,10}G = ，*是模11乘法 B ．{1,3,4,5,9}G =，*是模11乘法 C ．G =Q （有理数集合） +是普通法 D ． G =Q （有理数集合） *是普通法 6．下面4个代数系统中构成群的是（ ）。 A. 〈R +，×〉 B. C. 7．下面4个代数系统中不构成群的是（ ）。 A. B. C. D. 8． 集中（ ）不是它的子群。 A. {1} B. {1，10} C. {1，2，4，6，8} D. {1，3，4，5，9} 9．设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}，则G 关于模7乘法构成群，下列子集能构成G 的 子群的是（ ）。 A . {1 , 2 , 4} B . {1 , 3 , 5} C . {1 , 3 , 6} D . {1 , 5} 10．设,<>R 为群，其中R 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为R 中固定的常数。那么群,<>R 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）。 A ．0和x - B ．1和0 C ．k 和k x 2- D ．k -和)2(k x +- 11．关于循环群，下面说法不正确的是（ ）。 A. 循环群的子群一定是循环群 B. 循环群一定是素数阶的 C. 阶数相同的循环群彼此同构 D. 循环群一定是交换群 12．下面关于循环群性质的描述，错误的是（ ）。 A. 同阶的循环群必同构。 B. 循环群的生成元一定是唯一的。 C. 设G 是n 阶循环群，a ∈G ，则a 是生成元当且仅当a 的阶数是n 。 D ．循环群的子群仍然是循环群。 13．设,H <> 是,G <> 的真子群，且||,||H n G m ==，则有（ ）。 A ．n 整除m B ．m 整除n C ．n 整除m 且m 整除n D ． n 不整除m 且m 不整除n 14．10阶循环群的子群一定不是（ ）。 A. 2阶 B. 3阶 C. 5阶 D.10阶 15．设H ，K 是群,G <> 的子群，下面哪个代数系统一定是,G <> 的子群（ ）。 A ．,HK <> B ．,H K <> C ．,K H <-> D ． ,H K <-> 16．设,L <≤>是有界格，则它是有补格，只要满足（ ）。 A ．每个元素都有一个补元 B. 每个元素都至少有一个补元 C. 每个元素都无补元 D. 每个元素都有多个补元 17．下图为四个格所对应的哈斯图，哪个是分配格（ ）。 B A C D 18．N 是自然数集，≤是小于等于关系，则 A.有补格 B.分配格 C. 有补分配格 D.有界格 19．有限布尔代数的元素的个数必定等于（ ）。 A. 2n B. 2n C ） 2n D ）4n 20．下列集合关于整除关系都构成偏序集，其中不是格的是（ ）。 A. L={1 , 2 , 3 , 6 } B. L={2 , 3 , 6 , 12} C. L={1 , 2 , 4 , 8 } D. L={1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 } 21．下列各集合关于整除关系都构成偏序集，其中是格的是（ ）。 A ．L={1 , 2 , 3 , 4，5} B ．L={1，2 , 4 , 6 , 8} C ．L={2 , 3 , 6 , 12，18} D ．L={1 , 2 , 3 , 6 , 12} 二、填空题 1.．设{0,1,2,...,1}n n =-Z ，在代数系统,,n <⊕⊗>Z 中，,⊕⊗分别表示模n 的加法和乘法，则n Z 对⊕运算的单位元是________， n Z 对⊗的单位元是_________。 2. 设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 8, 9, 10}，G 关于模11乘法构成群，群G 的幺元是 _______，元素2与_________互为逆元。 3. 设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6}，G 关于模7乘法构成群，群G 的幺元是________， 元素3与______互为逆元。 4．设G 是群，a ∈G ，a 的阶数是18，则元素12 a 的阶数是____________。 5．群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。 6．设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。 7．设{1,5,7,11}G =，,G <⊗>为群，其中⊗为模12乘法，则5的阶为_________， ,G <⊗>有________真子群。