软件学院离散数学单元测试题(半群与群答案)

近世代数单元测试题（二） （院系：软件学院 年级：2007级）一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末括号里）1．下列运算中，哪中运算关于整数集不能构成半群（ ）。

A ．max{,}a b a b =B ．a b b =C ．||a b a b =-D ． 2a b ab =2．在自然数集合N 上定义运算*为：对任意a ，b ∈N ，a *b =a +b +ab ，则下面说法正确的是（ ）。

A ． <N , *>是群B ． <N , *>是幺半群但不是群C ． <N , *>是半群但不是幺半群D ． <N , *>不是半群3．R 为实数集，运算*定义为：,*||a b ,a b a b ∈=⋅R ，则代数系统*,><R 是（ ）。

A ．半群 B ．独异点 C ．群 D ． 阿贝尔群4．下列代数系统中，哪个是群（ ）。

A ．{1,3,4,5,9}S = ，*是模11乘法B ．S =Q （有理数集合） ，*是普通乘法C ．S =Z （整数集合） *是一般减法D ． {0,1,3,5}S =，*是模7加法5．下列代数系统,*G <>中，哪个不构成群（ ）。

A ．{1,10}G = ，*是模11乘法B ．{1,3,4,5,9}G =，*是模11乘法C ．G =Q （有理数集合） +是普通法D ． G =Q （有理数集合） *是普通法6．下面4个代数系统中构成群的是（ ）。

A. 〈R +，×〉B. <N ，+>C. <P(A)，U>D. <A A ， >7．下面4个代数系统中不构成群的是（ ）。

A. <Z ，+>B. <P(A)，⊕>C. <Q +，×>D. <N ，×>8．<Z 11*，11⊗>是群(其中Z 11*={1，2，3,…,10},11⊗是模11乘法运算)，下面子集中（ ）不是它的子群。

A. {1}B. {1，10}C. {1，2，4，6，8}D. {1，3，4，5，9}9．设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}，则G 关于模7乘法构成群，下列子集能构成G 的子群的是（ ）。

A . {1 , 2 , 4}B . {1 , 3 , 5}C . {1 , 3 , 6}D . {1 , 5}10．设,<>R 为群，其中R 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为R 中固定的常数。

那么群,<>R 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）。

A ．0和x -B ．1和0C ．k 和k x 2-D ．k -和)2(k x +-11．关于循环群，下面说法不正确的是（ ）。

A. 循环群的子群一定是循环群B. 循环群一定是素数阶的C. 阶数相同的循环群彼此同构D. 循环群一定是交换群12．下面关于循环群性质的描述，错误的是（ ）。

A. 同阶的循环群必同构。

B. 循环群的生成元一定是唯一的。

C. 设G 是n 阶循环群，a ∈G ，则a 是生成元当且仅当a 的阶数是n 。

D ．循环群的子群仍然是循环群。

13．设,H <> 是,G <> 的真子群，且||,||H n G m ==，则有（ ）。

A ．n 整除mB ．m 整除nC ．n 整除m 且m 整除nD ． n 不整除m 且m 不整除n14．10阶循环群的子群一定不是（ ）。

A. 2阶B. 3阶C. 5阶D.10阶15．设H ，K 是群,G <> 的子群，下面哪个代数系统一定是,G <> 的子群（ ）。

A ．,HK <>B ．,H K <>C ．,K H <->D ． ,H K <->16．设,L <≤>是有界格，则它是有补格，只要满足（ ）。

A ．每个元素都有一个补元 B. 每个元素都至少有一个补元C. 每个元素都无补元D. 每个元素都有多个补元17．下图为四个格所对应的哈斯图，哪个是分配格（ ）。

B AC D18．N 是自然数集，≤是小于等于关系，则<N ，≤>是 （ ）。

A.有补格B.分配格C. 有补分配格D.有界格19．有限布尔代数的元素的个数必定等于（ ）。

A. 2nB. 2n C ） 2n D ）4n20．下列集合关于整除关系都构成偏序集，其中不是格的是（ ）。

A. L={1 , 2 , 3 , 6 }B. L={2 , 3 , 6 , 12}C. L={1 , 2 , 4 , 8 }D. L={1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }21．下列各集合关于整除关系都构成偏序集，其中是格的是（ ）。

A ．L={1 , 2 , 3 , 4，5}B ．L={1，2 , 4 , 6 , 8}C ．L={2 , 3 , 6 , 12，18}D ．L={1 , 2 , 3 , 6 , 12}二、填空题1.．设{0,1,2,...,1}n n =-Z ，在代数系统,,n <⊕⊗>Z 中，,⊕⊗分别表示模n 的加法和乘法，则n Z 对⊕运算的单位元是________， n Z 对⊗的单位元是_________。

2. 设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 8, 9, 10}，G 关于模11乘法构成群，群G 的幺元是_______，元素2与_________互为逆元。

3. 设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6}，G 关于模7乘法构成群，群G 的幺元是________，元素3与______互为逆元。

4．设G 是群，a ∈G ，a 的阶数是18，则元素12a 的阶数是____________。

5．群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。

6．设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。

7．设{1,5,7,11}G =，,G <⊗>为群，其中⊗为模12乘法，则5的阶为_________， ,G <⊗>有________真子群。

8.11{,,...,}G e a a =是12阶循环群，则G 的生成元除5,a a 外还有____和____。

9. 令1,G =<+>Z 是整数加群，2,G =<⊕>n Z 是模n 的整数加群. 令:,()()mod x x n ϕϕ→=n Z Z ，则ϕ是1G 到2G 的同态. 同态核ker ϕ=___________。

10．令1,G =<+>R 是实数加群，2,G =<>*R是非零实数关于普通乘法构成的群. 令:,()x x e ϕϕ→=*R R ，则ϕ是1G 到2G 的同态. 同态核ker ϕ=___________。

11. 令f ：Z →6z ，f (x )=x mod6，则f 是整数加群<Z, +>到模6整数加群<6Z ,6⊕>的同态映射， 则f 是_______________(满同态，单同态，同构)。

12.令*:f R R →，()x f x e =，则f 是整数加群<R ，+>到非零实数集关于普通乘法构成的群<*R ,⨯>的同态映射，则f 是_______________(满同态，单同态，同构)。

13.设G 是一个奇数阶有限交换群，则G 中所有元素的乘积一定等于________。

14. 设置换的轮换表示为)31425(=π，则π的阶为 。

15.n 元对称群n S 的阶为_________。

16．已知）（，65)24)(13()346)(152(==τσ是两个置换，求=στ_______________；=-1σ____________。

17. 已知(14)(2356)(135)(246στ==，）是两个置换，求τσ=_______________； 1τ-=____________。

18．如果一个格是有补____________格称为布尔代数。

19. 设X ={1，2，3，5，6，10，15，30}，Y ={2，3，6，12，24，36}，W ={1，2，3，6，18，54}，T ={2n|n 为正整数}，这些集合中关于整除关系不能构成格的有____________。

20．设,L <≤>是格，其哈斯图如下图所示。

取123{,,,},{,,,},{,,,}S a b c d S a b d f S b c d f ===，则_______是,L <≤>的子格。

fbdg21．设L 为格，则公式()()b c a b c a ∨∧∨∧ 的对偶式为___________________。

B ACD22. 设<A ，≤>是分配格，若对,,,,a b c A a b a c a b a c ∀∈∧=∧∨=∨若有成立，则_______。

23. 设P 是命题()()()()()()a b b c c a a b b c c a ∧∨∧∨∧≤∨∧∨∧∨，则P 的对偶命是____________________________。

24. 如果一个格是_________分配格称为布尔代数。

25.设L 为格，则公式)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ 的对偶式为___________________。

三、判断题1．<S ，*>是独异点，a ，b ∈S ，且a ，b 均有逆元，则111(*)*a b a b ---=（ ）。

2．若半群有左单位元，则左单位元唯一（ ）。

3有单位元且适合消去律的有限半群一定是群 （ ）。

4 一个群可以有多个等幂元 （ ）。

5设G 为群，H 为G 的正规子群，则,,a G h H ha ah ∀∈∀∈=有。

（ ）6. H, K 是群G 的子群，则H ∪K 也是G 的子群（ ）。

7. 若H ，K 是群G 的子群，则H ∩K 也是G 的子群。

（ ）8．素数阶的群必为循环群。

（ ）9. 循环群中的生成元是唯一的（ ）。

10．交换群一定是循环群。

（ ）11．设G 是循环群，G 同构与H ，则H 也是循环群 （ ）。

12．在整环〈A ，+,·〉中无零因子条件等价于乘法消去律。

（ ）13．任意n 元置换都可以分解为若干不相交对换的乘积，而且表示式是唯一的。

（ ）14．任意n 元置换都可以分解为若干不相交轮换的乘积。

（ ）15．在有界分配格中，一个元素若有补元，则补元不一定是唯一的（ ）。

16．设A 为一有限集合，则<P (A )，⊆>为有补格。