高等数学第六章习题

第六章定积分的应用

第二节定积分在几何上的应用1.求图中各阴影部分的面积:

（1）

(2)

(3)

(4)

.

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

(1) 22

1x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);

(2)x

y 1=与直线y =x 及x =2;

(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;

(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).

3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积.

.

4. 求下列各题中平面图形的面积：

（1）曲线2

4y x =及其在点(1,2)处的法线所围城的图形。.

（2）.曲线3

32y x x =-+在x 轴上介于两极值点之间的曲边梯形。

5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;

(1)ρ=2a cos θ ;

(2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ;

(3)ρ=2a (2+cos θ )

.

6. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.

（1）24cos ρρθ==及

（2）3cos 1cos ρθρθ==+及

（3）2cos 2ρθρθ=

=及

7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：

（1）2

x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。

（2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。

（3）()22x y 516,x +-=绕轴。

（4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。

（5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。

8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. .

9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.

10．（1）证明由平面图形0≤a≤x≤b, 0≤y≤f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为

⎰=b

a

dx

x

xf

V)

(

2π.

（2）利用题（1）结论,计算曲线y=sin x(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.

11．计算底面是半径为R的圆,而垂直于底面上一条固定

直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.

.

12．计算曲线

3

2

2

3

y x

=上相应于38

x

≤≤的一段弧的弧长。

13．计算曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的一段弧的弧长。

14．求星型线3

3cos sin x a t

y a t ⎧=⎨=⎩的全长。

15．求曲线()1cos a ρθ=-的周长。

第三节定积分在物理学中的应用

1.由实验知道,弹簧在拉伸过程中,需要的力F(单位:N)与伸长量s(单位: cm)成正比,即F=ks (k为比例常数).如果把弹簧由原长拉伸6cm,计算所作的功.

.

2．直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽.设温度保持不变,要使蒸汽体积缩小一半,问需要作多少功？

3．设地球的质量为M，半径为R，现要将一个质量为m的物体从地球表面升高到h处，问需要做多少功（设引力系数为G）？

4．半径为R的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C沿其轨迹移动的距离S时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功

5．设一锥形贮水池,深15m,口径20m,盛满水,今以唧筒将水吸尽,问要作多少功？

6.有一闸门,它的形状和尺寸如图,水面超过门顶2m.求闸门上所受的水压力.

7.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体,尺寸如图所示.

当水箱装满水时,计算水箱的一个端面所受的压力.

8.有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m和6m,高为20m.较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧所受的水压力.

9．一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片,铅直地沉没在水中,顶在上,底在下且与水面平行,而顶离水面3cm,试求它每面所受的压力.

10.设有一长度为l、线密度为μ的均匀细直棒,在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力.

总复习题六

1． 填空题：

（1） 曲线2y x =与22y x x =-直线围成所界区域的面积为

（2）曲线226y x =+与直线1y x =-所界区域的面积为

（3）曲线0y =⎰上相应于0x π≤≤的一段弧长为

(4) 圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积

（5）一圆盘的半径为R ，而密度为()ργ，其中γ为圆盘上一点到圆心的距离，则其质量M

2．求抛物线2

23x x y --=与Ox 轴所围成图形的面积。

3．求抛物线x y =2与42+-=x y 所围成图形的面积。

4．求圆2

22r y x =+的面积、圆周长。

5．求双纽线θ2cos 22a r =的面积。

6．求心脏线)cos 1(θ+=a r 绕极轴旋转所成旋转体体积。