第17讲 函数模型的应用实例(基础)

函数模型的应用实例
【学习目标】
1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.
2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.
3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.
【要点梳理】
要点一、解答应用问题的基本思想和步骤
1.解应用题的基本思想
2.解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).
要点二、解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.
其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1.心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x)表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的公式：
20.1 2.643, (010)()59, (1016)3107, (1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪
=<≤⎨⎪-+<≤⎩
．
问开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
例2. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
21400, (0400)()2
80000, (400)
x x x R x x ⎧
-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数f (x)．
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
举一反三：
【变式1】 设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是y=ce kx ，其中c ，k 为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa ，1000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa ，求600 m 高空的大气压强（结果保留3位有效数字）．
例3. 某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？
举一反三：
【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
例4．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）．为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法．
例5. 某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标．
2006年，某汽车年销量8万辆；
2007年，某汽车年销量18万辆；
2008年，某汽车年销量30万辆．
如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·b x+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
举一反三：
【变式1】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
【巩固练习】
1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：
x 1．99 3 4 5．1 6．12
y
1．5 4．04 7．5 12 18．01
）
A.22y x =-
B.1()2x
y = C.2log y x = D.2
1(1)2
y x =
- 2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如下图所示，那么图象所应对的函数模型是（ ）
A ．分段函数
B ．二次函数
C ．指数函数
D ．对数函数
3．据调查，某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是（ ）
A ．y=0.1x+800（0≤x ≤4000）
B ．y=0.1x+1200（0≤x ≤4000）
C ．y=－0.1x+800（0≤x ≤4000）
D ．y=－0.1x+1200（0≤x ≤4000）
4．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m ，从2000年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系式为（ ）
A ．50
0.9x y = B ．50
(10.1)x y m =- C ．50
0.9
x y m =⋅ D ．50(10.1)x y m =-
5．以每秒a 米的速度从地面垂直向上发射子弹，t 秒后的高度x 米可由x=at －4.9t 2确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上（含245米）高度共有（ ）
A ．4秒
B ．5秒
C ．6秒
D ．7秒
6．一高为H 、满缸水量为V 的鱼缸截面如右图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v=f (h)的大致图象可能是下图中四个选项中的（ ）
7h 的关系：
h （米） 50 80 100 150 … d （米）
25
40
50
75
…
入k （万元）是单位产品数Q 的函数，2
1()4020
k Q Q Q =-
，则总利润L （Q ）的最大值是________． 9．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=e kt ，其中k 为常数，t 表示时间（单位：小时），y 表示细菌个数，则k=________，经过5小时，1个细菌能繁殖为________个．
10．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a (单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b (单位：m 2)的旧住房．
(Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
(Ⅰ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15=1.6)
11．电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢或用胶过少，产生脱胶，影响了产品的质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据如下表：
现在请提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．。