非齐次线性方程组

非齐次线性方程组解得结构得进一步讨论摘要:本文通过矩阵得初等变换及非齐次线性方程组得解得有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组得解得结构问题,虽然非齐次线性方程组得解向量得全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组得基础解系得解向量组,这个解向量组线性无关。并且得任意一个解都可以由这个解向量组线性表示、最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解得充要条件,并给出了相应例题。

关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换

引言

非其次线性方程组(Ⅰ)

得矩阵形式为。取,得到其次线性方程组称为非其次线性方程组得导出组。我们知道非其次线性方程组得解有以下得一些性质:

（1）若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得一个解,则也就是得一个解。

证明:因为就是非其次线性方程组得一个解,所以有,同理有,则由。所以就是非其次线性方程组得解。

（2）若就是非其次线性方程组得两个解,则就是其导出组得解

证明:由,,所以有,故为其导出组得解。

２。定理

(非其次线性方程组解得结构定理)若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得通解,则就是非其次线性方程组得通解。

证明:由性质(1)可知加上其导出组得一个解仍就是非其次线性方程组得一个解,所以只需证明,非其次线性方程组得任意一个解,一定就是与其导出组某一个解得与,取

由性质(2)可知,就是导出组得一个解,于就是得到,即非其次线性方程组得任意一个解与其导出组得某一个解得与。

由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组得解得全体可以用基础解系来表示。因此,根据定理我们可以用导出组得基础解系来表示出一般方程组得一般解,如果就是方程组(Ⅰ)得一个特解,就是其导出组得一个基础解系,那么(Ⅰ)得任一个解都可以表示成: 3。由上面2得证明过程,我们可以知道其次线性方程组得全部解可由基础解系线性表示出(其基础解系含有个解向量),即为任意实数。那么,当非其次线性方程组有解时,则至多有多少个线性无关得解向量?得全部解又如何表示?

定理

若其次线性方程组得基础解系为,当非其次线性方程组有解时,则它至多且一定有个线性无关得解向量,得通解可以表示为为满足关系式,得任意实数。

证明:(ⅰ)若就是非其次线性方程组得解,则为非零解向量,那么向量组,线性无关(否则可由线性表示,与就是得解矛盾)。那么,易证都就是得解,并且线性无关。这说明至少有个线性无关得解向量。

下面再证至多有个线性无关得解向量。

反证:若有个线性无关得解向量,那么易证均为得解,并且线性无关。这样具有线性无关得解向量矛盾,所以,至多且一定有个线性无关得解向量。

(ⅱ)对于得任意一个解,一定可以表示成它得一个特解与其导出组得基础解系得线性组合,即为任意常数

那么

()()()()()1

3221121221121221111+--------++++----=+++++++----=++++r n r n r n r n r n r n r

n r n k k k k k k k k k k k k k k k ηξξξηξηξηξαξηηηξ (为任意实数,且组合系数之与等于1。

这说明,得任意解都可以表示成这样得形式、

另一方面,由于都就是得解,对于,只要满足仍然就是得解,所以,得通解可以表示成,且为满足关系式,得任意实数。

例２

设就是线性方程组得一个解,就是它导出组得一个基础解系,令。证明:线性方程组得任一一个解,其中。

证明:

由题可设方程组得任一解可以表示成(为常数)

令,则

（1） 引理:设为矩阵,用初等行变换,把化为阶梯形矩阵,并使该梯形矩阵得每一个非零行得

第一个非零元素(从左算起)为1,且该元素所在列得其她元素为零,这样得阶梯形矩阵得为得行简化阶梯形矩阵。

定理:非齐次线性方程组存在全非零解得充要条件就是,它得增广矩阵得秩与系数矩阵得秩相等,且得行简化阶梯型矩阵中每个非零行得非零元素个数大于或等于2.

证明:必要性

方程组有全非零解,则必须满足方程组得条件,因而,。不妨设其秩为且得简化阶梯矩阵为:

(2)

且其对应得方程组为

若对某个 有

则,这与方程组(2)有全非零全部解矛盾,故对每个(),至少存在一个()使或,即(2)中第()行至少有两个非零元素、

充分性:设N 就是充分大得正数,令,,

将其带入(2)得:(),当(),时,显然成立;当上式右端至少存在一个非零系数,设第一个非零系数为,则

因为

所以,,故存在充分大得正数,使();

取,可使()

这样,就得到方程组得一个全非零解

例1

方程组

有全非零解得充要条件?

解:其增广矩阵得简化阶梯形矩阵为

故由上述定理可知,该方程组有全非零解得充要条件就是为任意实数。

例2已知非齐次线性方程组有三个线性五官得解,

(Ⅰ)证明方程组系数矩阵得秩,

(Ⅱ)求得值及方程组得通解。

解:(Ⅰ)设就是非齐次线性方程组得三个线性无关得解,则就是导出组得线性无关解,所以,从而,显然矩阵中存在不为零得２阶子式,又有,从而秩。

(Ⅱ)对线性方程组得增广矩阵作为初等行变换,有

1

1111111114

35110115313101311

11110

115300424542A a

b a a b a a b b a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦

于就是故,又因为就是得解,且,就是得基础解系,所以方程组得通解为(为任意实数)