华杯赛经典教案--整数与整除(教师版)
整数除法教案
整数除法教案教案标题：整数除法教案教案目标：1. 学生能够理解整数除法的概念和原则。
2. 学生能够应用整数除法解决实际问题。
3. 学生能够掌握整数除法的计算方法和技巧。
教学重点：1. 整数除法的概念和原则。
2. 整数除法的计算方法和技巧。
教学难点：1. 整数除法的概念和原则的理解。
2. 整数除法的计算方法和技巧的掌握。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教学PPT、教学素材、练习题。
2. 学生准备：教材、练习册、计算器。
教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）教师通过引入一道整数除法的实际问题，如“如果一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，那么3小时可以行驶多远？”引发学生思考整数除法的概念和应用。
Step 2：概念解释与讲解（10分钟）教师通过教学PPT或板书，对整数除法的概念进行解释和讲解，包括被除数、除数、商、余数等概念的介绍，并强调整数除法的原则。
Step 3：计算方法与技巧（15分钟）教师通过示范和解释，介绍整数除法的计算方法和技巧，包括整除、不整除的情况下的计算方法，以及如何处理余数的方法。
Step 4：练习与巩固（15分钟）教师提供一些练习题，让学生进行个别或小组练习，巩固所学的整数除法的计算方法和技巧。
Step 5：拓展与应用（10分钟）教师引导学生将整数除法应用到实际问题中，提供一些拓展题目，让学生运用所学的知识解决实际问题。
Step 6：总结与归纳（5分钟）教师与学生一起总结整数除法的要点和方法，梳理学习内容，强化学生对整数除法的理解和掌握。
Step 7：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，包括练习题和思考题，以巩固学生对整数除法的学习成果。
教学延伸：1. 学生可自主查找更多整数除法的实际问题，并进行解答和讨论。
2. 学生可通过游戏或小组竞赛的形式，巩固整数除法的计算方法和技巧。
教学反思：整数除法是数学中的重要概念和技能之一，对学生的数学思维和计算能力有着重要的影响。
初中数学竞赛之数的整除教案
二． 数的整除设有两个整数,(0)a b b ≠，如果存在另一整数q ，使得a qb =，则称a 能被b 整除；或称b 能整除a ；若b 能被a 整除，我们称a 是b 的倍数，b 是a 的约数，并记作|b a . 若a 不能被b 整除，则记作a b Œ我们曾学过下述有关整除的判别法则：（1） 被2或被5整除的数的特征是：末位数字能被2或5整除（2） 被4或25整除的数的特征是：最后两位数字能被4或25整除（3） 被8或125整除的数的 特征是：最后三位数字能被8或125整除（4） 被3或9整除的数的特征是：各位上的数的和能被3或9整除（5） 被11整除的数的特征是：奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除1. 判断下列各数那些可以被4整除？那些可以被25整除？457565 456575 184062 186240 3333254362. 789789、456456456456、67896789、192837465546372819能被11整除吗？在解题过程中我们常用到下述性质性质1 若a b ，b c ，则a c .证明：|,|a b b c∴存在正整数p 和q ，使得b p a =，c q b =代入可得()()c q pa qp a == |a c ∴性质2 若|,|a b a c ，则|()a b c + 证明：|,|a b a c∴ 存在正整数p 和q ，使得b pa =，c qa =∴ ()b c pa qa p q a +=+=+∴ |()a b c +同理我们可以得到：若|,|a b a c ，则12|()a k b k c +，其中12,k k 为整数性质3 若,a b 互质，且a bc ，则|a c性质4 若,a b 互质，且 |,|a c b c ，则|ab c例1. 已知九位数3235717a b 能被72整除，求,a b提示：能被72整除则一定既能被8整除又能被9整除练习1： 已知七位数1345xy z 能被792整除，求,,x y z例2. 已知7|(138)x y +，证明：7|95x y +（）证明：因为955(138)7(85)x y x y x y +=+-+ 又7|(138)x y +，∴ 7|5(138)x y +又 7|(85)x y +∴7|[5(138)7(85)]x y x y +-+即7|95x y +（）注：对于“已知式子A 能被数p 整除求证式B 能被p ”类题目，其思路为：将B 表示成被7整除的代数式的形式即可；比如此题，就可以将B 表示为：17B k A C =+（其中C 为含字母x 、y 的整式）的形式。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第24讲整数的整除性
第二十四讲* 整数的整除性整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．2．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．例1 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例2 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以 17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x ＋3y．q＞1．求pq的值．解若p=q，则不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以pq=3×5=15．例4 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．分析题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．最小的一个：y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是数两两互质，所以x=1．所求的三个数为1，2，3．例5 设n是奇数，求证：60｜6n-3n-2n-1．分析因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．证60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有22｜6n-2n，22｜3n＋1，所以22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1，所以3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，所以5｜6n-1-3n-2n．由于22，3，5两两互质，所以60｜6n-3n-2n-1．我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．例6 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k ＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例7 求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．证按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1．由3k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8l＋1，于是3n＋1=8l＋2=2(4l＋1)．4l＋1是奇数，不含有2的因数，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1=3(8l＋1)＋1=4(6l＋1)．由于6l＋1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．例8 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．例9 设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．证用反证法．假定存在正整数a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1．所以与(a1，b1)=1矛盾．例10 设p，q均为自然数，且求证：29｜p．证注意到29是质数．令a=10×11× (19)所以ap=29q·b，29｜a·p，29是质数，且29a，所以29｜p．练习二十四1．求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证：7｜(9x＋5y)．4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．。
六年级同步第1讲：整数和整除（教案教学设计导学案）
六年级同步第1讲：整数和整除（教案教学设计导学案）整数和整除是六年级数学上学期第⼀章第⼀节内容，主要对整数的分类和整除的概念进⾏讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习⼀⽅⾯为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另⼀⽅⾯也为后⾯学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类（1）⾃然数：零和正整数统称为⾃然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．（1）最⼩的⾃然数是1 ；（2）最⼩的整数是0；（3）⾮负整数是⾃然数；（4）有最⼤的正整数，但没有最⼩的负整数；（5）有最⼩的正整数，但没有最⼤的负整数．【难度】★【解析】【例2】把下列各数放⼊相应的圈内：15，-1，-0.2，0，-63，0.7，13，-0.2323…，．整数⾃然数正整数负整数【难度】★【答案】【解析】【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、⾃然数、整数之间的关系；（2）试⽐较正整数、负整数、零的⼤⼩；（3）试⽐较负整数、⾃然数的⼤⼩．【难度】★★【答案】【解析】【例4】五个连续的⾃然数，已知中间数是，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续⾃然数的和是20，试求这五个数．【难度】★★【答案】【解析】【例5】有三个⾃然数，其和是13，将它们分别填⼊下式的三个括号中，满⾜等式要求：，试求这三个⾃然数．【难度】★★★【答案】【解析】1、整除的意义整数除以整数，如果除得的商是整数⽽余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．【例6】⽼师问：“当时，时，能被整除吗？”⼀个同学回答：“因为商是，是整数，所以能被整除．”你认为对吗？【难度】★【答案】【解析】【例7】下列各组数中，如果第⼀个数能被第⼆个数整除，请在下⾯的（）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（）15和30（）0.4和4（）14和6（）17和35（）9和0.5（）【难度】★【答案】【解析】【例8】已知下列除法算式：57÷7=8……1；21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（1）表⽰能除尽的算式有哪⼏个？（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【难度】★【答案】【解析】【例9】把表⽰下列算式的序号填⼊适当的空格内．（1）30÷10；（2）7÷25；（3）35÷0.1；（4）18÷3；（5）0.4÷2；（6）3.9÷0.3；（7）27÷9；（8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________；能够除尽的：________________________________________________．【难度】★★【答案】【解析】【例10】若两个整数a、b ()都能被整数c 整除，它们的和、差、积也能被c 整除吗？为什么？【难度】★★【答案】【解析】【例11】⼀个两位数，能被5整除，其个位数字减⼗位数字的差是正整数中最⼩的偶数，求这个两位数．【难度】★★【答案】【解析】【例12】15⽀铅笔分给⼏个学⽣，每⼈发的⼀样多且不⽌1⽀，并且正好分完，可以分给⼏个⼈？每⼈⼏⽀？有⼏种分法？【难度】★★【答案】【解析】【例13】2015年的教师节是星期四，⽼师们可以好好庆祝⼀下⾃⼰的节⽇了，同学们，明年呢？我们能否不查⽇历，就能知道2016年的教师节是星期⼏呢？【难度】★★★【答案】【解析】【例⼀天下午，学校同时举办语⽂写作和英语听⼒两个讲座，已知有9个⼩组去听讲座，其中听英语讲座的⼈数是听语⽂讲座⼈数的6倍，还剩下⼀个⼩组在教室⾥讨论问题，这⼀组是第⼏组？【难度】★★★【答案】【解析】1、因数和倍数的意义整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）．【例15】有⼀个算式，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．【难度】★【答案】【解析】【例16】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从⼩到⼤依次写3个）．【难度】★【答案】【解析】【例17】在圈内填写满⾜条件的数：【难度】★【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．（1）6和9；（2）27和51．【难度】★★【答案】【解析】【例19】从⼩到⼤依次写出10个2的倍数：_____________________________________；从⼩到⼤依次写出10个3的倍数：_____________________________________；其中__________________________既是2的倍数，⼜是3的倍数．【难度】★★【答案】【解析】【例20】已知：，，则和相同的因数有哪些？【难度】★★【答案】【解析】【例21】⼀个正整数只有2个因数⽽且这个数⽐10⼩，这个数可以是多少？【难度】★★【答案】【解析】【例22】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】【解析】【例23】1到100之间，因数个数是奇数的⾃然数有哪些？【难度】★★【答案】【解析】【例24】李明去⼉童乐园玩，⼉童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车⼀次，13路车每6分钟发车⼀次。
华杯赛经典教案--带余除法(教师版)
【例题讲解】题型：带余除法的定义和性质例题： (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643 (14)=⨯+，所÷=，得1992464314以43a=，14r=．例题：(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．例题：(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
【解析】设所得的商为a，除数为b．(19)(23)(31)2001+++++=，7332001a b a b a b+=，a b由19+=，a bb<，可求得27b=．所以，这三个数分别是19523a=，10a b+=。
+=，3184723631a b例题：(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】由48412÷=÷=，48412÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，4859.6知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．题型：三大余数定理的应用例题：有一个大于1的两位整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。
奥数教案 整数的整除问题教案
奥数教案整数的整除问题教案一、教学目标：1. 让学生理解整除的概念，掌握整除的性质和判定方法。
2. 培养学生解决整数整除问题的能力，提高逻辑思维和运算能力。
3. 通过对整除问题的学习，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
二、教学内容：1. 整除的定义与性质2. 整除的判定方法3. 整除在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 整除的定义与性质2. 整除的判定方法3. 整除在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解整除的概念和性质。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题学会判断整除。
3. 采用练习法，巩固学生对整除的理解和应用能力。
五、教学准备：1. 教学课件或黑板2. 练习题3. 教学参考资料教学过程：一、导入：1. 引导学生回顾有理数除法的概念，引入整除的概念。
2. 提问：什么是有理数除法？整除与有理数除法有什么关系？二、新课讲解：1. 讲解整除的定义与性质，让学生理解整除的概念。
2. 讲解整除的判定方法，让学生学会判断整除。
3. 通过实际问题，讲解整除在实际问题中的应用，让学生学会运用整除解决问题。
三、案例分析：1. 出示案例，让学生判断哪些是整除问题。
2. 引导学生分析案例，找出解题关键。
3. 讲解案例的解题步骤，让学生学会解决整除问题。
四、练习巩固：1. 出示练习题，让学生独立解答。
2. 引导学生分析题目，找出解题关键。
3. 讲解练习题的解题步骤，让学生巩固整除的知识。
五、课堂小结：1. 回顾本节课所学内容，让学生总结整除的概念、性质和应用。
2. 强调整除在实际问题中的重要性，激发学生学习兴趣。
六、课后作业：1. 布置课后练习题，巩固整除知识。
2. 鼓励学生参加奥数竞赛，提高解题能力。
教学反思：本节课通过讲解整除的概念、性质和应用，让学生掌握了整除的基本知识。
在案例分析和练习巩固环节，学生通过实际问题学会了判断整除和解决问题。
整体教学效果良好，但部分学生对整除的判定方法仍有一定困难，需要在今后的教学中加强针对性训练。
六年级同步第1讲：整数和整除-(教案教学设计导学案)
整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的观点进行解说，要点是整除的观点理解，难点是整除条件的概括总结．经过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数供给依照，另一方面也为后面学习有理数确立基础．1、整数的意义和分类（ 1）自然数：零和正整数统称为自然数；（ 2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．【例 1】判断题（假如正确的，请说明原由；假如错误的，请把它更正确）．（1）最小的自然数是 1 ；（2）最小的整数是 0；（3）非负整数是自然数；（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．【难度】★【答案】（ 1）×；（ 2）×；（ 3）√；（ 4）×；（ 5）×．【分析】（ 1）错误，最小的自然数是0；（2）错误，不存在最小的整数；（3）正确；（4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数；（5）错误，最小的正整数是 1，最大的负整数是－ 1．【总结】此题主要考察与整数有关的观点．【例 2】把以下各数放入相应的圈内：15，－ 1，－， 0，－ 63，， 13，－ 0.2323 ，．整数自然数正整数负整数【难度】★【答案】整数： 15 ，－ 1， 0，－ 63， 13；自然数： 15， 0， 13；正整数：15， 13；负整数：－ 1，－ 63．【分析】整数包含正整数、零、负整数；自然数包含正整数和零．【总结】此题主要考察整数的分类．【例 3】（ 1）试谈谈正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小；（3）试比较负整数、自然数的大小．【难度】★★【答案】（ 1）整数包含正整数、零、负整数；自然数包含正整数和零；（2）正整数大于 0，负整数小于 0，正整数大于负整数；（3）自然数大于负整数；【分析】略；【例 4】五个连续的自然数，已知中间数是，那么其他四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．【难度】★★2、3、 4、 5、 6．【答案】．这五个数是：【分析】列方程：解得：∴这五个数是：2、3、 4、 5、 6．【总结】此题主要考察怎样利用已知的字母去表示与其连续的整数．【例 5】有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，知足等式要求：，试求这三个自然数．【难度】★★★【答案】 3， 10， 0．【分析】设这三个数分别为，，；则解得：∴这三个数是3， 10， 0．【总结】此题主假如对题目中条件的理解，同一个数能够用不一样的形式去表示．1、整除的意义整数除以整数，假如除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或许说能整除．【例 6】老师问：“当时，时，能被整除吗？”一个同学回答：“由于商是，是整数，所以能被整除．”你以为对吗？【难度】★【答案】不对【分析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；此题只知足了商是整数，余数是0，忽视了对被除数、除数的要求；【总结】此题主要考察整除所知足的条件．【例 7】以下各组数中，假如第一个数能被第二个数整除，请在下边的（）内打“√”，不能整除的打“×”．18和 9（）15和 30（）0．4 和 4（）14和 6（）17和 35（）9和 0．5（）【难度】★【答案】横向：√×××××【分析】整除的意义：整数除以整数，假如除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或许说能整除．只有18和9知足；【总结】此题主要考察整除所知足的条件．【例 8】已知以下除法算式：57 ÷ 7=8 1；21÷ 7=3；22÷ 0.2=110；22 ÷ 5=4.；4 0÷ 3=0；2÷．（1）表示能除尽的算式有哪几个？（2）哪些算式中能够说被除数能被除数整除？【难度】★【答案】（ 1） 21÷7=3；22÷0.2=110；22÷； 0÷3=0；2÷．（2） 21÷ 7=3；0÷ 3=0．【分析】除尽只需求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】此题主要考察整除和除尽的差别．【例 9】把表示以下算式的序号填入适合的空格内．（1） 30÷10；（ 2） 7÷25；（3） 35÷0． 1；（ 4） 18÷3；（5） 0． 4÷2；（6） 3． 9÷0． 3；（7） 27÷9；（ 8） 16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________ ；能够除尽的： ________________________________________________ ．【难度】★★【答案】除数能整除被除数的：（1）（ 4）（ 7）（ 8）；能够除尽的：（1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）【分析】除尽只需求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】此题主要考察整除和除尽的差别．【例 10】若两个整数 a、b ()都能被整数 c 整除，它们的和、差、积也能被 c 整除吗？为什么？【难度】★★【答案】能，原由略；【分析】设，（是整数，且）；则：；；；∴它们的和、差、积也能被 c 整除．【总结】此题主假如对整除的观点的考察及运用．【例 11】一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数．【难度】★★【答案】 35【分析】能被 5 整除的数字，位数是0 或 5；个位数字减十位数字的差是2，说明个位不可以是 0，所以个位数字是5，十位数字是3，这个两位数是35．【总结】此题主要考察能被 5 整数的数的特点．【例 12】 15 支铅笔分给几个学生，每人发的同样多且不只 1 支，并且正好分完，能够分给几个人？每人几支？有几种分法？【难度】★★【答案】两种分法：（1） 3 个人，每人 5 支；（ 2） 5 个人，每人 3 支．【分析】将15 分解可得：题目要求每人不只 1 支，清除去 1 和 15，故有两种分法：（1） 3 个人，每人 5 支；（ 2） 5 个人，每人 3支．【总结】此题主要考察怎样利用整除解决实质问题．【例 13】 2015 年的教师节是礼拜四，老师们能够好好庆贺一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们可否不查日历，就能知道2016 年的教师节是礼拜几呢？【难度】★★★【答案】礼拜六【分析】 2016 是闰年，故2016 年的二月有29 天， 2015 年的教师节与2016 年的教师节间隔 366 天，则：，∴2016 年的教师节是礼拜四后边两天，是礼拜六．【总结】此题主要考察怎样利用整除解决实质问题．【例 14】学校有10 个兴趣小组，各组的人数以下表：组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10人数 3 11 6 8 10 12 4 7 13 8一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有 9 个小组去听讲座，此入耳英语讲座的人数是听语文讲座人数的 6 倍，还剩下一个小组在教室里议论问题，这一组是第几组？【难度】★★★【答案】第 6 组【分析】设听语文讲座的人数为，那么听英语讲座的人数为，则在教室里的一组人数为人；由已知得：，且为整数．解得：．由于 x 为整数，所以x 的取值为10 或许 11．当时，，第 6 组；当时，（舍）；∴留在教师的是第 6 组．【总结】此题主要考察怎样利用整除解决实质问题．1、因数和倍数的意义整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）．【例 15】有一个算式，则能够说 ______能被 ______整除，也能够说 ______能整除 ______，还能够说 ______ 和______是______ 的因数， ______是 ______和 ______的倍数．【难度】★【答案】 63， 7， 7，63， 7，9， 63， 63， 7， 9；【分析】因数和倍数的意义：整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）．【总结】此题主要考察因数和倍数的观点．【例 16】分别写出12、19 和 36 的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写 3 个）．【难度】★【答案】 12 的因数： 1， 2， 3， 4， 6，12；倍数是： 12，24， 3619 的因数： 1， 19；倍数是： 19， 38，5736的因数： 1， 2， 3， 4， 6，9， 12， 18， 36；倍数是： 36， 72， 108【分析】∵；∴12 的因数： 1， 2， 3， 4， 6，12；倍数是： 12， 24， 36∵；∴19 的因数： 1， 19；倍数是： 19， 38，57 ∵；∴36 的因数： 1， 2， 3， 4， 6，9， 12， 18， 36；倍数是： 36， 72，108【总结】此题主要考察因数和倍数的观点．【例 17】在圈内填写知足条件的数：【难度】★【答案】 18 的因数： 1， 2， 3， 6， 9，18；27 的因数： 1， 3，9， 27；既是 18 的因数又是27 的因数： 1， 3， 9【分析】∵；∴18 的因数： 1， 2， 3， 6， 9，18；∵；∴27 的因数： 1， 3， 9， 27；∴既是 18 的因数又是27 的因数有： 1， 3， 9．【总结】此题一方面考察怎样求一个正整数的因数，另一方面考察怎样求两个正整数同样的因数．【例 18】以下各数中能否含有同样的因数，若含有请指出．（1）6 和 9；（2）27 和 51．【难度】★★【答案】（ 1）含有同样的因数： 1 和 3；（ 2）含有同样的因数：1和 3．【分析】（ 1）∵，；∴ 6 和 9 含有同样的因数：1和3；（2）∵，；∴ 27 和 51 含有同样的因数： 1 和 3；【总结】此题主要考察怎样求出两个不相等的正整数所含有的同样的因数．【例 19】从小到大挨次写出10 个 2 的倍数： _____________________________________ ；从小到大挨次写出10 个 3 的倍数： _____________________________________ ；此中 __________________________ 既是 2 的倍数，又是 3 的倍数．【难度】★★【答案】 2， 4， 6， 8， 10， 12，14， 16，18， 20；3， 6， 9， 12， 15，18， 21，24， 27，30；6， 12， 18， 24， 30；【分析】略【例 20】已知：，，则和同样的因数有哪些？【难度】★★【答案】 1， 3， 5， 15．【分析】∵，∴ A 的因数有： 1， 2，3， 5， 6， 10， 15，30；∵，∴ B 的因数有： 1，3， 5， 9， 15， 45．∴和同样的因数有：1， 3， 5， 15．【总结】此题主要考察怎样求两个不相等的正整数所含有的同样因数．【例 21】一个正整数只有 2 个因数并且这个数比10 小，这个数能够是多少？【难度】★★【答案】 2， 3， 5， 7【分析】只有两个因数，说明这个数只好分解成 1 乘以自己，这样的数有2， 3， 5， 7；【总结】此题主要考察因数的观点．【例 22】两个 2 位数的积是216，这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】 30【分析】∵，∴这两个数是12 和 18，和是 30．【总结】此题主假如对因数的观点的综合运用．【例 23】 1 到 100 之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？【难度】★★【答案】 1， 4， 9， 16， 25，36， 49，64， 81，100【分析】因数是奇数的数是平方数，1－ 100 之间的平方数是1， 4，9， 16，25， 36，49，64， 81， 100；【总结】当一个正整数是平方数时，它的因数个数是奇数个．【例 24】李明去小孩乐园玩，小孩乐园是 1 路车和 13 路车的始发站， 1 路车每 5 分钟发车一次， 13 路车每 6 分钟发车一次．此刻这两路车同时发车此后，起码再经过多少分钟又同时发车？【难度】★★【答案】 15 分钟【分析】由于 5 的倍数有： 5， 10， 15， 20， 25， 30， 35， 40， 45，50， 55，60；6 的倍数有： 6， 12， 18，24， 30， 36， 42， 48， 54， 60；所以起码再经过30 分钟又同时发车．【总结】此题主假如利用倍数的观点来解决实质问题．【例 25】用 16 块面积是 1 平方厘米的正方形，能够拼成多少种形状不一样的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？【难度】★★★【答案】三种：（1） 16， 1；（ 2） 8，2；（ 3）4， 4．【分析】；答：能够拼成 3 种形状不一样的长方形，长和宽分别是：16，1 或 8，2 或 4， 4．【总结】此题主假如利用因数的观点来解决实质问题．【例 26】一筐苹果， 2 个一拿或 3 个一拿或 4 个一拿或 5 个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最罕有多少个？【难度】★★★【答案】 60【分析】经过列举法会发现2、3、 4、 5 的最小的倍数是60，所以起码再经过30 分钟又同时发车．【总结】此题主假如利用倍数的观点来解决实质问题．【例 27】小明有一本共 126 张纸的记事本，他挨次将每张纸的正反两面编页码，即由第 1 页向来编到 252 页．假如从这本记事本中撕下31 张纸，并将它们的页码相加，和能否可能等于 2010？【难度】★★★【答案】不可以【分析】31 张纸的所有页码中，共 31 个奇数和31 个偶数相加，答案是奇数，不行能是2010．另：拓展来看，每一张纸的页码和：1+2=3， 3+4=7， 5+6=11，共同点：加上 1 后都是 4 的倍数，整体考虑， 32 页纸的页码和 +31 应是 4 的倍数，但 2010+31 不可以被 4 整除，所以是不行能的．【总结】奇数 +奇数 =偶数，偶数 +偶数 =偶数．【例 28】我们知道，每个正整数都有因数，关于一个正整数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10 的正因数有1、2、5、 10，此中 1、2、 5 是 10 的真因数．把一个正整数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完满指标”．如 10 的“完满指标”是．一个正整数的“完满指标”越靠近 1，我们就说这个数越“完满”．如8的“完满指标”是，10的“完美指标”是，由于比更靠近1，所以我们说8 比 10 完满．依据上述资料，回答下边问题：（1） 5 的“完满指标”是____________ ；（2） 6 的“完满指标”是____________ ；（3） 9 的“完满指标”是____________ ．（4）试找出比 20 大，比 30 小的正整数中，最“完满”的数．【难度】★★★【答案】（ 4）28；【分析】（ 1） 5 的“完满指标”：；（2）6的“完满指标”是：（ 3） 9 的“完满指标”是：；（4）素数的“完满指标”为，不够完满；合数的真因数较小，完满指标也会比较小，不够完满；所以考证 24 和 28 的完满指标：24 的“完满指标”是：；28 的“完满指标”是；∴ 28 是比 20 大，比 30 小的正整数中，最“完满”的数．利用观点去解决【总结】此题主假如考察学生的理解能力，经过对题目中新的观点的理解，新的问题．1、能被 2 整除的数能被 2 整除的数的特点：个位上是0， 2， 4，6， 8 的整数；能被 2 整除的整数叫做偶数，不可以被 2 整除的整数叫做奇数．2、能被 5 整除的数能被 5 整除的数的特点：个位上是0 或 5 的整数．3、能同时被2、 5 整除的数能同时被 2 和 5 整除的数的特点：个位上是0 的整数．【例 29】已知： 11， 15，32， 56，19， 123， 312， 566， 787，哪些是奇数？哪些是偶数？【难度】★【答案】奇数：11，15， 19，123， 787；偶数： 32， 56， 312， 566．【分析】 32， 56， 312， 566 能被 2 整除，是偶数，11， 15， 19， 123，787 不可以被 2 整除，是奇数．【总结】此题主要考察奇数和偶数的观点．【例 30】已知： 17，25， 70，98， 105， 370， 952，此中能被5 整除的数有_____________．【难度】★【答案】 25， 70， 105， 370．【分析】个位上是0 或 5 的整数是能被 5 整除的数．【总结】此题主要考察能被 5 整除的数的特点．【例 31】在圈内写出知足条件的数：12，25，40，75，80， 94，105，210，354， 465，760．【难度】★【答案】能被 2 整除的数： 12，40， 80，94， 210， 354， 760；能被 5 整除的数： 25，40， 75，80， 105， 210， 465， 760；能同时被 2 和 5 整除的数： 40， 80， 210， 760．【分析】能被 2 整除的数的特点：个位上是0， 2， 4， 6，8 的整数；能被 5 整除的数的特点：个位上是0 或 5 的整数；能同时被 2 和 5 整除的数的特点：个位上是0 的整数．【总结】此题主要考察能被 2 和 5 整除的数的特点．54，则此中最小的一个是______ ．【例 32】三个连续的偶数的和是【难度】★★【答案】 16则：，解得：．∴=16．∴最小的数是16．【总结】此题考察怎样用字母来表示三个连续的整数．【例 33】请判断以下算式的结果是偶数仍是奇数，偶数则打（）（）（）（）（）（）【难度】★★“√”，奇数则打“×”．（）（）（）【答案】横向：√√√××√ √√×【分析】偶数与偶数的和、差、积都是偶数；奇数与偶数的和、差是奇数，积是偶数；奇数与奇数的和、差是偶数，积是奇数；【例 34】的和是奇数仍是偶数？请说明原由．【难度】★★★【答案】奇数【分析】 1001 个数字中， 501 个奇数， 500 个偶数，依据奇数偶数的运算性质，和为奇数．【总结】奇数与偶数的和是奇数，奇数与奇数的和是偶数．【例 35】用 0、 1、 2、 3 这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数排法？要使这个数能被 5 整除，有几种不一样的排法？2，有几种不一样的【难度】★★★【答案】有因数2： 10 种；有因数5： 6 种．【分析】有因数 2，则个位数字是2 或 0，则有 1230，1320，2130，2310，3120，3210，1032，1302， 3012， 3102 ，共 10 种；有因数 5，则个位数字是0，则有 1230， 1320，2130， 2310， 3120， 3210，共 6 种；【总结】此题主要考察怎样利用能同时被 2 和 5 整除的数的特点来进行数字的摆列组合．【例 36】下边的乘式的积中，末端有多少个0？．【难度】★★★【答案】 7 个【分析】每一个因数中所含的因数是 5 和 2 的个数，决定结果中0 的个数；将 1－ 30 中的数分解素因数，有 7 个 5 和多于 7 个 2，结果中有 7 个 0．【总结】此题是一道比较综合的题目，主要考察学生对所学知识的综合运用能力．【习题 1】先把以下各数放入正确的圈内，而后把这些数依照从小到大的次序摆列，并说明此中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？－1， 2，－ 0.3 ， 15，－， 0，，， 1，，－8，10．整数自然数正整数负整数【难度】★【答案】整数：－1， 2， 15，0， 1，－ 8， 10；自然数：2，15，0，1，10；正整数： 2， 15， 1，10；负整数：－1，－8；从小到大排序为：－8，－ 1，－，－， 0，， 1， 2，， 4.732732 ，10， 15；此中最小的正整数是1，最小的自然数是0，最大的负整数是－1．【分析】略【习题 2】一个三位数，能被2整除时，中最大填______；能被5整除时，中最小填______．【难度】★【答案】 8， 0【分析】能被 2 整除的数个位数字是0，2， 4， 6， 8；能被 5 整除的数个位数字是0，5；【总结】此题主要考察能被 2 整除以及能被 5 整除的数的特点．【习题 3】判断题：(1) 若，则必定能整除．（）(2) 整数的最大因数正好等于整数的最小倍数，则必定大于．（）(3) 由于，所以是的倍数．（）(4) 由于整数 7421 中包含了数字2，所以 7421 必定能被 2 整除．（）【难度】★★【答案】××××【分析】（ 1）整除要求被除数和除数也要为整数；（2）一个数的最大因数和最小倍数都是它自己，所以 a 和 b 相等；（3）因数和倍数的观点是在整除的前提下存在的，此题不属于整除，不存在倍数的观点；（4）能被 2 整除的数字特点是个位数字为2， 4， 6， 8，0，不是随意一位；【总结】此题主要考察学生对基本观点的理解．【习题 4】已知，那么的所有因数的个数是(）A ．10 个B．12 个C．14 个D．16 个【难度】★★【答案】 D【分析】自己和1：2 个；随意一个数： 4 个；随意两数乘积： 6 个；随意三个数乘积： 4 个； 2+4+6+4=16 个．【总结】此题主要考察怎样去依据乘积的形式去求一个正整数的所有因数．【习题 5】一个正整数既是48 的因数，又是 3 的倍数，这个数能够是多少？【难度】★★【答案】 3， 6， 12，24， 48【分析】 48 的因数有1， 2，3， 4， 6，8， 12，16， 24， 48，此中是 3 的倍数的是3， 6， 12， 24， 48．【总结】此题主要考察因数和倍数的观点．【习题 6】假如表示的所有因数的和，如，则_________．【难度】★★★【答案】 7【分析】∵（ 18） =1+2+3+6+9+18=39 ，（ 21） =1+3+7+21=32 ，∴（ 18）－（ 21） =7．【总结】此题主要考察学生的理解能力，经过对的理解达成有关的计算．【习题 7】用0、2、5、8这四个数字构成的四位数中，能被【难度】★★★【答案】 10 个【分析】能被 2 整除的数个位数字是0，2，4，6，8，所以有8520， 5082， 5802 ，8052， 8502，共 10 个．2 整除的数有多少个？2580，2850，5280 ，5820，8250，【总结】此题主要考察怎样利用能被 2 整除的数的特点来进行数字的摆列组合．【习题 8】先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，而后再将和数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样持续下去，直到能够很简单看出和数能否是13的倍数为止．假如 13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断以下各数，哪些是 13的倍数？（写出详细过程）（ 1） 9062；（2）12805；（3）158506．【难度】★★★【答案】（ 2） 12805 是 13 的倍数【分析】（ 1） 9062：906+8=914 ，91+16=107 ，10+28=38 ，不是13 的倍数；（2） 12805：1280+20=1300 ，是 13 的倍数，故12805 是 13 的倍数；（3） 158506：15850+24=15874 ，1587+16=1603 ，160+12=172 ，17+8=25 ，不是 13 的倍数；【总结】此题主要考察对13的倍数的观点的理解及运用．【作业 1】能否存在最小的的正整数，负整数，自然数；能否存在最大的正整数，负整数，自然数？假如有，请写出是哪个数．【难度】★【答案】最小的正整数是1，最小的负整数不存在，最小的自然数是0，不存在最大的正整数，最大的负整数是－1，不存在最大的自然数．【分析】略【作业 2】78 的因数有哪些？把此中的奇数和偶数分别填入相应的圈内．奇数偶数【难度】★★【答案】奇数有1，3， 13， 39，偶数有2， 6，26， 78．【分析】 78 的因数有1， 2，3， 6， 13， 26， 39， 78；此中，奇数有1， 3， 13， 39，偶数有2， 6， 26， 78．【总结】此题主要考察对因数、奇数、偶数这些基本观点的理解．【作业 3】求26之内能被5 整除的所有数的和．【难度】★★【答案】 75【分析】 26 之内能被 5 整除的数有5，10， 15，20， 25，和为 5+10+15+20+25=75 ．【总结】此题主要考察能被 5 整除的数的特点．【作业 4】在黑板上，先写出三个自然数1、3、5，而后随意擦去此中的一个，换成所剩两个数的和．照这样进行100 次后，黑板上留下的三个数中有几个奇数？它们的乘积是奇数仍是偶数？【难度】★★【答案】三个数中有两个奇数，乘积为偶数．【分析】第一次擦除，变成奇奇偶，第二次分为两种状况：（1）擦掉奇数，变成奇奇偶，（2）擦除偶数，变成奇奇偶；以后向来保持为奇奇偶，所以100 次后也为奇奇偶，乘积为偶数．【总结】此题一方面考察学生对题意的理解，另一方面考察奇数与偶数相乘的特点．【作业 5】求1000之内能同时被3、5 整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和．【难度】★★★【答案】 1005【分析】 1000 之内能被3、 5 同时整除的数是15 的倍数，最小的偶数是30，最大的奇数是975，和为 1050．【总结】此题主要考察能同时被3、 5 整除的数的特点．【作业 6】一个大于 1 的自然数，只有两个因数，那么有几个因数？【难度】★★★【答案】当时，3a 有 4 个因数；当时，3a 有 3 个因数．【分析】，由已知得：，∴当时， 3a 有 4 个因数： 1，3， a， 3a；当时， 3a 有 3 个因数： 1，3， 3a；．【总结】此题主假如考察怎样依据题目中的条件去求一个正整数的因数．【作业7】张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，她习惯把钱都放在车厢售票员地点的小桌上，这样就能够随时算出有没有差错．有一次她数了数桌上的硬币，是 36 枚 1 角．她对司机说：“我今日我必定出了差错了”，你知道为何吗？【难度】★★★【答案】略【分析】票价有三种， 5 角、 1 元、 1 元 5 角，都是 5 的倍数，可是36 不是 5 的倍数．【总结】此题主要考察怎样利用倍数的观点来解决实质问题．【作业 8】得的差是凡一个数的奇位数字的和同它的偶位数字的和相减（大的和减去小的和），所0 或是 11 的倍数时，这个数就是 11 的倍数．以下各数，哪些是 11 的倍数？(1)64273 (2)208549 (3)77360822【难度】★★★【答案】（ 1）、（ 2）、（ 3）都是 11 的倍数【分析】（ 1） 64273：（ 6+2+3）－（ 7+4 ） =0 ，是 11 的倍数；（2） 208549：（ 2+8+4）－（ 0+5+9 ）=0，是 11 的倍数；（3） 77360822：（ 7+6+8+2 ）－（ 7+3+0+2 ） =11，是 11 的倍数；∴（ 1）、（ 2）、（ 3）都是 11 的倍数．【总结】此题主要考察对13的倍数的观点的理解及运用．。
高中数学整数与整除教案
高中数学整数与整除教案一、教学目标：1. 理解和掌握整数的概念；2. 掌握整数的加、减、乘、除运算规律；3. 掌握整数的大小比较；4. 理解和掌握整除的概念及相关性质。
二、教学内容：1. 整数的概念及表示方法；2. 整数的加减法规律；3. 整数的乘法规律；4. 整数的除法规律；5. 整数的大小比较；6. 整除的概念及性质。
三、教学重点与难点：1. 整数的概念及加减乘除运算规律为重点；2. 整除的概念及相关性质为难点。
四、教学过程设计：1. 整数的概念及表示方法（5分钟）- 通过实例引导学生理解整数的概念，如正整数、负整数和零的概念。
- 教师板书整数的表示方法，引导学生掌握整数的表示形式。
2. 整数的加减法规律（15分钟）- 通过一些具体的例题，引导学生掌握整数的加减法规律。
- 讲解整数的加法和减法规律，引导学生进行相关练习。
3. 整数的乘法规律（15分钟）- 通过示例引导学生理解整数的乘法规律，包括同号相乘与异号相乘的规律。
- 讲解整数的乘法规律，引导学生进行相关练习。
4. 整数的除法规律（15分钟）- 通过实例引导学生理解整数的除法规律，包括整除和余数的概念。
- 讲解整数的除法规律，引导学生进行相关练习。
5. 整数的大小比较（10分钟）- 通过比较不同整数的大小，引导学生理解和掌握整数的大小比较方法。
- 讲解整数的大小比较规律，引导学生进行相关练习。
6. 整除的概念及性质（10分钟）- 通过实例引导学生理解整除的概念，包括约数和倍数的概念。
- 讲解整除的性质，引导学生进行相关练习。
五、教学总结与作业布置：1. 总结本堂课的重点内容，强调整数的加减乘除运算规律及整除的概念及性质。
2. 布置相关作业，让学生巩固所学知识。
六、板书设计：1. 整数的概念及表示方法2. 整数的加减法规律3. 整数的乘法规律4. 整数的除法规律5. 整数的大小比较6. 整除的概念及性质七、教学反思：通过本节课的设计和实施，整合了整数的基本概念及运算规律，加深了学生对整数和整除的理解和掌握。
六年级第一讲(教师讲义)整 数 和 整 除
第一讲（教师讲义）整数和整除【知识点1】1、整数整数；正整数、零、负正整统称为整数。
自然数：零和正整数统称为自然数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。
负整数的表示方法是在整数前面加上“–”最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
2、零0是一个数，是最小的自然数。
零的性质：1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。
3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）5）任何数与0相加，值不变。
6）任何数与0相乘，积等于0。
7）任何数减去0它的值不变。
8）相同的两个数相减，差等于0。
9）0不能作除数。
10）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。
11）0被非0的数除商等于0。
3、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
注意：整除与除尽的区别。
【知识点2】因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数) 一个的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身。
注意：在研究因数和倍数时，所指的自然数不包括0。
【知识点3】奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数．注意：奇数、偶数包括负整数，0是偶数能被2、5整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数都能被2整除．个位上是0或者5的数都能被5整除．补充：能被3整除的数：各位数上的数之和为3的倍数。
一、填空题1、大于-2小于2的整数有： .2、在6,13,25,39这四个数中，能被整除.3、一个数的因数只有她本身，这个数是 .4、如果n是奇数，则和它相邻的奇数是 .5、一个数既有50的因数，又有50的倍数，则这个数是 .6、自然数m的最小因数是，最大因数是，最小倍数是 .7、如果a能整除11，则a是 .8、已知三个连续的偶数是30，则这三个连续的偶数是 .9、能被2和5同时整除的最大三位数是 .10、50以内，7的倍数且是奇数的数有： .11、有一个两位数，十位和个位上的数字互换，得到一个新的两位数，新、旧两位数都能被5整除，那么这个两位数是 .12、用0,2,5这三个数字组成一个三位数，它同时能被2,5整除，这个三位数最大的是，最小的是 .13、233至少加上能被5整除，至少加上能被3整除，至少加上能2，3，5整除.14、一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则符合此条件的自然数中最小的数是 .二、选择题（每题3分，共15分）16、下列算式中表示整除的算式是（）(A) 0.80.4÷÷ (D) 11÷(B) 816÷(C) 16317、既是18的因数又是27的因数的数是（）(A) 1 ,2,3 (B) 1,3,6 (C) 1,2,9 (D) 1,3,918、从5,0,1,3四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，能同时被2,3,5整除的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个19、 A=2×3×5，A的因数有 ( )（A） 2、3、5 （B）2、3、5、6、10（C）1、2、3、5、6、10、15 （D）1、2、3、5、6、10、15、30三解答题（第20-25题各6分，26题7分，共43分）20、写出下列各数所有的因数.（1）11 （2）10221、一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，求这个数.22、从0、3、5、7这四个数字中，任选三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有几个，是哪几个？23、儿童乐园是3路和6路车的始发站，3路车每4分钟发一次车，6路车每3分钟发一次车.现在这两路车同时发车，至少再过多少时间又同时发车？24、数a的最大因数是60，且a是b的3倍，求a与b所含有的共同因数.25、48本爱心捐赠书籍分给一些学生，每人发一样多且不止一本，可以分给多少人？每人几本，有多少种分法？26、我们设n为大于5的正奇数，那么紧邻它而比它小的两个奇数可以表示为n －2和n－4，紧邻它而比它大的奇数可以表示为n＋2和n+4，因为n＋（n－4）+（n－2）＋（n＋2）+ （n+4）＝5n，所以我们可以说五个连续的奇数之和一定能被5整除.试用上面的方法说明“五个连续的正整数之和能被5整除”.回家作业：一：填空题：1、统称为自然数。
奥数教案 整数的整除问题教案
奥数教案整数的整除问题教案一、教学目标1. 让学生理解整除的概念，掌握整除的性质和判定方法。
2. 培养学生解决整数整除问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 培养学生运用整除性质解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
二、教学内容1. 整除的概念：整除是指一个整数除以另一个整数，商是整数，没有余数。
2. 整除的性质：(1) 如果一个整数能整除另一个整数，它能整除任何小于这个整数的整数。
(2) 如果一个整数能整除另一个整数，它的倍数也能整除这个整数。
(3) 任何整数都能整除1。
3. 整除的判定方法：(1) 如果一个整数是另一个整数的倍数，它能整除这个整数。
(2) 如果一个整数的质因数分解中包含另一个整数的质因数，它能整除这个整数。
三、教学重点与难点1. 教学重点：整除的概念，整除的性质和判定方法。
2. 教学难点：整除的判定方法，特别是质因数分解的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，让学生理解整除的概念和性质。
2. 采用举例法，让学生通过实际例子掌握整除的判定方法。
3. 采用练习法，让学生在实践中提高解决整数整除问题的能力。
五、教学步骤1. 引入整除的概念，讲解整除的定义和性质。
2. 通过举例，让学生理解整除的判定方法。
3. 布置练习题，让学生运用整除的性质和判定方法解决问题。
4. 讲解练习题，引导学生总结解题规律和方法。
5. 总结整除的概念、性质和判定方法，强调其在实际问题中的应用。
六、教学活动设计1. 课堂导入：通过讲解一个有趣的整除问题，引发学生对整除的兴趣，激发学生的学习热情。
2. 新课讲解：详细讲解整除的概念、性质和判定方法，通过举例让学生加深理解。
3. 课堂练习：布置一些有关整除的练习题，让学生在实践中掌握整除的运用。
4. 解答与讲解：针对学生所做的练习题，进行解答和讲解，引导学生总结解题规律和方法。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调整除在实际问题中的应用。
七、教学评价设计1. 课堂练习：评价学生在课堂练习中的表现，检查学生对整除概念、性质和判定方法的掌握程度。
初中数学整数整除教案
初中数学整数整除教案教学目标：1. 理解整除的概念，掌握整除的性质和判定方法。
2. 能够运用整除的概念解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学思维习惯。
教学重点：1. 整除的概念和性质。
2. 整除的判定方法。
教学难点：1. 整除的判定方法。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾整数的概念，即没有小数部分的数，包括正整数、负整数和零。
2. 提问：整数之间可以进行除法运算吗？如果有余数，我们怎么表示？二、新课讲解（15分钟）1. 引入整除的概念：如果一个整数a除以另一个整数b，得到的商是整数，且没有余数，那么我们说整数a能被整数b整除，记作a÷b=c，其中c是整数。
2. 讲解整除的性质：a) 整除是相互的，即如果a能被b整除，那么b也能被a整除（a、b不为0）。
b) 整除具有传递性，即如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。
3. 讲解整除的判定方法：a) 如果一个数是另一个数的倍数，那么它能被那个数整除。
b) 如果一个数能被另一个数整除，那么它能被那个数的因数整除。
三、练习巩固（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，检验对整除概念和判定方法的理解。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和讨论。
四、拓展应用（10分钟）1. 让学生举例说明整除在实际生活中的应用，如购物时找零、时间计算等。
2. 引导学生思考：整除和同余有什么关系？五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结整除的概念、性质和判定方法。
2. 强调整除在实际生活中的重要性。
教学反思：本节课通过讲解整除的概念、性质和判定方法，使学生掌握了整除的基本知识，能够运用整除解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生思考和讨论，提高学生的逻辑思维能力和数学思维习惯。
同时，通过练习题的训练，使学生巩固了所学知识。
但在教学过程中，也发现部分学生对整除的判定方法理解不够深入，需要在今后的教学中加强讲解和练习。
2022-2022年高中数学竞赛辅导资料《整除》
2022-2022年高中数学竞赛辅导资料《整除》整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ.整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合.我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，则不一定是整数.由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为除的余数.若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为.否则，|.任何的非的约数，叫做的真约数.0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数.由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若a|bi,则a|cb,其中ciii1niZ,i1,2,,n.（3）若，则反之，亦成立.（4）若.因此，若.（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个.特别地，若为质数，（7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数.（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数.（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.Ⅱ.最大公约数和最小公倍数定义二：设、是两个不全为0的整数.若整数c满足：，则称的公约数，的所有公约数中的最大者称为的最大公约数，记为.如果=1，则称互质或互素.定义三：如果、的倍数，则称、的公倍数.的公倍数中最小的正数称为的最小公倍数，记为.最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用表示的最大公约数，表示的最小公倍数.若，则称互质，若中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n个整数互质与n个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于有相同的公约数，且（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.Ⅲ.方幂问题一个正整数能否表成个整数的次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当时称为次方问题，当时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论：（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9.（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1.（3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6.（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7.（6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例题讲解1．证明：对于任何自然数和，数f(n,k)2n整数之积.2．设和均为自然数,使得3k4nk10都不能分解成若干个连续的正p11111.证明：可被1979整除.q23131813193．对于整数与，定义求证：可整除4．求一对整数，满足：(1)不能被7整除；（2）能被7整除.75．求设和是两个正整数，为大于或等于3的质数，），试证：（1）；（2）或6．盒子中各若干个球，每一次在其中个盒中加一球.求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是7．求所有这样的自然数，使得是一个自然数的平方.课后练习1．选择题（1）若数n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，则不是n的因数的最小质数是（）.（A）19（B）17（C）13（D）非上述答案（2）在整数0、1、2…、8、9中质数有某个，偶数有y个，完全平方数有z个，则某+y+z等于（）.（A）14（B）13（C）12（D）11（E）10（3）可除尽3+5的最小整数是（）.（A）2（B）3（C）5（D）3+5（E）以上都不是2．填空题（1）把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.(2)一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.(3)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.3.求使为整数的最小自然数a的值.4.证明:对一切整数n,n+2n+12不是121的倍数.5.设是一个四位正整数,已知三位正整数与246的和是一位正整数d 的111倍,又是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.6.能否有正整数m、n满足方程m+1954=n.7.证明：（1）133|（11+12），其中n为非负整数.(2)若将(1)中的11改为任意一个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动证明改动后的结论.n+2n+1222111811188.设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在ab-ab,bc-bc,ca-ca 三个数中,至少有一个能被10整除.3333339.100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少证明你的结论.课后练习答案１．Ｂ．Ｂ．Ａ２．（１）２·５．（２）２７．３．由2000a为一整数平方可推出a=5．４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）＝１２１（１１ｋ－１）．∵１１是素数且除尽（＋１），∴１１除尽ｎ＋１１１除尽（ｎ＋１）或１１｜１１ｋ－１，不可能．５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍数，∴只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．７．（１）１１＋１２＝１２１某１１＋１２某１４４＝１２１某１１ｎｎｎｎ＋１２某１１－１２某１１＋１２某１４４＝…＝１３３某１１＋１２某（１ｎｎｎｎ４４－１１）．第一项可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４－１１，∴ｎ＋２２ｎ＋１１３３｜１１＋１２．（２）１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ（ａ＋１）＋１．改动后命题ｎ＋２２ｎ＋１为ａ（ａ＋１）＋１｜ａ＋（ａ＋１），可仿上证明．８．∵ａｂ－ａｂ＝ａｂ（ａ－ｂ）；同理有ｂ（ｂ－ｃ）；ｃａ（ｃ－２ａ）．若ａ、ｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有２２２一个是５的倍数，则题中结论必成立．若均不能被５整除，则ａ，ｂ，ｃ个位数２２２２２２只能是１，４，６，９，从而ａ－ｂ，ｂ－ｃ，ｃ－ａ的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表示的数至少有一个被５整除，又２、５互质．９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公约数为ｄ，并令则ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１某３３２２２２２ｎ＋２２ｎ＋１ｎｎｎ２２２２５５１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１某９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１某１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值为１００１例题答案：1.证明：由性质9知，只需证明数不能被一个很小的自然数整除.因f(n,k)3n3k3nkn3knk103(n3knk3)nk(nk1)(nk1)1,3|3(n3knk3),3|nk(nk1)(nk1),31，故3，因而不能分解成三个或三个以上的连续自然数的积.再证不能分解成两个连续正整数的积.由上知，，因而只需证方程：无正整数解.而这一点可分别具体验算时，均不是形的数来说明.故对任何正整数、都不能分解成若干个连续正整数之积.2.证明：p111111(1)2()q23131924131811111)(1)2313192659111111=()()()66 013196611318989990111=1979某()66013196611318989990=(1两端同乘以1319！得1319！此式说明1979|1319！某由于1979为质数，且19791319！，故1979|【评述】把1979换成形如的质数，1319换成，命题仍成立.牛顿二项式定理和(ab)|ab,(ab)|ab(n为偶数),为奇数)在整除问题中nnnn经常用到.3.证明：当时，F(2m,1)mrm(2m1),r12mF(2m,k)rr12k1rm1rm2m2k1rr1mm2k1(2m1r)2k1r1[r2k1(2m1r)2k1],r1由于[…]能被整除，所以能被整除，另一方面，。
整数除法的教案
整数除法的教案教案标题：整数除法的教案教学目标：1. 理解整数除法的概念和运算规则；2. 掌握整数除法的计算方法；3. 能够应用整数除法解决实际问题。
教学重点：1. 整数除法的概念和运算规则；2. 整数除法的计算方法。
教学难点：1. 解决实际问题时如何应用整数除法。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教案、教学素材；2. 学生准备：课本、练习册。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师出示一道整数除法的例题，引发学生对整数除法的思考；2. 学生回答问题并与教师进行讨论，激发学生的学习兴趣。
二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过示意图或实物等形式，向学生介绍整数除法的概念；2. 教师讲解整数除法的运算规则，并通过示例演示。
三、计算方法讲解与练习（15分钟）1. 教师详细讲解整数除法的计算方法，包括正整数除法、负整数除法和正负整数相除的情况；2. 学生跟随教师的示范，完成一些简单的计算练习；3. 学生独立完成一些练习题，教师巡回指导。
四、应用实例（15分钟）1. 教师给出一些实际问题，要求学生运用整数除法进行解答；2. 学生分组合作，解决实际问题，并向全班展示解题过程和答案；3. 教师对学生的解答进行点评和总结。
五、拓展延伸（10分钟）1. 教师出示一些较难的整数除法题目，要求学生进行思考和解答；2. 学生尝试解答，并与同伴进行讨论；3. 教师对拓展题目进行讲解和解析。
六、小结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点知识进行小结，并强调学生需要掌握的要点；2. 学生进行课堂反思，总结自己的学习体会和不足之处。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和学习态度；2. 教师检查学生在课堂练习和应用实例中的答题情况；3. 教师布置课后作业，检查学生对整数除法的掌握情况。
教学延伸：1. 学生可通过课后作业巩固整数除法的知识；2. 学生可运用整数除法解决更复杂的实际问题；3. 学生可扩展学习其他相关知识，如整数的乘法和加减法。
整数乘除法速算巧算教师版
本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。
例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆） 711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c 积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．二、乘除法巧算与速算（1）凑整：2×5；4×25；8×125……；知识点拨教案目标整数乘除法速算与巧算（2）构造整数：99999......9101k =-k 个；（3）乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯； （4）提取公因数：()a b a c a b c ⨯+⨯=⨯+； 注意：除法算式中公因数只能用为除数。
人大附中 华杯赛资料--整除
整除
整除（一）
基础知识：
1.整除的定义、性质.
定义：如果a、b、c是整数并且，a÷b=c。
则称a能被b整除或者b能整除a，记做，否则称为a
不能被b整除或者b不能整除a，记做.
性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.
性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.
性质3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a.
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.
性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a整除.
2.被2（5）整除特征：以2，4，6，8，0（5，0）结尾.
3.被3，9整除特征：数字和被3，9整除.
4.被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；
被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.
5.被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.
6.被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、13整除.
7.整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.
例题：。
人教版高中数学竞赛讲座：整数的整除性
竞赛讲座 02－整数的整除性1．整数的整除性的有关概念、性质〔 1〕整除的定义：对于两个整数a、d〔d≠0〕，假设存在一个整数p，使得成立，那么称 d 整除 a，或 a 被 d 整除，记作 d|a 。
假设 d 不能整除 a，那么记作 d a ，如 2|6 ， 4 6 。
〔 2〕性质1〕假设b|a，那么b|(-a)，且对任意的非零整数m有 bm|am2〕假设a|b，b|a，那么|a|=|b|;3〕假设b|a，c|b，那么c|a4〕假设b|ac，而〔a，b〕=1〔〔a，b〕=1表示a、b互质，那么b|c；5〕假设b|ac，而b为质数，那么b|a ，或 b|c ；6〕假设 c|a ，c|b ，那么 c| 〔ma+nb〕，其中 m、n 为任意整数〔这一性质还可以推广到更多项的和〕例1 〔1987 年北京初二数学竞赛题〕 x，y， z 均为整数，假设 11｜〔 7x+2y-5z 〕，求证： 11｜〔 3x-7y+12z 〕。
证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而11｜ 11(3x-2y+3z),且11 ｜(7x+2y-5z),∴11 ｜ 4(3x-7y+12z)又(11,4)=1∴11｜ (3x-7y+12z).2.整除性问题的证明方法(1)利用数的整除性特征〔见第二讲〕例 2〔1980 年加拿大竞赛题〕设72｜的值。
解 72=8×9，且〔 8，9〕=1，所以只需讨论8、9 都整除的值。
假设 8｜，那么8｜，由除法可得ｂ＝２。
若9｜，那么9｜〔a+6+7+9+2〕，得a=3。
〔 2〕利用连续整数之积的性质①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被 2 整除。
②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是 3 的倍数，所以它们之积一定可以被 2 整除，也可被 3 整除，所以也可以被2×3=6 整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
【暑期数学培优课程】 第1册 PE 第06讲 整数和整除(上)教师版
第06讲整数和整除（上）教学目标：1、理解整除的意义，知道被2、3、5、9整除的数的特征；2、通过整数和整除问题的解决，提升数学整体把握能力；3、培养学员的基本计算技能，为变身小老师做准备。
教学重点：理解整除的意义，知道被2、3、5、9整除的数的特征。
教学难点：通过整数和整除问题的解决，提升数学整体把握能力。
教学过程：【知识拓展】例1、请问能够被2或3整除的一位数、两位数、三位数中最小数和最大数分别是多少？解析部分：第一步：引导学员对于此题中的整除概念进行分析和理解，明确被2整除或被3整除的数的特点，在纸上进行尝试计算，找出相关的数据；第二步：继续引导学员对于此题进行进一步的分析，可以有“被2整除：最小一位数是2，最大一位数是8，最小两位数是10，最大两位数是98，最小三位数是100，最大三位数是998；被3整除：最小一位数是3，最大一位数是9，最小两位数是12，最大两位数是99，最小三位数是102，最大三位数是999”；第三步：最后对于问题的解决过程进行回顾分析，引导学员对于被2整除或被3整除的数据特点进行回顾总结，找出其中的特征属性，并加深认识和理解。
参考答案：被2整除：最小一位数是2，最大一位数是8，最小两位数是10，最大两位数是98，最小三位数是100，最大三位数是998；被3整除：最小一位数是3，最大一位数是9，最小两位数是12，最大两位数是99，最小三位数是102，最大三位数是999。
例2、请问能够被5或9整除的一位数、两位数、三位数中最小数和最大数分别是多少？参考答案：被5整除：最小一位数是5，最大一位数也是5，最小两位数是10，最大两位数是95，最小三位数是100，最大三位数是995；被9整除：最小一位数是9，最大一位数也是9，最小两位数是18，最大两位数是99，最小三位数是108，最大三位数是999。
【阶段复习】练习1、请问能够被6整除的一位数、两位数、三位数中最小数和最大数分别是多少？参考答案：被6整除，则既能被2整除，又能被3整除：最小一位数是6，最大一位数也是6，最小两位数是12，最大两位数是96，最小三位数是102，最大三位数是996。
整数和整除的意义(教学设计)
1.1 整数和整除的意义教学流程提出问题 分类讨论 组间交流 总结归纳 教学目标1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义．2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念．3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。
重点、难点理解和掌握整除的概念。
教学过程一、 建立整数和自然数的概念：1、请你在卡片上写上一个数字，然后把它贴在黑板上。
你能根据一定的依据把这些数来分一分类吗？并说明理由。
（小组讨论）（小组讨论、归纳、交流）归纳：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。
在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。
零和正整数统称为自然数。
正整数、零和负整数，统称为整数。
2、把下列各数填在适当的圈内：12、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9正整数 自然数 整数二、建立整除的概念：1、你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗？（学生写完后任意贴。
）2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？并说明理由。
（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写）1、____________________________________________________________2、____________________________________________________________3、____________________________________________________________分类的理由：1、____________________________________________________________2、____________________________________________________________3、____________________________________________________________3、请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？归纳：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
整数除法 公开课教学设计
整数除法公开课教学设计目标本教学设计的目标是教授学生如何进行整数除法运算并理解相关概念。
教学大纲1. 引言- 介绍整数除法的定义和意义- 引导学生思考为什么整数除法与普通除法有所不同2. 整数除法的基本原理- 解释整数除法的基本原理，并与普通除法进行比较- 通过具体例子和图表说明整数除法的特点3. 整数除法的运算规则- 介绍整数除法的运算规则，包括正整数相除、负整数相除以及正负整数相除的情况- 提供示例和练，帮助学生掌握运算规则4. 整数除法的余数和商- 解释余数和商的概念及其意义- 教授学生如何计算余数和商，并进行相关练5. 整数除法的应用- 引入实际应用场景，例如时间和距离的计算- 鼓励学生运用所学知识解决实际问题6. 总结与评估- 总结整数除法的关键概念和运算规则- 对学生进行相关知识的评估，包括解答问题和解决问题的练教学方法1. 演示法：通过具体的例子和图表演示整数除法的计算过程和特点，帮助学生更好地理解。
2. 互动讨论：鼓励学生积极参与讨论，提出问题和解答问题，促进学生的思维和表达能力。
3. 组内合作：组织学生分组进行练和解决问题，培养学生的合作能力和团队合作精神。
4. 实践应用：引入实际应用场景，让学生将所学知识应用于解决实际问题，提高研究的实用性和兴趣性。
教学资源1. 教科书：选择适合年级和教学内容的教科书作为主要参考资料。
2. 课件：准备教学课件，包括示意图、示例和练题等，以便更好地演示和讲解。
3. 练资料：提供相关的练题和问题，帮助学生巩固所学知识和技能。
教学评估1. 课堂练：通过课堂练，检验学生对整数除法的掌握程度。
2. 个人作业：布置作业，让学生独立完成相关题目和问题，帮助巩固知识。
3. 小组项目：组织学生进行小组项目，让他们应用所学知识解决实际问题，并进行评估。
参考书目- 《数学教学法》- 《小学数学教育指导》- 《数学教学参考书》以上是整数除法公开课教学设计的内容，希望能够对您有所帮助。
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【例题讲解】题型：数的整除例题：【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。
而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。
因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。
【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？[思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手【解】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。
这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。
【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413。
[拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，【例4】女同学的人数超过总数的2/5 。
问男女生各多少人？【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。
题型：质数与合数（分解质因数）【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。
由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。
而能分解出5的一定是5的倍数。
注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。
2005=5×401 684=2×2×171375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。
因此□里最小是4。
[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A2，04年的为B2，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B2- A2=101此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，所以B2- A2=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×51=2601。
[拓展]：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）题型：约数和倍数【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。
辗转相除示例：2002÷847=2…308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？【解】：100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。
这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共2×3+1=7。
[拓展]：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？【例9】（★★★）1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10 个2。
【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。
1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。
（写出解题过程）【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。
不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。
因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。
题型：数论的综合题型【例11】（★★★★）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【解】：设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,…,12)因此x是1，2，….12的公倍数[1,2,…..12]=27720所以x=27720m27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4所以4m+9是13的倍数m=1,14,27….第一家电话号码是27720m+1 m取14合适；因此第一家电话号码是27720*14+1=388081[拓展]：写出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数…第11个是12的倍数？【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。
1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。
（写出解题过程）【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。
不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。
因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。
【课堂练习】1 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3 211+2121202+2121212113131313212121505 =＿＿。
4 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【课堂小结】本讲主要接触到以下几种典型题型：1）数的整除。