华杯赛经典教案--整数与整除(教师版)

【例题讲解】

题型：数的整除

例题：【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。

【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d

那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;

从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2

从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；

因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。

这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3

所以这24个四位数中最大的一个是7543。

【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？

[思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入

手

【解】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。

【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28

所以偶数位和奇数位上数字和均为14

为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6

那么第3位一定是5，第5位为1

该数最大为875413。

[拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？

（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，【例4】

女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？

【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。

题型：质数与合数（分解质因数）

【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?

【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一

定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能

分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。

2005=5×401 684=2×2×171

375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0

应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此□里最小是4。

[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____

【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？

【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A2，04年的为B2，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B2- A2=101

此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，

所以B2- A2=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，

但101是个质数，所以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×51=2601。

[拓展]：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）

题型：约数和倍数

【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77

所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。

辗转相除示例：

2002÷847=2…308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数

847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止

308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止

231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数

【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？

【解】：100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共2×3+1=7。

[拓展]：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共