2017届河南省洛阳市高三第一次统一考试---数学(理)
高三数学第一次统一考试(期末)试题 文(2021年整理)
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洛阳市2016—-2017学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1。
若复数z 满足()121i z i +=-,则z =A.25 B 。
35C 。
105 D.102。
已知全集{}{}2,|340,|22U R A x x x B x x ==-->=-≤≤,集合,则如图所示的阴影部分所表示的集合为A. {}|24x x -≤< B 。
{}|24x x x ≤≥或 C. {}|21x x -≤≤- D 。
{}|12x x -≤≤3.若[]0,θπ∈,则1sin 32πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立的概率为A. 13B. 12C. 23D 。
14。
已知平面向量,a b 满足2,1,a b a ==与b 的夹角为23π，且()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为A 。
7- B. 3- C.2 D 。
35.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A,B 两点,则“1k =”是“2AB =”的 A. 充分不必要条件 B 。
必要不充分条件 C 。
充要条件 D 。
既不充分也不必要条件6。
河南省洛阳市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
河南省洛阳市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( )A．3 B．11 C．8 D．122．已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( )A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞}3．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于( )A．B．C．D．﹣4．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π6．已知f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，设a=f（sinπ），b=f（cosπ），c=f（tanπ），则a，b，c的大小关系是，( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b7．执行如图的程序，则输出的结果等于( )A．B．C．D．8．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=，则实数λ的值为( )A．B．C．D．9．设F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为( )A．B．2 C．D．10．曲线y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为( )A．4+2B．2C．2 D．5+211．若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）B．，（﹣，1）∪（9，+∞）C．（1，9）D．（﹣∞，﹣）12．在平面直角坐标系中，点P是直线l：x=﹣上一动点，点F（，0），点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且=λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则|ST|的最小值为( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P（﹣2＜ξ＜0）=__________．14．若正四梭锥P﹣ABCD的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为__________．15．将函数y=sin（x）sin（X+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数ω的最小值为__________．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}，{b n} 均为等差数列，前n项和分别为S n，T n．（1）若平面内三个不共线向量，，满足=a3+a15，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使S n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；（2）若对n∈N+，有=，求使为整数的正整数n的集合．18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．19．已知圆S经过点A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2x﹣y﹣4=0上．（1）求圆S的方程（2）若直线x+y﹣m=0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为梯形AB∥CD，ABC=90°，BC=CD=2AB=2．（1）若CC1=2，E为CD1的中点，在侧面ABB1A1内是否存在点F，使EF⊥平面ACD1，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由；（2）令点K为BB1的中点，平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求DD1的长．21．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=ln（1+x）m﹣x（1）若函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）求证：（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2．河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( )A．3 B．11 C．8 D．12考点：集合的表示法．专题：集合．分析：根据题意和z=xy，x∈A且y∈B，利用列举法求出集合C，再求出集合C中的元素个数．解答：解：由题意得，A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，当x=1时，z=1或2或3；当x=2时，z=2或4或6；当x=3时，z=3或6或9；当x=4时，z=4或8或12；当x=5时，z=5或10或15；所以C={1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15}中的元素个数为11，故选：B．点评：本题考查集合元素的三要素中的互异性，注意集合中元素的性质，属于基础题．2．已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( )A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞}考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：求出复数的表达式，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：∵复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，∴===﹣i；∴，解得﹣6＜a＜，∴实数a的取值范围{a|﹣6＜a＜}．故选：B．点评：本题考查了复数的代数运算问题，解题时应注意虚数单位i2=﹣1，是基础题．3．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于( )A．B．C．D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用根与系数的关系表示出sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m的值，再利用完全平方公式求出sinθ﹣cosθ的值即可．解答：解：∵sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，可得（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，即=1+m，即m=﹣，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＞0，∵（sinθ﹣cosθ）2=（sinθ+cosθ）2﹣4sinθcosθ=﹣2m=1﹣+=，∴sinθ﹣cosθ==．故选：A．点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数考点：演绎推理的意义．专题：推理和证明．分析：根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论．解答：解：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；故选：B点评：本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断正方体的内部挖空了一个圆锥，该几何体的体积为23﹣×π×12×2运用体积计算即可．解答：解：∵几何体的三视图可得出：三个正方形的边长均为2，∴正方体的内部挖空了一个圆锥，∴该几何体的体积为23﹣×π×12×2=8，故选：D点评：本题考查了空间几何体的三视图，运用求解几何体的体积问题，关键是求解几何体的有关的线段长度．6．已知f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，设a=f（sinπ），b=f（cosπ），c=f（tanπ），则a，b，c的大小关系是，( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，则tanπ＜﹣1，＜sinπ，＜cosπ＜0，则tanπ＜﹣sinπ＜cosπ，则f（tanπ）＜f（﹣sinπ）＜f（cosπ），即f（tanπ）＜f（sinπ）＜f（cosπ），故c＜a＜b，故选：C点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．7．执行如图的程序，则输出的结果等于( )A．B．C．D．考点：程序框图．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T 的值．解答：解：执行程序框图，有i=1，s=0，t=0第1次执行循环，有s=1，T=1第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++…第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+此时有i=100，退出循环，输出T的值．∵T=1+++…+，则通项a n===，∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=．∴输出的结果等于．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了数列的求和，属于基本知识的考查．8．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=，则实数λ的值为( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件，，能够分别用表示为：，k∈R，，所以带入便可得到，=，所以根据平面向量基本定理即可得到，解不等式组即得λ的值．解答：解：如图，B，F，D三点共线，∴存在实数k使，；∴==；=；∵；∴；∴，解得．故选C．点评：考查向量加法运算及向量加法的平行四边形法则，共面向量基本定理，以及平面向量基本定理．9．设F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为( )A．B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|，a=b=1，c=；|F1P|﹣|F2P|=2，|F1P|2+|F2P|2=8；从而求出|F1P|=+1，|F2P|=﹣1；再出和即可．解答：解：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|，a=b=1，c=；|F1P|﹣|F2P|=2，|F1P|2+|F2P|2=8；故（|F1P|+|F2P|）2=2（|F1P|2+|F2P|2）﹣（|F1P|﹣|F2P|）2=2×8﹣4=12；故|F1P|+|F2P|=2；则|F1P|=+1，|F2P|=﹣1；故则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为+==；故选D．点评：本题考查了圆锥曲线的应用，考查了圆锥曲线的定义，属于基础题．10．曲线y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为( )A．4+2B．2C．2 D．5+2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：利用导数求出函数y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线方程，得到直线在两坐标轴上的截距，由勾股定理求得第三边，作和后利用基本不等式求最值．解答：解：由y=，得，则，∴曲线y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣x0）．整理得：．取y=0，得：x=2x0，取x=0，得．∴|AB|==2．∴△OAB的周长为=（x0＞0）．当且仅当x0=1时上式等号成立．故选：A．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．11．若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）B．，（﹣，1）∪（9，+∞）C．（1，9）D．（﹣∞，﹣）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．解答：解：（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0等价为λ（3x﹣y﹣6）+（x+y+6）=0，则，解得，即直线过定点D（0，﹣6）作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（2，1），B（5，2），此时AD的斜率k==，BD的斜率k==，当直线过A时，λ=9，当直线过B时，λ=﹣，则若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则满足直线的斜率≤≤，解得λ∈（﹣∞，﹣）∪（9，+∞），故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．12．在平面直角坐标系中，点P是直线l：x=﹣上一动点，点F（，0），点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且=λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则|ST|的最小值为( )A．B．C．D．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：由题意首先求出M的轨迹方程，然后在M满足的曲线上设点，只要求曲线上到圆心的距离的最小值，即可得到|ST|的最小值．解答：解：设M坐标为M（x，y），由MP⊥l知P（﹣，y）；由“点Q为PF的中点”知Q（0，）；又因为QM⊥PF，QM、PF斜率乘积为﹣1，即，解得：y2=2x，所以M的轨迹是抛物线，设M（y2，y），到圆心（3，0）的距离为d，d2=（y2﹣3）2+2y2=y4﹣4y2+9=（y2﹣2）2+5，∴y2=2时，d mln=，此时的切线长为，所以切点距离为2=；∴|ST|的最小值为；故选A．点评：本题考查了抛物线轨迹方程的求法以及与圆相关的距离的最小值求法，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P（﹣2＜ξ＜0）=0.2．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据正态分布的性质求解．解答：解：因为P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为P（ξ＞2）=0.3，所以P（﹣2＜ξ＜0）=故答案为：0.2．点评：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．14．若正四梭锥P﹣ABCD的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为（6﹣2）π．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：运用分割思想，连接OP，OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥，由大的四棱锥的体积等于四个三棱锥的体积和一个小的四棱锥的体积之和，根据正四棱锥的性质，求出斜高，即可求出球的半径r，从而得到球的表面积．解答：解：设球的半径为r，连接OP，OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥它们的高均为r，则V P﹣ABCD=V O﹣PAB+V O﹣PAD+V O﹣PBC+V O﹣PCD+V O﹣ABCD即×2×22=r（4×S△PBC+4），由四棱锥的高和斜高，及斜高在底面的射影构成的直角三角形得到，斜高为，∴S△PBC=×2×=，∴r=，则球的表面积为4π×（）2=（6﹣2）π．故答案为：（6﹣2）π．点评：本题主要考查球与正四棱锥的关系，通过分割，运用体积转换的思想，是解决本题的关键．15．将函数y=sin（x）sin（X+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数ω的最小值为2．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简可得y=sin（ωx﹣）+将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin（ωx﹣ω﹣）+，所得图象关于y轴对称，可得﹣ω﹣=k，k∈Z，从而可解得正数ω的最小值．解答：解：∵y=sin（x）sin（X+）=sin2+sinωx==sin（ωx﹣）+，∴将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin[ω（x﹣）﹣]+=sin（ωx ﹣ω﹣）+，∵所得图象关于y轴对称，∴﹣ω﹣=k，k∈Z，∴可解得：ω=﹣6k﹣4，k∈Z，∴k=﹣1时，正数ω的最小值为2，故答案为：2．点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形；不等式的解法及应用．分析：运用余弦定理和基本不等式，求出最小值，注意等号成立的条件，再由面积公式，即可得到．解答：解：由于b=1，a=2c，由余弦定理，可得，cosC====（3c+）≥=，当且仅当c=，cosC取得最小值，即有C取最大值，此时a=，则面积为absinC==．故答案为：．点评：本题考查余弦定理和三角形面积公式的运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}，{b n} 均为等差数列，前n项和分别为S n，T n．（1）若平面内三个不共线向量，，满足=a3+a15，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使S n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；（2）若对n∈N+，有=，求使为整数的正整数n的集合．考点：数列与向量的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：（1）根据平面向量的基本定理和A，B，C三点共线，以及等差数列的性质和求和公式，即可求出定值；（2）根据等差数列的求和公式得到====31+，继而求出正整数n的集合．解答：解：（1）∵A，B，C三点共线．∴∃λ∈R，使=λ，=λ（），即=（1﹣λ）+λ，又平面向量的基本定理得，，消去λ得到a3+a15=1，∵a3+a15=a1+a17=1，∴S17=×17×（a1+a17）=即存在n=17时，S17为定值．（2）由于====31+根据题意n+1的可能取值为2，4，所以n的取值为1或3，即使为整数的正整数n的集合为{1，3}点评：本题主要考查了向量以及等差数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生创造性解决问题的能力，属于中档题18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；解三角形．分析：（1）运用余弦定理，解出CD=1，再解直角三角形ADB，得到AE=1，再由面积公式，即可得到△ACE的面积；（2）在△ACE和△CDE中，分别运用正弦定理，求出CE，及sin∠CDE，再由诱导公式，即可得到∠DAB的余弦值．解答：解：（1）在△CDE中，CD==，解得CD=1，在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，S△ACE===；（2）设CD=a，在△ACE中，=，CE==（）a，在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1，则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1．点评：本题考查解三角形的运用，考查正弦定理和余弦定理，及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．19．已知圆S经过点A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2x﹣y﹣4=0上．（1）求圆S的方程（2）若直线x+y﹣m=0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：（1）线段AB的中垂线方程：y=x，联立，得S（4，4），由此能求出圆S的半径|SA|．（2）由x+y﹣m=0，变形得y=﹣x+m，代入圆S的方程，得2x2﹣2mx+m2﹣8m+7=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．解答：解：（1）线段AB的中垂线方程：y=x，联立，得S（4，4），∵A（7，8），∴圆S的半径|SA|==5．∴圆S的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．（2）由x+y﹣m=0，变形得y=﹣x+m，代入圆S的方程，得2x2﹣2mx+m2﹣8m+7=0，令△=（2m）2﹣8（m2﹣8m+7）＞0，得，设点C，D上的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=m，，依题意，得＜0，∴x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）＜0，m2﹣8m+7＜0，解得1＜m＜7．∴实数m的取值范围是（1，7）．点评：本题考查圆的半径的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意根的判别式和韦达定理的合理运用．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为梯形AB∥CD，ABC=90°，BC=CD=2AB=2．（1）若CC1=2，E为CD1的中点，在侧面ABB1A1内是否存在点F，使EF⊥平面ACD1，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由；（2）令点K为BB1的中点，平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求DD1的长．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以B为原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立坐标系，若存在这样的点F，则可设F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，利用EF⊥平面ACD1，求出y=﹣3，z=5，与0≤y≤1，0≤z≤2矛盾，即可得出结论；（2）设|DD1|=2k（k＞0），求出平面ACK的法向量、平面ACD1的法向量，利用向量的夹角公式，结合平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求出k，即可求DD1的长．解答：解：（1）以B为原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），D1（2，2，2），若存在这样的点F，则可设F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，=（﹣2，y﹣1，z﹣1），=（2，﹣1，0），=（0，2，2），∵EF⊥平面ACD1，∴，∴y=﹣3，z=5，与0≤y≤1，0≤z≤2矛盾，∴不存在满足条件的点F；（2）设|DD1|=2k（k＞0），则K（0，0，k），D1（2，2，2k），=（0，﹣1，k），=（2，1，2k），设平面ACK的法向量为=（x，y，z），则，取=（k，2k，2），同理平面ACD1的法向量为=（﹣k，﹣2k，2），则=∴k=±或（负值舍去），∴DD1的长为或．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．21．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B 的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=ln（1+x）m﹣x（1）若函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）求证：（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的导数，通过f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立，得到m的范围；（2）由题意得：ln（x+1）＜x，令g（x）=sinx﹣x，通过函数的单调性得sin1＜1，sin＜，…，sin＜，从而ln[（1+sin1）（1+sin）…（1+sin）]＜2，进而证出结论．解答：解：（1）∵f（x）=mln（1+x）﹣x，∴f′（x）=﹣1，∵函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，∴f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立，∵x∈（0，+∞），∴m≥1+x不能恒成立，而1+x＞1，∴m≤1时，f（x）为单调递减函数，综上：m≤1；（2）由（1）得m=1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴f（x）＜f（0），即ln（x+1）＜x，x∈（0，+∞），∵sin1•sin…sin＞0，∴ln（1+sin1）＜sin1，…，ln（1+sin）＜sin，令g（x）=sinx﹣x，x∈（0，），则g′（x）=cosx﹣1＜0，∴g（x）在（0，）上是减函数，∴g（x）＜g（0），即sinx＜x，x∈（0，），∴sin1＜1，sin＜，…，sin＜，∴ln（1+sin1）+ln（1+sin）+…+ln（1+sin）＜sin1+sin+…+sin＜1++…+＜1+++…+=1+（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=2﹣＜2，即ln[（1+sin1）（1+sin）…（1+sin）]＜2，∴（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2．点评：本题考查了函数的单调性问题，导数的应用，考查了不等式的证明问题，考查转化思想，有一定的难度．。
平衡力--三角形或相似三角形法
平衡力--三角形或相似三角形法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．如图所示，将质量为m的小球用橡皮筋悬挂在竖直墙的O点，小球静止在M点，N为O点正下方一点，ON间的距离等于橡皮筋原长，在N点固定一铁钉，铁钉位于橡皮筋右侧。
现对小球施加拉力F，使小球沿以MN为直径的圆弧缓慢向N运动，P为圆弧上的点，角PNM为60°。
橡皮筋始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，则A. 在P点橡皮筋弹力大小为B. 在P点时拉力F大小为C. 小球在M向N运动的过程中拉力F的方向始终跟橡皮筋垂直D. 小球在M向N运动的过程中拉力F先变大后变小【来源】山东省潍坊市2018届高三第三次高考模拟考试理综物理试题【答案】AC【解析】A、设圆的半径为R，则，ON为橡皮筋的原长，设劲度系数为k，开始时小球二力平衡有；当小球到达P点时，由几何知识可得，则橡皮筋的弹力为，联立解得，故A正确。
B、小球缓慢移动，即运动到任意位置均平衡，小球所受三个力平衡满足相似三角形，即，，因，可得,故B错误。
C、同理在缓慢运动过程中由相似三角形原理可知，则拉力F始终垂直于橡皮筋的弹力，C正确。
D、在两相似三角形中，代表F大小的边MP的长度一直增大，故F一直增大，故D错误。
则选AC。
【点睛】三力平衡可以运用合成法、作用效果分解法和正交分解法，而三力的动态平衡就要用图解法或相似三角形法，若有直角的还可以选择正交分解法。
2．如图所示，有一个固定的1/4圆弧形阻挡墙PQ，其半径OP水平、OQ竖直．在PQ墙和斜面体A之间卡着一个表面光滑的重球B，斜面体A放在光滑的地面上并用一水平向左的力F推着，整个装置处于静止状态．现改变推力F的大小，推动斜面体A沿着水平地面向左缓慢运动，使球B沿斜面上升一很小高度．在球B缓慢上升的过程中，下列说法中正确的是A. 斜面体A与球B之间的弹力逐渐减小B. 阻挡墙PQ与球B之间的弹力逐渐减小C. 水平推力F逐渐增大D. 水平地面对斜面体A的弹力不变【来源】江西省赣州市赣州中学2018届高三下学期4月模拟考试（B）物理试题【答案】AB【解析】小球B 处于平衡状态，对B 受力分析，如图所示：当球B 沿斜面上升一很小高度时，圆弧阻挡墙对B 的压力方向与水平方向的夹角减小，根据图象可知，斜面体A 与球B 之间的弹力2N 逐渐减小，阻挡墙PQ 与球B 之间的弹力1N 逐渐减小，故AB 正确；以斜面体为研究对象，则有上述解析可知球B 对斜面A 的弹力减小，则可以将该力分解为水平方向和竖直方向，该力与水平竖直所成夹角不变，所以竖直与水平分力都减小，而F 等于其水平分力，故F 减小，地面对A 的支持力等于A 的重力加上该力的竖直分力，故地面对A 的支持力也减小，故CD 错误。
河南省洛阳市2017届高三上学期期中考试数学(理)试题.doc
【考试时间：2016年10月13日15：00~17：00】洛阳市2016—2017学年高中三年级期中考试数 学 试 卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共60分注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}Z x x x A ∈=，＜＜3log 12，{}95＜x x B ≤=，则=⋂B A （ ） A ．),5[2e B.]7,5[ C ．}7,6,5{ D ．}8,7,6,5{2．复数i i++12的共扼复数是（ ） A ．i 2123+- B ．i 2123-- C.i 2123- D ．i 2123+3．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A ．若α//m ,β//m ，则βα// B ．若α//m ，βα//，则β//m C ．若α⊂m ，β⊥m ，则βα⊥ D ．若α⊂m ，βα⊥，则β⊥m 4．函数)42cos(ln π+=x y 的一个单调递减区间是（ ）A ．)8,85(ππ--B ．)8,83(ππ--C ．)8,8(ππ--D ．)83,8(ππ-5．O 为△ABC 内一点，且02=++OC OB OA ，AC t AD =，若D O B ,,三点共线，则t 的值为（ ） A ．41B ．31C ．21 D.32 6．一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（ ） A ．121 B ．31 C ．42 D.217.由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ）A ．12ln +B ．2ln 2-C ．212ln - D.212ln +8．直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 在BC 上，CD ＝2DB ，tan ∠BAD ＝51，则BAC ∠sin ＝（ ） A ．22 B ．23 C ．13133 D.22或13133 9．已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则方程182)(+-=x x x f 在 ),0(+∞解的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5 D.6 10．已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，14,2248==S S ，则=2016S （ ） A ．22252- B ．22253- C ．221008- D.222016-11．已知三棱锥ABC P -中，1===AC PB PA ，⊥PA 面ABC ，∠BAC ＝32π，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4C ．π5 D.π8 12．定义在R 上的函数)(x f 满足：xe x xf x f ∙=-')()(，且21)0(=f ，则)()(x f x f '的最大值为（ ）A ．0B ．21C ．1 D.2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡题目所指示的答题区域内作答。
2017届河南省洛阳市高三第一次统一考试---数学(理)
洛阳市2016——2017学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知i 为虚数单位，若实数,a b 满足()1a bi i i +=+，则a bi +的模为 23 D. 22.已知集合(){}{}|10,|1x A x x x B x e =-<=>，则()R C A B =IA. [)1,+∞B. ()0,+∞C. ()0,1D.[]0,13.已知12,x x R ∈，则1"1x >且21"x >是12"2x x +>且12,1"x x >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n ，已知m 为2或4时，5m n +>的概率为A.227 B. 29 C. 13 D. 235.已知下列函数中是周期函数且最小正周期为π的是A. sin cos y x x =+B.22sin 3y x x =-C. cos y x =D.3sin cos 22x xy =6.执行下面的程序，若输入的253,161a b ==，则输出的结果为A. 92B. 46C. 23D. 17.等差数列{}n a 为递增数列，若2211056101,11a a a a +=+=，则数列{}n a 的公差d 等于A. 1B. 2C. 9D. 108.已知向量()1,0,2,a b a ==r r r 与b r 的夹角为45o ，若,c a b d a b =+=-r r r u r r r ，则c r 在d u r 方向的投影为A. 5B. 5-1- 9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A. 103π B. 14π C. 1683π- D. 1643π- 10.已知实数,x y 满足条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为A. {}2,1-B. {}|2a R a ∈≠C. {}|1a R a ∈≠-D.{}|12a R a a ∈≠-≠且11.等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当n N *∈时，1n n S S -的最大值和最小值之和为 A. 23- B. 712- C. 14 D.56 12.四面体A BCD -中，60,3,2ABC ABD CBD AB CB DB ∠=∠=∠====o ,则此此四面体外接球的表面积为 A. 192π17πD.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为34y x =，则双曲线C 的离心率为 .14.若0525n x dx -=⎰，则()21n x -的二项展开式中2x 的系数为 .15.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A,B 两点，若230OA OB OF +-=u u u r u u u r u u u r r ，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为 .16.已知函数()ln xf x e m x =+（,m R e ∈为自然对数的底数），若对任意的正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，30.CAD BAD ∠=∠=o（1）若75,10ABC AB ∠==o ，且//AC BD ，求CD 的长；（2）若10BC =，求AC AB +的取值范围.18.（本题满分12分）如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均为直角梯形，90FAB DAB ∠=∠=o ,二面角F AB D --是直二面角,//,//,2, 1.BE AF BC AD AF AB BC AD ====（1）证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行；（2）求二面角F CD A --二余弦值.19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X ，求X 的分布列和期望.20.（本题满分12分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F,右顶点为A,B,C 是椭圆上关于原点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），线段AC 的中点为D ，B,F,D 三点共线.（1）求椭圆E 的离心率；（2）设()1,0F ，过F 的直线l 交E 于M,N 两点，直线MA,NA 分别与直线9x =交于P,Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆过点F.21.（本题满分12分）设函数()()211ln .2f x x a x a x =--- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭.请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 536πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；（2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.。
河南省洛阳市高三数学“一练”试题 理(含解析)新人教A版
河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。
洛阳市2017-2018学年高三一练答案(语数外理化生)
理） 共 ４ 页） ） 高三数学 （ ２ ０ １ ７． １ ２ 第１ 页 （ （
烄 ＋æ －３ ≥ ０ 设 ， 则 ɶ ＝ ２ ＋æ 的最小值与最大值的和为 ６． æ 满足约束条件烅 －æ ＋１ ≥ ０， 烆 ≤３ Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． １ ３ Ｄ． １ ４
已知函数 （ ）＝ ｓ ，先将 æ ＝ （ ）的图象上所有点的横 ７． ｉ ｎ ＋槡 ３ ｃ ｏ ｓ （ ∈ ∹） 坐标缩短到原来的 １ （ 纵坐标不变 ） ， 再将得 到 的 图 象 上 所 有 点 向 右 平 移θ （ ） θ＞０ ３ 个单位长度 ， 得到的图象关于 æ 轴对称 ，则θ 的最小值为 π Ａ． ９ π Ｂ． ３ ５ π Ｃ． １ ８ ２ π Ｄ． ３
２
中， 角 ≏， ， 的对边分别是 ，，， 若 ，， 成等比数列 ， 且 ｓ ｉ ｎ ＝ ２３ Ｂ． 槡 ３
１
＝
２
＋
３ Ｃ．槡 ３
２
Ｄ． ３ 槡 是以 为圆心 ， 以 ’ 为半 ２
２ ： ） 的焦点 ， 曲线 æ ＝２ ’ （ ’ ＞０
直线 ４ －３ 径 的圆 ， æ－２ ’ ＝０与曲线 则 ≏ Ａ． １ ６ ＝ Ｂ． ４
高三数学 （ 理） 共 ４ 页） ） ２ ０ １共９ ０分）
二、 填空题 ： 本大题共 ４ 小题 ， 每小题 ５ 分 ， 共２ ０分． ５， 槡 已知 ｓ 则ｃ １ ３． ｉ ｎ ｏ ｓ ｏ ｓ ４ ． α＋ｃ α＝ α＝ ２ 某校有 ４ 个社团向高一学生招收新成员 ， 现有 ３ 名同学 ， 每人只选报 １ 个社团 ， 恰 １ ４． 有 ２ 个社团没有同学选报的报法数有 种（ 用数字作答 ） ． 在半径为 的 球 面 上 有 不 同 的 四 点 ， ， ， ， 若 则平面 １ ５． ４ ΑΒ Α Β ＝ Α ＝ Α ＝ ４， 被球所截得图形的面积为 ． Β 已知 １ ６．
河南省洛阳市2017届高三第一次统一考试(期末)物理试题
一、选择题：共14 小题，每题 3 分，在每题给出的四个选项中，第1~9 题只有一项切合题目要求，第10~14 题有多项切合题目要求，所有选对得 3 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得0 分1．以下说法正确的选项是A．汽车在有积雪的路面上迅速转弯时简单发生侧滑，是因为汽车遇到了离心力B．在地球表面发射一个物体并使它绕月球运动，发射速度一定大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度C．牛立时空观以为时间和空间都是独立于物体及其运动而存在的D．爱因斯坦以为光是一份一份的，每一份叫一个光子，光子的能量跟光的流传速度成正比2．某质点只在三个恒力作用下做匀加快直线运动，假如忽然撤去此中一个恒力，则该质点以后不行能做A ．匀速直线运动B ．匀加快直线运动C．匀变速曲线运动D ．匀速圆周运动3．依据规定在七层以上高层写字楼或住所楼内都要配有起落电梯，某为同学总质量为40kg，乘坐电梯从所住的七楼向下运动，其所乘电梯的速度-时间图像以下图，已知重力加快度大小为g10m / s2，不计空气阻力，则A在第 1s 内，该同学处于超重状态B在第 9s 内，该同学对电梯的压力大小为320NC 在前2s 内，该同学的重力势能减少了800JD 在10s 内，该电梯的均匀速度为1m/s4．以下图， A 、B两物体的质量分别为2kg和1kg，静止叠放在水平面上， A 、 B 间的动摩擦因数为0.8，B 与地面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加快度为g 10m / s2，现对 A 施加一水平拉力F，不计空气阻力，则A ．当 F=17N 时，物体 A 的加快度为0.5m / s2B ．当 F=21N 时，物体 A 的加快度为3m / s2C．当 F=22N 时， A 相对 B 滑动D ．当 F=39N 时， B 的加快度为9m / s25．神舟十一号飞船经历多次变轨，到达与天空二号的距离地面393 公里的同样轨道，终于与天宫二号自动交会对接成功，景海鹏，陈冬在天空飞翔33 天，创建了中国航天员太空驻留时间的新记录，地球同步卫星即地球同步轨道卫星，又称为地静止卫星，是运转在地球同步轨道上的人造卫星，卫星距离地球表面的高度约为 36000kg，运转周期与地球自转一周的时间相等，即23 时 56 分 4 秒，探空火箭在3000km 高空仍发现有稀疏大气，由以上信息可知A．神舟十一号飞船变轨前发动机点火瞬时，飞船速度的变化量小于其所喷出气体速度的变化量B．神舟十一号飞船在点火后的变轨过程中机械能守恒C．仅由题中已知量能够求出天宫二号在对接轨道的公转周期D．神舟十一号飞船在返回地球的过程中速率在渐渐减小6．有甲、乙两只船，它们在净水中航行的速度分别为v1、 v2，此刻两船从同一渡口向河对岸开去，已知甲船想用最短时间渡河，乙船想以最短航程渡河，结果两船到达对岸的地址恰巧同样，则甲、乙两船渡河所用时间之比为v22v12v2v1A．v12B．v22C．v1D．v27．如图甲所示，圆滑导轨水平搁置在与水平方向夹角为60°的匀强磁场中，匀强磁场的磁感觉强度 B 随时间 t 的变化规律如图乙所示（0 规定图甲中 B 的方向为正方向），导体棒ab 垂直导轨搁置且与导轨接触良好，除电阻 R 的阻值外，其他电阻不计，导体棒ab 在水平拉力作用下一直处于静止状态，规定a→ b 的方向为电流的正方向，水平向右的方向为拉力的正方向，则在0~ t1时间内，能正确反应流过导体棒ab 的电流I 和导体棒 ab 所受水平拉力 F 随时间 t 变化的图像是8．以下图，小球 A 、B 质量均为m，初始带电量均为+q，都用长 L 的绝缘细线挂在绝缘的竖直墙上O 点，A 球紧靠绝缘的墙壁且其悬线恰巧竖直，B 球悬线偏离竖直方向角而静止，假如保持 B 球的电量不变，1 时，以下判断正确的选项是使 A 球的电量迟缓减小，当两球间距迟缓变成本来的3A ．小球 A 遇到细线的拉力大小不变B ．小球 B 遇到细线的拉力变小C．两球之间的库仑力大小不变1D ．小球 A 的电量减小为本来的279．以下图，一段不行伸长的轻质细绳长为L，一端固定在O 点，另一端系一个质量为m 的小球（可视为质点），保持细绳处于挺直状态，把小球拉到跟O 点登高的地点由静止开释，在小球摆到最低点的过程中，不计空气阻力，重力加快度大小为g，则A ．协力做功为零B ．协力的冲量为零C．重力做的功为mgLD ．重力的冲量为m 2gL10．以下图的电路中，电源的电动势为E，内阻为r，R1、R2、R3为定值电阻，R 为光敏电阻， C 为电容器，闭合开关S，电路稳固后，若减小对R 的光照程度，则A ．电压表示数增大B ．电源的效率增大C．电容器所带的电荷量增添D ．R2耗费的功率增大11．以下图，在x 轴上方有一个无线大的垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感觉强度大小为 B ，在xOy平面内，从原点O 处以速率v 发射一个带负电的粒子，方向与x 轴方向成角（ 0<<），不计重力，则A ．若必定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短B ．若必定，v越大，则粒子走开磁场的地点距O 点越远C．若 v 必定，越大，则粒子在磁场中运动的时间越长D ．若 v 必定，越大，则粒子走开磁场的地点距O 点越远12．以下图，理想变压器输入端接在电动势随时间变化，内阻为r 的沟通电源上，输出端接理想电流表及阻值为 R 的负载，变压器原副线圈匝数之比为n1，则以下说法正确的选项是n2A ．沟通电源的最大效率为 50％B ．该沟通电源电动势的刹时价表达式为e E m sin100tVn1 n2 E mC．电流表的读数为2( n12 R n22r )D ．若电阻 R 阻值增大，则变压器副线圈两头电压变大13．以下图，电路中 A 、 B 是两个完整同样的灯泡，L 是一个自感系数很大，直流电阻为零的自感线圈，则以下判断正确的选项是A ． S 刚闭合瞬时，A 灯和B 灯同时亮B ． S 闭合后电路稳固前， B 先亮一下再渐渐变暗， A 渐渐变暗C． S 闭合电路稳固后， A 灯和 B 灯亮度同样D ． S 闭合电路稳固后，再断开S 时， A 灯要亮一下再熄灭14．以下图，直流为m=245g 的物块（可视为质点）方在质量为M=0.5kg的木板左端，足够长的木板静止在圆滑水平面上，物质与木板间的动摩擦因数为μ=0.4，质量为m0=5g的子弹以速度v0=300m/s沿水平方向射入物块并留在此中（时间极短），g 10 m / s2，则在整个过程中A．物块和木板构成的系统动量守恒B．子弹的末动量大小为 0.01kgm/sC．子弹对物块的冲量大小为0.49NsD ．物块相对木板滑行的时间为1s二、填空题15．某物理兴趣小组在“考证平行四边形定章”的实验中，找到两条劲度系数同样的橡皮筋（依据胡可定律）和若干小重物，以及刻度尺、三角板、铅笔、白纸、钉子，设计了以下图实验，将两条橡皮筋的一端用细绳连结与结点 O，两条橡皮筋的另一端分别挂在墙上的钉子 A 及重物 C 上，同时用一条细绳一端与结点 O 相连，另一端用钉子 B 固定在墙上。
2017-2018学年河南省洛阳市尖子生高三(上)第一次联考数学试卷(理科)
2017-2018学年河南省洛阳市尖子生高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合，B={x|lnx＜0}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．R D．{0，1}2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i （i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．13．（5分）如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．（5分）如图的程序框图所描述的算法，若输入m=209，n=121，则输出的m 的值为（）A．0 B．11 C．22 D．887．（5分）在等比数列{a n}中，a2，a16是方程x2+6x+2=0的根，则的值为（）A．B．C．D．或8．（5分）已知点O是锐角三角形ABC的外心，若（m，n∈R），则（）A．m+n≤﹣2 B．﹣2≤m+n＜﹣1 C．m+n＜﹣1 D．﹣1＜m+n＜09．（5分）设双曲线C：的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任一点P到直线MN的距离，则的值为（）A．B．C．D．无法确定10．（5分）已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=sin（sinx）+cos（sinx），x∈R，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是周期函数且最小正周期为πB．函数f（x）是奇函数C．函数f（x）在区间上的值域为D．函数f（x）在是增函数12．（5分）已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足条，则z=的取值范围是．14．（5分）已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）=0.64，P （0＜Y＜2）=p，则P（Y＞4）=．15．（5分）已知（1+ax+by）5（a，b为常数a∈N*，b∈N*）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数，的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．+1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E 是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．19．（12分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应用而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？（参考公式：回归直线方程=x +，其中=，=﹣）20．（12分）如图，点F 是抛物线τ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且=（2，0），点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 斜率分别为k 1，k 2．（ I ）求抛物线τ的方程；（Ⅱ）若k 2﹣k 1=2，点D 是点B ，C 处切线的交点，记△BCD 的面积为S ，证明S 为定值．21．（12分）已知函数f （x ）=（x 3﹣6x 2+3x +t ）e x ，t ∈R ． （1）若函数y=f （x ）有三个不同的极值点，求t 的值；（2）若存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m ]，不等式f （x ）≤x 恒成立，求正整数m 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，且直线l经过曲线C的左焦点F．（I ）求直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1﹣2a|+|x﹣a2|，g（x）=x2﹣2x﹣4+（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，求实数a的取值范围．2017-2018学年河南省洛阳市尖子生高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合，B={x|lnx＜0}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．R D．{0，1}【解答】解：由A中的不等式解得：x＞1或x＜0，即A={x|x＞1或x＜0}，由B中的不等式解得：0＜x＜1，即B={x|0＜x＜1}，则A∩B=∅则∁R（A∩B）=R故选：C．2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i （i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．1【解答】解：由z（1﹣i）2=1+i，得，∴|z|=．故选：B．3．（5分）如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=故选B．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由图可知该几何体是一个四棱锥其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=×2×2=2高为1则V==故选C5．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D．6．（5分）如图的程序框图所描述的算法，若输入m=209，n=121，则输出的m 的值为（）A．0 B．11 C．22 D．88【解答】解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88此时m=121，n=88，m除以n的余数是33此时m=88，n=33，m除以n的余数是22此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，此时m=11，n=0，退出程序，输出结果为11，故选：B．7．（5分）在等比数列{a n}中，a2，a16是方程x2+6x+2=0的根，则的值为（）A．B．C．D．或【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q，a2，a16是方程x2+6x+2=0的根，可得a2a16=2，即有a12q16=2，即有a92=2，则的值为a9=±．故选：D．8．（5分）已知点O是锐角三角形ABC的外心，若（m，n∈R），则（）A．m+n≤﹣2 B．﹣2≤m+n＜﹣1 C．m+n＜﹣1 D．﹣1＜m+n＜0【解答】解：∵O是锐角△ABC的外心；∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，则m＜0，n＜0；∵（m，n∈R），∴=m2+n2+2mn•，设向量夹角为θ，则：1=m2+n2+2mncosθ＜m2+n2+2mn=（m+n）2；∴m+n＜﹣1，或m+n＞1（舍去）；∴m+n＜﹣1．故选：C9．（5分）设双曲线C：的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任一点P到直线MN的距离，则的值为（）A．B．C．D．无法确定【解答】解：双曲线C的方程：中a=4，b=3，c==5，右焦点为F（5，0），相应的渐近线：y=±x，M在直线y=x上，N在直线y=﹣x上，设直线MF的斜率为﹣，其方程为：y=﹣（x﹣5），设M（t，t），代入直线MF的方程，得：t=﹣（t﹣5），解得：t=，即M（，），由对称性可得N（，﹣），直线MN方程为x=，设P（m，n），可得﹣=1，即为n2=（m2﹣16），则|PF|===|5m﹣16|，则==．故选：B．10．（5分）已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线．∵正四面体ABCD的棱长为4∴正方体的棱长为2∵球O与正四面体的各棱都相切，∴球O的直径为正方体的棱长2，则球O的体积V==．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=sin（sinx）+cos（sinx），x∈R，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是周期函数且最小正周期为πB．函数f（x）是奇函数C．函数f（x）在区间上的值域为D．函数f（x）在是增函数【解答】解：f（x）=sin（sinx）+cos（sinx）=sin（sinx+），∵f（π+x）==，不满足对任意实数x 恒有=，故A错误；∵f（﹣x）=，不满足对任意实数x恒有=﹣，故B错误；当x∈时，sinx∈[0，1]，sinx+∈[，]，∴sin（sinx+）∈[]，则sin（sinx+）∈[1，]，故C正确；当x∈时，sinx∈[，1]，sinx+∈[，]，而∈[，]，则函数f（x）在上不是单调函数，故D错误．故选；C．12．（5分）已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1【解答】解：令f（x）=0，分离参数得a=，令h（x）=，由h′（x）==0，得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2==μ3=，=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足条，则z=的取值范围是[3，9] ．【解答】解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，3）时l0最大，k也最大为9，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故答案为：[3，9]．14．（5分）已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）=0.64，P （0＜Y＜2）=p，则P（Y＞4）=0.1．【解答】解：∵随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），P（X≥1）=0.64，∴P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）==0.64，解得p=0.4，或p=1.6（舍），∴P（0＜Y＜2）=p=0.4，∴P（Y＞4）=（1﹣0.4×2）=0.1．故答案为：0.1．15．（5分）已知（1+ax+by）5（a，b为常数a∈N*，b∈N*）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数，的最小值为2．【解答】解：（1+ax+by）5（a，b为常数a∈N*，b∈N*）的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，∴（1+b）5=243，解得b=2；时，∴x+∈[，]，∴sinx+cosx=sin（x+）∈[1，]；∴函数===（sinx+cosx）+≥2=2，当且仅当sinx+cosx=1时取“=”；∴f（x）的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是[0，+∞）．+1﹣（n+2）a n=λ（n2+2n）=λn（n+2），【解答】解：由na n+2得，∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，∵a1=1，a2=2，∴当n为奇数时，，∴；当n为偶数时，，∴．，得＜，当n为奇数时，由a n＜a n+1即λ（n﹣1）＞﹣2．若n=1，λ∈R，若n＞1则λ＞，∴λ≥0；当n为偶数时，由a n＜a n，得＜，+1即3nλ＞﹣2，∴λ＞，即λ≥0．综上，λ的取值范围为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…（1分）所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…（2分）解得AP=2．…（3分）所以AC=2．…（4分）所以△APC是等边三角形．…（5分）所以∠ACP=60°．…（6分）（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…（10分）在△APB中，由正弦定理得，…（11分）所以sin∠BAP==．…（12分）法2：作AD⊥BC，垂足为D，因为△APC是边长为2的等边三角形，所以．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）所以BD=4．在Rt△ADB中，，…（10分）所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…（11分）==．…（12分）18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E 是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD．…（1分）因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB．…（2分）又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，…（3分）所以AB⊥平面ADC．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，所以二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD．…（5分）又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD．依题意．…（6分）因为AD=1，所以．设AB=x（x＞0），则．依题意△ABD～△BDC，所以，即．…（7分）解得，故．…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，所以，．由（Ⅰ）知平面BAD的法向量．…（9分）设平面ADE的法向量由得令，得，所以．…（10分）所以．…（11分）由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值为．…（12分）19．（12分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应用而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？（参考公式：回归直线方程=x +，其中=，=﹣）【解答】解：（Ⅰ）由题意，=3.5，=16，===2，=﹣=16﹣2×3.5=9，∴=2x +9，x=7时，=2×7+9=23，即预测M 公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率为23%；（Ⅱ）由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴每辆A款车的利润数学期望为（500﹣1000）×0.2+（1000﹣1000）×0.35+（1500﹣1000）×0.35+（2000﹣1000）×0.1=175元；每辆B款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴每辆B款车的利润数学期望为（500﹣1200）×0.1+（1000﹣1200）×0.3+（1500﹣1200）×0.4+（2000﹣1200）×0.2=150元；∵175＞150，∴应该采购A款车．20．（12分）如图，点F是抛物线τ：x2=2py （p＞0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且=（2，0），点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k1，k2．（I）求抛物线τ的方程；（Ⅱ）若k2﹣k1=2，点D是点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S 为定值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，y0），可知F（0，），故．∴，代入x2=2py，得p=2．∴抛物线τ的方程为x2=4y．（Ⅱ）过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B（），C（），由（Ⅰ）得A（﹣2，1）．=2，∴x2﹣x1=8．直线DBy=，直线CDy=，解得．∴直线BC的方程为y﹣=，将x D代入得．∴△BCD的面积为S=×ED×（x2﹣x1）==（定值）21．（12分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）e x，t∈R．（1）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的值；（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．【解答】解：（1）f'（x）=（x3﹣3x2﹣9x+3+t）e x，令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，又g'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3），令g'（x）=0，得x=﹣1或3，且g（x）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在区间（﹣1，3）递减，故问题等价于即有解得﹣8＜t＜24．（2）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）e x≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x，转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立，即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立，即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2，因为1≤r≤m，有r'（x）＜0，故r（x）在区间[1，m]上是减函数，又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0，故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0，当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0，从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0，所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ'（x）＜0．故使命题成立的正整数m的最大值为5．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，且直线l经过曲线C的左焦点F．（I ）求直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ2=，即ρ2+ρ2sin2θ=4，可得直角坐标方程：x2+2y2=4，化为：+=1．∴c==，可得作焦点F．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：x﹣y=m，把代入可得：m=﹣．∴直线l的普通方程为：x﹣y+=0．（II）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为．∴椭圆C的内接矩形的周长为L=8cosθ+4sinθ=4sin（θ+φ）≤4（其中tanφ=）．∴椭圆C的内接矩形的周长的最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1﹣2a|+|x﹣a2|，g（x）=x2﹣2x﹣4+（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，则|2a2﹣2a|+|a2﹣1|＞4|a﹣1|，∴2|a|+|a+1|＞4，a＜﹣1，则﹣2a﹣a﹣1＞4，∴a＜﹣，∴a＜﹣；﹣1≤a≤0，则﹣2a+a+1＞4，∴a＜﹣3，不成立；a＞0，则2a+a+1＞4，∴a＞1，综上所述，a＜﹣或a＞1；（Ⅱ）f（x）=|x+1﹣2a|+|x﹣a2|≥|1﹣2a+a2|，g（x）=x2﹣2x﹣4+=（x ﹣1）2+﹣5≥﹣1若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，则|1﹣2a+a2|≤1，∴0≤a≤2．。
2017年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含答案及解析)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省洛阳市2017届高中三年级第一次统一考试(理科)
河南省洛阳市2017届高中三年级第一次统一考试（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知为虚数单位，若实数，满足，则的模为A. B. C. D.2. 已知集合，，则A. B. C. D.3. 已知，则“且”是“且”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为，，为或时，的概率为A. B. C. D.5. 下列函数中，是周期函数且最小正周期为的是A. B.C. D.6. 按下面的程序框图，若输入的，，则输出的结果为A. B. C. D.7. 等差数列为递增数列，若，，则数列的公差等于A. B. C. D.8. 已知，，且，则为A. B. C. D.9. 已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为A. B. C. D.10. 已知实数，满足条件若取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数的取值集合为A. B.C. D. 且11. 等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值之和为A. B. C. D.12. 四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率______．14. 若，则的二项展开式中的系数为______．15. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，若，则弦中点到抛物线的准线的距离为______．16. 已知函数（，为自然对数的底数），若对任意正数，，当时都有成立，则实数的取值范围是______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 如图，平面四边形中，．（1）若，，且，求的长；（2）若，求的取值范围．18. 如图，四边形和四边形均是直角梯形，，二面角是直二面角，，，，．（1）证明：在平面上，一定存在过点的直线与直线平行；（2）求二面角的余弦值．19. 雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A，B，C三个城市进行治霾落实情况抽查．（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；（2）每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为，求的分布列和期望．20. 设椭圆的右焦点为，右顶点为，，是椭圆上关于原点对称的两点（，均不在轴上），线段的中点为，且，，三点共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设，过的直线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点．证明：以为直径的圆过点．21. 定义域为的函数满足：对于任意的实数，都有成立，且当时恒成立，且．（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明为减函数；若函数在上总有成立，试确定应满足的条件；（3）解关于的不等式，（是一个给定的自然数，）．22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．23. 已知．（1）将的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象．（2）若，对，恒成立，求的取值范围．答案第一部分1. B2. A3. A4. D5. B6. C7. A8. B9. D 10. D11. C 12. A第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）由已知，易得，在中，．因为，所以，，在中，，所以．在中，．（2），，而，所以，解得，故的取值范围为．18. （1）由已知得，，平面，平面，所以 平面．同理可得， 平面．又，所以平面 平面．设平面平面，则过点．因为平面 平面，平面平面，平面平面，所以，即在平面上一定存在过点的直线，使得．（2）因为平面平面，平面，平面平面，又，所以，所以平面，因为平面，所以．因为，所以．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图．，，，所以，．设平面的法向量为，则不妨取，则，不妨取平面的一个法向量为，所以，由于二面角为锐角，因此二面角的余弦值为．19. （1）随机选取，共有种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为．（2）设事件：“一个城市需复检”，则，的所有可能取值为，，，，，，，．所以的分布列为，．20. （1）解法一：由已知，，设，，则，因为，，三点共线，所以，又，，所以，所以，从而．解法二：设直线交于，连接，是的中位线，所以且，所以，所以．所以，解得，从而．（2）因为的坐标为，所以，从而，所以．所以椭圆的方程为．设直线的方程为，由，所以，，其中，．所以直线的方程为，所以，同理，从而所以，即以为直径的圆恒过点．21. （1）由已知对于任意，，恒成立．令，得，所以．令，得．所以对于任意，都有．所以是奇函数．（2）设任意且，则，由已知，又，由得，根据函数单调性的定义知在上是减函数．所以在上的最大值为．要使恒成立，当且仅当，又因为所以．又，，所以．（3），所以．所以，由已知得．所以，因为在上是减函数，所以．即，因为，所以．讨论：①当，即，解集为或；②当即时，原不等式解集；③当时，即时，原不等式的解集为或．22. （1）因为圆的参数方程为（为参数），所以圆心的坐标为，半径为，圆的普通方程为．（2）将，代人，得圆的极坐标方程．设，则由解得，．设，则由解得，．所以．23. （1）由已知，得．函数的图象如图所示．（2）因为，且，所以，当且仅当，即，时等号成立．因为恒成立，所以，结合图象知，所以的取值范围是．。
河南省洛阳市2017届高三第一次统一考试 数学(文)
洛阳市2016——2017学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数z 满足()121i z i +=-，则z =A.25 B. 35C. 105102.已知全集{}{}2,|340,|22U R A x x x B x x ==-->=-≤≤，集合，则如图所示的阴影部分所表示的集合为A. {}|24x x -≤<B. {}|24x x x ≤≥或 C. {}|21x x -≤≤- D. {}|12x x -≤≤ 3.若[]0,θπ∈，则1sin 32πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立的概率为 A.13 B. 12 C. 23D.1 4.已知平面向量,a b 满足2,1,a b a ==与b 的夹角为23π，且()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为A. 7-B. 3-C.2D.35.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A,B 两点，则“1k =”是“2AB =”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()f x 是偶函数，当0x >时，()f x 单调递减，设0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为A. ()()()f c f b f a <<B. ()()()f c f a f b <<C. ()()()f c f b f a >>D. ()()()f c f a f b >>7.某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S 的值为A. 1007B. 1008C.2016D. 3024 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.152π B. 8π C. 172πD.9π 9.已知函数()()2142,11log ,1a x a x f x x x ⎧-+-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()f x 的值域为R,则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. (],2-∞C. (]0,2D.[)2,+∞10.已知双曲线22:142x y E -=，直线l 交双曲线于A,B 两点，若A,B 的中点坐标为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，则l 的方程为 A. 410x y +-= B. 20x y += C. 2870x y ++= D.430x y ++= 11.已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是A. (),1-∞B. ()0,1C. 21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.210,e e +⎛⎫⎪⎝⎭12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC ∆是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为 A. 163π B. 403π C. 643π D.803π第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足1021050y x y x y -≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数z x y =-的最小值为 .14.若1sin 34πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭为 . 15.设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F,右顶点为A,B,C 是椭圆E 上关于原点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为 . 16. 在ABC ∆中，30,5,B AC ∠==D 是AB 边上的一点，CD=2，，若ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为4，则BC= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为1,0,1n n S a a ≠=，且()1243.n n n a a S n N *+=-∈（1）求2a 的值，并证明：22n n a a +-=； （2）求数列{}n a 的通项公式.18.（本题满分12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面相互垂直，1//,,1,2AB CD AB BC DC BC AB ⊥===点M 在线段EC 上. （1）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；（2）若//AE 平面MDB ，求三棱锥E MDB -的体积.19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每个城市都必须由专家组选取，求A 城市恰有两有专家组选取的概率；（2）在检查的过程中专家组从A 城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：根据上述的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患有呼吸道疾病”有关？20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C x py p =>，过焦点F 的直线交C 于A,B 两点，D 是抛物线的准线l 于y 轴的交点.（1）若//AB l ，且ABD ∆的面积为1，求抛物线的方程；（2）设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N,证明：直线AN 与抛物线相切.21.（本题满分12分）已知函数()()21ln ,0.2f x x x a x a =-+> （1）若1a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()1232ln 24f x f x --+>.请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象； （2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.。
2017年高考全国卷I卷(理数)试题及答案详细解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则( )A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( ) A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( ) A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( ) A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
洛阳市2016—2017学年高三第一次统一考试文科数学试卷
狓 ２ 又狓 ′＝ ． ∴ ＝２ 狆 狔， 狔 狆 狓 １ ２ ∴ 抛物线 狓 ＝２ 狆 狔 在 犃 处的切线斜率犽 ＝ ． 狆 ∴ 直线 犃 犖 与抛物线相切 ．
１ ２ １ ， 解： （ ） ′（ ２ １． １ 犪 ＝１时， 狓）＝ 狓 ｎ 狓， 狓）＝ 狓 －１＋ －狓 ＋ｌ 犳（ 犳 ２ 狓 ）＝ １， ）＝－ ′（ １ １ 犳 犳（ １， １ 即 狔 ＝ 狓－ ３ ． － ）＝ 狓 －１， ∴ 狔－ （ ２ ２ ２ （ ） 在 （ ， （ ） ） 处的切线方程为 ……３ 分 ∴ 犳 狓 １犳 １ ２ 狓 －２ 狔 －３ ＝ ０． ……１ １分 ……１ ２分
高三数学（文）第 1 页 （共 4 页）（2017.1）
高三数学（文）第 2 页 （共 4 页）（2017.1）
高三数学（文）第 3 页 （共 4 页）（2017.1）
高三数学（文）第 4 页 （共 4 页）（2017.1）
洛阳市２ — —２ ０ １ ６— ０ １ ７学年高中三年级第一次统一考试
其中 ， 如表中前三列所示 ． 犃 城市恰有两个专家组选取的有 １ ２ 种不同方法 ， ……４ 分 ２ １ 故 犃 城市恰有两个专家组选取的概率 犘 ＝ １ ＝ ． ３ ６ ３ ） ４ ０ ０× （ ４ ０×２ ４ ０－６ ０×６ ０ （ ） ２ 犓２ 的观测值 犽 ＝ ６， ＝１ １ ０ ０×３ ０ ０×１ ０ ０×３ ０ ０ １ ６ ＞ ６． ６ ３ ５， 户外作业 ”与 “ 患呼吸道疾病 ”有关 ． 所以有超过 ９ ９ ％ 的把握认为 “ 解 ： （ ） ， ２ ０． １ ∵ 犃 犅 ∥犾 ∴ 狘犉 犇 狘＝ 狆， 犅 狘＝ ２ 狘犃 狆．
综上 ： 当犪 ≥ １ 时 ， 狓）在 （ ０， ＋ ∞ ）上单调递增 ． 犳（ ４ １ １ ４ 犪１ １ ４ 犪 当 ０ ＜犪 ＜ １ 时 ， 狓）在 （ － 槡 － ， ＋ 槡 － ）上单调递减 ， 犳（ ４ ２ ２ １ １ ４ 犪 １＋ 槡 １－４ 犪， 在（ 在（ ０， － 槡 － ）上单调递增 ， ＋ ∞ ）上单调递增 ． ２ ２ ……７ 分 （ ）由 （ ）知 ０ ＜ 犪 ＜ １ 时 犳（ ３ ２ 狓）存在两个极值点 狓 狓 １， ２， ４ ２ 且狓 ， 狓 狓 狓 ． ∴ 狓 １， ２ 是方程 狓 －狓 ＋犪 ＝ ０ 的两根 ． １ ＋狓 ２ ＝１ １· ２ ＝犪 ……８ 分 １ ２ １ ２ ∴ 犳（ 狓 狓 ｌ ｎ 狓 狓 ｌ ｎ 狓 ＋犳（ ＝ 狓 １） ２） １ －狓 １ ＋犪 １＋ ２ －狓 ２ ＋犪 ２ ２ ２ １ ２ （ 狓 狓 狓 ｌ ｎ 狓 狓 ＝ （ ＋犪 １ ＋狓 ２ ） －狓 １· ２－（ １ ＋狓 ２） １· ２） ２ １ １ ……１ ｌ ｎ 犪 ＝犪 ｌ ｎ 犪－犪－ ． ０分 ＝ －犪－１＋犪 ２ ２ １ １ ， （） 令 犵（ ′ 狓 ＝ｌ 狓）＝ 狓 ｌ ｎ 狓 －狓 － （ ０＜狓 ＜ ） ｎ 狓 ＜ ０． 犵 ２ ４ １ １ ３ ２ ｌ ｎ ２ ∴ 犵（ 狓）在 （ ０， ）上单调递减 ， 狓）＞ 犵（ ）＝ － － ． ∴ 犵（ ４ ４ ４ ｌ ｎ ２ －３－２ ……１ ∴ 犳（ 狓 狓 ． ２分 ＋犳（ １） ２） ＞ ４ 狓 ＝２ ｃ ｏ ｓ φ 解： （ ） 由圆犆 的参数方程 （ 知， 圆心犆 的坐标为 （ ） ， ２ ２． １ ０， ２ φ 为参数 ） ｓ ｉ ｎ 狔 ＝ ２＋２ φ ２ 半径为 ２， 圆 犆 的普通方程为狓２ ＋ （ ） ……４ 分 ＝４ ． 狔 －２ ２ ２ （ ）将 狓 ＝ρ ， ， 代入 （ ） ， 得圆 的极坐标方程为 ２ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ 狓 ２ ４ 犆 θ 狔 ＝ρ θ ＋ 狔－ ＝
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2017届河南省洛阳市高三第一次统一考试---数学(理)
洛阳市2016——2017学年高中三年级第一次统一考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知i 为虚数单位，若实数,a b 满足()1a bi i i +=+，则a bi +的模为
23 D. 2 2.已知集合(){}{}
|10,|1x
A x x x
B x e =-<=>，则()R
C A B =I
A. [)1,+∞
B. ()0,+∞
C. ()0,1
D.[]0,1
3.已知1
2
,x x
R
∈，则1
"1x >且2
1"
x
>是1
2
"2
x x
+>且1
2
,1"
x x
>的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n ，已知m 为2或4时，5m n +>的概率为
A.227
B. 2
9 C. 13 D. 23
5.已知下列函数中是周期函数且最
A. sin cos y x x =+
B.2
2sin
3y x x
=
C. cos y x =
D.3sin cos 22
x x
y = 6.执行下面的程序，若输入的253,161a b ==，则输出的结果为
A. 92
B. 46
C. 23
D. 1 7.等差数列{}n
a 为递增数列，若
2211056101,11
a a a a +=+=，则数列{}n
a 的公
差d 等于
A. 1
B. 2
C. 9
D. 10
8.已知向量()1,0,2,a b a
==r r
r 与b
r 的夹
角为45o
，若
,c a b d a b
=+=-r r r u r r r ，则c
r 在d
u r 方向的投影为
551-
9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为
A. 103π
B. 14π
C. 1683π-
D. 1643
π
- 10.已知实数,x y 满足条件
20,
220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，若z y ax =-取得最大值
时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为
A. {}2,1-
B. {}|2a R a ∈≠
C. {}|1a R a ∈≠-
D. {}|12a R a a ∈≠-≠且
11.等比数列{}n
a 的首项为32，公比为1
2
-，前n 项和为n
S ，则当n N *
∈时，1
n n
S
S -
的最大值和最小值之和为
A. 23-
B. 712-
C. 14
D.5
6
12.四面体A BCD -中，60,3,2ABC ABD CBD AB CB DB ∠=∠=∠====o
,则此
此四面体外接球的表面积为
A. 192
π
B. C. 17π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知双曲线
()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线方程为
3
4
y x =
，则双曲线C 的离心率为 .
14.若0
525
n x dx -=⎰
，则()21n
x -的二项展开式中2
x 的系数
为 . 15.已知抛物线2
:4C x
y
=的焦点为F ，直线AB 与抛物线C
相交于A,B 两点，若230
OA OB OF +-=u u u r u u u r u u u r r
，则弦AB 的中点到抛
物线C 的准线的距离为 .
16.已知函数()ln x
f x e
m x
=+（,m R e ∈为自然对数的底数），若
对任意的正数1
2
,x x ，当1
2
x x >时，都有()()1
2
1
2
f x f x x x ->-成立，
则实数m 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，30.CAD BAD ∠=∠=o
（1）若75,10ABC AB ∠==o
，且//AC BD ，
求CD 的长；
（2）若10BC =，求AC AB +的取值范围.
18.（本题满分12分）如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均为直角梯形，90FAB DAB ∠=∠=o
,二面角F AB D --是直二面
角,//,//,2, 1.BE AF BC AD AF AB BC AD ====
（1）证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行；
（2）求二面角F CD A --二余弦值.
19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重
点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C三个城市进行雾霾落实情况抽查.
（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；
（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为1
，若四个专家组均评价
2
为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X，求X的分布列和期望.
20.（本题满分12分）设椭圆
()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点
为F,右顶点为A,B,C 是椭圆上关于原点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），线段AC 的中点为D ，B,F,D 三点共线.
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）设()1,0F ，过F 的直线l 交E 于M,N 两点，直线两点，
MA,NA 分别与直线9x =交于P,Q 证明：以PQ 为直径的圆过点F.
21.（本题满分12分）设函数()()2
11ln .
2f x x
a x a x =---
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；
（3）()f x b =有两个不相等的实数根1
2
,x x ，求证1
2
0.2
x x
f +⎛⎫'>
⎪⎝
⎭
.
请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,
22sin x y ϕϕ
=⎧⎨
=+⎩
（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C 的普通方程；
（2）直线
l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭
射线:6
OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()21 1.f x x x =--+
（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；
（2）若1a b +=，对()()14
,0,,3a b f x a b
∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.。