历年中考数学难题及答案

应用题20．（本小题满分8分） 北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=⨯利润成本） 22．（本小题满分10分）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式3368y x =-+，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？y 221．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？20.（9分）某项工程，甲工程队单独完成任务需要40天．若 乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天就恰好完成任务． 请问： （1）（5分）乙队单独做需要多少天才能完成任务？ （2）（4分）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x 天，乙队做另一部分工程用了y 天．若x 、y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到 70天，那么两队实际各做了多少天？ 3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

（1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为12)8(812+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？几何题20．(本题满分8分)如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且AE ⊥BC ，A F ⊥CD ． (1)求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；(2)设线段BD 与(1)中的圆交于M 、N ．求证：BM =ND ．23．(本题满分10分)如图，半径为O 内有互相垂直的两条弦AB 、CD 相交于P 点． (1)求证：P A ·PB =PC ·PD ；(2)设BC 的中点为F ，连结FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ： (3)若AB =8，CD =6，求OP 的长．18.（8分）如图8，大楼AD 的高为10m ，远处有一塔BC ． 某人在楼底A 处测得塔顶B 点处的仰角为60°，爬到楼顶 D 点处测得塔顶B 点的仰角为30°．求塔BC 的高度． 解：第23题图第20题图NM F EBDAC22．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ． (1)若AD=CB ，求证：△ADM≌△CBM．(2)若AB=CD ，△ADM 与△CBM 是否全等?为什么?21．（本题10分）如图，已知AB 是O ⊙的直径，过点作弦BC 的平行线，交过点的切线AP 于点，连结AC ．（1）求证：ABC POA △∽△； （2）若2OB =，72OP =，求BC 的长．21．（本小题满分8分）已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．A D G CB F E 第21题图二次函数结合图像题(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．(1)若m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．21．（9分）如图10，已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在 x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴正半轴 相交于点E ，点B 的坐标是（－1，0），P 点是AC 上的动点（P 点与A 、C 两点不重合）． (1) （2分）写出点A 、点E 的坐标．(2) （2分）若抛物线bx x y ++-=2736过A 、E 两点，求抛物线的解析式．(3) （5分）连结PB 、PD ．设l 为△PBD 的周长,当l 取最小值时, 求点P 的坐标及l 的最小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．第25题图22.（9分）如图11，AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一个动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB, 垂足 为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合. （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD ； 证明：（2）（4分）连结HO ．若CD ＝AB ＝2，求HD+HO 的值．（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.图11 H EO D BC A第26题图ABC答案 应用题20．（本小题满分8分） 解：（1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得：6800032000102x x-=， ··················································································· 3分 解这个方程，得200x =．经检验，200x =是所列方程的根． 22200200600x x +=⨯+=．所以商场两次共购进这种运动服600套． ···························································· 5分 （2）设每套运动服的售价为y 元，由题意得：600320006800020%3200068000y --+≥，解这个不等式，得200y ≥，所以每套运动服的售价至少是200元． ······························································· 8分 22．（本小题满分10分） 解：（1）由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ······························································································· 4分（2）12y y y =- 23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭ 21316822x x =-++； ············································································ 6分 （3）21316822y x x =-++2111(1236)46822x x =--+++ 21(6)118x =--+∵108a =-<，∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． ···························· 9分 最大利润211(46)111082=--+=（元）． ························································ 10分21．解：(1)设买可乐、奶茶分别为x 、y 杯，根据题意得2x ＋3y ＝20(且x 、y 均为自然数) …………………………………………………………2分 ∴x ＝2032y -≥0 解得y ≤203∴y ＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x ＋3y ＝20 并检验得10,0;x y =⎧⎨=⎩7,2;x y =⎧⎨=⎩4,4;x y =⎧⎨=⎩1,6.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………………………6分 所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得)10，0；7，2；4，4；1，6．………………………………………………………………7分 (2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y ≥2且x ＋y ≥8由(1)可知，有二种购买方式．……………………………………………………………10分20.（1）解:设乙队单独做需要x 天就能完成任务依题意得:1)1401(2030=++xx ……（3分） 解得x =100经检验x =100为所列方程的解答：乙队单独做需要100天就能完成任务. ……（5分） (2) 依题意得∵ 110040=+y x ∴10025+-=x y ……（7分）∵,70<y∴7010025<+-x 12>x又∵,15<x∴12＜x ＜15∵x 、y 都是正整数, ∴ x 65,14==y 为方程的解.答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天. ……（9分）【答案】（1）202(1)21830x x y +-=+⎧=⎨⎩(16)(11)()x x x x ≤<≤≤为整数)(6为整数（2）设利润为w222211202(1)(8)1214(16)881130(8)12(8)18(611)88(y z x x x x x w y z x x x x ⎧-=+-+--=+≤<⎪⎪⎪=⎨⎪-=+--=-+≤≤⎪⎪⎩为整数为整数)21148w x =+ 当5x =时，117(8w =最大元) 21(8)188w x =-+ 当11x =时，1191811888w =⨯+=+最大119()8=元综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件1198元.1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-6000100202++x x ,0≤x ≤20； （2）y=-206135)5.2(2+-x ,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；几何题20．解：∵AE ⊥BC ，A F ⊥CD ，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°． ∴∠AEC ＋∠AFC ＝180°．∴A 、E 、C 、F 四点共圆；…………………………………4分 (2)由(1)可知，圆的直径是AC ，设AC 、BD 相交于点O ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 为圆心．∴OM ＝ON ．∴BM ＝DN ．…………………………………………………………………8分23．(1)∵∠A 、∠C 所对的圆弧相同，∴∠A ＝∠C ．∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴AP PDCP PB=，∴P A·PB＝PC·PD；………………………3分(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………………………………………………………7分(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：∴OM2＝2－42＝4，ON2＝)2－32＝11又易证四边形MONP是矩形，∴OP7分答案略22．(1)证明：在△ADM与△CBM中，∵∠DMA=∠BMC，∠DAM=∠BCM，AD=CB．∴△ADM≌△CBM(AAS)．(2)解：△ADM≌△CBM∵AB=CD，∴弧ADB=弧CBD，∴弧AD=弧CB∴．AD=CB与(1)同理可得△ADM≌△CB M．二次函数25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2分∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，∴C(m，－2)代入得a＝12．∴解析式为：y＝12(x－m)2－2．…………………………5分(亦可求C点，设顶点式)(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝12(x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分(3)由(1)得D(0，12m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分∴12m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分21．解：（1）点E 坐标是（0，3），点A 的坐标是（1，23）． ……（2分）(2 ) ∵抛物线c bx x y ++-=2736过E （0，3），A （1，23）两点， 得:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=327363c b c ∴⎪⎩⎪⎨⎧==37133b c 抛物线的解析式是: 373137362++-=x x y ． ………（4分） (3) 过D 点作DF ⊥AC ，垂足为F 点，并延长DF 至G 点，使得DF=FG ，则D 点关于AC 的对称点为G 点． 连结CG ，则CD=CG ， ∠DCA=∠ACG ．再连结BG 交AC 于Q 点，连结DQ ，则DQ=QG ．当点P 运动到与Q 点重合，即B 、P(Q)、G 三点共线时， 依“两点之间，线段最短”．这时△PBD 的周长有最小值． ……（5分） 又过G 点作GH ⊥x 轴，垂足为H 点． ∵△ABC 是等边三角形， BC=4∴∠DCA=∠ACG=∠HCG =60︒，∵GH= CG •sin60︒ =3232=⨯，CH=CG 21=1． ∴OH=OC+CH=3+1=4． 即G 点的坐标(4,3)． ∴BH=OB+OH=1+4=5在Rt △GBH 中，BG=72)3(52222=+=+GHBH△PBD 周长l = BD+BP+DP = BD+BQ+DQ = BD+BG = 272+ ……（6分） 设线段AC 的解析式b kx y +=,A 点的坐标(1,32)，C 点的坐标( 3,0 )得⎩⎨⎧=+=+3203b k b k ⎩⎨⎧=-=333b k 线段AC 的解析式：333+-=x y同理可得线段BG 的解析式：5353+=x y AC 与BG 的交点是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=5353333x y x y 的解，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==33237y x则此时P 点的坐标是（332,37） ……（7分） 此时P 点的坐标在上述（2）小题所求的抛物线373137362++-=x x y 上． ……（8分）理由如下： 把332,37==y x 代入373137362++-=x x y 中，左边=右边 故此时P 点的坐标在上述（2）小题所求的抛物线373137362++-=x x y 上． ……（9分）22．证明(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，即AE ⊥BC ．∴∠BAE+∠ABE=90°. …………（1分） 又∵CD ⊥AB ，∴∠BCD+∠CBD=90°．………………（2分）而∠ABE=∠CBD ，∴∠BAE=∠BCD ． ……………（3分） 又∠ADH=∠CDB ， ……………（4分） ∴△AHD ∽△CBD ． ……………（5分）(2)∵O 点是圆心,CD=AB=2,设OD=x ，∴AO=1,AD=1+x ，BD=1－x ． ∵ △AHD ∽△CBD ， ∴CD ADBD HD =， ………………………（6分） ∴211xx HD +=-， ∴)1(212x HD -=． …………………（7分）下面分两种情况讨论：∴① 当HD 、HO 重合时，x =0,21==HD HO ． 满足HD+HO=1； ………………（8分）∴②当HD 、HO 不重合时，在Rt △HDO 中，由勾股定理得:)1(21)1(21222222x x x HD OD HO +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=,也满足HD+HO=1.∴综上所述:HD+HO 的值总是1. …………（9分）。