地图投影 第二章地图投影方法变形分类
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2
地图投影，简单的说就是将参考椭球面上的元素 （大地坐标、角度和边长）按一定的数学法则化 算到平面上的过程。
x y
ff12((LL,,BB))
3
二、投影方式： 1.平行投影
4
2.透视投影
5
3. 广义投影
6
三、地图投影实质： 建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标
表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表 示）之间的函数关系，用数学式表达这种关 系，就是：
长度变 形
角度变 形
面积变形和 长度变形
19
二、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面 的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通 常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图 投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
X ' m 为经线长度比 Y ' n 为纬线长度比
X
Y
20
X'm Y'n
B
c
a
A bC o
37
球面三角形的基本公式（基本定理）是：
（1）正弦公式：
sin a sin b sin c
sin A sin B sin C
B
（2）边的余弦公式：
cos a cos b cos c sin b sin c cos A cos b cos a cos c sin a sin c cos B cos c cos a cos b sin a sin b cos C
为了简化投影公式的推导和计算工作，可以通过地理 坐标与球面极坐标的换算，仍然利用正轴投影公式， 就可以实现斜轴或横轴投影的计算以及经纬网的构成。
31
球面极坐标系的建立
通常根据制图区域的形状和地理位置，选择一个新极点
Q（0，0），球面上的各点便以新极点Q为原点，以方
位角和天顶距 Z 表示其位置，从而构成球面极坐标系。
但是，斜轴或横轴投影的经纬线形状往往是较复杂的 曲线，如果直接根据地理坐标推求投影的直角坐标公 式将是很复杂的。
30
球面极坐标系
把地球作为球体时，地理坐标也是一种球面坐 标，即由通过南北地极的经圈和平行于赤道的 纬圈来确定地面上任一点的位置。
现在采用另一种确定地面点位的球面坐标，为 了区别起见，称之为球面极坐标。
cos a ctgBctgC, cos B sin C cosb, cosC sin B cos c,
35
（2）由边正弦与邻角余弦之积的定理，有：
sin Z cos cos(90 ) sin(90 0 ) sin(90 ) cos(90 0 ) cos( 0 )
sin cos0 cos sin0 cos( 0 )
（3）由正弦定理，有：
化简得，
sin Z sin(90 )
sin( 0 )
X
Y
代入： X2 + Y2 = R2，令R=1，得
X '2 m2
百度文库
Y '2 n2
1
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小 圆，投影后通常会变为椭圆，即
以O'为原点，以相交成q角的两共
轭直径的坐标轴的椭圆方程式。 21
主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球面
上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍 然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对 线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的 坐标轴
29
球面坐标系的意义
正轴投影以地理坐标，为参数，投影经纬网形状比较 简单，计算方便。但在使用上受到地理位置的限制。例 如，正轴方位投影只适用于两极地区，正轴圆柱投影适 用于赤道附近地区，正轴圆锥投影适用于沿纬线延伸的 中纬度地区。
当制图区域的中心点是在两极以外的任一点以及制图 区域是沿经线或任一方向延伸的情况，为了减少投影 误差，常采用斜轴或横轴投影。
第2章 地图投影方法、变形和分类
2.1 地图投影的基本方法 2.2 地图投影的变形 2.3 球面极坐标及其换算 2.4 地图投影的分类
1
2.1 地图投影的基本方法
投影面：将地球表面的点、线、面投影于其上的承 受面
地图投影的原理是在原面与投影面之间建立点、线、 面的一一对应关系
地图投影的方法： 几何透视法 数学分析法
（3）角的余弦公式：
cos A cos B cos C sin B sin C cos a cos B cos Acos C sin Asin C cos b cos C cos Acos B sin Asin B cos c
c
a
A
bC
o
38
（4）第一五元素公式：
sin a cos B cos b sin c sin b cos c cos A sin a cos C cos c sin b sin c cos b cos A sin b cos C cos c sin a sin c cos a cos B sin b cos A cos a sin c sin a cos c cos B sin c cos A cos a sin b sin a cos b cos C sin c cos B cos b sin a sin b cos a cos C
10
11
沿经线直接展开?
12
沿纬线直接展开?
13
沿经线直接展开?
14
沿经线直接展开?
15
§2.2 地图投影的变形
一、投影变形的概念 1. 投影变形产生原因——地球的形状
16
2. 投影变形的概念 地图投影不能保持平面与球面之间在
长度（距离）、角度（形状）、面积等方 面完全不变。
地球仪上经纬线网格和地图上比较:
Z
sin cos sin( 0 )
sin Z
球面极坐标系
36
补充： 球面三角形及其基本公式
空间平面截球面所得的截口是圆。过球心的平 面所截得的圆称为这个球面的大圆。不在同一 条直径的球面上两点能够而且只能作一个大圆。 过球心与球面上任一个圆垂直的直线与球面相 交两点，称为该圆的极。极与圆上各点的角距 相等，如果它是大圆，则角距为90。不在一个 大圆的球面上三点，可以用三条大圆弧联结起 来围成一个球面三角形。这三条大圆弧称为球 面三角形的边，一般用a，b，c来表示。每两个 大圆弧可以围成一个角称为球面角，这样球面 三角形有三个球面角，一般用A，B，C来表示， 它们称为球面三角形的六个元素。边和角的对 应关系如图1所示。球面三角形三边之和大于0 而小于360，三角之和大于180而小于540。
（5）第二五元素公式：
sin Acos b cos B sin C sin B cos C cos a sin Acos c cos C sin B sin C cos B cos a sin B cos c cos C sin A sin C cos Acos b sin B cos a cos Asin C sin Acos C cos b sin C cos a cos Asin B sin Acos B cos c sin C cos b cos B sin A sin B cos Acos c
特殊方向
长轴方向（极大值）a 主方向
短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b 22
结论：微分圆长、短半轴的大小，等于该点
主方向的长度比。也就是说，如果一 点上主方向的长度比（极值长度比）已经确 定，则微分圆的大小和形状即可确定。
B
c
a
A
bC
o
40
如果球面三角形中有一个角假设A是直角的话，它称为 直角球面三角形。用sinA=1，cosA=0和ctgA=0分别代入正 弦公式边的余弦公式，角的余弦公式和余切公式，则可以 依次得到：
sin b sin asin B, sin c sin asin C, cos a cos bcos C,
πr 2
Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
P = a·b = m ·n (q = 90)（主方向和经向纬向一致） P = m ·n ·sin q (q≠ 90)（阿波隆尼定理）
面积比是变量，随位置的不同而变化。 28
2.3 球面坐标及其换算
球面坐标的意义和换算公式 地理坐标换算球面极坐标
B
c
a
A
bC
o
39
（6）余切公式
ctga sin b cosb cosC sin CctgA ctga sin c cos c cos B sin BctgA ctgbsin c cos c cos A sin ActgB ctgbsin a cos a cos C sin CctgB ctgc sin a cos a cos B sin BctgC ctgc sin b cosb cos A sin ActgC
17
球面经纬网经过投影之后，其几何特征 受到扭曲——地图投影变形：长度（距离）、 角度（形状）、面积。
18
地图投影的变形
地图投影中不可避免地存在着变形，建立一个投影时 不仅要建立（x,y)与( ,)之间的关系，而且要研究投 影变形的分布与大小。地图投影的变形主要体现在：
长度变形 面积变形 角度变形
32
球面极坐标系
第二节 地理坐标
在地图测制中是把地球表面作为旋转椭球面处理。 地球椭球面上各点的位置，是以地理坐标即经度 和纬度来确定。经纬度是一种绝对的坐标系统。
P,P1—北、南极 O —球心 PP1 —椭球旋转轴 子午面 子午圈（经线圈） 赤道面 平行圈（纬线圈）
33
✓垂直圈
过新极点Q所在的直径的所有大圆， 叫做垂直圈，相当于地理坐标的经线 圈。 ✓等高圈
地球曲面转换成地图平面，不仅仅存在着比例尺变换，而且还存在着投影转换的问题
8
地图投影，简单的说就是将参考椭球面上的元素 （大地坐标、角度和边长）按一定的数学法则化 算到平面上的过程。
x y
ff12((LL,,BB))
9
地图投影的基本思想是，先将参考椭球面上的点 化算到投影面上（可展曲面），再将投影面沿母 线切开展为平面。 从本质上讲，地图投影就是按一定的条件确定大 地坐标和直角坐标之间的一一对应关系。
x f1 (, )
y f 2 (, )
就是将参考椭球面上的元素（大地坐标、角度和 边长）按一定的数学法则化算到平面上的过程。
7
2.2 地图投影的变形
椭球面上的各点的大地坐标，按照一定的数学法 则，变换为平面上相应点的平面直角坐标，通常 称为地图投影。 ✓地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、 面积等参数的量算 ✓地球椭球体为不可展曲面 ✓地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、 方位、面积等量算和各种空间分析
垂直于垂直圈的各圆，叫做等高圈， 其中通过球心的为大圆，其余为小圆。
✓方位角
过A点的垂直圈与过新极点的经线圈的交角， 为方位角。从意义上来看，方位角相当于。
球面极坐标系
✓天顶距
A点至新极点Q的垂直圈弧长，即天顶距。从形式上来看，
天顶距相当于。
34
于是，地球面上任一点A，它既可以 用地理坐标, 确定，也可以用球面 极坐标, Z来确定，而且两种坐标系 可以进行换算。
sin a b
2 ab
实用上常以下公式求得：
tan(45 ) b
2
a
长度变形是各种变形的基础！
27
面积比和面积变形：
投影平面上微小面积（变形椭圆面积） dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积） dF之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形
P dF ' πar *br a b
dF
通过变形椭圆形状显示变形特征
r
r′
r′
ｂａ
ａ ｂ
ｂａ
ａｂ
实地上的一 a=b=r′< r a=b=r′> r 个 微分圆
１
２
ａ ｂ＝ｒ２
３
４
ａ> ｒ，ｂ＝ｒ ５
ａ≠ｂ≠ｒ ６
23
24
三、投影变形的性质和大小
长度比和长度变形：
投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球 面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规 定的比例缩小）之比。
m表示长度比， Vm表示长度变形
m ds '
ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化 而变化。
25
角度变形： 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上
相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。
以ω表示角度最大变形。
26
最大角度变形可用极值长度比a,b表示
在球面三角形PQA 中，利用球面三 角学的有关公式，可以求得地理坐 标与球面极坐标之间的关系式：
球面极坐标系
（1）由边的余弦定理，有：
cos Z cos(90 ) cos(90 0 ) sin(90 ) sin(90 0 ) cos( 0 ) sin sin 0 cos cos0 cos( 0 )
地图投影，简单的说就是将参考椭球面上的元素 （大地坐标、角度和边长）按一定的数学法则化 算到平面上的过程。
x y
ff12((LL,,BB))
3
二、投影方式： 1.平行投影
4
2.透视投影
5
3. 广义投影
6
三、地图投影实质： 建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标
表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表 示）之间的函数关系，用数学式表达这种关 系，就是：
长度变 形
角度变 形
面积变形和 长度变形
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二、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面 的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通 常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图 投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
X ' m 为经线长度比 Y ' n 为纬线长度比
X
Y
20
X'm Y'n
B
c
a
A bC o
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球面三角形的基本公式（基本定理）是：
（1）正弦公式：
sin a sin b sin c
sin A sin B sin C
B
（2）边的余弦公式：
cos a cos b cos c sin b sin c cos A cos b cos a cos c sin a sin c cos B cos c cos a cos b sin a sin b cos C
为了简化投影公式的推导和计算工作，可以通过地理 坐标与球面极坐标的换算，仍然利用正轴投影公式， 就可以实现斜轴或横轴投影的计算以及经纬网的构成。
31
球面极坐标系的建立
通常根据制图区域的形状和地理位置，选择一个新极点
Q（0，0），球面上的各点便以新极点Q为原点，以方
位角和天顶距 Z 表示其位置，从而构成球面极坐标系。
但是，斜轴或横轴投影的经纬线形状往往是较复杂的 曲线，如果直接根据地理坐标推求投影的直角坐标公 式将是很复杂的。
30
球面极坐标系
把地球作为球体时，地理坐标也是一种球面坐 标，即由通过南北地极的经圈和平行于赤道的 纬圈来确定地面上任一点的位置。
现在采用另一种确定地面点位的球面坐标，为 了区别起见，称之为球面极坐标。
cos a ctgBctgC, cos B sin C cosb, cosC sin B cos c,
35
（2）由边正弦与邻角余弦之积的定理，有：
sin Z cos cos(90 ) sin(90 0 ) sin(90 ) cos(90 0 ) cos( 0 )
sin cos0 cos sin0 cos( 0 )
（3）由正弦定理，有：
化简得，
sin Z sin(90 )
sin( 0 )
X
Y
代入： X2 + Y2 = R2，令R=1，得
X '2 m2
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Y '2 n2
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微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小 圆，投影后通常会变为椭圆，即
以O'为原点，以相交成q角的两共
轭直径的坐标轴的椭圆方程式。 21
主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球面
上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍 然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对 线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的 坐标轴
29
球面坐标系的意义
正轴投影以地理坐标，为参数，投影经纬网形状比较 简单，计算方便。但在使用上受到地理位置的限制。例 如，正轴方位投影只适用于两极地区，正轴圆柱投影适 用于赤道附近地区，正轴圆锥投影适用于沿纬线延伸的 中纬度地区。
当制图区域的中心点是在两极以外的任一点以及制图 区域是沿经线或任一方向延伸的情况，为了减少投影 误差，常采用斜轴或横轴投影。
第2章 地图投影方法、变形和分类
2.1 地图投影的基本方法 2.2 地图投影的变形 2.3 球面极坐标及其换算 2.4 地图投影的分类
1
2.1 地图投影的基本方法
投影面：将地球表面的点、线、面投影于其上的承 受面
地图投影的原理是在原面与投影面之间建立点、线、 面的一一对应关系
地图投影的方法： 几何透视法 数学分析法
（3）角的余弦公式：
cos A cos B cos C sin B sin C cos a cos B cos Acos C sin Asin C cos b cos C cos Acos B sin Asin B cos c
c
a
A
bC
o
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（4）第一五元素公式：
sin a cos B cos b sin c sin b cos c cos A sin a cos C cos c sin b sin c cos b cos A sin b cos C cos c sin a sin c cos a cos B sin b cos A cos a sin c sin a cos c cos B sin c cos A cos a sin b sin a cos b cos C sin c cos B cos b sin a sin b cos a cos C
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沿经线直接展开?
12
沿纬线直接展开?
13
沿经线直接展开?
14
沿经线直接展开?
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§2.2 地图投影的变形
一、投影变形的概念 1. 投影变形产生原因——地球的形状
16
2. 投影变形的概念 地图投影不能保持平面与球面之间在
长度（距离）、角度（形状）、面积等方 面完全不变。
地球仪上经纬线网格和地图上比较:
Z
sin cos sin( 0 )
sin Z
球面极坐标系
36
补充： 球面三角形及其基本公式
空间平面截球面所得的截口是圆。过球心的平 面所截得的圆称为这个球面的大圆。不在同一 条直径的球面上两点能够而且只能作一个大圆。 过球心与球面上任一个圆垂直的直线与球面相 交两点，称为该圆的极。极与圆上各点的角距 相等，如果它是大圆，则角距为90。不在一个 大圆的球面上三点，可以用三条大圆弧联结起 来围成一个球面三角形。这三条大圆弧称为球 面三角形的边，一般用a，b，c来表示。每两个 大圆弧可以围成一个角称为球面角，这样球面 三角形有三个球面角，一般用A，B，C来表示， 它们称为球面三角形的六个元素。边和角的对 应关系如图1所示。球面三角形三边之和大于0 而小于360，三角之和大于180而小于540。
（5）第二五元素公式：
sin Acos b cos B sin C sin B cos C cos a sin Acos c cos C sin B sin C cos B cos a sin B cos c cos C sin A sin C cos Acos b sin B cos a cos Asin C sin Acos C cos b sin C cos a cos Asin B sin Acos B cos c sin C cos b cos B sin A sin B cos Acos c
特殊方向
长轴方向（极大值）a 主方向
短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b 22
结论：微分圆长、短半轴的大小，等于该点
主方向的长度比。也就是说，如果一 点上主方向的长度比（极值长度比）已经确 定，则微分圆的大小和形状即可确定。
B
c
a
A
bC
o
40
如果球面三角形中有一个角假设A是直角的话，它称为 直角球面三角形。用sinA=1，cosA=0和ctgA=0分别代入正 弦公式边的余弦公式，角的余弦公式和余切公式，则可以 依次得到：
sin b sin asin B, sin c sin asin C, cos a cos bcos C,
πr 2
Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
P = a·b = m ·n (q = 90)（主方向和经向纬向一致） P = m ·n ·sin q (q≠ 90)（阿波隆尼定理）
面积比是变量，随位置的不同而变化。 28
2.3 球面坐标及其换算
球面坐标的意义和换算公式 地理坐标换算球面极坐标
B
c
a
A
bC
o
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（6）余切公式
ctga sin b cosb cosC sin CctgA ctga sin c cos c cos B sin BctgA ctgbsin c cos c cos A sin ActgB ctgbsin a cos a cos C sin CctgB ctgc sin a cos a cos B sin BctgC ctgc sin b cosb cos A sin ActgC
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球面经纬网经过投影之后，其几何特征 受到扭曲——地图投影变形：长度（距离）、 角度（形状）、面积。
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地图投影的变形
地图投影中不可避免地存在着变形，建立一个投影时 不仅要建立（x,y)与( ,)之间的关系，而且要研究投 影变形的分布与大小。地图投影的变形主要体现在：
长度变形 面积变形 角度变形
32
球面极坐标系
第二节 地理坐标
在地图测制中是把地球表面作为旋转椭球面处理。 地球椭球面上各点的位置，是以地理坐标即经度 和纬度来确定。经纬度是一种绝对的坐标系统。
P,P1—北、南极 O —球心 PP1 —椭球旋转轴 子午面 子午圈（经线圈） 赤道面 平行圈（纬线圈）
33
✓垂直圈
过新极点Q所在的直径的所有大圆， 叫做垂直圈，相当于地理坐标的经线 圈。 ✓等高圈
地球曲面转换成地图平面，不仅仅存在着比例尺变换，而且还存在着投影转换的问题
8
地图投影，简单的说就是将参考椭球面上的元素 （大地坐标、角度和边长）按一定的数学法则化 算到平面上的过程。
x y
ff12((LL,,BB))
9
地图投影的基本思想是，先将参考椭球面上的点 化算到投影面上（可展曲面），再将投影面沿母 线切开展为平面。 从本质上讲，地图投影就是按一定的条件确定大 地坐标和直角坐标之间的一一对应关系。
x f1 (, )
y f 2 (, )
就是将参考椭球面上的元素（大地坐标、角度和 边长）按一定的数学法则化算到平面上的过程。
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2.2 地图投影的变形
椭球面上的各点的大地坐标，按照一定的数学法 则，变换为平面上相应点的平面直角坐标，通常 称为地图投影。 ✓地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、 面积等参数的量算 ✓地球椭球体为不可展曲面 ✓地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、 方位、面积等量算和各种空间分析
垂直于垂直圈的各圆，叫做等高圈， 其中通过球心的为大圆，其余为小圆。
✓方位角
过A点的垂直圈与过新极点的经线圈的交角， 为方位角。从意义上来看，方位角相当于。
球面极坐标系
✓天顶距
A点至新极点Q的垂直圈弧长，即天顶距。从形式上来看，
天顶距相当于。
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于是，地球面上任一点A，它既可以 用地理坐标, 确定，也可以用球面 极坐标, Z来确定，而且两种坐标系 可以进行换算。
sin a b
2 ab
实用上常以下公式求得：
tan(45 ) b
2
a
长度变形是各种变形的基础！
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面积比和面积变形：
投影平面上微小面积（变形椭圆面积） dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积） dF之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形
P dF ' πar *br a b
dF
通过变形椭圆形状显示变形特征
r
r′
r′
ｂａ
ａ ｂ
ｂａ
ａｂ
实地上的一 a=b=r′< r a=b=r′> r 个 微分圆
１
２
ａ ｂ＝ｒ２
３
４
ａ> ｒ，ｂ＝ｒ ５
ａ≠ｂ≠ｒ ６
23
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三、投影变形的性质和大小
长度比和长度变形：
投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球 面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规 定的比例缩小）之比。
m表示长度比， Vm表示长度变形
m ds '
ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化 而变化。
25
角度变形： 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上
相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。
以ω表示角度最大变形。
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最大角度变形可用极值长度比a,b表示
在球面三角形PQA 中，利用球面三 角学的有关公式，可以求得地理坐 标与球面极坐标之间的关系式：
球面极坐标系
（1）由边的余弦定理，有：
cos Z cos(90 ) cos(90 0 ) sin(90 ) sin(90 0 ) cos( 0 ) sin sin 0 cos cos0 cos( 0 )