高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明

【高频考点解读】

1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．

2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．

3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法：

知道a>b ⇔a －b>0，ab 只要证明a －b>0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法：

由a>b>0⇔a b >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b ，只要证明a b >1即可，这种方法称为求商比较法．

二、综合法与分析法 1．综合法

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．

2．分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．

3．平均值不等式

定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3

abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称

a ＋

b ＋

c 3

为正数a ，b ，c 的算术平均值，3

abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．

4．一般形式的算术—几何平均值不等式

如果a1，a2，…，an 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n

a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．

【高考考纲突破】

考点一、比较法证明不等式

例1．已知c>b>a ，证明：a2b ＋b2c ＋c2a

2. 考点二、综合法与分析法证明不等式

例2．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.

【变式探究】已知a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b2－ac<3a. 【方法技巧】

1．利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab ；它的变形形式又有(a ＋b)2≥4ab ，

a2＋b22≥⎝⎛⎭

⎫a ＋b 22等；(4)a ＋b

2≥ab(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2(a>0)，b a ＋a b ≥2(ab>0)，b a ＋a

b ≤－2(ab<0)等．

2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．

【高考风向标】

1．（·辽宁卷）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)＝2|x －1|＋x －1，g(x)＝16x2－8x ＋1.记f(x)≤1的解集为M ，g(x)≤4的解集为N. (1)求M ；

(2)当x ∈M∩N 时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤1

4. 2．（·新课标全国卷Ⅱ）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)＝⎪

⎪⎪

⎪x ＋1a ＋|x －a|(a ＞0)．

(1)证明：f(x)≥2；

(2)若f(3)＜5，求a 的取值范围．

3．（·浙江卷）(1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；

(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac≥36，并给出等号成立条件． 4.(·新课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且1a ＋1b ＝ab. (1)求a3＋b3的最小值；

(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．

【随堂巩固】

1．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝9，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 2．若0

18. 4．已知a ，b 为正实数． (1)求证：a2b ＋b2

a ≥a ＋

b ； (2)利用(1)的结论求函数y ＝

1－x 2x ＋x2

1－x

(0

(2)若a ，b ，c 均为正实数，且1a ＋12b ＋1

3c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.

6．已知实数x ，y ，z 满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x ＋y ＋z 的最大值是1，求a 的值． 7．已知实数m ，n>0. (1)求证：a2m ＋b2

n ≥

a ＋

b 2

m ＋n

；

(2)求函数y ＝2x ＋91－2x

〔x ∈(0，1

2)〕的最小值．

8．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a 的最值． 9．已知n≥2，求证：

1

n

>n －n －1. 10．已知a ，b ，c 均为正数，求证： (1)b2a ＋c2b ＋a2

c ≥a ＋b ＋c ； (2)a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥32

. 11．已知a>2，求证：loga(a －1)

3.

13．设a ，b ，c 均为正实数，求证： 12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . 14．已知x ，y ∈R ，且|x|<1，|y|<1.