第十一章 恒定电流的磁场习题解

第十一章 恒定电流的磁场11–1 如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求它们在O 点处的磁感应强度B 。

（1）高为h 的等边三角形载流回路在三角形的中心O 处的磁感应强度大小为 ，方向 。

（2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R 的圆弧形，圆心O 点的磁感应强度大小为 ，方向 。

解：（1）如图11-2所示，中心O 点到每一边的距离为13OP h =，BC 边上的电流产生的磁场在O 处的磁感应强度的大小为012(cos cos )4πBC IB dμββ=-00(cos30cos150)4π/34πIIh hμ︒︒=-=方向垂直于纸面向外。

另外两条边上的电流的磁场在O 处的磁感应强度的大小和方向都与BC B 相同。

因此O 处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即00334π4πBC I IB B h h===方向垂直于纸面向外。

（2）图11-1（b ）中点O 的磁感强度是由ab ，bcd ，de 三段载流导线在O 点产生的磁感强度B 1，B 2和B 3的矢量叠加。

由载流直导线的磁感强度一般公式012(cos cos )4πIB dμββ=-可得载流直线段ab ，de 在圆心O 处产生的磁感强度B 1，B 3的大小分别为01(cos0cos30)4cos60)IB R μ=︒-︒π(0(12πI R μ= 031(cos150cos180)4πcos60IB B R μ︒==︒-︒0(12πI R μ=I B 图11–2图11–1（a ）AE（b ）方向垂直纸面向里。

半径为R ，圆心角α的载流圆弧在圆心处产生的磁感强度的大小为04πI B Rμα=圆弧bcd 占圆的13，所以它在圆心O 处产生的磁感强度B 2的大小为00022π34π4π6II I B R R Rμμαμ=== 方向垂直纸面向里。

因此整个导线在O 处产生的总磁感强度大小为0000123(1(10.212π2π6I I II B B B B R R R Rμμμμ=++=++=方向垂直纸面向里。

11–2 载流导线形状如图所示（图中直线部分导线延伸到无穷远），求点O 的磁感强度B 。

图（a ）中，B o = 。

图（b ）中，B o = 。

图（c ）中，B o = 。

解：载流圆弧导线在圆心O 处激发的磁感强度大小为04πI B Rμα=，式中α为载流圆弧导线所张的圆心角，R 为圆弧的半径，I 为所载电流强度。

半无限长载流导线在圆心O 处激发的磁感强度大小为04πIB Rμ=，磁感强度的方向依照右手定则确定。

图11–3（a ）中O 处的磁感应强度B O 可视为由两段半无限长载流导线及载流半圆弧激发的磁场在空间点O 的叠加，根据磁场的叠加原理，对于在图（a ），有000004π44π42πo I I I I I B R R R R Rμμμμμ=---=--j k j k j同样的方法可得对于图（b ），有000001(1)4π44π4π4πo I I I I I B R R R R Rμμμμμ=---=-+-j k k k j对于图（c ），有00034π84πo I I I B R R Rμμμ=---j k i图11–3（a ）（b ）（c ）11–3 已知磁感应强度B =2.0Wb/m 2的均匀磁场，方向沿x 轴正向，如图11-4所示，则通过abcd 面的磁通量为 ，通过befc 面的磁通量为 ，通过aefd 面的磁通量为 。

解：匀强磁场B 对S 的磁通量为d c o s BSΦθ=⋅=⎰⎰S B S ，设各平面S 的法线向外，则通过abcd 面的磁通量为cos π 2.00.40.3abcd BS BS Φ==-=-⨯⨯Wb= -0.24Wb通过befc 面的磁通量为πcos 02befc BS Φ==通过aefd 面的磁通量为4cos 2.00.50.35aefd BS Φθ==⨯⨯⨯Wb= 0.24Wb11–4 磁场中某点处的磁感应强度B =0.40i －0.20j （T ），一电子以速度v =0.50×106i +1.0×106j （m/s ）通过该点，则作用于该电子上的磁场力F = 。

解：电子所受的磁场力为F = -e (v ×B )=－1.6×10–19×（0.50×106i +1.0×106j ）×(0.40i －0.20j )=8⨯10-14 k （N ） 11–5 如图11-5所示，真空中有两圆形电流I 1 和 I 2 以及三个环路L 1 L 2 L 3，则安培环路定理的表达式为l B d 1⋅⎰L = ，l B d 2⋅⎰L = ，l B d 3⋅⎰L = 。

解：由安培环路定理可得101d L I μ⋅-⎰B l = ；2012d ()L I I μ⋅+⎰B l = ；3d 0L ⋅⎰B l =。

11–6 一通有电流I 的导线，弯成如图11-6所示的形状，放在磁感应强度为B 的均匀磁场中，B 的方向垂直纸面向里，则此导线受到的安培力大小为 ，方向为 。

解：建立如图11-7所示坐标系，导线可看成两段直导线和一段圆弧三部分组成，两段直导线所受安培力大小相等，方向相反，两力的矢量和叠加后为零。

在半圆弧导线上任取一图11– 5I 1I 2L 1L 2L 3 L 2图11–7I1x图11–4图11–6II电流元I d l ，所受安培力大小d =d d sin90d I I lB IB l ⨯=︒=F l B ，方向沿半圆的半径向外。

将d F 分解为d F ⊥（垂直于x 轴）和d F //（平行于x 轴），由对称性可知，半圆弧导线所受安培力的水平分量相互抵消为零，即////d 0F F ==⎰其垂直分量πd d sin d sin sin d 2F F F IB l BIR BIR θθθθ⊥⊥=====⎰⎰⎰⎰方向沿y 轴正方向。

因此，整段导线所受安培力2F =F BIR ⊥=。

方向沿y 轴正方向。

11–7 图11-8中为三种不同的磁介质的B ～H 关系曲线，其中虚线表示的是B =μ0H 的关系，说明a 、b 、c 各代表哪一类磁介质的B ～H 关系曲线：a 代表 的B ～H 关系曲线；b 代表 的B ～H 关系曲线；c 代表 的B ～H 关系曲线。

答：对各向同性的均匀磁介质，顺磁质或抗磁质有，B =μ0μr H ，B 与H 成正比关系，μr 为常数，因此曲线bc 代表顺磁质或抗磁质。

又因为顺磁质的μr >1，抗磁质的μr <1，所以顺磁质的曲线斜率较大，故可进一步判断曲线b 代表顺磁质，曲线c 代表抗磁质，曲线a 中B 与H 成非线性关系，表明该磁介质的μr 随H 发生变化，不是常数，这是铁磁质的性质，所以曲线a 代表铁磁质。

11–8 一无限长圆柱体均匀通有电流I ，圆柱体周围充满均匀抗磁质，与圆柱体表面相邻的介质表面上的磁化电流大小为I ´，方向与I 的方向相反。

沿图11-9中所示闭合回路，则三个线积分的值分别为d l ⋅=⎰ H l ，d l⋅=⎰ B l ，d l⋅=⎰ M l 。

解：由H 的安培环路定理，得d l I ⋅=⎰ H l 。

由B 的安培环路定理，得0d ()l I I μ'⋅=-⎰ B l 。

由关系式0μ=-BH M 及上述二式，得d lI '⋅=-⎰ M l 。

11–9 半径为R 1的圆形载流线圈与边长为R 2的正方形载流线圈，通有相同的电流I ，若两线圈中心O 1与O 2的磁感应强度大小相同，则半径R 1与边长R 2之比为[ ]。

A:8 B ．:4 C:2 D ．1:1解：设两载流线圈中电流I 的方向均为顺时针方向，半径为R 1的圆形载流线圈在中心O 1点产生的磁感应强度大小为0112IB R μ=方向垂直纸面向里边长为R 2的正方形载流线圈在中心O 2点产生的磁感应强度是各边在该点产生的磁感应强度的叠加，由于各段导线产生的磁感应强度方向相同，均为垂直纸面向里，所以O 2点的图11–9题11–8图磁感应强度大小是各边在该点产生的磁感应强度大小的代数和，有0222(cos 45cos135)44π/2IB R μ=︒-︒⨯=由于B 1= B 2，即00122πIIR R μ=因此12R R =因此，正确答案为（A ）。

11–10 如图11-10所示，在一磁感应强度为B 的均匀磁场中，有一与B 垂直的半径为R 的圆环，则穿过以该圆环为边界的任意两曲面S 1，S 2的磁通量Φ1，Φ2为[ ]。

A ．-πR 2B ，-πR 2B B ．-πR 2B ，πR 2BC ．πR 2B ，-πR 2BD ．πR 2B ，πR 2B 解：半径为R 的圆分别与曲面S 1，S 2构成一闭合曲面1，2，规定曲面外法向为曲面面元的正方向，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，则对闭合曲面1有211d d d πd 0R S RB ⋅=⋅+⋅=-+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰B S B S B S B S由此可得211d πRB Φ=⋅=⎰⎰B S同理，对闭合曲面2有222d d d πd 0R S RB ⋅=⋅+⋅=+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰B S B S B S B S由此可得222d πR B Φ=⋅=-⎰⎰B S因此，正确答案为（C ）。

11–11 如图11-11所示，有两根无限长直载流导线平行放置，电流分别为I 1和I 2，L 是空间一闭曲线，I 1在L 内，I 2在L 外，P 是L 上的一点，今将I 2 在L 外向I 1移近时，则有[ ]。

A ．lB d ⋅⎰L与B P 同时改变B ．l B d ⋅⎰L与B P 都不改变C ．l B d ⋅⎰L 不变，B P 改变D ．l B d ⋅⎰L改变，BP 不变解：由真空中的安培环路定理，⎰∑=⋅L I 0d μl B ，∑I 表示穿过回路的电流的代数和，积分回路外的电流I 2不会影响磁感应强度沿回路的积分，但会改变回路上各点的磁场分布，则B P 改变。

因而（C ）正确。

11–12 对于介质中的安培环路定理⎰∑=⋅L I l H d ，在下面说法中正确的是[ ]。

I 图11–11B图11–10A ．H 只是穿过闭合环路的电流所激发，与环路外的电流无关B ．∑I 是环路内、外电流的代数和C ．安培环路定律只在具有高度对称的磁场中才成立D ．只有磁场分布具有高度对称性时, 才能用它直接计算磁场强度的大小 解：介质中的安培环路定理⎰∑=⋅L I l H d 在恒定磁场的任何介质中都是成立的，无论磁场是否具有高度的对称性，只是在磁场有高度对称性时，我们可以选择适当的回路，使得待求场点的磁场强度与回路积分无关，其它的线积分为零或与待求场点相同，被积函数H 可从积分号内提出到积分号外，从而可计算出待求场点的磁场强度。