15.3.2 微分运算法则

2
(2x cos x x sin x)dx
2
(2 x 1)dx 2( x 1)dx (2 x 1)2 3 dx 2 (2 x 1)
3. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u ) ( x) dx d y f (u ) du
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du
微分形式不变
d (log a x)
1 dx x ln a
1 d (ln x) dx x
导数公式:
微分公式:
d (sin x) cos xdx d (cos x) sin xdx
2 d (tan x) sec xdx
(sin x) cos x (cos x) sin x sec 2 x (tan x) (arcsin x)
1 1 x2 1 1 x
2
d (arcsin x) d (arccos x)
1 1 x2 1 1 x
dx
(arccos x) (arctan x)
2
dx
1 1 x2
1 d (arctan x) dx 2 1 x
练 习
书P51第1题填空
（1）d(2x+1)=( 2 )dx
一、 复习导数和微分的概念
• 导数 :
• 微分 :
• 关系 : 可导
可微
二、回顾导数公式
1. 基本初等函数的导数 (P44)
(c) 0
( x ) x

1
(a x ) a x ln a
(log a x)
1 x ln a
( e x ) e x
1 (ln x)
(1) y 2 x2 3x 2
2 解：（1）dy= d (2x ) d (3x) d (2) 2d ( x2 ) 3dx
(C 为常数)
4 xdx 3dx
(4 x 3)dx
(2) y (3x 2)e x
x x 解：dy= e d (3x 2) (3x 2)de 3ex dx (3x 2)ex dx
导数公式:
(c) 0
微分公式:
d (c ) 0
1
( x ) x

x
d (x ) x

x
1
dx
(a ) a ln a
x
d (a ) a ln adx d (e ) e dx
x
x
( e ) e
x
x
x
1 (log a x) x ln a 1 (ln x) x
1 2 x2 xdx dx d ( ) 2 2
即:
x d ( ) xdx 2
x d ( c ) xdx 2
2
2
又 d (c) 0
所以有: ( c 为任意常数 )
练 习
书P51第3题填空
(1) d (2x c ) 2dx (2) d ( x c ) 2 xdx 1 (3) d ( ln x c ) dx x (4) d ( cos x c ) sin xdx
(3x 5)e x dx
x2 (3) y x 1
( x 1)d ( x 2 ) x 2 d ( x 1) 解：dy= ( x 1)2 2 x( x 1)dx x 2 dx ( x 1)2 ( x 2 2 x)dx ( x 1)2
练 习
求下列函数的微分：
3. 复合函数求导法则
(cu ) cu ( c为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
三、微分的基本公式和运算法则
1.基本初等函数的微分公式
2
(5) d (sin x c) cos xdx
1 (6) d (arctan x c ) dx 2 1 x
小结
本节主要内容是微分的运算， （1）结合导数公式掌握基本的微分公式；
（2）微分的四则运算法则;
（3）复合函数的微分法则。
作业：练习册P53解答题
1(1) , (2) , (3) ,(4),(5)
2
(1) y x cos x
解：
x 1 (2) y 2x 1
解：
dy cos xd ( x ) x d (cos x)
2 2
(2 x 1)d ( x 1) ( x 1)d (2 x 1) dy 2 (2 x 1)
2 x cos xdx x sin xdx
(2) d ( x 2 1) 2x dx
(3) d (2 x ) 2x ln 2 dx
(4) d (e x ) e x dx
2、 微分的四则运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
例题1 求下列函数的微分：
思考第（6）题
x
(sin x) cos x
sec 2 x (tan x)
1 x2 1 (arctan x) 1 x2
(cos x) sin x
1
(arcsin x)
(arccos x)
1 1 x2
2. 导数的四则运算法则
(u v) u v (u v) uv u v
即，无论 u 是自变量还是中间变量，微分形式
dy f (u)du保持不变
'
若yf(u) ux) 则dyf (u)du 例2 ysin(2x1) 求dy 解： 方法一：把2x1看成中间变量u 即y=sin u ,u=2x+1 dyd(sin u) cos udu cos(2x1)d(2x1) cos(2x1)2dx 2cos(2x1)dx
提示：在求复合函数的导数时 也可以不写出中间变量
方法二： 由dyf (x)dx 可以先求导，再代入得微分。
y cos(2x 1) (2x 1) 2cos(2x 1)
'
dy 2cos(2 x 1)dx
例3. 填空: (1) d (
) xdx
2 解： dx 2 xdx