理论力学课件 动能定理

z m2 m3 C rC O x' x 而
i
mi m1 y
ri
y'
mn
1 2 1 2 T＝ mvC mi vri 2 2
d m v m i ri dt i i 0
质点系的动能，等于系统随质心平移的动能与相 对于质心平移参考系运动的动能之和。
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第13章
动 能 定 理
动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问 题，而动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不 仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机 械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运 动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的 联系，这是一种能量传递的规律。
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Fx =0， Fy =0， Fz =-mg
F mgk
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1 z2
对于质点系
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W mg ( z C 1 z C 2 )
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重力的功与重心运动的高度差成正比，与路径无关。
② 弹性力的功
Jz——刚体对轴的转动惯量
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z'
柯尼希（Koenig） 定理
质点系动能计算
1 1 T mi vi2 mi (vC vri ) 2 2 2 1 1 2 2 mi vC mi vri mi (vC vri ) 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri vC mi vri 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri 2 2
v
B A
刚体系动能的改变等于作用于刚体系的 所有力的功的总和。
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质点系的动能定理的应用
动能定理是标量形式，理想约束条件下，约束 力不做功，求解速度（角速度）非常方便。 动能定理还可求解位移，加速度（角加速度） 问题。 动能定理不能用于求解约束反力。一般约束反 力不做功。 动能定理与动量定理和动量矩定理联合应用， 可求解比较复杂的刚体动力学问题。
Fi drC d ρi
i 1
作用于刚体外力的元功 等于外力的主矢与质心 位移的标积，以及外力 对质心的主矩与瞬时角 位移的标积之和
n n Fi drC ρi Fi d i 1 i 1 FR drC M C d
l
l/3

C B
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§13.2
1 功的定义
力 的 功
F Fx i Fy j Fz k， dr dxi dyj dzk
元功
δW F dr Fxdx Fydy Fzdz
功是代数量，单位：焦耳

W F dr
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2
2 运动刚体的动能
与刚体运动形式，速度分布有关 平移刚体
1 1 1 1 2 2 2 2 T mi vi ( mi ) vC mv C mv C 2 2 2 2
定轴转动刚体
1 1 1 2 2 2 T mi vi ( mi ri ) J z 2 2 2 2
C

s2
s1
F cos d s
曲线积分


力的功一般与力作用点运动轨迹有关
合力的功：
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若几个力同时作用于同一点，则合力在任意路程所作的功等于各 个分力在该路程中所作功的代数和。
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力系功的矢量形式 ：
力的元功：
δW Fi dri
i 1
弹性力是变力
F k
r F k r l 0 r
弹性的力功
r W F dr k r l0 dr C C r 2 k 2 k r l0 d r r1 l0 r2 l0 C 2 k δ12 δ22 2
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1
§13.1
1. 质点系的动能
质点的动能
质点系的动能计算
1 2 T mv 2
动能是算术量，恒取正值，单位J（焦耳）。
质点系的动能：构成质点系各质点动 能之和。
T

1 2 m ivi 2
如
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T
1 1 1 2 2 m1v12 m2 v2 m3v3 2 2 2
套筒重G 在光滑圆环上滑动。设弹簧原长为R，当套筒从 A运动到B时，求弹簧力所作的功以及重力所作的功。
弹簧力的功
2 k 2 k 2 2 Ws A B 2 R R R 2 2 kR 1 2






重力所作的功
Wg W z A z B WR

B C为质心， P为速度瞬心。
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刚体系的动能
刚体系的总动能等于构成刚体系的各刚体动 能之和。
T ＝ Ti
v m1 m2
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练习 求图示匀质物体的动能。
质量均为m

e
R
O
A
v
O B
P

解： 1. 取系统为研究对象
受力分析：作功的力有主动力矩MO，重力mg和Mg 。 2 约束反力FOx和FOy，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦 vC 力Ff为理想约束不做功。
圆柱中心C下降s后，鼓轮转过，力所做的功为
W M 0 Mg sin s
运动分析：设圆柱中心C下降s后，鼓轮和圆柱的角速度分 别为1和2，圆柱中心速度vC ，则1=vC/R1， 2=vC/R2 质点系始末位置时的动能分别为： 1 1 1 2 2 T1 0 , T2 J112 （ MvC J C2 ） 2 2 2 转动惯量 J1 mR12 , J C 1 MR22 2
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§13.3
质点系动能定理
1. 质点动能定理
d mv F dt v dmv F vdt F dr
1 d mv 2 F dr 2
1 1 2 mv 2 mv 0 W 2 2 T T0 W
n
1 2 T m v 其中 i i 2 i 1
W WFi WNi
i 1 i 1
n
n
质点系动能的改变等于作用于质点系的所有 主动力功和约束力功的总和。
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对于刚体系
T T0 W
T0—刚体系的初动能； T —刚体系的末动能； W —力系的总功。
1
2
平面运动刚体上力系的功
δW F drC M C d
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W F drC M C d
C
2
1
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4. 理想约束上的功
在任何虚位移上都不作功的约束称为理想约束，机构中的大部分 约束为理想约束。
常见理想约束有： 光滑固定支撑面 光滑铰链约束 光滑轴承 固定端约束 连接两物体的无重刚杆 不可伸长的柔索 刚体在固定表面上纯滚动
W FR v C M C ω dt
0
t
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力系对刚体的功，与刚体的具体运动形式有关 平移刚体上力系的功
δW F drC
W F drC
C
定轴转动刚体上力系的功
δW M z d
W M z d
n
作用于质点系的力系的功 W

i 1
n
Ci
Fi dri
！注意
质点系的外力和内力都可能作功。
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2. 常见力的功
① 常力的功
W F dr F dr F r r0
C C
常力的功与积分路径无关 重力的功
r rdr d 其中 r dr d 2 2
1—— 初变形 2—— 末变形
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弹性力的功与弹簧变形的平方 之差成正比，与路径无关。
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例：求力的功
W

i 1 j 1 i
n
n
C ij
F ij d ρ ij
内力的功取决于质点 之间的相对位移
刚体内力的总功恒等于零。
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3. 作用于运动刚体上力系的功
力系对刚体的元功
δW Fi dri
i 1 n n
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③ 内力的功 质点系内力的功
相互作用的一对力的元功之和
δW F
ji
d ri F ij d r j
F ij d r j d ri F ij d r j ri F ij d ρ ij
F ij d ri F ij d r j
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讨论：摩擦力的功
一般将摩擦力作视为主动力求其功。 摩擦力一定作负功吗？
1. 2. 摩擦副在研究的质点系内时，静摩擦力是不作功。 摩擦力作的功，可以是正功，也可以是负功；且与路 径有关。
如：摩擦轮传动，皮带输送等
皮带输送
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质点的动能改变等于运动过程中力对质点所作的功
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2. 质点系的动能定理
1 1 2 2 m v m v 2 i i 2 i i 0 Wi
微分形式 积分形式
n
dT δW
T T0 W
1 T0 mi vi20 i 1 2
平面运动刚体的动能还可以写成：
1 T J P 2 2
其中对瞬心的转动惯量
J P J C m PC
2

C
P 瞬心法表示速度 A P C
例： 沿墙面下滑的杆的动能
1 2 T （J C m PC ） 2 2 1 ml 2 l （ m( ) 2） 2 2 12 2 ml 2 2 6
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动能定理解题步骤：
1. 2. 3. 4. 选取适当研究对象。 进行受力分析，求出力的功； 进行运动分析，写出系统动能。 应用动能定理，求解。
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例13-2
卷扬机工作原理如图所示。鼓轮在常力偶MO的作用下将均质圆柱体沿斜坡向上拉。已 知鼓轮半径为R1，质量为m，质量均匀分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为M。设 斜坡的倾角为，圆柱在斜坡上作纯滚动。系统初始状态静止，求圆柱体中心C经过路 程s时的速度。 1
总结：力系功的计算
力系的总功 W总 W主动力 W约束
W主动——主动力的功。如重力， W约束——约束力的功。 理想约束条件下，约束力的功为零，即 W约束=0 一般将摩擦力视为主动力。 这样，力系的总功就是主动力系的功。
W总 W主动力 W重力 W弹力 W摩擦力 W其它主动力
W重力——重力的功与路径无关，与高度差有关。 W弹力——弹性力的功与路径无关，与初末变形量有关 。 W摩擦力——摩擦力的功与路径有关。
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例：求力系的功
计算鼓轮顺时旋转一周外力所作的 总功。
做功的力：主动力矩MO，两重物的重力
M0
W总 mB g 2r m A g 2R M 0 2 4 9.8 0.15 2 4 9.81 0.25 2 1.2 2 17.1154 J
③ 平面运动刚体的动能
刚体的平面运动可以分解为随质心的平移和相对于质心平 移参考系的转动。
T
1 2 ( m i )vC 2

1 2 m i v ri 2
1 T ＝ mv 2
2 C
1 J C 2
2
平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移的动 能与相对质心平移参考系的转动动能之和。
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