第二章《二次函数回顾与思考》(1)
9下期末复习《二次函数的复习(1)》课堂教学实录
课题:《二次函数》第一课时（课堂实录）(课型:复习课)老师：同学们，我们已经学习了二次函数，利用这一节课我和大家一起复习这一章，请同学们完成导学案中的知识梳理：2．二次函数y =ax +bx +c ，当a ＞0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；当a ＜0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而 , 在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ．3．抛物线y =ax 2+bx +c ，当a ＞0时图象有最 点，此时函数有最 值 ；当a ＜0时图象有最 点，此时函数有最 值4．抛物线 的对称轴是_________；顶点坐标是________；函数有最____值，此值是__________．5．请写出一个二次函数解析式，使其图像的对称轴为x=1，并且开口向下＿＿＿＿＿＿＿＿．自评 分（每空4分，共100分）（时间：8分钟，老师巡视进行个别点拨） 老师：食物投影仪展示学生的作业 学生：互相点评打分。
时间：十分钟 老师：同学们做的很好 〖点评〗（1）抛物线的五种形式的梳理要结合图形分别用文字语言、符号语言加以表达． （2）第5题学生看题不认真仔细导致抛物线开口向上．（3）在学生回答的基础上有师生共同完成本章知识框架图的构建． 老师:我们一起看看这一章的知识结构图表：22(1)1y x =-+-开口方向与一元二次方程的关系下面我们一起来看一个例题 例题1．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，试判断下面各式的符号(1)．abc ____0 (2)．b 2-4ac ____0(3)．2a+b_______0 (4)．a+b+c_______0 (5)．（x 1-1）(x 2-7)_____0（x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）师：根据二次函数的图象如何来确定字母的取值范围？生：a 看抛物线的开口方向，开口向上a >0；根据对称轴在y 轴的右边b <0；根据与y 轴的交点在y 轴的正半轴c>0；所以abc <0 师：b 2-4ac 的符号怎么确定呢？生：根据抛物线与x 轴的交点情况：与x 轴有两个交点大于0；与x 轴只有一个交点等于0；与x 轴没有交点小于0，所以b 2-4ac >0． 师：很好，谁又知道第三个怎么考虑呢？ 生：根据图象的对称轴在（1,0）的右边，所以12>-ab，2a >0，根据不等式的基本性质变形就可以得到2a+b <0． 师：第4个呢？生：由于抛物线与x 轴的交点是（1,0）所以a+b+c =0． 师：第5个呢？生：抛物线与x 轴的两个交点坐标分别是（1,0），（7，0），所以该值是0〖点评〗：为了便于学生记忆和抓住二次函数的图象的特征，a 的符号确定很简单学生很容易记忆，而b 的符号不易记住，帮助总结口诀：左同又异，“左同”理解当对称轴在y 轴的左边时，a 与b 的符号相同；当对称轴在y 轴右边时，a 与b 的符号相反． 老师：很好，我们再一起看例题2（电脑投影例题2）例题2．已知二次函数图象过点（1，3）且有最小值1，对称轴是直线x =3，求该函数的解析式（学生思考，讨论）师：同学们这个怎么思考？生：设抛物线的顶点式，把点（1，3）代入顶点式即可 师：很好，那请自己动手做 （学生动手做，老师巡视） 〖点评〗：这道题考查是二次函数的顶点式的应用，学生掌握的非常好． 师：同学们掌握的非常好，下面我们再一起看例题3 例3．已知函数42)2(-++=m m xm y 是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?（学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点．）〖点评〗二次函数的一般式为y ＝a x 2＋b x ＋c (a ≠0)。
二次函数教学反思范文(精选5篇)
二次函数教学反思范文（精选5篇）二次函数教学反思范文第1篇本课是二次函数的图像和性质发展的必然结果，实现了与前面二次函数定义的呼应，使学生心中的困惑得到了最终的解释，通过图像和配方描述一般形式的二次函数的性质是本课的重点，最终达到不同二次函数表达式融会贯通，学习本课的基础在于对一元二次方程配方法和对形如顶点式的函数图像与性质的熟练掌握，纵观整个课堂及效果，我觉得有以下两个好的方面值得继续保持。
1、夯实了本课学习的基础。
从一元二次方程配方的回顾学习到顶点式函数图像性质的回顾研究入手，为二次函数一般形式的图像性质研究奠定了基础，为本课的顺利进行提供了保障。
2、本节课我注重学生探索中发现规律，培养学生归纳总结知识的习惯，这样调动了学生学习的积极性，体现了学生的主体地位，整洁课堂学生都参与其中，检测的效果也很好，有这样一句话：“没有学生的课堂，讲的再精彩也是徒劳”，但是这节课我个人感觉学生都在课堂，几个例题难度适中，学生通过配方准确无误的找出了对称轴、写出了顶点坐标。
一堂精彩的课堂是教不出优秀的学生的，只有做到堂堂都能像今天的课堂这样的效果，学生才能学得轻松，教师才能教的轻松，这才是现代教育提倡的课堂。
所以接下来的日子自己备课不但要在知识上下功夫，更多的我想应该去备学生，要在备课之余在自己的心理上一堂课，从中发现不足，进而改进，力求达到课堂效果的最优化，让更多的孩子享受学习的乐趣，让他们愿意去学习。
二次函数教学反思范文第2篇这节课我首先让学生思考了三个列函数关系式的实际问题，接着在学生探究这三个实际问题的基础上，思考、归纳出二次函数的定义以及探讨对二次函数的判断，最后针对二次函数的定义和能用二次函数表示变量之间关系进行了巩固应用。
本节课通过丰富的现实背景，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值。
通过学生的探究性活动（经历数学化的过程），和学生之间的合作与交流，通过分析实际问题，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系。
北师大版九年级数学《二次函数》回顾与思考教案
【教学目标】1.复习和巩固二次函数的基本概念和性质；2.通过回顾，检查学生对二次函数的理解程度，并帮助学生弄清关键概念和解题思路；3.培养学生的分析、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和抽象思维。
【教学重点】1.梳理二次函数的基本概念和性质；2.提供典型例题，帮助学生掌握解题思路；3.引导学生探究二次函数的应用领域。
【教学难点】1.通过合理的引导和问题导向，帮助学生运用所学知识解决实际问题；2.让学生了解二次函数在自然界和社会生活中的应用。
【教学过程】【导入】引入二次函数的概念：放映一段优秀的科普视频，引起学生对二次函数的兴趣，并回顾二次函数的定义和性质。
【讲授】1.复习与总结回顾并总结二次函数的定义、一般式、顶点式、轴对称式等表示方法，并归纳总结二次函数的性质。
2.典型例题讲解提供一些典型的二次函数问题，帮助学生巩固概念，并引导学生掌握解题思路和方法，例如：例题1：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点是(1, -2)，且经过点(-1, 4)，求a、b、c的值。
例题2：若抛物线y = ax^2 + 2ax - 3与x轴交于点A、B，交点A在点(-1, 0)的左边，且AO是x轴的中线，求a的取值范围。
3.实际应用通过介绍二次函数在自然界和社会生活中的应用，引导学生了解二次函数在实际问题中的作用。
例如：抛物线的运动轨迹、桥梁的设计、物体自由落体的运动等。
【练习】对所学知识进行巩固与运用，提供一些练习题，检查学生对二次函数的理解和应用能力。
【拓展】引导学生进一步探索，拓宽知识面，例如引导学生理解二次函数图象的平移、伸缩等变化。
【归纳总结】通过本节课的学习，学生总结本节课的重点内容和解题方法，归纳反思学习中出现的问题和不足之处。
【课堂小结】对本节课的学习内容进行总结，引导学生思考并提问，对学生的学习情况进行梳理和分析。
【作业布置】布置一些练习题作为课后作业，巩固所学知识，并提醒学生及时复习课堂内容。
初中数学_二次函数教学设计学情分析教材分析课后反思
第二章二次函数1．二次函数【教学目标】1、通过问题情境列函数关系式，归纳总结二次函数的定义及表达式和注意事项；2、根据二次函数的定义会判断函数是不是二次函数，并会列出符合条件的二次函数表达式；3、根据二次函数的定义，会求出二次函数式中字母的取值. 【重点难点】1．重点：理解二次例函数的概念，能根据已知情境列出函数表达式2．难点：理解二次例函数的概念.【教学过程】活动1知识回顾问题．什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的?设计意图：承上启下，将即将学习的二次函数归为函数体系，反映了研究函数的一般思维方法，进行对照研究。
活动2合作学习，探索新知1、正方形的边长是3cm，若边长增加xcm，增加后的正方形面积为ycm2,写出y与x之间的函数关系表达式；2、圆的半径是4cm,假设半径增加x cm时，圆的面积增加到ycm²，写出y 与x之间的函数关系表达式；3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园増种x棵橙子树，果园共有棵橙子树，平均每棵树结个橙子。
如果果园橙子的总产量为y个，请写出y与x之间的函数关系式。
观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?感悟新知：二次函数的概念经化简后都具有y=ax²+bx+c的形式,(a,b,c是常数, a≠0). 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a, b, c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称：a为二次项系数，ax2叫做二次项;b为一次项系数，bx叫做一次项;c为常数项你说我说二次函数的注意事项：同桌互相说，然后交流(1)关于x 的代数式一定是整式，a,b,c 为常数,a≠0。
(2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
（3）判断一个函数是不是二次函数，先把它化成一般形式。
设计意图：通过举例说明二次函数的关系来自生活，让学生体会建模的思想，通过直观形式的对比总结二次函数的概念与表现形式，加深学生对概念的印象。
2.9回顾与思考(1)二次函数小结
想一想P49 3
函数y=ax² +bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. y 3x 2 6 x 5 怎样直接作出 提取二次项系数 函数y=3x2-6x+5 3 x 2 2 x 5 3 的图象? 5 配方:加上再减去一次项 2 3 x 2 x 1 1 系数绝对值一半的平方 1.配方: 3 2 2 整理:前三项化为平方形 3x 1 式,后两项合并同类项 3 2 化简:去掉中括号 3x 1 2.
b 4ac b 2 它的顶点是 2a , 4a .
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
?
1. y 2 x 2 12 x 13; 2. y 5x 2 80 x 319;
1 3. y 2 x x 2; 4. y 32 x 12 x. 2
序号 1 2 3 4 … n
探寻 规律
求数 字和
1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 2n 1
显然, 其规律是求n个求连续奇数的和.
1
4
9
16
n2
显而易见, 第n个图形中小正方形的个数为自然数n的平方.
做一做P77 17
二次函数的应用C组: 3题
小结
拓展
回味无穷
函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax² 的关系
2.不同点: b 4ac b 2 (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 2a , 4a 和(0,0). b (3)对称轴不同:分别是 直线2 x 和y轴. (4)最值不同:分别是 4ac b 和0.2a 4a 3.联系: 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先沿 b b |个单位(当 >0时,向左平移; x轴整体左(右)平移| 2a 2a b <0时,向右平移),再沿对称轴整体上(下)平移 当 2a | 4ac4a b |个单位 (当 4ac4a b >0时向上平移;当 4ac4a b <0时,向下 平移)得到的.
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》教学设计
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》教学设计一. 教材分析《二次函数——回顾与思考》这一节主要是让学生回顾已学的二次函数知识，通过对已学知识的梳理，加深对二次函数的理解，并为后续的学习打下基础。
教材中包含了二次函数的图像、性质、以及解决实际问题等方面的内容。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一定程度的数学知识，对二次函数有一定的了解。
但是，部分学生可能对二次函数的图像和性质理解不深，解决实际问题的能力较弱。
因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习需求，通过合理的教学设计，帮助他们巩固已学的知识，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生回顾和巩固二次函数的基本知识，理解二次函数的图像和性质。
2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图像和性质，解决实际问题。
2.难点：对二次函数图像和性质的理解，以及运用二次函数解决实际问题的方法。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，引导学生回顾和巩固二次函数的基本知识。
2.案例分析法：教师通过分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：教师准备与本节课内容相关的课件，以便引导学生回顾和巩固二次函数的基本知识。
2.实际问题：教师准备一些与生活实际相关的数学问题，引导学生运用二次函数解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾已学的二次函数知识，如二次函数的定义、图像、性质等。
同时，教师也可以让学生举例说明二次函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示二次函数的图像和性质，让学生直观地感受二次函数的特点。
第二章 二次函数回顾与思考(1)
课 题 第二章 二次函数回顾与思考（第一课时）主备： 审核: 审批: 班级: 学生姓名：【学习目标】1. 理解二次函数的意义，能根据二次函数的图象说出其相应地性质.2. 会画二次函数的图象，能用配方法、顶点坐标计算公式确定抛物线的顶点坐标及对称轴.3. 能够根据不同条件确定二次函数的表达式.【学习重、难点】1. 掌握二次函数的定义，会求抛物线的顶点坐标及对称轴，能够根据不同条件确定二次函数的表达式，会画二次函数的图象，并能根据二次函数的图象说出其相应地性质.2. 能结合实际问题确定二次函数的表达式，解决相关问题.【基础知识回顾】1. 二次函数的定义：2. 二次函数的三种表示方式分别是：3.写出以下二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值及增减性①y ＝ax 2，②y ＝ax 2＋k ，③y ＝a (x －h )2，④y ＝a (x －h )2＋k ，⑤y ＝ax 2＋bx ＋c【典型例题】类型一：二次函数的图象及性质1.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a-< 2.．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图，则下列6个代数式：ab,ac,a-b+c,b2-4ac,2a+b,a+b+c中，值大于0的个数是_____类型二：抛物线顶点坐标的求法1．已知二次函数y=2x2-3x+5，求此二次函数图象的顶点坐标？你会用几种方法求解？类型三：抛物线的平移1．二次函数y=x2的图象向上平移2个单位长度，得到新的图象的二次函数关系式为_____________.2. 把抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的关系式为y=x2-3x+5，求b和c的值类型四：确定二次函数的表达式1.根据下列条件确定二次函数的表达式（1）求经过三点（-2，0）、（0，-3）、（2，2）的抛物线的表达式.（2）若抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0）、（4，0）且经过（-1，3），确定此抛物线的表达式.（3）若抛物线的顶点坐标是（-2，-3）且经过点（1，4），求它的表达式.2.已知二次函数2y x mx n =-++，当3x =时，有最大值4．（1）求m ，n 的值；（2）设这个二次函数的图象与x 轴的交点是A ，B ，求A ，B 两点的坐标．【自我检测】1.当m = 时，232(1)m m y m x --=+是一个二次函数．2.当())12(21____22--++==k k x k y k 时，二次函数有最大值为2.3.抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ．4.抛物线 y =x 2+x －4与y 轴的交点坐标为 ．5. 已知函数22y x x c =-++的部分图象如上图所示,则c=______,当x______时,y 随x 的增大而减小.6. 二次函数342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =图像平移而得到，下列平移正确的是A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位;B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位;D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位7.已知二次函数c bx ax y ++=2 (a ≠0）的图象如右图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个8. 已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ，则一定有（ ）A ．042>-ac bB ．042=-ac bC ．042<-ac bD ．042≤-ac b9.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）10．在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是A ．y ＝2(x －2)2 + 2B ．y ＝2(x + 2)2－2C ．y ＝2(x －2)2－2D ．y ＝2(x + 2)2 + 2【今日作业】课本P 804题，P 8214题.。
二次函数的回顾与思考
当a ＜ 0时：抛物线开口向下。
2 4ac-b b b 对称轴是x=,顶点坐标是(- 2a ， ) 2a 4a b 在对称轴的左侧，即当x ＜时，y随x的增 2a 大而增大； b 在对称轴的右侧，即当x ﹥ - 2a 时， y随x的 增大而减小。简记左增右减。抛物线有最高 2 b 4ac-b 点， 当x=时， y最大值= 2a 4a y
二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线
y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在 向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.
二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法
1. 2.
因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特 征是：（1）有开口方向；（2）有对称轴；（3） 有顶点。所以，画二次函数的图象通常采用简化 了的描点法——五点法，其步骤是： 先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在 直角坐标系中描出顶点m并用虚线画出对称轴； 求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点；当抛物线 与x轴有两个交点时，描出着两个交点A、B及抛 物线与 y轴的交点 C,再找到点C的对称点D。将这 五个点按从左到右的顺序连结起来，并向上或向 下延伸，就得到二次函数的图象。
位置是由常数项c决定的。
抛物线与y轴
上正下负
相交于原点； 3、 C＜0 抛物线与y轴 相交于负半轴；
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置是 由a和b联合决定的
a与 b同号 对称轴在y轴的左侧； a与 b异号 对称轴在y轴的右侧； 左同右异
b=0
对称轴就是y轴。
抛物线与x轴交点的个数由b2-4+c与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系
2019年第二章 回顾与思考语文
知识点 5：用待定系数法求二次函数的表达式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0)已知抛物线上三
个点的坐标时； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a、h、k 为常数，a≠0)已知条件与抛物
线顶点坐标有关时． 9．已知抛物线过三点：(－2，0)，(6，0)，(2，3)．求出对应的二
说明：①平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既可先 左右后上下，也可先上下后左右；
②抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时只要抓住顶 点的位置变化；
③抛物线 y＝a(x－h)2＋k 经过反向平移也可得到抛物线 y＝ ax2 的图象．
5．已知 y＝a(x－h)2＋k 是由抛物线 y＝－12x2 向上平移 2 个单位， 再向右平移 1 个单位得到的抛物线，求出 a，h，k 的值．
7．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的
是( D )
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0 B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0 C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0 D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
8．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与一次函数 y＝ax＋c 在同一坐标系中
解：如图，AF＝40 cm，AE＝30 cm，AB＝xcm，则 CD ＝xcm， ∵CD∥AF， ∴△EDC∽△EAF， ∴CADF＝EADE，∴4x0＝D30E，
则 DE＝34x，∴AD＝30－34x， 则矩形铁皮的面积： S＝AD×AB＝x×(30－34x)＝－34x2＋30x ＝－34(x－20)2＋300(0＜x＜40)， 则 x＝20 时，最大面积为 300 cm2.
二次函数回顾与思考
4.函数 y x px q 的图象是以(3,2)为顶点的抛物 线,则这个函数的关系式是( Ｃ ）
2
A. y x 6 x 11 C. y x 2 6 x 11
2
B. y x 2 6 x 11 2 D. y x 6 x 7
2
进行配方，正确的结果应（ Ｃ ）
A. y ( x 3) 2
2
B. y ( x 3) 2
2
C. y ( x 3) 2
2
D. y ( x 3) 2 2
A ) D.直线x=-4
3.抛物线y
x 4x 的对称轴是(
2
A.直线x=2
B.直线x=-2 C.直线x=4
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选一选：
1、在同一坐标系中，抛物线y=4x2 , D ） , y=-x2/4 的共同特点是（ A.关于y轴对称，开口都向上 B.关于y轴对称，y随x增大而增大 C.关于y轴对称，y随x增大而减小 D.关于y轴对称，顶点都在原点
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数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。 图象：是一条抛物线。 图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。 （2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最 高点）。 y y
o
x
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o
x
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
4a
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y
o
x
当a ＜ 0时：抛物线开口向下。 b 4ac-b2 b 对称轴是x=- 2a ,顶点坐标是(， ) 2a 4a 在对称轴的左侧，即当x ＜- b 时，y随x的 2a
北师大版数学九年级上册3.3《回顾与思考》教案
北师大版数学九年级上册3.3《回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版数学九年级上册3.3《回顾与思考》一课，主要是对之前学习的二次函数知识的回顾与思考。
通过本节课的学习，使学生对二次函数的概念、性质、图像等有更深刻的理解，提高学生解决实际问题的能力。
教材内容主要包括二次函数的图像特点、二次函数的顶点式、二次函数与实际问题的联系等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的概念、性质、图像等有一定的了解。
但部分学生对二次函数的图像特点、顶点式的应用等理解不深，解决实际问题的能力有待提高。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同学生进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的图像特点，会用顶点式表示二次函数的图像；2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决实际问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图像特点，顶点式的应用；2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力；2.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神；3.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳，培养学生的思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于课堂讨论；2.准备二次函数的图像资料，用于讲解；3.准备投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如：一个物体从地面抛出，求其在空中最高点的高度。
引导学生思考如何解决这个问题，从而引出二次函数的知识。
2.呈现（10分钟）展示二次函数的图像资料，让学生观察并分析二次函数的图像特点。
引导学生用顶点式表示二次函数的图像。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，如何将实际问题转化为二次函数问题。
第2讲 二次函数的认识 知识回顾+专题讲解+巩固练习-2021年中考数学二轮复习讲义
第二讲二次函数㈠承上启下 知识回顾问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”㈡紧扣考点 专题讲解请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1） 面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm )(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元;（1）y =πx 2（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax ²+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式.我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y（4） )1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y答：1.3.4.2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -= 二次函数1 二次函数3 二次函数 -2 一次项系数0 一次项系数7 一次项系数 2 常数项1 常数项 -12 常数项03、若函数mm x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 2 。
例1、已知二次函数 q px x y ++=2当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》说课稿
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》说课稿一. 教材分析《二次函数——回顾与思考》这一节的内容，主要是对二次函数的知识进行回顾和思考。
教材中通过一些例题和练习题，让学生巩固二次函数的基本知识，并且通过对二次函数图像的分析，让学生深入理解二次函数的性质。
教材还引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一段时间的二次函数知识，对于二次函数的基本概念、图像和性质有一定的了解。
但是，学生对于二次函数在实际生活中的应用可能还不够清晰。
因此，在教学这一节内容时，需要帮助学生巩固二次函数的基本知识，并且引导学生思考二次函数的实际应用。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生回顾和巩固二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。
2.过程与方法：通过例题和练习题，培养学生的解题能力和数学思维能力。
3.情感态度与价值观：引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。
2.难点：二次函数在实际生活中的应用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、问答法和实践法。
同时，我会利用多媒体课件和板书，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.回顾二次函数的基本知识：通过PPT展示和板书，回顾二次函数的定义、图像和性质。
3.例题讲解：通过一个典型例题，讲解二次函数的解题方法，培养学生解题能力。
4.练习题：让学生自主完成练习题，巩固二次函数的知识。
5.实际应用：引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
6.小结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数的基本知识和实际应用。
7.作业布置：布置一些有关二次函数的练习题，让学生进一步巩固知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.二次函数的定义2.二次函数的图像3.二次函数的性质4.二次函数的解题方法5.二次函数在实际生活中的应用八. 说教学评价教学评价主要通过学生的练习题和课堂表现来进行。
第二章 回顾与思考
说明：①平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既可先 左右后上下，也可先上下后左右；
②抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时只要抓住顶 点的位置变化；
③抛物线 y＝a(x－h)2＋k 经过反向平移也可得到抛物线 y＝ ax2 的图象．
11
5．已知 y＝a(x－h)2＋k 是由抛物线 y＝－12x2 向上平移 2 个单位， 再向右平移 1 个单位得到的抛物线，求出 a，h，k 的值．
增 a>0 在对称轴的右侧，
y 随着 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的增大而 增大 .
减
在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大 ；
性 a<0 在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而减小 ．
7
a> 当 x＝－2ba时，y 有最小值 当 x＝ h 时，y 有最小
最 0 为4ac4－a b2
值为 k .
值 a< 当 x＝－2ba时，y 有最大值 当 x＝ h 时，y 有最大
次函数的表达式．
19
解：设二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c， 把(－2，0)，(6，0)，(2，3)分别代入上式得：
003＝＝ ＝434a6a－a＋＋22b6b＋＋b＋ccc，解得：abc＝＝ ＝9434－136， 则二次函数关系式是：y＝－136x2＋34x＋94.
20
10．已知二次函数的图象与 x 轴交于 A(2，0)、B(6，0)两点，与 y 轴交于点 D(0，4)．求该二次函数的表达式．
第二章 二次函数
回顾与思考
1
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知识点与典型题型
2
知识点 1：二次函数的定义 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，
北师大版九年级数学下册：第二章《二次函数回顾与思考》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章《二次函数回顾与思考》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数回顾与思考》是对二次函数知识的回顾与深化。
本章内容主要包括二次函数的图像与性质、二次函数的应用等。
通过对二次函数的学习，使学生能够熟练掌握二次函数的基本性质，能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过二次函数的基本知识，对二次函数的图像与性质有一定的了解。
但是，部分学生对二次函数的性质理解不深刻，不能很好地运用二次函数解决实际问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行教学。
三. 教学目标1.理解二次函数的图像与性质，能够熟练运用二次函数解决实际问题。
2.提高学生的数学思维能力，培养学生的数学素养。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习习惯。
四. 教学重难点1.二次函数的图像与性质。
2.二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数的性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图像，帮助学生理解二次函数的性质。
3.结合实际问题，让学生运用二次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数的相关教具。
3.实际问题素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的二次函数知识，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示二次函数的图像，引导学生观察、分析二次函数的性质。
3.操练（10分钟）教师给出几个实际问题，让学生运用二次函数进行解决。
教师引导学生进行分析、解答，并进行讲解。
4.巩固（10分钟）教师给出一些关于二次函数的练习题，让学生进行巩固练习。
教师进行个别辅导，帮助学生解决问题。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，让学生进行拓展性学习。
北师大版八年级下册数学第二章《回顾与思考》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与实数、向量、函数或图形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制一次函数和二次函数的图像，观察向量的合成等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了实数、向量、函数及图形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：通过图形展示向量加法的平行四边形法则和数乘的几何意义。
（3）一次函数、二次函数的性质及图像：重点讲解一次函数、二次函数的图像特点、性质及其应用。
举例：以y = x^2为例，分析其图像的开口方向、顶点坐标等性质。
（4）三角形、四边形的性质及判定：强调三角形的稳定性、四边形的特殊性质，以及各类特殊图形的判定方法。
此外，小组讨论环节让我看到了学生们的思维火花。他们在探讨数学知识在实际生活中的应用时，提出了许多有趣的观点。这表明学生们具有很好的创新意识和解决问题的能力。但同时，我也注意到部分学生在讨论中较为沉默，可能是因为他们对相关知识点的掌握不够自信。为此，我将在以后的课堂中，更加关注这些学生，鼓励他们积极参与讨论，提高自信心。
难点解析：结合实际案例，让学生动手操作，学会数据的收集、整理、描述和分析，提高解决问题的能力。
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a<0
b 向下 x 当 2a 时
2 b 4 ac b y随,x的增大而减少 ( ) 2a 4a b b 2a 时 当x
向上
顶点
对称轴
增减性
最 值
y
x
回顾与思考
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言 或图象来进行描述. 2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴 交流. 3.小结作二次函数图象的方法. 4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 向、对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明. 5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函 数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系. 6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方 程ax2+bx+c=0的根之间的关系.
5 4
=x2-6x+9-2
=(x-3)2-2
•-4 • -3 • -2
3
2 1 • -1 0 -1 • 1 • 2 • 3 • 4
-2
巩固练习1： （1）抛物线y = x 2的开口向 上 ,对称轴是y轴 , 顶点坐标是 (0,0),图象过第 一、二 象限 ； （2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 ( 不可能 ) Y （填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。 （3）抛物线y =x 2+3的开口向 上 ,对称 O B X x=0 轴是 ,顶点坐标是 （0，3） ,是由抛 A 物线y =x 2向 上 平移 3 个单位得到的； （4）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象， 则 a ＞ 0， k ＜ 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = 0.5 ,k = -2 ；函数关系 式是y = 0.5x 2-2 。
A x
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)当x为何值时，y随x的增大而增大？
(2)当x为何值时，y<0？ (3)求它的解析式和顶点坐标。
y
O
x
作业：课本复习题1－5
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 平移4个单位,再向左平移5个单位所得到的新 抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析: (1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分 别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若 OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。 解： ∵点A在正半轴，OA=4， ∴点A（4，0） y ∵点B在负半轴， OB=1， ∴点B（-1，0） B O 又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA· OB=4 C ∴OC=2，点C（0，-2） 抛物线的解析式为 1 2 3 y x x2 2 2
二次函数解析式的三种表示方式
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 2+bx+c(a≠0) y=ax ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常 2+k(a≠0) y=a(x-h) 设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x 1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为 _____________
本课知识小结
二次函数
定义 相关概念 性质和图象 抛物线
对称轴
顶点
开口方向、对称轴、顶点坐标 图象 增减性 三点式 解析式的确定 顶点式 交点式
思索归纳
二次函数的定 义
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
随堂练习
1.下列函数中,哪些是二次函数？
1 (1）y=3(x-1)²+1; (2) y x . x （是） （不是） 怎么判 1 断？ (3) s=3-2t². (4) y . 2
?
（是）
x x
(5)y=(x+3)²-x².
（不是）
（不是）
二次函数的图象和性质
（一）形如y = ax
（5）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向上 , 对称轴 x=1/2 , 顶点坐标是 （1/2，1） （6）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶 点在第四象限，则a ＜0, m ＜ 0, n ＜0。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 a>0
开口方向
2
2
( a≠0 ) 的二次函数
对称轴 顶点坐标
开口方向
向上
x=h
（h，0）
(四) 形如y = a (x-h)
二次函数 y = a（x-h)
2+k
+k
(a ≠0) 的二次函数
对称轴 顶点坐标
开口方向 a＞0 a＜0
向上
x=h
（h，k）
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
1、平移关系
y=ax2
1、二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点 在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求 a 、 b 、 c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
二次函数 y = ax
2
2
(a≠0) 的二次函数
对称轴 顶点坐标
开口方向 a＞0 a＜0
向上 向下
x=0
(0,0)
（二）形如y = ax 2+k
二次函数
(a≠0) 的二次函数
对称轴 顶点坐标
开口方向
a＞0 a＜0
y = ax 2+k
向上
X=0
（0，k）
（三）形如y = a (x-h)
二次函数 y = a（x-h) 2 a＞0 a ＜0
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图 象如图所示，请根据图象判断下 列各式的符号：a < 0 ,b < 0,
c > 0 ,∆ > 0 , a-b+c > 0,a+b+c = 0
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标 系内的图象大致是（ C ）
4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0, 请画一个能反映这样特征的二次函数草图.
y随x的增大而减少 当
x b 2a
2a
x
y随x的增大而增大 当 x b
ymax
2a
时
2
ymin
4ac b 4a
4ac b 2 4a
2a
时
1.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的 值总为负，那么a、c应满足的条件是（ C ）
A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0 C.a<0且b2-4ac<0 D.a <0且b2-4ac ≤0
当h>0时,向右平移
当k>0时,向上平移 2 y=a(x－h) 当k<0时,向下平移
当h<0时,向左平移
y=a(x－h)2+k
2、顶点变化 （0,0) （h,0) （h,k)
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x26x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？
6
y=x2-6x+7