第二章《二次函数回顾与思考》(1)

二次函数 y = ax
2
2
(a≠0) 的二次函数
对称轴 顶点坐标
开口方向 a＞0 a＜0
向上 向下
x=0
(0,0)
（二）形如y = ax 2+k
二次函数
(a≠0) 的二次函数
对称轴 顶点坐标
开口方向
a＞0 a＜0
y = ax 2+k
向上
X=0
（0，k）
（三）形如y = a (x-h)
二次函数 y = a（x-h) 2 a＞0 a ＜0
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分 别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若 OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。 解： ∵点A在正半轴，OA=4， ∴点A（4，0） y ∵点B在负半轴， OB=1， ∴点B（-1，0） B O 又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA· OB=4 C ∴OC=2，点C（0，-2） 抛物线的解析式为 1 2 3 y x x2 2 2
y随x的增大而减少 当
x b 2a
2a
x
y随x的增大而增大 当 x b
ymax
2a
时
2
ymin
4ac b 4a
4ac b 2 4a
2a
时
1.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的 值总为负，那么a、c应满足的条件是（ C ）
A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0 C.a<0且b2-4ac<0 D.a <0且b2-4ac ≤0
（5）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向上 , 对称轴 x=1/2 , 顶点坐标是 （1/2，1） （6）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶 点在第四象限，则a ＜0, m ＜ 0, n ＜0。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 a>0
开口方向
5 4
=x2-6x+9-2
=(x-3)2-2
•-4 • -3 • -2
3
2 1 • -1 0 -1 • 1 • 2 • 3 • 4
-2
巩固练习1： （1）抛物线y = x 2的开口向 上 ,对称轴是y轴 , 顶点坐标是 (0,0),图象过第 一、二 象限 ； （2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 ( 不可能 ) Y （填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。 （3）抛物线y =x 2+3的开口向 上 ,对称 O B X x=0 轴是 ,顶点坐标是 （0，3） ,是由抛 A 物线y =x 2向 上 平移 3 个单位得到的； （4）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象， 则 a ＞ 0， k ＜ 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = 0.5 ,k = -2 ；函数关系 式是y = 0.5x 2-2 。
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 平移4个单位,再向左平移5个单位所得到的新 抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析: (1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
本课知识小结
二次函数
定义 相关概念 性质和图象 抛物线
对称轴
顶点
开口方向、对称轴、顶点坐标 图象 增减性 三点式 解析式的确定 顶点式 交点式
思索归纳
二次函数的定 义
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
1、二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点 在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求 a 、 b 、 c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a来自百度文库x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图 象如图所示，请根据图象判断下 列各式的符号：a < 0 ,b < 0,
c > 0 ,∆ > 0 , a-b+c > 0,a+b+c = 0
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标 系内的图象大致是（ C ）
4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0, 请画一个能反映这样特征的二次函数草图.
y
x
回顾与思考
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言 或图象来进行描述. 2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴 交流. 3.小结作二次函数图象的方法. 4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 向、对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明. 5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函 数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系. 6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方 程ax2+bx+c=0的根之间的关系.
二次函数解析式的三种表示方式
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 2+bx+c(a≠0) y=ax ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常 2+k(a≠0) y=a(x-h) 设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x 1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为 _____________
2
2
( a≠0 ) 的二次函数
对称轴 顶点坐标
开口方向
向上
x=h
（h，0）
(四) 形如y = a (x-h)
二次函数 y = a（x-h)
2+k
+k
(a ≠0) 的二次函数
对称轴 顶点坐标
开口方向 a＞0 a＜0
向上
x=h
（h，k）
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
1、平移关系
y=ax2
b x 当 2a 时 b 4ac b 2 (的增大而增大 , ) y随x 2a 4a b x 当 x 2ab 时
a<0
b 向下 x 当 2a 时
2 b 4 ac b y随,x的增大而减少 ( ) 2a 4a b b 2a 时 当x
向上
顶点
对称轴
增减性
最 值
随堂练习
1.下列函数中,哪些是二次函数？
1 (1）y=3(x-1)²+1; (2) y x . x （是） （不是） 怎么判 1 断？ (3) s=3-2t². (4) y . 2
?
（是）
x x
(5)y=(x+3)²-x².
（不是）
（不是）
二次函数的图象和性质
（一）形如y = ax
当h>0时,向右平移
当k>0时,向上平移 2 y=a(x－h) 当k<0时,向下平移
当h<0时,向左平移
y=a(x－h)2+k
2、顶点变化 （0,0) （h,0) （h,k)
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x26x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？
6
y=x2-6x+7
A x
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)当x为何值时，y随x的增大而增大？
(2)当x为何值时，y<0？ (3)求它的解析式和顶点坐标。
y
O
x
作业：课本复习题1－5