四年级奥数排列组合(C级)

1. 了解排列、组合的意义

2. 明白排列和组合的联系与区别

3. 掌握排列和组合的常用解题方法。

4. 会分析排列组合与其他专题的综合应用，培养学生的逻辑思维能力。

一、 排列与组合

在生产生活中，常常用到排列与组合，尤其在计算机研究中。 (一) 排列

（1） 从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列

中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．

（2） 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n

P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（

）（）　．

(二) 组合

（1） 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个

不同元素的组合数．记作m

n

C ．12)112321

⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m m

n n

m m P n n n n m C P m m m （）（（）

（）（）．这个公式就是组合数

公式．

（2） 一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)。这个公式的直观意义是：m n C 表示从n

个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m

n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成

一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元排列组合

考试要求

知识框架

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3

25

5C C =． （3） 规定1n n C =，0

1n

C =．

二、 排列与组合的联系与区别

联系：所有的排列都可以看做是先取组合，再做全排列；同样组合再补充一个阶段（排列）可转化为排列

问题。

区别：从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．

三、 排列组合问题常用解法

（1） 捆绑与插空

相邻问题用捆绑法，将题目中规定相邻的若干个元素捆绑成一个组，当做一个元素参与排列；相离问题用插空法，先将无位置要求的几个元素全排列，再把要求相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

（2） 插板法

插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法． 使用插板法一般有如下三种类型：

a) m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其

中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为1

1m n C --．

b) m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下

[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数

目为1(1)1m n m a C ----．

c) m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，

这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．

（3） 特殊优先法

特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。

（4） 分步法 （5） 排除法

对于一些限制条件过多的题目，可以运用正难则反的思想先求出所有情况，再减去不符合要

求的情况，求得结果。

（6）构造模型法

一些不易理解的排列组合问题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型

可使问题容易解决。

（7）分解与合成法

（8）利用对应思想转化法

重难点

（1）捆绑与插空.

（2）构造模型法.

例题精讲

应用

【例 1】4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：

⑴甲不在中间也不在两端；

⑵甲、乙两人必须排在两端；

⑶男、女生分别排在一起；

⑷男女相间．

【巩固】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.

（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.

（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.

（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排．