数字信号处理期末复习题

一、填空题
1.数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为 。

2.理想采样信号的频谱是原模拟信号的频率沿频率轴，每间隔 重复出现一次，并叠加形成的周期函数。

3.序列)(n x 的共轭对称部分)(n x e 对应着)(ωj e X 的 部分。

4.长度为N 的有限长序列)(n x 的M 点离散傅里叶变换的周期为 。

5.对实信号进行谱分析，要求谱分辨率Hz F 10≤，信号最高频率kHz f c 5.2=，则最小记录时间=min p T ，最少的采样点数=min N 。

6.在DIT-FFT 算法分解过程中，有16点的复数序列，可进行4级蝶形运算，则4级运算总的复数乘法次数为 。

7.如果序列)(n x 的长度为M ，则只有当频率采样点数N 满足 条件时，才可有频率采样)(k X 恢复原序列)(n x ，否则产生时域混叠现象。

8.设)(*n x 是)(n x 的复共轭序列，长度为N ，N n x DFT k X )]([)(=，则
=N n x DFT )]([*。

9.线性相位FIR 滤波器，若)1()(---=n N h n h ，N 为奇数的情况下，只能实现 滤波器。

10.给定序列()14j n x n e
π⎛⎫- ⎪⎝⎭
=，试判断此序列是否为周期序列 ；若为周期序列，
请给出此序列的最小正周期 ，若为非周期序列，请列写判别原
因 。

（后面两个填空只需填一个）。

11.已知调幅信号的载波频率为1kHz ，调制信号频率100m f H z =，则最小记录时间为 ，最低采样频率 。

12.系统差分方程为()()()21y n x n x n =++ ，其中()x n 和()y n 分别表示系统输入和输出，判断此系统（是，非）线性系统，（是，非）时不变系统，（是，非）因果系统，（是，不是）稳定系统。

（划线部分是正确答案）。

13.周期信号()()0sin x
n n ω= ，其中02πω为有理数，其用欧拉公式展开后表达式为 ，其傅里叶变换为 。

14.序列()2n
u n -的Z 变换表达式为 ，收敛域为 。

15.连续信号()a x t 是带限信号，最高截止频率为c f ，若采样角频率2s c f f < 会造成采样信号中的 现象。

而序列()x n 的长度为M ，则只有当频域采样点数N M ≥时，才可由频域采样()X k 恢复原始序列，否则产生 现象。

16.对序列()()4x n R N =进行8点DFT （离散傅里叶变换）后，其幅度谱表达式为 ，相位谱表达式为 。

17.设()x n 是长度为N 的实偶对称序列，即()()x n x N n =-，则()X k 对称；如果
()x n 是实奇对称序列，即()()x n x N n =--，则()X k 对称。

18.数字滤波器与模拟滤波器最大的区别为，频响函数()j H e ω是以 为周期的。

对线性相位特性的滤波器，一般采用 数字滤波器设计实现。

19.已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为：()h n 长度为6N =；()()05 1.5h h ==；
()()14 1.5h h ==；()()233h h ==，那么FIR 滤波器具有 相位特性，且
其幅度特性关于 奇对称。

20.已知模拟滤波器的系统函数为：()1,0a H s a s a
=
>+，且()()1101,0H j H j =∞=，
则其3dB 的截止频率c Ω= 。

二、计算题
1. 已知)2cos(2)(0t f t x a π=，式中Hz f 1000=，以采样频率Hz f s 400=对)(t x a 进行采
样，得到采样信号 和时域离散信号)(n x ，试完成下面各题： （1） 写出 的傅里叶变换表示式)(ωj X a
； （2） 写出 和)(n x 的表达式；
（3） 分别求出 的傅里叶变换和)(n x 序列的傅里叶变换。

2.有一连续信号()2cos(2)a x t ft πϕ=+，式中20f Hz =，2πϕ=。

（1）求()a x t 的周期
（2）用采样间隔0.02T s =对()a x t 进行采样，写出采样信号ˆ()a x
t 的表达式； （3）求出对应的时域离散信号（序列）()x n 的周期
)(ˆa t x )(ˆa t x )(a t x )(ˆa t x
3.已知序列{}1,2,2,1)(=n x ，{}1,1,2,3)(--=n h
（1）计算5点循环卷积)()()(5n h n x n y ⊗=;
（2）用计算循环卷积的方法计算线性卷积)()()(n h n x n y *=。

4.设()x n 是长度为20的因果序列，()h n 是长度为8的因果序列。

2020()[()],()[()],()()()c X k D F T x n H k D F T h n Y k H k X k ===
20()[()],()()*()
c c y n IDFT Y k y n h n x n ==
试确定在哪些点上()()c y n y n =，并解释为什么？
5．如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 μs，每次复数加需要1 μs，用来计算N=1024点DFT，问直接计算需要多少时间。

用FFT计算呢？
6.求{}2,1,2,3,1,1,2,1
x的DIF-FFT，DIT_FFT的结果。

n
)
(=
7.求(){}X k 1,2,1,1,3,2,1,2=的FFT 的逆变换的结果
8.已知模拟滤波器的系统函数如下：
1
1)(2
++=
s s s H a
试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。

设T=2s 。

9.已知模拟低通滤波器的通带边界频率为0.5kHz ，用脉冲响应不变法将其变换成数字滤波器H(z)，采样间隔T=0.5ms ，求数字滤波器的通带边界频率是多少？如果改用双线性变换法，采样间隔T=0.5ms ，数字滤波器的通带边界频率是多少？
10、采样数字系统的组成框图如图所示，理想情况下，A/D 变换器对模拟信号采样，
得到序列()()a x n x nT =，而D/A 变换器是将序列()y n 变成模拟带限信号()a y t
；
()()
()()
sin a n t nT T y t y n t nT T
ππ∞
=-∞
-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
=
-∑
整个系统的作用可以等效为一个线性时不变模拟滤波
器。

x ()t
⑴如果
()
h n 表示一个截止频率为8π的低通数字滤波器，采样频率
110s z
F kH T
=
=。

试求等效模拟滤波器的截止频率。

⑵如果32s z
F kH =，试求等效模拟滤波器的截止频率。

11、对FIR 数字滤波器，其系统函数为：
()()
1
1
2
3
4
1
()10.9 2.10.910
N n
n H z h n z
z z
z
z
------==
=
++++∑
求出该滤波器的单位脉冲响应()h n
，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性函数和相位特性函数。

12. 要求用数字低通滤波器对模拟信号进行滤波，要求如下：通带截止频率为10kHz ，阻带截止频率为22 kHz ，阻带最小衰减为65dB ，采样频率为50 kHz 。

用窗函数法设
计数字低通滤波器，选择合适的窗函数及其长度，求出()h n。

13. 用矩形窗设计一个线性相位高通FIR 数字滤波器，逼近理想带通滤波器：
（1） 求出该理想带通的单位脉冲响应h d (n)； （2） 写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式
（3） 要求过渡带宽度不超过π/8 rad 。

N 的取值是否有限制？为什么？
14. 用矩形窗设计一个线性相位带通FIR 数字滤波器，逼近理想带通滤波器：
（1） 求出该理想带通的单位脉冲响应h d (n)； （2） 写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式
（3） 要求过渡带宽度不超过π/16 rad 。

N 的取值是否有限制？为什么？
j c c j d c c e || (e )00||<, ||<a B H B ωω
ωωωωωωωπ-⎧≤≤+⎪=⎨<+<⎪⎩j c j d c e || (e )0
0||<a H ωω
ωωπωω-⎧≤≤⎪=⎨
<⎪⎩
15.用频率采样法设计线性相位低通FIR数字滤波器，要求通带截止频率ωc=π/4，阻带最小衰减大于45 dB，过渡带宽度B t≤π/8。

确定过渡带采样点个数M和滤波器长度N，求出频域采样序列H(k)和单位脉冲响应h(n)。

求出频域采样序列H(k)和单位脉冲响应h(n)。