求极限的常用方法

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极限计算的13种方法示例

极限计算的13种方法示例极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

在计算极限时，我们可以利用一些常见的方法来求解。

下面将介绍13种常见的极限计算方法。

一、代入法代入法是极限计算中最简单的方法之一。

当我们需要计算一个函数在某一点的极限时，只需要将该点的横坐标代入函数中，求得纵坐标即可。

二、夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它适用于那些难以直接计算的函数。

夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，它们在极限点附近夹住我们要求的函数，从而求得该函数的极限值。

三、无穷小量法无穷小量法是极限计算中常用的方法之一。

它利用了无穷小量的性质，将函数中的高阶无穷小量忽略不计，只考虑最高阶的无穷小量来计算极限。

四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的极限计算方法，它适用于求解0/0型和∞/∞型的极限。

该法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的导数的极限，然后通过求导计算得到极限值。

五、泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的近似计算极限的方法。

它利用了泰勒级数展开的性质，将函数在某一点附近进行泰勒展开，然后通过截断级数来计算函数的极限。

六、换元法换元法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些存在复杂变量关系的函数。

通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。

七、分子有理化分子有理化是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有根式的函数。

通过将根式的分子有理化，可以将原函数转化为一个分式，从而更容易计算极限。

八、分部积分法分部积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有积分的函数。

通过将原函数进行分部积分，可以将原函数转化为一个更简单的函数，从而更容易计算极限。

九、换元积分法换元积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有复杂变量关系的函数。

通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。

十、二重极限法二重极限法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有多个变量的函数。

函数极限的技巧

函数极限的技巧函数极限是高等数学中的一个重要概念，许多问题的解决都需要借助函数极限的性质和技巧。

在求解函数极限的过程中，有一些常用的技巧可以帮助我们简化计算和求解过程。

下面我将介绍一些常用的函数极限的技巧。

一、替换法替换法是函数极限求解中最常用的一种技巧之一。

它的基本思想是将函数中的某个变量替换成一个与之等价的表达式，从而简化函数表达式，使得求解极限变得更加容易。

例如，当我们要计算函数f(x)=sinx/x在x趋向于0时的极限时，使用替换法可以将函数中的分母x替换成sinx/x的倒数1/x，得到等价的函数f(x)=sinx/(sinx/x)，然后我们再求解这个等价函数在x趋向于0时的极限，即可得到原函数的极限值。

除了在分母中替换掉变量以简化计算外，替换法还可以在函数的分子中替换掉变量或者将整个函数进行替换，以达到简化计算的目的。

二、化简法化简法也是求解函数极限常用的一种技巧。

它的主要思想是对函数表达式进行一系列的代数化简，将复杂的表达式转化为简单的形式，然后再计算极限。

例如，当我们要计算函数f(x)=(x^3-8)/(x-2)在x趋向于2时的极限时，我们可以将分子进行因式分解，得到f(x)=((x-2)(x^2+2x+4))/(x-2)，然后再化简这个表达式，将(x-2)约去，得到f(x)=(x^2+2x+4)，最后我们再计算这个化简后的函数f(x)在x趋向于2时的极限。

在使用化简法求解函数极限时，我们需要熟悉常见的代数化简方法和因式分解技巧，以便将复杂的函数表达式转化为简单的形式。

三、夹逼定理夹逼定理是一种比较常用的函数极限求解技巧。

它的基本思想是通过构造两个辅助函数，这两个函数分别小于或大于待求极限函数，并且这两个函数的极限都等于待求极限，从而得到待求函数的极限值。

例如，当我们要计算函数f(x)=xsin(1/x)在x趋向于0时的极限时，我们可以构造两个辅助函数g(x)=x和h(x)=-x，明显有g(x)≤f(x)≤h(x)，同时g(x)和h(x)的极限都等于0，因此根据夹逼定理，我们可以得到f(x)在x趋向于0时的极限也等于0。

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。

极限方法就是研究变量的一种基本方法。

极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。

1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim323+-∞→x xx x 解3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。

例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→11lim解 2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。

(完整word版)高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14 种方法一、极限的定义1. 极限的保号性很重要：设limf (x)A ，x x 0（ i ）若 A 0 ，则有0 ，使适当 0 | x x 0 |时， f (x) 0 ；（ ii ）如有0, 使适当 0 | x x 0 |时， f (x)0,则A0 。

2. 极限分为函数极限、数列极限，此中函数极限又分为限能否存在在：x时函数的极限和 xx 0 的极限。

要特别注意判断极（ i ）数列 x n 收敛于 a 的充要条件是它的全部子数列均收敛于 a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ ii ）limf (x)Alimf ( x)limAxxx(iii)lim f ( x)AlimlimAx xx x 0x x 0(iv) 单一有界准则（ v ）两边夹挤准则（夹逼定理 / 夹逼原理）（ vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限 limf ( x) 存在的充分必要条件是：x x 00,0, 使适当 x 1、 x 2U o ( x 0 )时，恒有 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) |二．解决极限的方法以下：1. 等价无量小代换。

只好在乘除时候使用。

例题略。

．．2. 洛必达（ L ’ho spital ）法例（大题目有时会有示意要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

第一一定是X 趋近，而不是 N 趋近，因此面对数列极限时候先要转变为求 x 趋近状况下的极限，数列极限的n 自然是趋近于正无量的，不行能是负无量。

其次 , 一定是函数的导数要存在，假如告诉 f （x ）、g （x ）, 没告诉能否可导，不行直接用洛必达法例。

此外，一定是 “0 比 0”或“无量大比无量大” ,而且注意导数分母不可以为 0。

洛必达法例分为 3 种状况：（i ）“ 0”“”时候直接用(ii) “0? ”“”，应为无量大和无量小成倒数的关系，因此无量多数写成了无量小的倒数形式了。

求极限的几种常用方法

求极限的几种常用方法极限是数学中一个非常重要的概念，在计算和分析各种数学模型或问题时经常会遇到。

求极限的方法有很多种，我们来看一下其中几种常用的方法。

1.代入法代入法是求解极限的最基本方法。

当直接代入极限的值会导致不确定形式（比如0/0或无穷大/无穷大）时，可以尝试将这个函数做一些化简或变形，然后再进行代入。

2.夹逼准则夹逼准则也叫夹逼定理，是一种常用的求解极限的方法。

当我们要求解f(x)在x=a处的极限时，如果能够找到两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)，且当x趋近于a时，g(x)和h(x)的极限都等于L，那么根据夹逼准则，f(x)的极限也等于L。

3.分别极限法当一个函数可以拆解为多个子函数的和、积或商时，可以使用分别极限法进行求解。

即求出每个子函数的极限，然后再根据所涉及的运算性质来得到整个函数的极限。

4.换元法换元法也是求解极限的一种常用方法。

当求解一个复杂函数的极限时，我们可以进行变量的替换，将原函数转化为一个更加简单的函数，从而更容易求解极限。

5.泰勒展开泰勒展开是一种利用泰勒公式来近似表示函数的方法。

通过将一个函数近似展开为多项式的形式，可以用这个多项式来计算函数在其中一点的极限。

当需要计算给定点附近的极限时，泰勒展开是一种常用的方法。

6.渐近线性当极限存在且无穷大或无穷小时，可以利用函数的渐近线性来求解极限。

根据函数在无穷远处的性质和斜率，可以通过观察渐近线的特征来判断极限的结果。

7.收敛性对于数列来说，如果数列的极限存在，那么我们可以通过观察数列的性质和规律来判断极限的结果。

一般可以利用单调有界原理、数列的递推关系、数列的特征和规律等方法来判断极限的收敛性。

8. L'Hopital法则L'Hopital法则是一种用于求解0/0或无穷大/无穷大形式的极限的方法。

根据这个法则，如果一个函数的极限形式为0/0或无穷大/无穷大，可以通过对分子和分母同时求导再次进行极限计算，直到得到极限的结果。

高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)

（ii）
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设，
P（x）= ,
(i) （ii）若，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B

求极限的几种常用方法

求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限，本例中当时，，表明与1无限接近，但 ,所以这一因子可以约去。

二、分子分母同除求极限求极限型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

?三、分子(母)有理化求极限例:求极限 ??分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

例：求极限30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

四、应用两个重要极限求极限两个重要的极限在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例：求极限第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。

五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。

这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

例：求因为,,所以六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当时,，，等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。

此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

例：例：求极限?七、利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。

如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。

也就说，极限号与可以互换顺序。

例：求令因为在点处连续所以八、用洛必达法则求极限洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。

洛必达法则只说明当也存在等于时，那么存在且等于。

如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。

求极限的常用方法

求极限的常用方法求极限是数学分析中一个重要的概念，它可以帮助我们理解函数在一些点处的行为，并在许多数学领域中发挥重要作用。

下面是一些常用的方法和技巧，来帮助我们求解各种类型的极限。

1.代入法：当函数在其中一点的极限存在时，我们可以尝试直接将该点的值代入函数中，看看是否会得到一个有意义的结果。

如果代入的结果是有限的，那么说明极限存在并等于该有限值。

然而，这种方法只适用于简单的函数和特定的极限问题。

2.分母有理化：当我们遇到含有分母中包含根式或其他不便计算的因素时，可以尝试将其有理化。

常用的方法有利用平方差公式或者乘法公式，以及通过分子分母同乘共轭式等。

3.分子有理化：类似于分母有理化，当我们遇到函数中含有根式时，可以尝试将其有理化。

常用的方法有利用平方差公式，乘方差公式以及平方和公式等。

4.拆分分数项：对于复杂的分式函数，我们可以尝试将其分解成简单的分式项，然后对各项求极限，再根据极限的性质进行求解。

5.极限的性质和定理：除了直接计算极限，我们还可以利用一些常见的极限性质和定理来简化问题。

例如，极限的四则运算法则、复合函数的极限、极限的保号性等都可以帮助我们更好地理解和求解极限。

6.夹逼定理：夹逼定理是求解一些复杂极限的常用方法之一、该定理的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，然后利用这两个函数对待求函数进行夹逼，从而确定待求函数的极限。

这个方法常用于求解无穷大和无穷小的极限。

7.泰勒展开：泰勒展开是求解一些复杂函数的极限的重要方法。

该方法利用了泰勒级数的定义，将复杂的函数近似为一个无穷级数，然后通过截断级数来计算近似的极限值。

8. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解一些不定型极限的重要方法之一、该法则利用导数和洛必达法则，将一个不定型极限转换为一个更简单的极限，然后进行求解。

9.递推关系：递推关系是求解一些递推数列的极限的重要方法。

该方法利用数列之间的递推关系，将数列的极限转化为递归方程的极限，并利用递归方程的解求解极限。

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除．．时候使用。

例题略。

2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：（i ）“00”“∞∞”时候直接用(ii)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

极限的无穷技巧

极限的无穷技巧极限是数学中一种重要的概念，用来描述函数或数列在某一点或某个方向上的趋势。

在数学分析中，极限是一个基本且核心的概念，无处不在。

对于理解数学中的极限概念，应该掌握一些常用的无穷技巧，这些无穷技巧可以帮助我们更好地计算和理解极限。

下面我将介绍一些常见的无穷技巧。

1. 用洛必达法则计算极限洛必达法则是一种用来计算极限的常用方法。

它适用于具有形式为0/0或∞/∞的不定型的极限计算。

该法则的基本思想是通过求导的方式将原极限转化为一个新的极限，从而使计算变得更加简洁。

需要注意的是，使用洛必达法则计算极限时，必须确保被求导的分子和分母在该点的导数存在，否则无法使用该法则。

2. 利用泰勒展开求解泰勒展开是将一个任意函数展开为幂级数的方法。

利用泰勒展开，我们可以将复杂的函数转化为简单的多项式。

在计算极限时，可以利用泰勒展开将要求解的函数展开为一个多项式，然后计算多项式的极限。

需要注意的是，泰勒展开的适用范围是在展开点附近的某个小区间内。

3. 利用特殊极限的性质在计算极限时，有一些特殊的极限性质可以帮助我们简化计算。

比如，对于n 的某个正整数幂，极限n的幂次根等于1。

另外，绝对值的极限等于绝对值的极限。

利用这些特殊极限的性质，我们可以很方便地计算一些常见的极限。

4. 利用夹逼定理求解夹逼定理是一种常用的极限计算方法。

夹逼定理的关键思想是找到两个函数，一个比要求解的函数要小，一个比要求解的函数要大，并且这两个函数的极限都相等。

然后通过夹逼定理，可以得到要求解的函数的极限。

夹逼定理在计算复杂的极限时非常有用。

5. 利用递推公式求解对于一些递推函数或数列，我们可以通过递推公式求解它们的极限。

递推公式给出了函数或数列中后一项与前一项之间的关系，通过逐项计算可以得到极限。

递推公式的求解需要使用到递推关系，可以根据递推关系得到极限的解析表达式。

6. 利用反函数和对数函数求解对于一些特殊函数，可以利用反函数和对数函数的性质求解极限。

考研数学：求极限的16种方法

考研数学：求极限的16种方法1500字求极限是数学中一个重要的概念和技巧，经常会在高等数学、微积分、函数分析等课程中出现。

在考研数学中，求极限也是一个比较常见的题型，有时候会要求借助不同的方法来求解极限。

以下是16种常见的求极限的方法：方法1：代入法代入法是求极限中最基本的方法之一，特别适用于极限问题中有指定点的情况。

代入的点可以是有限点或无限点，通过将极限值代入原函数中，来求得极限。

方法2：夹逼定理夹逼定理也是一种常用的方法，适用于需要用两个已知函数夹住待求函数的情况。

通过取两个已知函数逐渐逼近待求函数，来求得极限。

方法3：集中取值法集中取值法是一种常用的方法，适用于需要对待求函数的取值进行讨论的情况。

通过将待求函数的取值限制在一个区间内，来求得极限。

方法4：变量代换法变量代换法是一种常用的方法，适用于需要通过变换变量来求得极限的情况。

通过进行恰当的变换变量，将原极限转化为另一个更容易求解的极限。

方法5：公共因子法公共因子法是一种常用的方法，适用于需要将待求函数的表达式进行分解的情况。

通过进行恰当的分解，将待求函数表达式中的公共因子提取出来，来求得极限。

方法6：三角函数极限法三角函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行三角函数的极限转化的情况。

通过使用三角函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的三角函数极限。

方法7：幂函数极限法幂函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行幂函数的极限转化的情况。

通过使用幂函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的幂函数极限。

方法8：自然对数极限法自然对数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行自然对数的极限转化的情况。

通过使用自然对数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的自然对数极限。

方法9：常数e极限法常数e极限法是一种常用的方法，适用于需要进行常数e的极限转化的情况。

通过使用常数e的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的常数e极限。

方法10：斜率法斜率法是一种常用的方法，适用于需要进行斜率的极限转化的情况。

求极限的常用方法

2 求极限的常用方法 2.1 定义法该方法在求极限的过程中很适于证明题.定义 1 在此我们用ε-δ定义极限,即设函数()f x 在0x 的某个空心邻域001(;)U x δ内有定义,A 为定数,若对任给的ε>0,存在正数δ（<1δ）使得当0<∣x -0x ∣<δ时有∣()f x -A ∣<ε,称函数()f x 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作 0lim ()x x f x A →=.例1 证明 0lim 1(1)x x a a →=>.证任给0(1)εε><不妨设，为使1x a ε-<，（*）即11x a εε-<<+，利用对数函数㏒a x （当1a >时）的严格增性，只要㏒(1)a x ε-<<㏒(1)ε+, 于是，令{}min log (1),log (1)a a δεε=+--，则当0<︱x ︱< δ时，就有（*）式成立，从而证得结论.注：本题是直接运用定义法进行证明极限的一类典型例题，解题中关键是δ值的确定是有技巧的，在以后的解题中要注意这一点. 2.2 利用单调有界原理求极限定理1 在实数系中，有界的单调数列必有极限.例2 设).(211nn n x ax x +=+其中a >0,00>x ,求n n x ∞→lim .解因为nn n n n x ax x a x x .)(211≥+=+=a ，所以｛n x ｝有下界．又1)1(21)1(21221=+≤+=+aax a x x n n n ，有}{n x 单减,然后对两边求极限，有⎪⎭⎫⎝⎛+=l a l l 21，则a l ±=()0>l ，a l =，故a x n n =∞→lim .注：本题要求的是数列项极限问题，于是我们很自然的联想到单调有界定理；但是我们首先要根据题中已知的递推关系式来判定该数列的有界性和单调性，经判定符合定理条件之后即可对其运用定理来求解，这也是解此类题的一般思路和方法.2.3 通过连续求极限在高等数学中,极限是继函数概念的有一个最重要最基本的概念,极限可以进一步阐明函数的连续性,而函数连续性也可以应用于极限的求解.我们知道f 在0x 连续等价于0lim ()x x f x →=0(lim )x x f x →,利用这个原理我们可以得到下面的定理.定理2 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，0u =0()f x ，则复合函数g f 在点0x 连续.公式表示即：00lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==.这也是我们求极限的一种方法——连续函数法,我们看一道例题: 例3 求极限21limsin (1)x x →-.解 2sin(1)x -可以看作函数()sin g u u =与2()1f x x =-的复合.由公式可得，2211limsin(1)sin(lim(1))sin 00x x x x →→-=-==.注：若复合函数gf 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而0()a f x ≠或f 在0x 无定义（即0x 为f 的可去间断点），又外函数g 在u a =连续，则我们仍可以用上述定理来求复合函数的极限，即有lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.2.4 利用迫敛性定理求极限定理3 设0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x → =A ,且在某空心邻域00;()U x δ'内有()f x ≤()h x ≤()g x ,则0lim ()x x h x →=A .[]1例4 求01lim []x xx →.解当x >0时有，1-x <x [1x]≤1, 而0lim(1)x x +→-=1，故由迫敛性得， 01lim []x x x+→=1. 另一方面，当x <0时有1≤x [1x]<1-x ,故由迫敛性又可得, 01lim []x x x-→=1. 综上我们可得 01lim []x xx →=1.注：运用迫敛性定理来解题时,要求我们有一点构造思想,正如本题中1-x <x [1x]≤1这个关系式的构造;然后就是运用相关知识来证明极限的值,再由迫敛性定理即可求得结果.2.5 依据四则运算法则求极限[]2若极限0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在,则函数f ±g , f •g 当x →0x 时极限也存在,且⑴0lim[()()]x x f x g x →±=0lim ()x x f x →±0lim ()x x g x →;⑵0lim[()()]x x f x g x →=0lim ()x x f x →0lim ()x x g x →;又若0lim ()x x g x →≠0,则f ／g 当x →0x 时极限存在,且有⑶0()lim()x x f x g x →=0lim ()x x f x →／0lim ()x x g x →.利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.例5 求4lim(tan 1)x x x π→-.解由tan x x = sin cos xθθ则有，44lim sin sinlim cos 42x x x x πππ→→===，由四则运算法则有，4lim(tan 1)x x x π→-=4444lim sin lim lim11lim cos 4x x x x xxxπππππ→→→→-=-.注：本题是相对简单的，即直接运用四则运算法则中的减法和除法，把原极限式展开分别求极限即可；其实运用四则运算求解极限时，一般的解题思路就是展开、分别求解极限.。

求极限的方法总结

极限是数学分析中的重要概念，也是微积分的基础。

求极限的方法有很多种，下面将对常用的几种方法进行总结和解析。

1. 直接代入法直接代入法是最基本的求极限方法，适用于函数单调、连续，且直接代入可知极限值的情况。

具体步骤如下：（1）将极限表达式中的变量替换为具体的数值。

（2）根据函数的定义和性质，计算替换后的表达式。

（3）得出极限值。

2. 因式分解法因式分解法适用于有理函数的极限求解，通过分解函数，消除分子、分母中的共同因子，简化极限表达式。

具体步骤如下：（1）对有理函数进行因式分解。

（2）对分解后的表达式进行约分，消除共同因子。

（3）根据约分后的表达式求极限。

3. 泰勒公式法泰勒公式法是利用泰勒公式将函数展开，近似表示函数在某一点附近的值，从而求解极限。

具体步骤如下：（1）确定函数在某一点附近的泰勒展开式。

（2）根据泰勒展开式求极限。

4. 洛必达法则洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）适用于求解“0/0”或“∞/∞”形式的极限。

该法则通过对分子、分母同时求导，将极限问题转化为导数的极限问题。

具体步骤如下：（1）判断极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”。

（2）对分子、分母分别求导。

（3）将求导后的表达式代入原极限表达式。

（4）求解新的极限表达式。

5. 夹逼定理夹逼定理（Squeeze Theorem）适用于求解形如“f(x) = (g(x))/(h(x))”，且当x趋向于某一点时，g(x)和h(x)分别趋向于a和b（a ≠ b）的极限。

具体步骤如下：（1）找到两个函数p(x)和q(x)，使得p(x) ≤ f(x) ≤ q(x)。

（2）证明当x趋向于某一点时，p(x)和q(x)分别趋向于a和b。

（3）根据夹逼定理，得出f(x)趋向于a。

6. 有界函数法有界函数法适用于求解形如“f(x) = g(x)/h(x)”，且当x趋向于某一点时，g(x)趋向于0，h(x)趋向于无穷大的极限。

具体步骤如下：（1）证明g(x)在x趋向于某一点时趋向于0。

数学中常用极限方法总结

【1】忽略高阶无穷小方法。

很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。

比如，忽略掉比x低的无穷小项后为√x / √2x = 1/√2再比如斐波那契数列，忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后，可以求得lim a(n+1)/a(n) = (1+√5)/2再比如lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小所以lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞) sinh(x)/2Cosh(x)= lim(x->∞) (e^x-e^(-x)) / 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞) e^x / 2e^x=1【2】取对数与洛必达法则洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。

比如这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了lim(x->∞) x^2*ln(1+1/x) - x再做代换t = 1/x=lin(t->0) (ln(1+t)-t) / t^2再用洛必达法则= lim(t->0) (1/(1+t) - 1) / 2t = -1/2所以原式极限为e^(-1/2)再比如tanx ^(1/lnx)在x->0+的时候的极限这个极限是0^∞的形式直接取对数得ln(tanx) / lnx ，现在是∞/∞的形式用洛必达法则得= x / ( sinx cosx) = x/sinx * 1/cosx = 1所以tanx^(1/lnx)在x->0+的时候的极限为e【3】常用等价无穷小经常用到的等价无穷小有(1) tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x) ~ acsinh(x) ~ x (x->0)(2) 1-cosx ~ x^2/2 (x->0)(3) e^x - 1 ~ x (x->0)(4) ln(1+x) ~ x (x->0)(5) (1+x)^a - 1 ~ ax (x->0)(6) e - (1+x)^(1/x) ~ ex / 2 (x->0)【4】极限存在准则有些极限问题直接计算很困难，但是合理地使用放缩，再利用极限存在准则，可以很容易的得到，这个方法在判别级数收敛，反常积分计算的时候更是经常用到。

高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）

⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。

常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。

只能在乘除．．时候使⽤。

例题略。

2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。

⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。

其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。

另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。

求极限的方法总结

求极限的方法总结求极限是微积分中的一个重要概念，它描述的是函数在某一点附近的行为，常用于研究函数的连续性、导数、积分等性质。

在求解极限的过程中，可以通过一些通用的方法来简化计算。

下面将对常见的极限求解方法进行总结。

首先是代入法，即直接将自变量的值代入函数中计算。

这种方法适用于一些基本的极限求解，准确、简单、直观，能够快速得到结果。

但需要注意的是，在使用代入法时，应当确保函数在该点附近有定义，避免出现除数为零等问题。

其次是利用等价无穷小的性质进行极限的转化。

等价无穷小是指当自变量趋于某一值时，与函数变化率相等的无穷小量。

通过将待求的极限转化为等价无穷小的形式，可以简化问题，达到更方便求解的目的。

常见的等价无穷小有正切、正弦、余弦、指数函数等。

利用等价无穷小进行极限的转化，需要具备一定的数学运算和等式变形的能力。

另外一种常用的方法是利用泰勒级数展开。

泰勒级数是用一个差值接近于零的无穷级数来逼近函数的方法，可以将任何光滑的函数表示为一个无穷级数的形式。

通过对待求的函数进行泰勒级数展开，可以将极限问题转化为求级数的收敛性问题，从而简化计算。

但需要注意的是，泰勒级数展开只适用于函数在一定范围内有较好的光滑性质。

此外，还有夹逼定理、洛必达法则等求极限的常用方法。

夹逼定理是指对于函数 f(x)、g(x)、h(x)，如果在某一点 x=a 的某一邻域内，函数g(x)≤f(x)≤h(x)，且 g(x) 和 h(x) 的极限都等于一个常数 L，则 f(x) 的极限也等于 L。

夹逼定理常用于证明某些函数极限存在且相等的情况。

洛必达法则是指对于两个函数f(x) 和 g(x)，如果它们在某一点 x=a 处充分接近且极限相同，那么它们的比值的极限也等于这个相同的极限。

综上所述，求解极限的方法有很多种，不同的方法适用于不同的问题。

在实际运用中，需要根据具体的情况选择合适的方法进行计算。

同时，熟练掌握数学运算和等式变形的技巧，能够更高效地求解极限。

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的常用方法附例题和详解内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。

极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除．．时候使用。

例题略。

2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

求极限常用公式范文

求极限常用公式范文（1）求极限的基本公式：即如果非负定理：当x趋向于a时，函数f(x)趋向于L：lim f(x) =L when x→a这里a∈R，L也可以是无穷大或无穷小。

（2）极限的三条基本法则：1.加法法则：lim(f(x) + g(x)) = limf(x) + limg(x) when x→a2.乘法法则：lim(f(x)g(x)) = limf(x)limg(x) When x→a3.幂函数法则：lim[f(x)]^n = [limf(x)]^n When x→a（3）极限的泰勒展开式：只要f(x)是在x=a处可导的，那么f(x)可以用如下泰勒展开式表示：f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)^2/2+f’’’(a)(x-a)^3/3!+…+f(n）(x-a)^n/n!+o(x-a)^n令x→a，则有：limf(x) = f(a)（4）极限type类型：1.0/0（除以零）：当x→π/2时，sinx/x = 0/0此时，求limsinx/x When x→π/2，可以使用limf(x) = limg(x) when x→a即limsinx/x = limsinx/sin(π/2) when x→π/22.0x∞（零乘以无穷大）：当x→∞时，x^2/2x=1/2x→0此时，求limx^2/2x when x→∞，可以使用limf(x) = 0 when x→∞3.∞/∞：当x→1时，1/x+1/x^2=1/x+x/(x^2)=∞/∞此时，求lim1/x+1/x^2 When x→1，可以使用分子分母同时分别求极限，即limf(x) = lim1/xlim1/x^2 when x→14.无穷大乘以无穷大当x→1时，∞x∞=(x^2+2x+1)/x∞=∞x∞此时，求lim∞x∞ When x→1，可以使用limf(x) = limg(x)limh(x) when x→1。

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。

极限方法就是研究变量的一种基本方法。

极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。

1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim323+-∞→x xx x 解3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。

例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim解 2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。