线性代数43二次型与对称矩阵的有定性

1 0, 1 0,..., 1 0 A－1的特征值都大于0，故A－1正定
1 2
n
A 0 0是A的特征值 A 0 0不是A的特征值
证法2 ∵A正定 A : E 即存在可逆矩阵C，使得
A CT E C CTC
A1 (C T C )1 C 1(C T )1 C 1(C 1 )T DT D DT E D
...,
xn
)
x12
x22
...
xn2
对任何
x
x2
o
M
有
f ( x1, x2,..., xn ) x12 x22 ... xn2
0
xn
故二次型 f ( x1, x2,...,xn) x12 x22 ... xn2 为正定二次型
1
x12 x22 ... xn2 (x1, x2,...,xn) 1
x
x1 x2
Rn
1
x3
f ( x1, x2, x3) ( x1 x2 2 x3 )2 0
1
0
1
f (1,1,1) 0 故此二次型为半负定二次型.
例 二次型 f ( x1, x2 ) x12 2x22是不定的.
f (1,0) 1 0 f (0,1) 2 0
定理4.7对角矩阵 d1
c2n cnn
C
0
方程组
cn1
c11 c12 ... c1n y1
c21 M
c22 M
...
c2n
y2
M M
c12 c22 cn2
rr 0
... ...
c1n c2n
y1 y2
M
...
cnn
yn
只有零解.
令x
Cy
r 0
0
0
M
0
yn
cn1
cn2
...
§4.3 二次型与对称矩阵的有定性
例1 考虑二次型
1
f
(
x1
,
x2
)
x12
4
x22
(
x1
,
x2
)
0
0
4
x1 x2
xT
Ax
x1 x2
R
2
x1 x2
o
有
f ( x1, x2 ) x12 4 x22
称此二次型是正定二次型. 相应的矩阵A
00
1 0
0 4
为正定矩阵.
例 2 考虑二次型
称为矩阵A的顺序主子式.
例 判别下列矩阵或二次型是否正定
1) A 1 1 A1 1 0 1 3
1 A2 1
1 2 0 ∴A正定
3
2) f ( x1, x2 , x3 ) 2 x12 x22 5 x32 2 x1x2 4 x1x3 2 x2 x3
2 1 2
解
二次型对应的矩阵为：
)
1 1
1 1
x1 x2
xT
Ax
x1 x2
R2
有
f ( x1 , x2 ) x12 2 x1 x2
x22
( x1 x2 )2
0
1 1
o
f
(1,
1)
0
称此二次型是半负定二次型.
相应的矩阵
1
1
1
1
称为半负定矩阵.
定义4.4 对于具有对称矩阵 A 的二次型
a11 a12 ... a1n x1
d1
d2
正定
dn
d1 0, d2 0, ...,dn 0
准则2 矩阵A为正定矩阵
A与单位矩阵 E 合同.
存在 可逆矩阵C, 使得 A CT EC CT C
准则3 n 元二次型f 正定
f 的正惯性指标为n
准则4 矩阵A为正定矩阵
A的特征值都大于零
准则5 矩阵A为正定矩阵的充分必要 条件是 A的顺序主子式都大于零.(定理4.9)
A
1
1
1
2 1 5
A1 2 0
21
212 212 21
A2 1
10 1
A3 1 2
1 1
1 1 50
1 0
13 31
3 0 1
∴该二次型正定
课堂练习 判别二次型是否正定
3) f ( x1, x2 , x3 ) 4x12 9 x22 2x32 6 x1x2 6 x1x3 8x2 x3
a11 0
a22
(0,
1,
...,
0)
a22 0
a11 a21
M
an1
(1,0,...,0)
a11 a21
an1
aa1222
(0,
1,
...,
0)
a11 a21
M
an
2
an1
a12 a22
an2 a12 a22
an2
... ...
... ... ...
...
a1n 1 a2n 0 0
f ( x1, x2,...,xn ) (x1, x2,...,xn) a21 a22 ... a2n x2 xT Ax
如果对任何 x
x1
x2
M
o
an1
都有 xT
an2 Ax
... 0
ann xn
xn
则称二次型
f
(x)
xT
Ax
是正定二次型.
A称为正定矩阵
x1
如果对任何
ann 0
a1n a2n ann
0
1
M
0
0
负定的判别：
矩阵A负定
矩阵 (A正) 定.
x1
证： A负定
二次型 xT A是x 正定的 二次型 xT A是x 负定的
x Rn , x 0r 有 xT Ax 0
x
Rn
,
x
r 0
有xT
Ax
0
二次型 xT A是x 半正定的
x
Rn, 有xT
Ax
0且
x
Rn ,
x
r 0
使
xT
Ax
0
二次型 xT A是x 半负定的
x
Rn , 有xT
Ax
0且
x
Rn ,
x
r 0
1
0
M
o
d1
0
0
0
1
o
d2
0
M
0
0
...
0
o
M
dn 0
1
定理 4.6 设A～－B 如果A正定,则B也正定.
证由A～B 知
c11 c12
设C
c21
c22
cn1 cn2
y1
y
y2
0
B ... ...
...
x
CT c1n
AC C可逆。 c11 由于C可逆， c21
an2 Ax
... a2n
...
ann
0且存在
x2 xn xo
xT Ax
使 xT
Ax
0
xn
则称二次型 f ( x) xT Ax是半正定二次型. A称为半正定矩阵
x1
如果对任何
x
x2
Rn 都有
xT Ax
0且存在
x
o 使 xT Ax 0
xn
则称二次型 f (x) xT Ax 是半负定二次型. A称为半负定矩阵
x2 )
x12
4 x22
( x1,
x2
)
0
0 4
x1 x2
xT
Ax
x1 x2
Leabharlann Baidu
R
2
x1 x2
o
有 f ( x1, x2 )
x12 4 x22
00
称此二次型是负定二次型.
相应的矩阵
A
1 0
0 4
为负定矩阵.
例4 考虑二次型
f
(
x1
,
x2
)
x12
2
x1
x2x22
(
x1
,
x2
cnn
yn
要证 yT B y 0
yT By yT ( C T AC ) y ( (yCTCy)TT ) A (C y) xT Ax 0
所以矩阵B正定.
A正定,
只须x证
r
x0
r 0
如何判断一个矩阵或二次型 是否正定呢? 以下给出几个
矩阵为正定矩阵的充分必要条件, 作为判别准则.
准则1
D
f 的正惯性指标为n
证 设 f = xTAx
二次型 f正定
其对应的矩阵A正定
A: E
存在可逆矩阵C，使得
1
CT AC
1
O
1
经过非退化线性替换 x C y 二次型化为
1
f yT By yT(CT AC) y (y1, y2,..., yn) 1
y1 y2 y12 y22 ... yn2
x
x2
M
o
都有
xT
Ax
0
xn
则称二次型f ( x) A称为负定矩阵
xT
Ax是负定二次型.
定义4.4 对于具有对称矩阵 A 的二次型
a11 a12 ... a1n x1
f ( x1, x2,...,xn)
如果对任何 x
(xxx112,x2R,..n.,都xn)有 aaxn211T
a22
A1 : E 故A－1正定.
D D可逆
正定矩阵的性质: 正定矩阵的主对角线上的元素都大于0
a11 a12 ... a1n
证
设
A
a21
a22
...
a2n
正定,
M M
M
x1
则x
x2
r 0
M
都有xT Ax 0
an1
an2
...
ann
xn
100M100
r 0
a11(1,0,...,0)
a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n
A
a31
a32
a33
...
a3n
an1 an2 an3 ... ann
定义4.5
A1 a11
A2
a11 a21
a12 a22
a11 A3 a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 ... An A a33
f 的正惯性指标为n
1 yn
正定矩阵的性质: (1) 若A正定, 则A可逆,且A－1也正定.
证法1 ∵A正定 ∴A的特征值都大于0
A的特征值都≠0 所以A可逆. 设 1,2,...,n 是A的特征值.
1 0,2 0,...,n 0
11 1 , ,...,
1 2 n
是 A1的特征值 .
故单位矩阵En为正定矩阵.
x1
x2
1
xn
设d1 ,d2 ,…,dn均大于0, d1x12 d2 x22 ... dn xn2
f ( x1, x2,...,xn)
d1x12 d2 x22 ... dn xn2
为正定二次型 x1
事实上,对任何
x
x2
o
d1
(x1, x2,...,xn)
n
1
∴A ～
2
n
A正 定
1
2
正定
n
1 0,2 0,...,n 0
A的所有特征值
准则2 矩阵A为正定矩阵
A与单位矩阵E合同.
证 充分性:若 A : E 则由于 E 正定, 故A正定.
必要性: 设A正定, 则A的特征值都大于0 1
∵A是实对称矩阵 ∴存在正交矩阵Q,使得 2
使
xT
Ax
0
例 二次型 f ( x1, x2 ) x12 4x22 f (0,1) 4 0 f ( x1, x2 )不是(半正) 定的; f (1,0) 1 0
f ( x1, x2 )也不是(半负) 定的. 此时 f ( x1, x2 ) 称为不定的.
例
二次型 f (
x1
x1 ,
x2
,
为正定矩阵
D
d2
dn
di 0 (i 1,2,...,n)
证 充分性已证. 必要性: 设D是正定矩阵, 则
x
x1
x2
M
xn
o
((01(x, 1001,,,x002,,,.....,,x0,n01)))
d1
d2
0 dn
xxx1001100MnM12
d1 x12d2 x22 ... dn xn2 d11022 dd2201022 ......ddnn010222
d2
x1 x2
dn xn
M
有 f ( x1, x2,..., xn )
xn
故当d1 ,d2 ,…,dn 均大于0时,
d1
d1 x12 d2 x22 ... dn xn2 0
矩阵
d2
故二次型 d1x12 d2 x22 ... dn xn2
为正定二次型
为正定矩阵.
dn
1 1 2
A 12
2 3
3
11
A1 1 0
A2 1
0 2
112 1 1 2 1 1
A3 1
2
3 0
1
1
1
4 5
2 3 0 1 4
5 时，二次型正定.
准则4 矩阵A为正定矩阵
A的特征值都大于零
证:∵A是实对称矩阵 ∴存在正交矩阵Q,使得
1
QT1AAQQ
2
A的所有特征值
1 1
令P
1 2
则PT=P
QT
AQ
A的所有特征值
n
1 n
1 0,2 0,...,n 0
PT(QT AQ)P 1
1
( PQTPQ)TT) A(QP )
CT
AC
1 2
1
1 n
2
1 1
n
1 2
E
1 n
P 与Q都可逆,故 C QP 也可逆， A : E
准则3 n 元二次型f正定
例 二次型 f ( x1, x2, x3) x12 2x1x2 4x1x3 x22 4x2 x3 4x32
x1222xx11x( 2x242x1xx33) ( x22 x3 )2 x22 4 x2 x3 4 x32 ( x22 x3 )2
( x1 x2 2 x3 )2
对任何
f
(
x1 ,
x2
)
x12
2 x1 x2
x22
(
x1 ,
x2
1 ) 1
1
1
x1 x2
xT
Ax
x1 x2
R2 f
有
(1,
f ( x1 1)0
,
x2
)
x122
x1
x2x22
(
x1
x2
)2
0 1
1 1
o
1
称此二次型是半正定二次型.
相应的矩阵
1
1
称为半正定矩阵.
例3 二次型
1
f
( x1 ,
4 3 3
解
二次型对应的矩阵为：A
3 3
9 4
4 2
A1 4 0
4 A2 3
3 27 0 9
433 1 03 1 00 5 7
A3 3
9
4 1
5
4 1
5
7 2
19 0 1
3 4 2 1 2 2 1 2 1
∴二次型不正定
例 取何值时, 以下二次型为正定 f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 2x1x2 4x1x3 6x2 x3 解 二次型对应的矩阵为：