东南大学考博矩阵论复习题

2011矩阵论复习题

1.设+

=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为y

x y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为

k

x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.

2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为

)

,(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为

)2)1(,(2121x k k kx kx x k −+

=⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.

3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3

R 的子空间，并求S 的

一组基和S dim .

4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}

()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .

5.设T 是2

R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(j

i j T −=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;

2)若j i e −=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@ ，收到后立即删除，谢谢!

6.设T 是3

R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T −=++)(i k j T =+)(k

j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;

2)求T 的零空间和像空间的维数.

7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为

⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足

2

1321)32(y y x x x T +=++12323

(24)T x x x y y ++=+3

1321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵;

2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.

8.在线性空间)(3R P 中

321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=3

2321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.

9.在22R ×中求由基(I)12101A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠20122A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠32112A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41312A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠到基(II)11210B ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠21111B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠31211B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41101B −−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠

的过渡矩阵.

10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=−1(1,1,1,1)β=−2(1,1,3,7)

β=−设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.

11.在)(2R P 中,对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为

∫=1

0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram −正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.

12.求矩阵1000

2i A i +⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和.

(提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。若A A T

−=,称A 为反对称矩阵)

14.设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θ

cos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅−+=−15.设A 是n n C

×上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：22||||||||||||F Ax A x ≤⋅.16.设n

n C A ×∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||.17.已知122112012422A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠

，求A 的最大值分解。18.设m n A C ×∈，1）证明：()()H

rank A A rank A =;

2)证明：H A A 是半正定矩阵或正定矩阵。19.求下列矩阵的谱阵和谱分解

400031013A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠332112310A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠

20.设s λλλ,,,21L 是n 阶单纯矩阵A 的重数为s r r r ,,,21L 的特征值,∑==s i i n

r

1i E 是A 的对应于i λ的谱阵,证明

1)0=j i E E ,

(j i ≠),,2,1,s j i L =2)∑==s i i E

E

1

21.设函数矩阵⎟⎟⎠⎞⎜

⎜⎝⎛−=t t t t A cos sin sin cos ,求)(t A dt d ,))((det t A dt d 和))(det(t A dt d .22.证明1))()()())((111t A t A dt

d t A t A dt d −−−⋅⋅−=2)A

e Ae e dt

d At At At ==23.已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=73487612i A ,⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛=845x ,求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞24.设a ||||•是n n C ×的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且

,1||||1≤−a B 1||||1≤−a D ,试证明对任意的n

n C A ×∈a

b BAD A ||||||||=也是n n C ×的一种矩阵范数.

25.已知a ||||•是n n C ×上的矩阵范数，0y 是n C 中的某非零列向量，n x C ∀∈设0||||||||H a x xy =证明它是n C 上的向量范数，并且与矩阵范数a ||||•相容。

26.设A 是n n C

×上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：2||||||||||||x A Ax F F ⋅≤27.设n n C A ×∈,B 和D 是酉矩阵,证明:F

F F F BAD AD BA A ||||||||||||||||===28.已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=00a a A ,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a ,证明:B e A =.29.已知⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=33i i A ,1)证明A 是Hermite 矩阵;2)求方阵函数A cos .30.已知⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000310020111001A ，1)求A 的Jordan 标准形J ;2)求可逆矩阵P ,使J AP P =−1