人教版高中数学必修5《基本不等式》课件1
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提问4：你能给出它的证明吗？
a2 b 2 2ab
注意：
(1) 当且仅当 a b,a2 b 2 2ab ;
(2) 特别地,如果 a 0,b 0,用 a和 b代替
a、b,
可得a
b
2
ab ,也可写成
ab
a
b
2
(a 0,b 0).
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab
a b (a
2
0,b
0)
D
的几何解释吗？
A
C
Leabharlann Baidu
E
ab
a
b
2
我们常把 a b 叫做正数a,b的算术平
2
均数，把 ab 做正数a,b的几何平均数.
例1. 已知 a,b,c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca .
例1.已知 a,b,c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca .
例4. 当 x 1 时，
求f(x )
x2
x
3x
1
1
的值域
.
例5. 若实数 a、b满足a b 2,
求 3a 3b的最小值 .
例5. 若实数 a、b满足a b 2,
求 3a 3b的最小值 .
比较两个重要不等式的联系和区别：
a2 b 2 2ab ;
a
b
2
ab(a 0,b 0) .
练习. 已知 a 0,b 0,c 0,
求证：
bc a
ac b
ab c
a
b
c.
例2. 已知 a,b,c,d 都是正数,
求证 : (ab cd )(ac bd ) 4abcd .
例3. 若 a b 1，P lg a lg b ,
Q
1 (lg 2
a
lg
b ),R
lg
a
2
b
,
比较P、Q、R的大小.
ab
a
b
2
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
D GF C A HE
B
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个
不等式 a2 b 2 2ab ，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2 b 2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号 成立.
a2 b 2 2ab
注意：
(1) 当且仅当 a b,a2 b 2 2ab ;
(2) 特别地,如果 a 0,b 0,用 a和 b代替
a、b,
可得a
b
2
ab ,也可写成
ab
a
b
2
(a 0,b 0).
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab
a b (a
2
0,b
0)
D
的几何解释吗？
A
C
Leabharlann Baidu
E
ab
a
b
2
我们常把 a b 叫做正数a,b的算术平
2
均数，把 ab 做正数a,b的几何平均数.
例1. 已知 a,b,c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca .
例1.已知 a,b,c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca .
例4. 当 x 1 时，
求f(x )
x2
x
3x
1
1
的值域
.
例5. 若实数 a、b满足a b 2,
求 3a 3b的最小值 .
例5. 若实数 a、b满足a b 2,
求 3a 3b的最小值 .
比较两个重要不等式的联系和区别：
a2 b 2 2ab ;
a
b
2
ab(a 0,b 0) .
练习. 已知 a 0,b 0,c 0,
求证：
bc a
ac b
ab c
a
b
c.
例2. 已知 a,b,c,d 都是正数,
求证 : (ab cd )(ac bd ) 4abcd .
例3. 若 a b 1，P lg a lg b ,
Q
1 (lg 2
a
lg
b ),R
lg
a
2
b
,
比较P、Q、R的大小.
ab
a
b
2
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
D GF C A HE
B
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个
不等式 a2 b 2 2ab ，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2 b 2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号 成立.