二次型和正定矩阵
第七节 正定二次型和正定矩阵
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y 0 ，就有X 0 ，
于是 XT AX 0 ，即Y T (CT AC)Y 0 。
由变换的可逆性，若Y T (CT AC )Y 正定，也可推出 XT AX 正定。
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
假设某个dk 0 ，取 yk 1 ，其余 yj 0 ( j k) ，
代入二次型，得 f (0,,1,,0) dk 0 ，
与二次型 f (y1, y2,, yn) 正定矛盾。
2
(1) 二 次型 f ( y1, y2,, yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。
9
例3 设有实二次型
f x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 A2 2
0 2
0 2 , 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
17
练习：
P222 习题五
18
END
19
选用例题
1、 设A, B分 别 为m阶, n阶 正 定 矩 阵, 试 判 定 分 块
矩
阵C
A 0
0 B
是
否
为
正
正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前 面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成 标准型（与其具有同样正定性）
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而，利用正定二次型的判别定c 理，判别XTAX的正定性，也就得 到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性： 显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此，原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
（7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数， 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0， 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.
线性代数 二次型与正定矩阵
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
也可以做以下表示
0 x1 1 2 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
即形如
只含变量的平方项，不含交叉项，
2 1 1 2 2 2 2 n n
b y b y b y
的二次型，称为二次型的标准形。
下面要论如何将一般的二次形化为标准形
一般地，二次型可写成
f X X T AX
6.2.1
定义6.2.2 设 x1 , x2 , , xn y1 , y2 ,, yn 是两 与 组变量，称下组公式 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn 为 x1 , x2 ,, xn到 y1 , y2 ,, yn 的线性替换。 令
x1 x 2 X xn
y1 y 2 Y yn
C [ci j ]nn
则上组公式可表为
X CY
若 | C | 0 ，则称此线性替换是可逆的(或满秩的或非 退化的)。若 C 为复(实)方阵，则称此线性替换是复 (实)线性替换
第六章
二次型与正定矩阵
§6.1 二次型的定义和矩阵表示
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , , x n的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn
二次型函数正定矩阵
二次型函数正定矩阵二次型函数是数学中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用，特别是在线性代数和数学分析中。
而正定矩阵则是与二次型函数密切相关的矩阵特性之一。
本文将介绍二次型函数正定矩阵的定义、性质及其在实际问题中的应用。
一、定义在了解二次型函数正定矩阵之前，我们需要先了解二次型函数和矩阵的概念。
二次型函数是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以用矩阵的形式表示。
设x为n维列向量，A为n阶实对称矩阵，那么二次型函数可以表示为Q(x)=x^T * A * x，其中x^T表示x的转置。
而正定矩阵，简而言之，就是一个特殊的n阶实对称矩阵，它与二次型函数的性质紧密相关。
对于任意一个非零向量x，如果其对应的二次型函数Q(x)都大于0，那么我们称矩阵A为正定矩阵。
二、性质正定矩阵具有以下几个重要的性质：1. 正定矩阵的所有特征值都大于0。
2. 正定矩阵的对角元素都大于0。
3. 正定矩阵的所有主子式都大于0。
这些性质使得正定矩阵在实际问题中具有重要的应用价值。
例如，在优化问题中，正定矩阵可以用来判断一个极值点是极小值还是极大值。
在机器学习中，正定矩阵可以用来定义核函数，从而实现非线性的分类和回归任务。
三、应用正定矩阵在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 优化问题：正定矩阵可以用来判断一个极值点是极小值还是极大值。
2. 机器学习：正定矩阵可以用来定义核函数，从而实现非线性的分类和回归任务。
3. 数值计算：正定矩阵在数值计算中有广泛的应用，例如求解线性方程组、最小二乘问题等。
4. 物理学：正定矩阵在物理学中有重要的应用，例如描述能量、势能等。
5. 金融领域：正定矩阵在金融领域中常被用于风险管理和投资组合优化等问题。
总结本文介绍了二次型函数正定矩阵的定义、性质及其在实际问题中的应用。
正定矩阵在数学和应用领域中具有重要的地位，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者对二次型函数正定矩阵有进一步的了解和认识，为深入学习和应用相关知识奠定基础。
第六章4正定二次型和正定矩阵
定理 n阶实对称矩阵A负定旳充分必要条件是它与 负单位矩阵 En 协议.
16
为了论述下一种正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素构成旳行列式
As | aij |ss , s 1, , n 称为A旳顺序主子式.即
A1
(a11 ),
定理 实对称矩阵A正定旳充分必要条件是它与 单位矩阵协议.
证明 充分性.设实对称矩阵A协议与E,即存在可
逆矩阵C,使得 C T AC E,对于任意向量X≠O,因为
C可逆,可从 CY 解X 出Y ≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
故A是正定旳.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定旳.因为A是实对
O
d
.
d | A || C1 |2| C2 |2 0,
20
令
C3
En1 O
O d 1/2
,| C3
|
d 1/2
0.
令 C C1C2C3 ,| C || C1 || C2 || C3 | 0,
则
C T AT
C3T
(C
C T T
21
AC1C2
)C3
En1 O
O En1
d
1/
2
RT AR QT P T APQ QT EQ E ,
RTBR 为对角形.
14
例A,B正定,AB正定旳充分必要条件是A,B可互换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可互换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
线性代数 6-3二次型的正定性
结束
4. 定理：An×n实对称，则 (X TAX正定)
A 正定
惯性指数p＝n,即 A ≃ E. 的正惯性指数 ⇔ A的正 ⇔ 存在可逆阵P,使A(=P EP)= P P . 全为正数. ⇔ A的特征值 λ , λ ,⋯, λ 全为正数 . 个顺序主子式均为正值. ⇔ A的n个顺序主子式均为正值
T T
1 2
n
: A=(aij)n×n正定 推论 推论:
) (其逆否命题可判非正定 其逆否命题可判非正定)
⇒ (1) a
ii >0
(aii = ε iT Aε i )
(2) A > 0 ( A = λ1λ2 ⋯ λn )
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定理（4）的证明
T f ( x , x , … , x ) = a x x = X AX 正定 实二次型 ∑∑ ij i j 1 2 n i =1 j =1 n n
2 2 2 f ( x , x , … , x ) = d y + d y + ⋯ + d y 变成标准形： 1 2 n 1 1 2 2 n n
由于 f 正定 ⇔ di > 0, i = 1,2,⋯, n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
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3、顺序主子式、主子式 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠
x1 = x2 = x3 = 0
故 f 正定.
λ1 = 2, λ2 = 2 + 3, λ3 = 2 − 3
,故 f 正定 . 特征值均大于零 特征值均大于零, 正定.
顺序主子式法 法3. 3.顺序主子式法
线性代数6.6 二次型与正定矩阵
| A2 | = 1 1 = 1 > 0;
1 2
1
2
| B2 | =
= −2 < 0;
2 2
|A|=
1
1
1
所以A正定.
1
2
0
1
0
3
所以B非正定.
= 1 > 0;
f (x1, x2, … , xn) = a11x12+a22x22 + …+annxn2
+2a12x1x2 + 2a13x1x3 +…+ 2an-1, n xn-1xn
= ,
=
=1 =1
则二次型的矩阵为
a11
a21
A= …
an1
a12 … a1n
结论1
对角矩阵是正定矩阵当且仅当对角线元素均为正数.
定理 设A是实对称矩阵, 且存在可逆矩阵 P, 使得PTAP = B，
若B正定，则A也正定.
结论2
实对称矩阵是正定矩阵当且仅当所有特征值都是正数.
例5
设 A和B 是正定矩阵，求证: A2，A+B 也是正定矩阵.
思考：AB 是否正定矩阵？
例6
设A=PTP，求证：若P可逆，则A是正定矩阵.
f (x) = xTAx
yTQTAQy = yTDy = g(y)
QTAQ = D
✿ 化二次型为标准形的思路： 寻找正交矩阵Q,
将二次型的矩阵A (实对称矩阵) 通过正交矩阵Q将它对角化成D.
这样得到的标准形的系数就是矩阵A的所有特征值.
例3
设二次型 f (x1, x2) = 3x12 − 2x1x2+3x22 ，寻找正交变换将之化为标准形.
正定二次型和正定矩阵
5 2
2 5
21 0 ，D3
2
5 1 88 0 ，
2 1 5
故 A 是正定矩阵．
此题也可求出
A
的 全部 特征 值 1
4 ， 2
11 2
33
，
3
11 2
33
， 因为 i
0
(i 1，2，3) ，所以 A 是正定矩阵．
1.2 判别方法
定义
例 4 设二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 x22 x32 2ax1x2 2bx2 x3 (a R ，b R) ，判断 f 的正
1.2 判别方法
定义
推论 1 二次型 f xT Ax 正定的充要条件是它的矩阵 A 的特征值都是正数． 推论 2 对称阵 A 正定的充要条件是它的特征值都是正数． 定理 2 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于 0，即
a11 0 ，
a11 a21
a12 0 ， a22
1.2 判别方法
定义
例 5 设二次型 f 5x2 6y2 4z2 4xy 4xz ，判断 f 的正定性．
5 2 2
解：二次型
f
的矩阵
A
2
6
0
，各阶顺序主子式为
2 0 45 2 2D Nhomakorabea 5 0 ，D2
5 2
2 6
26 0 ，D3
2 6
0 80 0 ，
2 0 4
由定理 2 知， f 是负定二次型．
解：二次型的矩阵为
A
2
0
4 2
2
，A
的顺序主子式
D1
3
0 ，D2
5
正定二次型与正定矩阵
当 显 y C 再ee s 然 时 证s ,必0 (.要这单性与位：假坐用设标反向f 证量正法定) 时。矛，假盾f设( ，C 故 有e sk)ki s≤k 00s. , 则0 ,
推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特 征值全为正。
2021/10/10
它不的变定秩的理是。1r1，( 惯有性两定个理实的) 可设逆有变实换二x 次 型C y f与 x x T AP x ,z ,
使
k1y12k2y22kryr2, (ki 0)
及
1z122z22rzr2, (i 0)
则k1,k2,,kr中 正 数 的个 1,数 2,与 ,r中 正 数 的
个 数 相 . 正等 数的个数称为正惯性指数，负数的个数
§7 正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
2021/10/10
下页 1
正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的。
标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时1
a121
a22
42 0,
4
A4(1)(2)0,
解得 21时,二次型为正 . 定的
2021/10/10
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Ex.11 判别二次型 fx 1 2 2 x 1x 2 4 x 1x 3x 3 2
的正定性。
1 1 2
解 f 的矩阵是 A 1 0 0 , A 的各阶主子式为：
2 0 1
a11
1
二次型与正定矩阵
二次型与正定矩阵二次型是矩阵与向量的一种重要的数学结构。
它在数学分析、线性代数、凸优化等领域中有广泛的应用。
本文将介绍二次型的基本概念、性质以及与正定矩阵的关系。
首先，让我们来定义什么是二次型。
给定一个n维向量x=(x1,x2,...,xn)和一个n*n的实对称矩阵A=(aij)，则二次型定义为：Q(x) = x^T * A * x = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + ... + 2an-1,nxn-1在二次型的定义中，对角线上的元素表示各个变量的平方系数，非对角线上的元素表示各个变量的二次交叉项系数。
观察定义可以发现，二次型是关于向量x的一个二次多项式函数。
接下来，我们将讨论二次型的一些重要性质。
首先，由于实对称矩阵的性质，二次型矩阵A一定是一个对称矩阵。
其次，二次型的零空间是通过矩阵A的特征向量所确定的。
若向量x是特征值λ对应的特征向量，则有A*x = λx，代入二次型的定义中得到Q(x) = λx^T * x = λ||x||^2，其中||x||表示向量x的范数。
由此可知，当特征值λ>0时，二次型的取值结果总是大于0，当特征值λ<0时，二次型的取值结果总是小于0。
因此，我们可以得出结论：若二次型的所有特征值均大于0，则该二次型为正定二次型；若所有特征值均小于0，则该二次型为负定二次型；若特征值中既有正数又有负数，则该二次型为不定二次型。
正定矩阵是与正定二次型联系密切的概念。
正定矩阵是指所有主子矩阵的行列式都大于0的矩阵。
而正定二次型则是指对于任意非零向量x，都有Q(x)>0成立的二次型。
可以证明，正定二次型与正定矩阵是一一对应的关系。
也就是说，如果一个二次型的矩阵A是正定矩阵，那么这个二次型就是正定二次型；反之亦然。
正定矩阵具有一系列重要的性质。
首先，正定矩阵的特征值都是正数。
这是因为正定矩阵的二次型取值结果都大于0，由前述性质可知特征值必为正数。
d第四章 二次型和正定矩阵
x′Ax = y′Q′AQy = y ′Dy
{λ δ }
j ij
其中 为对角矩阵 引言所提第二个问题，我们有如下定理： 引言所提第二个问题，我们有如下定理： A x′Ax定理 的每个特征值都为正（ （i）当且仅当 的每个特征值都为正（负）时，二 次型
A 的所有特征值都非负（非正） （ii）当且仅当 ii） 的所有特征值都非负（非正）且至 少一个为零时， x′Ax 为半正（半负） 少一个为零时，二次型 为半正（半负）定 A iii） 的特征值有正有负时， x′Ax （iii）当且仅当的 的特征值有正有负时，二次型 不定 例 2 2 A 的特征值为0和3， 的特征值为0 A= 2 1 故 为半正定的，因此 为半正定的，
B = C −1 AC
定理 如果A 是相似矩阵，其具有相同的特征值。 如果A和B是相似矩阵，其具有相同的特征值。 证明 相似， 令A和B相似，考虑
B − λ I = C −1 AC − λ C −1C
= C −1 ( A − λ I )C
= 1 A − λI C C
= A − λI
B− 因此 λ I = 0 同一方程。 同一方程。
定理 如果A为对称矩阵， 如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量 正交。 正交。
• 证明 λi λ j 和 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 是两个不同特征值， 令 xi x j 和 。那么有 Ax j = λ j x j Axi = λi xi x′j 分别左乘 xi′ 和 ` ，有
第8节 另一种方法：运用行列式
• 定义
A
的顺序主子式为
a11 a12
a11 a12 a13
a11 ，a21 a22 a23 a21 a22 a31 ， ， 。 a32 a33
线性代数§6.4
小结
1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 主子式判别法; (3) 特征值判别法.
yT (CT AC) y
任取 y0 0, 由x＝Cy得到与 y0 对应的 x0
0 x0 Cy0
正定.
因为 xT Ax 正定，所以 x0T Ax0 0 即 y0T (CT AC) y0 0 故 yT (CT AC) y 正定.
另一方面，由 yT (CT AC) y 正定
xT Ax 正定.
任取 x0 0, 由 x＝Cy 得到与 x0对应的 y0
(1) 二次型 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
正定
di 0 (i 1, 2, , n)
充分性，若 di 0 (i 1, 2, , n),y ( y1, y2, , yn) 0 则 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2 0
定义1: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定二
次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二
次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 注意：正定矩阵一定是对称矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。
故 A1 正定.
A *的特征值为：| A | 由|A|>0，所以 A * 全部
特征值大于零所以 A*正定
正定矩阵具有以下一些简单性质: 1. 若A为正定的, 则AT, A-1, kA（k为正数），A*
二次型与正定矩阵
二次型与正定矩阵在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，它与正定矩阵有着密切的联系。
本文将介绍二次型的定义、性质以及与正定矩阵之间的关系。
一、二次型的定义二次型是指一个关于n 个变量的多项式，其中每一项的次数都是2。
一个一般的二次型可以表示为：Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j其中，x = (x1, x2, ..., xn) 是变量向量，a_ij 是实数系数，对于所有的 i 和 j 都成立。
简单来说，二次型就是一个多项式，其每一项的次数都是 2。
二次型可以用矩阵的形式表示：Q(x) = x^TAx其中，A 是一个 n×n 的实对称矩阵，其元素 a_ij 对应于二次型中的系数。
二、二次型的性质1. 对称性：二次型的系数矩阵 A 是实对称矩阵，即 a_ij = a_ji。
这意味着 Q(x) 中的各项的次序不影响其值。
2. 齐次性：对任意非零实数 k，有 Q(kx) = k^2Q(x)。
这意味着二次型对于变量的放缩具有相应的放缩特性。
3. 加法性：对任意两个 n 维向量 x 和 y，有 Q(x+y) = Q(x) + Q(y) +2x^TAy。
这意味着二次型具有线性特性。
4. 正定性与负定性：一个二次型 Q(x) 是正定的（positive definite），如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) > 0。
类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有 Q(x) < 0，那么二次型就是负定的（negative definite）。
如果既存在正值又存在负值的向量 x，那么二次型就是不定的（indefinite）。
5. 非负定性与非正定性：如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) ≥ 0，则二次型是非负定的（nonnegative definite）。
类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有Q(x) ≤ 0，那么二次型是非正定的（nonpositive definite）。
实二次型的正定性与正定矩阵
【法一】由A可逆, 则有 AT A AT EA , 则AT A与单位阵合
同, 所以 AT A正定.
【法二】由A可逆, 则对任意n维实列向量X≠O, 有 AX≠O, X T AT AX ( AX )T AX 0, 所以 AT A 正定.
矩阵之间的关系
A的特征值均大于0 A与单位阵E合同 存在可逆阵P, 使得 A PT P A的各阶顺序主子式 > 0
例3 设A为n阶正定矩阵, E为n阶单位阵, 证明 A E 1
例4 A为n阶实对称矩阵, 且满足 A3 2A2 4A 3E O,
证明A为正定矩阵. 例5 证明
（1）若 An 正定，有实数域上矩阵 Pnm ，r(P) m n ，
2 4 5
例2 若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围?
【解析】已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用
顺序主子式求解.
2 1 0
二次型矩阵为
A2 1
21 0
——负定
2 2 2
(4)
XT
2
5
4
X
判断是否正定？
2 4 5
二、正定矩阵的充分必要条件
准则1 n阶实对称矩阵A正定 A的特征值全为正数.
2 2 2
例1
判断矩阵
A
2 2
5 4
4 5
是否为正定矩阵？
【解析】可求得A的全部特征值为1(二重)和10, 则该实对称矩阵A
的特征值全大于0, 故A为正定矩阵.
对于负定矩阵有类似的结论
A正定 -A负定 二次型 f 为正定 二次型 -f 为负定
正定矩阵的二次型
正定矩阵的二次型一、引言 二、正定矩阵与二次型的基本概念 1. 正定矩阵的定义 2. 二次型的定义 3. 正定矩阵与二次型的关系 三、正定矩阵的性质 1. 正定矩阵的特征值 2. 正定矩阵的主子式 3. 正定矩阵与正交变换 4. 正定矩阵的Schur 分解 四、二次型的标准形式与规范形式 1. 二次型的标准形式 2. 二次型的规范形式 五、正定矩阵的判定方法 1. 判定定理一：主子式判定法 2. 判定定理二：正惯性定理 3. 判定定理三：合同变换法 六、正定矩阵的应用及拓展 1. 矩阵的特征值分解 2. 正定矩阵在优化问题中的应用 3. 正定矩阵的推广：Hermitian 正定矩阵 4. 正定矩阵的推广：正半定矩阵 七、总结引言正定矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，与二次型密切相关。
正定矩阵和二次型的研究在数学和工程领域具有广泛的应用。
本文将从正定矩阵和二次型的基本概念开始，深入探讨正定矩阵的性质、判定方法以及在实际问题中的应用。
正定矩阵与二次型的基本概念1. 正定矩阵的定义正定矩阵是指一个n ×n 实对称矩阵A ，对于任意的非零向量x ∈ℝn ，都有x T Ax >0。
其中，x T 表示x 的转置。
2. 二次型的定义二次型是指一个关于n 个变量x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式，即f (x 1,x 2,…,x n )=∑∑a ij n j=1n i=1x i x j ，其中a ij 为实数。
3. 正定矩阵与二次型的关系正定矩阵与二次型的关系可以通过以下定理描述：对于任意一个实对称矩阵A ，都存在一个唯一的对称矩阵T ，使得f (x )=x T Ax 可以通过线性变换y =Tx 转化为标准形式f (y )=y T Dy ，其中D 是对角阵，即D =[λ10 00λ2…0⋮⋮⋱⋮00…λn]，其中λi 为A 的特征值。
正定矩阵的性质1. 正定矩阵的特征值正定矩阵的特征值均为正数。
6-2正定二次型与正定矩阵
5 2 4
5 2 1
2 1 2
4
4 2 , 5
它的顺序主子式
5 0,
5 2
2 1
1 0,
2 4
2 1 0, 5
2
故上述二次型是正定的.
四、其他类别二次型
定义 设 为实二次型,若对任意非零 向量X,恒有: (1) f ( X ) 0 ,则称 f ( X ) X AX 为半正定二次型;
a 11 a 21
a 12 a 22
0,
,
a n1
a nn
例
判别二次型
2 2 2
f x1 , x 2 , x 3 5 x1 x 2 5 x 3 4 x1 x 2 8 x1 x 3 4 x 2 x 3
是否正定.
解
f x 1 , x 2 , x 3 的矩阵为
规范型中有三个要素： 1、正惯性指数：正平方项的个数p 2、负惯性指数: 负平方项的个数r-p 3、符号差:正惯性指数-负惯性指数；即2p-r 说明：由于正交变换得到的标准型前面系数都 是矩阵A的特征值;因此正惯性指数就是矩阵A 正的特征值的个数，负惯性指数就是矩阵A负 的特征值的个数。
二、正定二次型的概念
f ( X ) X AX
T
T
(5) A的特征值都为负; (6) A的所有奇数阶顺序主子式都小于零,偶数阶 顺序主子式都大于零(霍尔维茨定理).
思考题
设A为 m n实矩阵,E为n阶单位矩阵, 又设B E A A ,证明:当 0 时,B正定. (直接用定义证明,见黑板)
T
定 义1 设有实二次型 f (x) x Ax,如 果 对 任 何
二次型函数正定矩阵
二次型函数正定矩阵首先，让我们来了解一下二次型函数。
一、二次型函数的定义Q(x)=x^TAx其中x=(x1, x2, ⋯, xn)是一个n维向量，A是一个n×n的矩阵。
二、正定矩阵的定义与性质正定矩阵是指满足以下条件的n×n实对称矩阵A：1. 对于任意一个非零向量x=(x1, x2, ⋯, xn)，有x^T A x > 0。
2.A的特征值都大于0。
正定矩阵具有如下性质：1.正定矩阵的行列式大于0。
2.正定矩阵的主对角线元素都大于0。
3.正定矩阵的任意子矩阵也是正定矩阵。
三、正定矩阵的特征与判定方法判定一个矩阵是否是正定矩阵，可以通过其特征值判断。
如果一个矩阵的所有特征值都大于0，则该矩阵是正定矩阵。
此外，还有以下判定方法：1. Sylvester判据：对于n×n矩阵A，若其所有n阶顺序主子式都大于0，则A是正定矩阵。
2. Cholesky分解：若一个矩阵A可以分解为A=LL^T，其中L是一个下三角矩阵，则A是正定矩阵。
3.特征分解：若一个矩阵A可以进行特征分解A=PDP^T，其中P是正交矩阵，D是对角矩阵，且D的对角线上的元素都大于0，则A是正定矩阵。
四、正定矩阵的应用正定矩阵在数学、物理和工程学科中有广泛的应用。
1.线性代数：正定矩阵与二次型函数紧密相关，是二次型函数最重要的性质之一2. 优化理论：正定矩阵在优化理论中扮演者重要角色，例如在凸优化中的Hessian矩阵就是正定矩阵。
3.物理学：正定矩阵在量子力学中的算符与声纳中的协方差矩阵等方面均有应用。
4.机器学习：正定矩阵在机器学习领域的矩阵分解、矩阵约束等问题中发挥着重要作用。
总结：正定矩阵是指在二次型函数中，其对应的矩阵满足特定条件的矩阵。
正定矩阵在数学、物理、优化理论以及机器学习等领域中有广泛应用。
通过正定矩阵的特征值判定方法，可以判断一个矩阵是否为正定矩阵。
正定矩阵是线性代数中重要的概念，对于解决实际问题具有重要意义和应用价值。
正定二次型与正定矩阵
1
B
2
,
n
其中λi(i=1,2,…,n)是A的全部特征值.A正定 ， 的充要条件是B正定.B对应的二次型
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
， 显见它正定的充要条件是λi>0,(i=1,2,…,n). 由于B=QTAQ=Q-1AQ,故A与B还是相
事实上,设f(x1,…,xn)是正定的,则g(y1,…,yn) 也是正定的.任给y1,y2,…,yn一组不完全为 零的实数值
y1 c1, y2 c2 ,, yn cn
，
将它代入X = CY得到x1,x2,…,xn的一组对应 值 ，
x1 b1, x2 b2 , , xn bn
它们的关系为
对应的实对称矩阵A称为半正定矩阵; f(c1,c2,…,cn)＜0,称 f 为负定二次型,
对应的实对称矩阵A称为负定矩阵； f(c1,c2,…,cn)≤0,称 f 为半负定二次型,
对应的实对称矩阵A称为半负定矩阵. 若 f 非半正定,也非半负定,称 f 为不
定的二次型,相应的矩阵A称为不定矩阵.
易见半正定矩阵包括了正定矩阵在内,
f (x1,, xn ) x12 x22 xn2
是正定的.因为不论x1,x2,…,xn取什么实数, 只要它们不全为零,就一定大于零;反之亦
然.但如果二次型不是规范形,就不是很容 易观察出来了.此时我们可以用非退化线 性替换将其化为规范形.然而这样做的时 候,正定性是否保持不变?
由惯性定理可知,实二次型经过非退
x2 4
为正定二次型的λ的取值范围.
解 f 对应的实对称矩阵为
实二次型分类、正定矩阵
定理1 设A为正定矩阵,若A与B合同,则B也是 正定矩阵.
类似可以证明:
与负定矩阵合同的矩阵是负定矩阵.与半正定 (半负定)矩阵合同的矩阵是半正定(半负定)矩阵.
任一对称阵合同于对角阵,而对角阵的有定性
较易判别.
d1
定理2 对角阵D
d2
dn
为正定矩阵的充分必要条件是di 0, (i 1, 2,...,n)
定义2 具有对称阵A的二次型 f(X)=XTAX
x1
若对任何X
x
2
,
都有
XTAX≥0
(或≤0)
xn
且有X 0
x10
x
0 2
0,
使得X
T 0
AX
0
0
xn 0
则称二次型f(x)=xTAx为半正定(半负定)二次型
矩阵A称为半正定(半负定)矩阵.
例2 二次型f (x1, x2, x3) x12 2x1x2 4x1x3 x22 4x2x3 4x32
例3
f
(x1, x2 )
x12
2x
2 2
由 f(1,1)=-1 <0 f(2,1)=2 >0
故它是不定二次型.
若A与B合同,存在可逆阵C,使CTAC=B 若A是正定的,对任意Y≠0, 令X=CY,则X≠0, YTBY=YTCTACY=(CY)TACY=XTAX>0 故B也是正定的.即有合同关系保持正定型.
可写成 f(x1,x2,x3)=-(x1+x2-2x3)2 ≤0
而当 x1+x2-2x3=0时, f(x1,x2,x3)= 故 f(x1,x2,x3)是半负定0二次型.
1 1 2
对应矩阵
1
3二次型和对称矩阵的正定性.ppt
型.因为对任意的 X (x1, x2 ,, xn )T 0,有 f (x1, x2 ,, xn ) 0.
而二次型 f (x1, x2 ,, xn ) x12 x22 xr2 (r n)不是 正定二次型.因为对任意的 X (0,,0, xr1,, xn )T 0,有
证明:
必要性 : 设二次型 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX , ( AT A)正定,
在通过可逆线性替换X CY化成的标准形
d1x12 dk xk2 dn xn2也正定.
根据定理5.6,必有di 0(i 1,2,,n).由此可得二次 型的正惯性指数p n.
由于A的各顺序主子式 det Ak 0, k 1,2,, n.
根据归纳假设 , An1为正定矩阵. 所以, 存在n 1阶可逆矩阵 D, 使得DT An1D En1.
令
C1
D 0
则
An11
1
nn
C1T
AC1
DT
A T 1 n1
0 1
充分性 : 设二次型 f (x1, x2 ,, xn )的定惯性指数为 n.
则此二次型通过可逆线性替换可化为规范性
z12 z22 zn2
这是一个正定二次型.根据定理5.5, 原二次型
f (x1, x2,, xn ) X T AX也是正定二次型.
推论1 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A合 同于单位矩阵E.即存在可逆矩阵C, 有
记d ann T An11 ,
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二次型2007-029-8设mn A 是实矩阵，E 为n 级单位矩阵。
已知矩阵.B E A A λ'=+ 证明：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵。
2007-029-9已知二次曲面方程为222123121323255448 1.x x x x x x x x x +++--=（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？2007-008-8已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=8111181111811118A (1)求二次型⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ;(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型;(3)证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基.(4)求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)2007-021-7121234212(,,...,)...n n n f x x x x x x x x x -=+++求二项式的秩和正负惯性指数之差.2007-012-2求实二次型 3241312143212422),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的规范形及符号差。
2007-001（A ）-1化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.2007-030-2（3）（填空题）已知实二次型313221232221321222),,(x ax x x x x x ax x x x x f --+++=的正负惯性指数都是1，则a = .2007-030-3（6）（计算与证明题）设A 是n 级实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明A 是可逆矩阵。
2007-031-6设A 为n 阶正定矩阵，n ααα,,,21 为实n 维非零列向量，当j i ≠时有0'=j i A αα，证明： n ααα,,,21 线性无关.2007-031-9用正交线性替换将二次型32212322213214432),,(x x x x x x x x x x f --++=化为标准型.2007-032-1（3）（判断题）两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。
2007-032-6设A 是n 阶正定矩阵，证明它的行列式A A ≤的主对角线元素之积，等式成立当且仅当A 的对角阵。
2007-032-7设12,,,n ααα 是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的Gram 矩阵()ij A a =可逆，其中(,)ij i j a αα=。
2007-033-3给出将121314232434222222x x x x x x x x x x x x +--++化为标准形的正交线性替换。
2007-034-4设A 为n 阶正交矩阵且-1不是A 的特征值。
证明1()()n n B A I A I -=-+是反对称矩阵且1()()n n A I B I B -=+-。
2007-034-6设A 为n 阶实正定对称矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵。
证明A B +的行列式det()0A B +>。
2007-035-1（14）（选择、是非及填空题）设320222021A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则使A tE +正定的实数t 的取值范围是 。
2007-035-2（20）（计算与证明题）设A B B D ⎛⎫ ⎪'⎝⎭为正定矩阵，其中A 为m 阶方阵，D 为n 阶方阵，B 为m n ⨯矩阵。
证明：,A D 与1D B A B -'-都是正定矩阵。
2007-035-2（22）（计算与证明题）设A 为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B ，使2B A =。
2007-036-4设()f x X AX '=为实二次型，且存在12,X X ，使12()0,()0f X f X ><，请证明：存在30X ≠，使得3()0f X =。
2007-019-4证明任意n 阶实可逆阵A 可以表成一个正定阵S 与一个正交阵Q 之积。
2007-037-7设A 为n 阶实对称矩阵，证明必存在数a 使得A aI +为半正定而非正定，这里I 表示n 阶单位矩阵。
2007-037-11（1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差：2221234124121314232434(,,,)2442222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++（2）t 取什么值时，二次型222123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++为正定的？2007-038-3用正交化二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形。
并写出所作的正交变换。
2007-038-8若A 是实对称矩阵，证明：存在对称矩阵B ，使得3A B =。
并对二阶方阵13141413-⎛⎫⎪-⎝⎭。
求出一个满足上面条件的矩阵B 。
2007-040-6试将22212312313(,,)2Q x x x ax bx ax cx x =+++划为标准形，求出变换矩阵，并指出,,a b c 满足什么条件时，Q 正定。
2007-040-7设,A B 都是正定实对称矩阵，证明：（1）AB 正定的充要条件是AB BA =。
（2）如果A B -正定，则11B A ---也是正定。
2007-041-6设,A B 均是n 阶实对称矩阵，且B 正定，证明（ⅰ）B A λ-的根是实数;（ⅱ）设0B A λ-=的根为i λ，1,2,,i n = 且12n λλλ≥≥≥ ，则()f X X AX '=（X '是X 的转置）在约束条件下1X BX '=下的最大值和最小值分别为1,n λλ。
2007-041-8设2111nni i n i i i f a x b x x -+===+∑∑，其中,a b 是实数，问,a b 满足什么条件时，二次型f 是正定的？2007-043-4设一个二次曲面在直角坐标系[;,,]O x y z 下的方程为2222323828824x y z xy xz yz ++-+-=，求一个正交直角坐标变换T ：x u y T v z w ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭使得以上二次曲面在新的直角坐标下的方程为它的标准形，然后描述此二次曲面。
2007-043-4设A 为一个n 阶正定矩阵，B 为一个n 阶反对称矩阵，即B 满足：T B B =-。
1. 证明：存在n 阶实可逆矩阵T 使得T A TT =，其中T T 表示矩阵T 的转置矩阵。
2. 证明：B 的特征值或者是0或者是纯虚数。
3. 证明：A B +为可逆矩阵。
2007-044-7设A 是一个n n ⨯实对称矩阵，λ是A 的最大特征值。
证明：,11nij i j a n λ=≤∑。
2007-013-2（1）证明：任意n 阶方阵均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和；（2）设A 是n 阶实方阵，且对任意的非零列向量α，都有0A αα'>。
证明：存在正定矩阵B 和反对称矩阵C 使得A B C =+。
2007-018-3设1241102413004171207A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪--⎝⎭，1234(,,,)X x x x x =，()f X X AX '=。
问()f X 是否是一个正定二次型，为什么？2007-018-6设n 阶矩阵A 对于任意的n 维列向量X 满足0X AX '=。
（ⅰ）证明当A 为对称矩阵时0A =，（ⅱ）如果矩阵A 不是对称的，A 未必是零矩阵。
2007-018-9设0001001001001000A ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为21n +阶实对称矩阵，试求正交矩阵P ，使得1P AP D -=为对角形矩阵，并求D 。
2007-018-10证明（1）n 阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零，（2）n 阶实反对称矩阵的行列式大于等于零。
2007-013-9证明下述1n +阶实矩阵A 是正定矩阵：231234212321222223122222342222212321n n n n n n n A n n n n n ++++++⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪⎪⎪⎪⎪++++⎝⎭2007-007-1（9）（填空）设A 是n 级实对称矩阵，则A 为正定矩阵的充分必要条件是 。
2007-007-7设实二次型12(,,,)n f x x x 的系数矩阵为A ，若0A <，证明：必存在一组实数12,,,n a a a ，使12(,,,)0n f a a a < 。
2007-046-7设()ij n n A a ⨯=为一实对称阵，若A 是半正定的，则A 的一切主子式0k A ≥其中111212122212k k k k k k i i i i i i i i i i i i k i i i i i i a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦且11k i i n ≤≤≤≤ 。
2007-004-5设A 是实对称矩阵，如果A 是半正定的，则存在实的半正定矩阵B ，使得2A B =。
2007-004-7设二次型222123121323224f x x x ax x x x bx x =+++++通过正交变换化为标准形22232f y y =+，求参数,a b 及所用的正交变换。
2007-047-1（5）（填空）复数域上C 上n 阶对称矩阵按合同关系分类，共有 类。
2007-048-8（5）假设n n ⨯实对称矩阵,A B 以及A B -均是正定矩阵，证明：11B A ---也是正定矩阵。
2007-026-10讨论二次型222123123121323(,,)25484f x x x tx x x x x x x x x =+++--何时正定。
2007-024-1（7）（判断题）任一可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。
2007-024-1（8）（判断题）设()ij A a =为正定矩阵，则在A 的所有元素中，绝对值最大者必在A 的主对角线上。
2007-024-2（2）（填空题）设实二次型112312323121(,,)(,,)000323x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则123(,,)f x x x 的矩阵为 ，符号差 。