二元函数极限不存在的判别

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证明二重极限不存在

证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。

例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。

为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。

可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。

[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。

是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。

只是略谈一下在判断二重极限不存在时。

一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。

如何证明极限不存在(精选多篇)

如何证明极限不存在(精选多篇)证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:lim→x4y2x6+y6;lim→x2y2x2y2+2.证明一般地,对于选择当沿直线y=kxy=kx趋近于时,有lim→x4y2x6+y6=limx→0k2x6x6=k21+k 6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择沿抛物线y=kx2+x→趋近于,则有l..2是因为定义域d={|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim趋向于无穷大/证明该极限不存在lim/=lim/-8y/=1-lim8/因为不知道x、y的大校所以lim趋向于无穷大/极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数l，使limsin=l，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，①记x1=1/∈x，有sin=1，②记x2=1/∈x，有sin=-1，使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。

即|1-l|这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。

所以，使limsin=l成立的实数l 不存在。

如何证明极限不存在反证法若存在实数l，使limsin=l，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，①记x1=1/∈x，有sin=1，②记x2=1/∈x，有sin=-1，使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。

二元函数极限存在的判别法

编号学士学位论文二元函数极限存在的判别法学生姓名：古丽加玛丽·图拉克学号：20080101049系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008-3班指导教师：木台力甫·努尔完成日期：2013 年05 月10 日I摘要极限方法是研究函数的主要方法之一。

极限理论，思想方法在许多领域有着广泛应用，函数的极限是高等数学的重点，难点的内容，二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展的，二者之间即有联系也有区别，一元函数和二元函数的四则运算是相同的，但是随着变量的个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得复杂得多，本文先介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限的定义，讨论了二重极限与累次极限之间的关系，并且利用二重极限与累次极限的关系给出有关二重极限存在性的一些结论，二元函数极限存在的充分条件，主要讨论不可约有理分式函数极限存在的判别法，以及齐次有理分式函数极限存在的判别法。

关键词：二元函数极限，二重极限，累次极限。

II目录摘要 ............................................................... I 引言 ............................................................... 1 1.二元函数极限的基本概念 ........................................... 1 2.二重极限与累次极限之间的关系 . (4)2.1关系1 ...................................................... 4 2.2关系2 ...................................................... 4 2.3关系3 （定理1） ............................................ 5 3.二元函数极限存在的充要条件 ....................................... 6 4.有关极限存在的结论 .. (9)4.1结论1 ...................................................... 9 4.2结论2. ..................................................... 9 4.3结论3 ..................................................... 11 4.4结论4 ..................................................... 15 总结 .............................................................. 19 参考文献 .......................................................... 20 致谢 .. (21)1引言二元函数的极限是在一元函数的极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

关于证明二元函数在某一点极限不存在的一点思考

路径，，：一。＋ ’，则
：（二：：：！：鱼
ｉｍ Байду номын сангаас
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ｙ—ｍ
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即，（，ｙ）＝沿着这些路径的极限值与参数有
关．故，，，）＝在（ｏ，ｏ）也是不存在极限的．那么，一
限ｌｉｍ，ｙ）存在且也等于Ａ．这一性质常常用来证
、
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纂一椴隰谤侄勃一考
◎ 吴元泽（中国矿业大学数学学院，江苏徐州２２１００８）
【摘要】众所周知，对于二元函数，Ｙ）来说，证明其在某一点（。，Ｙｏ）不存在极限的方法是找到两条不同的趋于（。，Ｙｏ）的路径，使得ｆ（，Ｙ）在这两条路径上趋于不同的值．本文利用复合函数的观点并结合一元函数的洛必达法则，给出一种发现这些路径的新思路．
的路径Ｙ＝一＋ｇ（）是充分光滑的，则分子、分母同时求导可得如下极限：
３＋３＇，
． ‘
若进一步地，还有（）：０，则ｌｉｍ
同样
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学学习与研究２０１８，３
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是一个关于变量的罟型极限．对分子、分母再次同时求导
（）；，则上述极限存在且等于．由一元函数的洛必
路证明其在（Ｏ，０）不存在极限，只不过对该函数的计算量偏大罢了．事实上，通过观察我们不难发现当Ｙ＝一＋ｇ（）且

二元函数极限不存在性研究

二元函数极限不存在性研究1 引言二元函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难以理解和掌握的知识．二元函数极限虽然从定义形式上与一元函数极限差异不大，但由于二元函数的自变量有两个，其变量变化过程要比一元函数的变量变化过程复杂的多，这就使得极限问题发生了质的变化，存在性的判定和极限的计算方法也变得非常困难．二元函数极限在多元函数微分学中具有举足轻重的作用，探讨其不存在性及计算方法是进一步学习多元函数微分学有关概念和方法的基础．本文就二元函数极限问题进行了讨论．２二元函数极限的定义2.1 重极限定义1)92](1[P 设f 是定义在D ⊂2R 上的二元函数，0P 为D 内一个聚点，A 是一个确定的实数，若对任给的ε，总存在某正数δ，使得当00(;)P U P D δ∈⋂时，都有()f P A -<ε，则称f 在D上当0P P →时，以A 为极限，记作0lim P P →()f P A =．当0,P P 分别用坐标00(,),(,)x y x y 表示时，常记作0,0(,)()lim x y x y →(,)f x y A =，这种极限也称重极限．例1)93](1[P 依定义验证22(,)(2,1)lim ()7x y x xy y →++=．证因为 227x xy y ++-=22(4)2(1)x xy y -+-+-=(2)(2)(2)2(1)(1)(1)x x x y y y y +-+-+-++- 2213x x y y y ≤-+++-+先限制在点(2,1)的δ=1的方邻域{}(,)21,11x y x y -<-<内讨论．于是有314145y y y +=-+≤++<2(2)(1)52157x y x y x y ++=-+-+≤-+-+<所以 22772517(21)x xy y x y x y ++-≤-+-<-+-.设ε为任意的正数，取min(1,)14εδ=，则当2,1x y δδ-<-<，(,)(2,1)x y ≠ 时就有22714x xy y δε++-<<．所以22(,)(2,1)lim ()7x y x xy y →++=例2 证明222(,)(0,0)lim0x y x yx y →=+．证因为()(),0,0x y ≠时，22222102x y xy xx x x y x y ≤=≤≤++．从而任意0ε>，取δ=ε，则当0x δ<<，0y δ<<时，222x yx y+< ε，所以222(,)(0,0)lim x y x y x y →+0=． 2.2 累次极限定义2)97](1[P 设,x y E E R ⊂，0x 是x E 的聚点，0y 是y E 的聚点，二元函数f 在集合x yD E E =⨯上有定义，若对每一个y ∈y E ，0y y ≠，存在极限0lim (,)x x f x y →()y ϕ=，而且进一步存在极限L=0limy y →ϕ()y ，则称此极限为二元函数f 先对0()x x →后对的0()y y →累次极限，并记作00lim lim (,)y y x x L f x y →→=．类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限 00lim lim (,)x x y y K f x y →→=．例3 求函数(,)f x y = 222y x y +在(0,0)点的累次极限．解 00lim lim x y →→ 222y x y +=0lim x →20x +=0， 00lim lim y x →→222y x y +=0lim y →22y y =1． 3 二元函数重极限与累次极限之间的关系及其应用3.1 重极限与累次极限的区别与联系累次极限与重极限是二元函数极限的不同概念，二者之间没有必然的蕴涵关系，但在某些特殊条件下两者又存在着某些联系．例４设(,)f x y 为定义在点00(,)x y 附近的二元函数，试讨论重极限0lim (,)x x y y f x y →→，累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→三者之间的关系．解 (1)重极限00lim (,)x x y y f x y →→存在，累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→可能不存在．例如函数11(,)()sinsin f x y x y x y=+，因为11(,)()sin sin 0f x y x y x y x y=+≤+→．所以(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →=，但01lim (,)lim siny y f x y x y →→=，001lim (,)lim sin x x f x y y x→→=都不存在，从而00lim lim x y →→(,)f x y 与00limlim (,)y x f x y →→都不存在．(2)累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→都存在也可能不相等．例如函数3333(,)x y f x y x y -=+，有00lim lim x y →→3333x y x y -+=0lim x →330x x -+=1 ， 00lim lim y x →→3333x y x y -+=3300lim 10y y y →-=-+ (3)累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→都存在且相等，重极限0lim (,)x x y y f x y →→也可能不存在．例如函数22(,)xyf x y x y =+，虽然有 22220000lim limlim lim x y y x xy xyx y x y →→→→=++=0，但2(,)(0,0)lim 1x y y kxkk→==+这个极限与k 有关，所以重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在． (4)若重极限0,0(,)()lim (,)x y x y f x y →，累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→三者都存在，则它们一定相等．证设00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=，则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当00(,)(;)P x y U p δ∈时，有(,)f x y A ε-< （1）另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式00x x δ<-<的x ，存在极限lim (,)()y y f x y x ϕ→= （２）回到不等式（1），让其中0y y →，由（2）可得()x A ϕε-≤，从而证得0lim ()x x x A ϕ→=，即0000(,)(,)lim lim (,)lim (,)x x y y x y x y f x y f x y A →→→==，同理00lim lim (,)y y x x f x y →→＝A ，证毕．(5)若0,0(,)()lim(,)x y x y f x y →=A 存在，且00lim lim (,)x x y y f x y →→的内层极限0lim (,)y y f x y →在0x 的某个1δ邻域里存在，( 1δ>0)，则00lim lim (,)x x y y f x y →→存在且等于A ．(另一个累次极限亦然)证因∀ε>0，∃δ>0，(取δ<1δ)，当00,x x y y δδ-<-<时，有(,)A f x y A εε-<<+，.在不等式里令0y y →取极限，记0lim (,)()y y f x y g x →=，得()A g x A εε-≤≤+0(:),x x x δ∀-<此即表明000lim ()lim lim (,)x x x x y y A g x f x y →→→==，证毕．3.2 二元函数极限的应用利用偏导数的定义，有些关于偏导数的问题可以转化为相应的极限问题．例5)654653](2[-P 设''",,x y yx f f f 在00(,)x y 的某邻域内存在， "yx f 在点00(,)x y 处连续，证明"00(,)xy f x y 存在，且"00(,)xy f x y ="00(,)yx f x y ．证 (1) 将混合偏导数转化成累次极限．根据偏导数的定义0,000"00000000000000'()'(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)1limlim lim x x xy y y x x f x y y f x y f x y yf x x y y f x y y f x x y f x y y x x ∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆+∆-+∆+∆-⎧⎫=-⎨⎬∆∆∆⎩⎭00lim lim,y x Wx y∆→∆→=∆∆其中00000000(,)(,)(,)(,)W f x x y y f x y y f x x y f x y =+∆+∆-+∆-+∆+，同理可证"0000(,)lim limyx x y Wf x y x y∆→∆→=∆∆．(2) 证明重极限00limx y W x y ∆→∆→∆∆存在，且等于"00(,)yx f x y ．令 00()(,)(,)y f x x y f x y ϕ=+∆-．则001[()()W y y y x y x yϕϕ=+∆-∆∆∆∆] 0110010010011'()(01)1'(,)'(,)"(,)(01)y y y yx y y x f x x y y f x y y xf x x y y ϕθθθθθθθ=+∆<<∆=+∆+∆-+∆∆=+∆+∆<< 因"yx f 在00(,)x y 处连续，故00limx y Wx y∆→∆→∆∆=00100lim "(,)yx x y f x x y y θθ∆→∆→+∆+∆=00"(,)yx f x y ． (3) 因为','x y f f 在00(,)x y 的邻域内存在，且y ∆充分小时，0limx Wx∆→∆存在，由累次极限定理即例４中结论(5)，得0000"(,)lim limxy y x W f x y x y ∆→∆→=∆∆0,0lim x y Wx y∆→∆→=∆∆="00(,)yx f x y ．4 二元函数极限的不存在性根据重极限与累次极限的关系，证明二元函数极限不存在，通常方法是：(1)特殊路径判别法；(2)累次极限判别法；(3)极坐标判别法；(4)证明某个特殊路径的极限不存在等．下面就这几种方法进行具体的讨论．4.1 特殊路径判别法二元函数重极限定义中，动点(,)P x y 可以沿任意路径趋于定点000(,)P x y ，若二元函数的重极限存在，则(,)P x y 沿任意曲线趋向于000(,)P x y 时极限都存在而且相等．反之，若点P 沿不同路径趋于0P 时极限不存在或存在但不相等则可断定重极限不存在，因此通常可以利用特殊路径法判别二元函数极限不存在．4.1.1 选择直线路径例６问极限2222200lim ()x y x y x y x y →→+-是否存在?并说明理由．解令(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)，得2224222242200lim lim ()(1)x x y kx x y k x x y x y k x x k →→==+-+-．当1k =时，上式极限为1；当1k ≠时，上式极限为0，故2222200lim ()x y x y x y x y →→+-不存在．注易知22222222220000lim lim lim lim 0()()x y y x x y x y x y x y x y x y →→→→==+-+- ，再一次表明两累次极限存在且相等，重极限不一定存在．4.1.2 选择二次曲线路径例７证明0x y →→的极限不存在．证0x y →→=00x y →→(,)x y 沿曲线2y x kx =-+(0)k ≠趋于(0,0)时，有20limx y x kx xyx y →=-+→+=2200()11lim lim x x x x kx kx kx k k →→-+-+==-．k 取不同值，上式极限有不同结果，所以00limx y xy x y →→+不存在，而001)2x y →→=存在，故0x y →→不存在．例８求24210(1)lim (1)x y x yx y →→--+．解因为224222(1)(1)(,)0(1)1[](1)y x y x f x y y x y x ---==--++-．令2(1)y k x =-，则2(,)1k f x y k =+．当(,)x y 沿曲线2(1)y k x =-趋近于(1,0)时,有222421120(1)02(1)(1)lim lim 0(1)1[](1)x x y y k x y x y x y x y x →→→=-→---=--++-21k k =+ 随着k 的取值不同，21kk +取不同的值，所以极限不存在． 4.1.3 选取分式曲线路径当(,)f x y 为分式函数时，有时可将分子、分母变形，反过来推导y 与x 的函数关系，从中找出恰当的分式曲线路径．例９求00x y →→．解由于(,)f x y ==xy x y =+易知012x y →→=，因此只需讨论00limx y xyx y →→+，由于xy x y +的分子．分母只有y 的一次幂．故令 xy x y +=k (0)k ≠，解得kx y x k =-，当0x →时有0y →，因此沿曲线kxy x k=-得00lim x x y kxy x k→→→=→-=01lim 2x kxy x kk →=→-==．随着k 的取值不同，12k 没有固定值，因此极限不存在．对于有些结构形式的函数，需要先做适当变形，再选取适当路径来证明极限不存在．例10 验证222222001cos()lim ()x y x y x y x y →→-++不存在．解先将函数变形，有22222222222222222222222(sin )sin 1cos()22().()()22x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++-++==⋅+++令22222sin 2(,)()2x y f x y x y +=+，2222(,).2x y g x y x y +=一方面00lim (,)x y f x y →→=10≠，另一方面当动点 (,)P x y 沿直线y x =趋于原点(0,0)时，有242000021lim (,)lim lim 2x x x y x x g x y x x →→→=→===∞．所以00lim (,)x y x g x y →=→=∞，从而0lim (,)(,)x y f x y g x y →→⋅=∞．这表明222222001cos()lim ()x y x y x y x y →→-++不存在． 4.2 累次极限判别法若二元函数在点00(,)x y 某邻域内连续而二累次极限存在不相等，则该重极限不存在．累次极限一般不是特殊路径的极限，但在某空心邻域里若函数连续，则累次极限实为沿坐标轴方向的极限．例11 证明函数3333(,)x y f x y x y-=+在(0,0)处重极限不存在．证 (,)f x y 在除(0,0)点外处处连续，但330000lim lim (,)lim 10x y x x f x y x →→→-==+， 330000lim lim (,)lim 1,0y x y y f x y y →→→-==-+所以0lim (,)x y f x y →→不存在．4.3 极坐标判别法4.3.1 证明径向路径的极限与幅角有关．例12 设(,)f x y 是区域:1,1D x y ≤≤上的有界k 次齐次函数(1)k ≥，问极限lim (,)(1)y x y f x y x e →→⎡⎤+-⎣⎦是否存在?若存在，试求其值．解令cos ,sin x r y r θθ==．由于(,)f x y 是区域D 上的有界k 次齐次函数，所以(,)(cos ,sin )(cos ,sin )(0)k k f x y f r r r f r M M θθθθ==≤>而0lim 0kr r M →=，所以0lim (,)lim (cos ,sin )0x r y f x y f r r θθ→→→==，00lim (,)(1)1y x y f x y x e →→⎡⎤+-=-⎣⎦．4.3.2 (,)f x y 中含“22x y +”或为(,)f x y 的齐次有理分式函数若函数(,)f x y 中含有“22x y +”或为(,)f x y 的齐次有理分式函数，可以先进行坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<∞，02θπ<≤，然后适当选取不同路径．例13验证220x y →→证作坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩22化为1cos rθ+．（1）取路径0θθπ=≠当0θθ=，0r +→时1cos rθ+0→;（2）取路径()1cos r θθ=+，当,0r θπ-+=→时1cos rθ+1→，所以2200x y →→存在．例14 证明22332200lim x y x y x y x y →→-+-+不存在．证作坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，函数223322(,)x y x y f x y x y -+-=+化为 (,)(cos sin )(cos sin sin cos )f r r r θθθθθθθ=-+++．（1）取路径0θ=，当0,0r θ+=→时(cos sin )(cos sin sin cos )1r r θθθθθθ-+++→．（2）取路径4πθ=，当,04r πθ+=→时(cos sin )(cos sin sin cos )r r θθθθθθ-+++→0所以22332200lim x y x y x y x y →→-+-+不存在． 4.4 证明某个特殊路径的极限不存在例15 证明二元函数2(,)cos y f x y x =在点(0,0)的极限不存在．证取14y x =，当(,)x y 在14y x =上时，则有2cos yx =，故142(,)(0,0)0lim cos lim x y x y x y x →→==2(,)(0,0)lim cos x y y x →不存在．。

证明二元函数极限不存在的方法与技巧

219理论研究证明二元函数极限不存在的方法与技巧杨万娟,杨子艳,木绍良（云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江 674100）摘　要：本文主要解决在证明二元函数极限不存在的问题时选择特殊路径的方法和技巧。

关键词：二元函数极限；无穷小量；无穷小量的阶；特殊路径DOI:10.16640/ki.37-1222/t.2019.19.1961　二元函数极限概念分析二元函数的极限存在,是指点沿任意路径无限接近某一点时,函数总是无限接近某一固定的数A 。

此时称A 为二元函数在时的极限,记作。

定理（1）设函数在内有定义,则；（2）设函数在有定义,且,则。

由定理可知,在求二元函数极限时,通过选择特殊的路径可转化为一元函数极限问题,所以,当沿着不同的路径趋于时（即当时,沿着不同的趋近于）函数趋于不同的值,那么就可以断定此函数的极限不存在。

但是找到特殊路径对学生来说不是一件容易的事,因此很有必要探究该问题。

本文对常见的两种类型作了讨论,其思路为：考虑分母中的最高次幂与分子中的最低次幂保持一致,通过化解可知极限是否与有关,若与有关,则可知极限不存在。

2　证明二元函数极限不存在时找特殊路径的方法2.1　类型一：证明(,)(0,0)lim a bm mx y x y x y →±极限不存在时找特殊路径的方法（1）当且时,令；（2）当时,令。

例1 证明233(,)(0,0)limx y x yx y →−极限不存在。

证明：，故令，显然,当k 不同时,31k k −便不同,所以极限233(,)(0,0)lim x y x yx y →−不存在。

例2 证明极限(,)(0,0)lim +x y xyx y→不存在。

证明：，故令，，显然,当k 不同时,1k−便不同,所以极限(,)(0,0)lim +x y xyx y →不存在。

2.2　类型二：证明(,)(0,0)+lima b x y x y x y→±极限不存在时找特殊路径的方法（1）当时,令；（2）当时,令。

二元函数极限的求法和极限不存在的判断

x→y0
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为 0。定义证明：坌ε>0，因为
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
+
y4 x2+y2
姨 ≤x2+y2，故要使
x4+y4 x2+y2
-0
<ε 只要取 δ =
ε 4
，则
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
x2y2ln(x2+y2)
x2y2 x2+y2
x2+y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
由于
0≤
x2y2 x2+y2
≤
(x2+y2)2 x2+y2
≤x2+y2→0，令 x2+y2=t 则
x2y2
lim (x2+y2)ln(x2+y2)=lim tlnt=0,故 lim (x2+y2) =e0=1。
科技信息
高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院唐新华
［摘要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。［关键词］二元函数极限二重极限
引言
二元函数极限定义[1] 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某空心邻域有
=e
x→∞
x

证明二重极限不存在

例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。

为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。

可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。

[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。

是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。

只是略谈一下在判断二重极限不存在时。

一个值得注意的问题。

证明极限不存在

证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线 y=2xy=-2x 趋于(0,0)时极限分别为 -3 和 -1/3 不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)证明该极限不存在lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)=1-lim8 / [(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2) 极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。

第二节二元函数的极限

lim
x0 ykx
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 (1 k
2
)
1
k k
2
当 k 不同时, 极限也不同、因此, f (x, y) 在 (0, 0)
得极限不存在、
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 得情形、
沿 x 轴, y = 0、函数极限
lim
x0
f
(x,
二元函数得极限运算举例
例求 lim( x2 2 y2 3xy).
x0
y1
解 lim( x2 2 y2 3xy) lim( x2 ) lim(2 y2 ) lim(3xy)
x0
x0
x0
x0
y1
y1
y1
y1
lim( x2 ) 2lim( y2 ) 3(lim x)(lim y)
x0
x0
x0 x0
记作 lim f (P) A, 或 P P0
lim f (x, y) A,
x x0 y y0
也可记作 f (P) A (P P0), 或,
f (x, y) A (x x0, y y0 )
注定义中要求X0就是定义域D得聚点, 这就是
为了保证 P0得任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进
都收敛、
上述定理及其推论相当于数列极限得子列定理与一元函数得海涅归结原则
注意： P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 lim f ( x) A,
元 x x0 0
lim f ( x) A.
中 lim f ( x) A,
x x0
x x0 0
多元

二元函数极限证明(完整版)

二元函数极限证明二元函数极限证明第一篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．教学建议：要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限：limf时，f法则。

类似地, 二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。

为了叙述上的方便, 对它的特殊情形= ) 作出如下研究, 并得到相应的法则与定理。

二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念, 它刻划了当自变量趋向于某一个定值时, 函数值的变化趋势。

是高等数学中一个极其重要的问题。

但是, 一般来说, 二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还是证明都具有更大的难度。

本文就二元函数极限的问题作如下探讨。

第四篇：二元函数的极限与连续§3 二元函数的极限与连续定义设二元函数有意义, 若存在常数a,都有则称a是函数当点趋于点或或趋于点时的极限,记作。

的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或必须注意这个极限值与点论p以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能使。

只要p与充与a 接近到预先任意指定的程度。

注意：点p趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时, 极限在该点存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。

极限不存在。

这是判断多一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。

如何证明极限不存在(精选多篇)

如何证明极限不存在(精选多篇)第一篇：证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域d={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x -5y )/(x +3y )证明该极限不存在lim(x -5y )/(x +3y )=lim(x +3y )/(x +3y )-8y /(x +3y )=1-lim8/因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x -5y )/(x +3y )极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数l，使limsin(1/x)=l，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，使|sin-l|<1/3，和|sin-l|<1/3，同时成立。

判断二重极限存在的常用方法

判断二重极限存在的常用方法
二重极限是指在二元函数中，当自变量趋近于某个点时，函数的极限存在或趋近于一个确定的值。

判断二重极限的存在性是解决二元函数问题的关键，下面介绍几种常用的方法。

1. 用极限定义法
二元函数f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限存在，当且仅当以下条件同时满足：
（1）对于任意给定的实数ε>0，都存在一个正实数δ>0，使得当(x,y)不等于(x0,y0)且(x,y)与(x0,y0)的距离小于δ时，有
|f(x,y)-A|<ε成立。

（2）存在一个实数A，使得当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限趋近于A。

2. 用夹逼定理
夹逼定理是指，如果函数g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)，且g(x,y)和h(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限都等于A，则f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限也等于A。

3. 用累次极限法
当二元函数f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限存在时，可以先将y看作常数，计算f(x,y0)关于x的一重极限，如果这个极限存在，则记为g(y0)；然后再将x看作常数，计算f(x0,y)关于y的一重极限，如果这个极限存在，则记为h(x0)。

如果g(y0)和h(x0)在点(x0,y0)的邻域内都存在且相等，则f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限存在，
且等于g(y0)=h(x0)。

以上是判断二重极限存在的常用方法，不同的方法适用于不同的问题。

在具体应用中，需要根据问题的特点选择合适的方法，以确保结果的准确性。

二元函数

第二节
多元函数
一、区域二、二元函数
三、二元函数的极限
四、二元函数的连续性五、小结思考题
一、区域
（1）邻域
是某设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点，的点 P ( x , y ) 一正数，与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于邻域，记为U ( P0 , ) ，的全体，称为点 P0 的
3 取 y x ,
1 1 x y x x lim 6 2 lim 6 6 lim x 0 1 1 x 0 x y x 0 x x 2 3 y 0 y x3
3 3 3 y x
由于不同趋近方式下，函数趋于不同数值，故极限不存在.
确定极限不存在的方法：
（1）令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于 P0 ( x 0 , y0 ) ，若
U ( P0 , ) { P | PP0 | }
{( x , y ) | ( x x0 ) ( y y0 ) }
2 2

P0
类似可定义去心邻域.
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是E 内的一个点．如果存在点 P 的某一邻域 U ( P， ) E ，则称 P 为 E 的内点.
三、二元函数的极限
定义设 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某去心邻域有定义，
若当点 P ( x , y )以任意方式趋向于 P0 ( x0 , y0 ) 时，
对应函数值 f ( x , y )都趋向于一个确定的常数 A，
则称A为函数z f ( x , y )当 P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.

如何证明极限不存在(精选多篇)

用二项式展开得：
ห้องสมุดไป่ตู้=1
++*_+*_+…+*—*—*
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：
=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。证明二重极限不存在如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f不存在,通常的方法是:找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0fg的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f-g=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-=0→时,所得的结论就不同→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，一g=0趋近于来讨论，一0g，y。。可能会出现错误，只有证明了不是孤立点后才不会出错。o13a1673-38780l__0l02__02如何判断二重极限不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过定点的特殊曲线，如果动点沿这些曲线趋于时，f趋于不同的值，则可判定二重极限limf不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f一g：0，这样做就很容易出错。3当沿曲线y=-x+x_趋于时，极限为lim/x_=-1;当沿直线y=x趋于时，极限为limx_/2x=0。故极限不存在。4x-y+x_+y_f=————————x+y它的累次极限存在：x-y+x_+y_limlim————————=-1y->0x->0x+yx-y+x_+y_limlim————————=1x->0y->0x+y当沿斜率不同的直线y=mx,->时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。不如何证明极限不存在一、归结原则原理:设f在u0内有定义，limf存在的充要条件是：对任何含于x?x0u且以x0为极限的数列?xn?极限limf都存在且相等。’n??例如：证明极限limsinx?01x不存在12n??证：设xn??1n??,xn??2，则显然有xn?0,xn?0，si由归结原则即得结论。???0?0,si?1?1??xnxn二、左右极限法原理：判断当x?x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f?arctan当x?0时的极限不存在。1x)?1x)???2x=0，limarctan?lim?arctan，所以当x?0时，arctan的极限不存在。三、证明x??时的极限不存在原理：判断当x??时的极限，只要考察x???与x???时的极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f?ex在x?x????时的极限不存在x???x???xxxx因为lime?0，lime???；因此，lime?limex???所以当x?四、柯西准则?时，ex的极限不存在。0’原理：设f在u内有定义，limf存在的充要条件是：任给?x?x0?0，存在正数?，使得对任何x?,x???u0，使得f?f??0。例如：在方法一的例题中，取?0?1，对任何??0，设正数n?x??1n?,x???1n??1?，令?2即证。五、定义法原理：设函数f在一个形如的区间中有定义，对任何a?r，如果存在?0?0，使对任何x?0都存在x0?x,使得f?a??0,则f在x???x???时没有极限。例如：证明limcosx不存在设函数f?cosx，f在中有定义，对任何a?r，不妨设a?取?0?120,，于是对任何??0，取?0?0反证法数学归纳法极限证明1.设f在上无穷次可微，且f??，求证当k?n?1时，?x，limf?0．x???2.设f??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf?0．?{xn}?3.设f在上无穷次可微；ff??0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f?0．sin)?1．求证limf存在．4.设f在上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?. n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在上连续，且f?0,记fvn?f,?n??exp{b?

极限不存在该证明

极限不存在该证明证明极限需要什么方法呢?极限存在与否该怎么证明呢?下面就是给大家的证明极限不存在内容，希望大家喜欢。

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在im(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2) 证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)=1-lim8/[(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。

二元函数极限不存在的几种情况

二元函数极限不存在的几种情况
1.无限趋近于两个不同的值：如果x沿着某个方向接近该点时，y趋近于一个值，而沿另一个方向则趋近于另一个值，那么这个函数的极限就不存在。

2.无限趋近于正无穷或负无穷：如果x趋近于正无穷或负无穷时，y 趋近于无穷大或无穷小，那么这个函数的极限就不存在。

3.趋近于某点时函数值不趋近于同一个数：如果x沿着某个方向接近该点时，y趋近于一个值，而沿另一个方向则趋近于另一个值，且这些值不相等，那么这个函数的极限就不存在。

4.矛盾：如果存在两个不同的数列{a_n}和{b_n}，使得a_n和b_n都趋近于x，但是函数在a_n上的极限不等于函数在b_n上的极限，那么这个函数的极限就不存在。

一类二元函数极限存在性的判别方法

3. 当 m臆n 时袁则极限不存在遥
于是应用上述命题可按下述步骤进行院
首先观察分母 Q(l,y)=0袁Qn(x,l)=0 是否有实根遥如有袁不管 m 与 n 的大小袁该极限不存在遥这时可理解为只取一种途径袁即取经
过点(l,y0)或(x0, l)袁可使 f(x,y)寅肄袁因而无极限遥如 Q(l,y)=0袁Q(x,l)= 0 没有实根袁则需判断阶数 m,n 的大小遥当 m>n袁则极限存在且等
参考文献院
[1]毛纲源.最新考研数学渊三冤常考题型解题方法和技巧归纳
[M].武汉院华中理工大学出版社袁2008.
[2]毛纲源.经济数学渊微积分冤解题方法技巧归纳渊第 2 版[M].
武汉院华中科技大学出版社,2006.
[3]赵树嫄.微积分渊第四版冤[M].北京院中国人民大学出版社,
2013. [4]同济大学数学系. 高等数学渊第六版.北京院高等教育出版
一尧方程意识遇到要求未知数量的问题袁首先考虑借助于方程袁这样的思想就是方程意识遥方程意识常常用来解决某些数与式的问题尧几何图形求值问题及和函数相关的问题袁和运动有关的图形问题等等遥例 1院已知长方形 ABCD袁AB=3cm袁AD=4cm袁过对角线 BD
的中点 O 作 BD 的垂直平分线 EF袁分别交 AD尧BC 于点 E尧F袁则 AE 的长为 _______________遥
(x,y)寅(0,0)
(0,0)连续遥
嗓例 4
设 f(x,y)=
2
x 0,
2
y
2
/(x
2
+y
)3/2,x2
2
+y
屹0
22
x +y =0
袁试讨论

二元函数极值存在的判别方法

大庆师范学院本科生毕业论文二元函数极值存在的判别方法院（系）数学科学学院专业数学与应用数学研究方向数学教育学生姓名韩明学号200801052602指导教师姓名夏晶指导教师职称副教授2012年6月1日摘要在生活、生产、经济管理和各种资金核算中，常常要解决在一定的条件下怎么使投入最小、产量最大、效益最高等等问题.因此解决这些问题具有现实意义.这些经济和生活的问题常常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，将问题数字化，简单、精确，进而转化为求函数中最大（小）问题，即函数的极值问题.因此，对函数极值问题的探讨具有十分重要的意义.本文主要探讨了二元函数极值存在的充分条件、必要条件的判定方法，以及如何求解，并对结果进行了简要的证明.关键词：二元函数；极值；驻点；条件极值AbstractIn industrial and agricultural production,management of the economy and the economic accounting,we often solve the problems such as how to make input smallest,output most efficient in given conditions.In the life we often encounter how to achieve maximum profit,use the minimum materials and get maximum efficiency,to deal with the similar problems that have its realistic significance.Above problems can be transformed with function and its function of maximum and minimum value.The concept of extreme value originate from function of maximum and minimum value of mathematics,therefore approaching the extreme value have significance meanning.Keywords:function;extreme value;stagnation;conditional extremum目录第一章前言 .......................................... 错误！未定义书签。

判断极限是否存在的方法

判断极限是否存在的方法
判断方法：分别考虑左右极限。

极限存在的充分必要条件是左右极限都存在，且相等。

极限不存在的条件：当左极限与右极限其中之一不存在或者两个都不存在；左极限与右极限都存在，但是不相等。

在某一点是否有极限的判断方法:
1、直接将该点的x代入表达式，只要没有无穷大出现，而是一个具体的数值，极限就存在；
2、如果是无穷大比上0，或一个具体的数，极限也存在；
3、如果是0比0型，需要化简，或用罗毕达法则，逐步判断，一定能得出结果，但是过程可能很艰难；
4、如果是无穷大比无穷大型，方法同3；
5、如果左极限存在，右极限也存在，但是两者不相等，则没有极限；
6、左右极限存在且相等，即使该点无定义，我们也说极限存在。

7、如果是其他形式的不定式，需要用罗毕达法则判断。