向量与解析几何结合解答题精选

向量与解析几何结合解答题精选

平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算

的 几何意义，利用其几何意义解决有关问题。

1.已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1＋||2MF ＝10。（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、Q 是曲线C 上任意两点，且·=0，求

2

2

2

OQ

OP •的值

【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10

根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：

1

2

2=+y x （2）∵点P 、O 是

116

252

2=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)

（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） ∵OP ·OQ =0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①

而2

、2

2

•都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：

2

2

2

•＝

400

41

2.已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：

1)3()2(2

2

=-+-y x 相交与M 、N 两点。（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM ·AN 为定值；

（3）若O 为坐标原点，且OM ·

ON ＝12，求k 的值。 【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）

∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入⊙C ：1)3()2(2

2

=-+-y x ，得：07)1(4)1(2

2

=++-+x k x k ①

由题意：△＝07)1(4)]1(4[2

>⨯+⨯-+-k k 得：

3

7

4374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交

点，d

（2）利用切割线定理可以证明|AM |·|AN |＝|AT |2=7,AT 为切线，T 为切点。 根据向量的运算：AM ·AN ＝||·|AN |·cos00＝7为定值。

（注意：本题也可以设出M （11,y x ）、N （22,y x ）的坐标，把AM 、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明）

（3）设M （11,y x ），N （22,y x ），则由①得：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=

++=+2212

2117144k x x k k x x ∴OM ·

ON ＝21x x ＋21y y ＝1)()1(21212

++++x x k x x k ＝

81)

1(42

+++k

k k ＝12⇒k ＝1（代入①检验符合题意） 3.已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 1满足OF =(1,0),OT =(－1，t)，FM =MT , P 1⊥,P 1∥OF 。

（1）当t 变化时，求点P 1的轨迹方程； （2）若P 2是轨迹上不同与P 1的另一点，且垂直非零实数λ，使得1=λ·2FP |

|1FP ||2FP =1

【解】设P 1（x ，y ），则由：FM =得M 是线段FT 的中点，得M )2

1

,0( ∴P 1＝（－x ，

2

1

－y ）， 又∵FT ＝OT －OF ＝（－2，t ），T P 1＝（－1－x ，t －y ） ∵M P 1⊥FT ∴2x ＋t(

2

t

－y)＝0 ① ∵P 1∥OF ∴（－1－x ）

·0＋（t －y ）·1＝0化简得：t ＝y ② 由①、②得：x y 42

= （注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用

向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。） （2）易知F （1，0）是抛物线x y 42

=的焦点，由1FP =λ·2FP ， 得F 、P 1、P 2三点共线，即直线P 1P 2为过焦点F 的弦

设P 1（11,y x ）、P 2（22,y x ）,直线P 1P 2的方程为：y ＝k(x －1)代入x y 42

=得：

0)2(22

2

2

2

=++-k x k x k 则1x ·2x ＝1，1x ＋2x ＝2

242k k +

∴

|

|1FP ||2FP 111+x ＋11

2+x ＝1)(22

12121+++++x x x x x x ＝1

（注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达

定理进行证明。）

经检验：当斜率k 不存在时，结论也成立。

4..已知＝)1,3(，（O 为坐标原点），||=1，且与的夹角为600，A 、O 、B 顺时针排列，点E 、F 满足=λ，＝λ1，点G 满足＝2

1

（1）当λ变化时，求点G 的轨迹方程； （2）求||的最小值。

【解】∵＝

21

，∴点G 是EF 的中点， ∴＝21(＋OF )＝21(λ＋λ

1

)

∵与的夹角为600，||＝2， ∴OA ·OB ＝|OA |·||OB ·cos600＝1

设＝（00,y x ），则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1

132

02000y x y x ⎩⎨⎧==⇒1000y x 或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==2123

00y x （不合，舍） OG ＝)]1

,0(),3[(21λ

λλ+＝))1(21,23(λλλ+

设G （x ，y ），则⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

+==)1(2123

λ

λλ

y x 消去λ得：033442=+-xy x