向量与解析几何结合解答题精选
向量代数与空间解析几何习题详解
坐标平面所围成； （ 3 ） z = 0, z = a(a > 0) , y = x,x 2 + y 2 = 1 及 x
z x 2 y 2 , z 8 x 2 y2 所围 .
0 在 第 一 卦 限 所 围 成 ；（ 4 ）
解：（1 ）平面 3x 4 y 2z 12 0 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；
，化为 y
1
3 cos t (0 t 2 ) ；
2
99
z 3 sin t
x 1 3 cos
（ 2） y 3 sin
(0
z0
2 ).
x a cos 6、 求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程 .
zb
x2 y2 解：
z0
a2
z y a sin
z x a cos
；
b；
b.
x0
y0
第六章 向量代数与空间解析几何
习 题 6—3
1、 已知 A(1,2,3) ， B(2, 1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程 .
解 ：设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点，据题意有 | MA | | MB |,
x 12 y 2 2 z 32
x 2 2 y 12 z 4 2,
化简得所求方程 2x 6 y 2 z 7 0 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程
6、 设平面过原点及点 (1,1,1) ，且与平面 x y z 8 垂直，求此平面方程 .
解： 设所求平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过点 (1,1,1) 知平 A B C D 0, 由
r 平面过原点知 D 0 ， Q n {1, 1,1},
A B C 0 A C, B 0 ，所求平面方程为
高考满分数学压轴题18 解析几何与平面向量相结合问题(可编辑可打印)
一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。
它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A ．43y x =±B ．34yx C．y = D．y x = 【来源】陕西省西安市长安区2021届高三下学期二模理科数学试题 【答案】A【解析】依题意221212121112112()()()0F F F A F A F F F A F A F F F A F F +⋅=+⋅-=-=，所以1212F F F A c ==，1247AF k =-，设直线1F A 的倾斜角为α，则α为钝角，sin 24tan cos 7ααα==-，结合22sin cos 1αα+=解得247sin ,cos 2525αα==-，设()00,A x y ，则()07392cos 22525x c c c c c α⎛⎫=⋅+-=⨯--=- ⎪⎝⎭，024482sin 22525y c c c α=⋅=⋅=，将A 点坐标代入双曲线方程得2222394825251c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而222c a b =+，所以()()222222152123046256251a b a b a b ++-=，化简得22221521140823040b a a b ⋅--⋅=， 42241521140823040b a b a ⋅--⋅=，()()22229161691440b a b a -+=，229160b a -=，434,3b b a a ==，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：A 【举一反三】解析几何与平面向量相结合问题1.（2020南宁模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 321,4⎛ ⎝⎦C ． 324⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 【答案】B【解析】由题意得，()(),0,2,0A a F a ，设00,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP FP ⊥，得2220020320c AP PF x ax a a ⋅=⇒-+=，因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即222222293294209884c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则3214e <≤，故选B ． 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键．2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】∵圆1C ：()2251x y ++=，圆2C ：()225225x y -+=， 动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，设圆C 的半径为r ，由题意得1211516CC CC r r +=++-=（）（）， ∴则C 的轨迹是以（()()505,0，，- 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=，即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则()222222010001511025391164x CM CC x y x x ⎛⎫=-=++-=+++-- ⎪⎝⎭20002510641,88,64x x x =++--≤≤()()2min2581086412 2.64CM-∴==+⨯-+-= ，选A.3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，由题意，故， ∵，∴为的中点，令右焦点为，则为的中点，则，∵，所以，∴，∵， ∴在中，，即，所以离心率．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点5(2,)3到右准线的距离为52，过点()0,1M 的直线l 与C 交于两点,A B ，且23AM MB =，则l 的斜率为 A ．13B ．13±C ．12±D ．19【来源】江苏省无锡市八校联盟2020-2021学年高三上学期第三次适应性检测数学试题 【答案】B【解析】解：由题意可得22222242519522a b a b c a c⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2229,5,4a b c ===，所以椭圆22:195x y C +=，设l ：1y kx =+,设1122(,),(,)A x y B x y因为23AM MB =，所以2123x x =-，由221195y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(95)18360k x kx ++-=则12212218953695k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩结合2123x x =-，联立消去21,x x 解得13k =±故选：B.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； ②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ） A．1 B．2C．1D．2【答案】B 【解析】【分析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ．根据三角形相似可得直线FA 的倾斜角为135︒，从而斜率为1-，进而可求得2p =，于是可求得点P 的纵坐标，根据点P 在曲线上可得其横坐标，即为所求．【详解】由题意得抛物线的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设准线与y 轴交于点1F ．过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ，则11PP FF ∥，∴1||||||||QP QP FP PP ==， ∴145PQP ∠=︒,∴直线FA 的倾斜角为135︒， ∴21012FApp k -==-=--，解得2p =． 又由11PP FF ∥得11||||||||PP QP QF FF ==12||PP =，∴)1||14PP ==-设(),P x y，则14y +=-∴3y =-∴()()224322421x =-=-，又点P 在第一象限， ∴()221222x =-=-，即点P 到y 轴距离为222-．故选B ．2.（2020南充模拟）已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1 【答案】B【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值．3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】【详解】∵22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 双曲线的两条渐近线方程为y b a =-x ，y ba=x ， ∵过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ． ∵11122OP OF OQ =+， ∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴过F 1的直线PQ 的斜率k PQ ab =， ∴过F 1的直线PQ 的方程为：y ab=（x +c ），解方程组()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得P （2a c -，abc ），∴|PF 1|＝|PQ |＝b ，|PO |＝a ，|OF 1|＝|OF 2|＝|OQ |＝c ，|QF 2|＝2a ， ∵tan ∠QOF 2b a =，∴cos ∠QOF 2ac=， 由余弦定理，得cos ∠QOF 2222242c c a c +-==1222a ac c-=， 即e 2﹣e ﹣2＝0，解得e ＝2，或e ＝﹣1（舍）故选C ．类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程 【例3】已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 的中点，以AB 为直径的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，若2AF FB =，则sin MPQ ∠=（ ） A ．59B ．37C ．917D ．513【来源】山西省太原市2021届高三一模数学（理）试题 【答案】A【解析】如图所示：法1：由抛物线的焦点坐标可得122p =，所以1p =， 所以抛物线的方程为：22y x =， 设直线AB 的方程为：12x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，设A 在x 轴上方， 联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210y my --=，可得：121y y =-①，由2AF FB =，即112211,2,22x y x y ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得122y y =-，代入①可得：2212y =， 所以222y =-12y =代入抛物线的方程可得：214x =，11x =，即(1,2)A ，12,42B ⎛⎫⎪⎪⎝⎭， 所以AB 的中点52,84M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22129||12424AB ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即圆的直径为94， 所以圆的方程为2252818464x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令0x =，可得14244y =±+， 所以1420,4P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，1420,4Q ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以558tan 142221444MPQ ∠==+-，所以2255sin 95(214)MPQ ∠==+，法2．由法1可得AB 的中点M 的横坐标为58，半径98r =， 所以558tan 998MPQ ∠== 故选：A ．【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P 的轨迹方程． 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-【答案】A【解析】作出简图如下∵椭圆22195x y +=，∴其顶点坐标为3030-（，）、（，）， 焦点坐标为（2020-，）、（，）， ∴双曲线方程为22145x y -=，12(3,0),(3,0)F F - 由11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，可得1 M F 在1PF 与21 F F 方向上的投影相等，1111111tan 5MA F A F B MF A MF B MF A F A ∴=∴∠=∠∠==，，，112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∴∠===-∠-， ∴直线1PF 的方程为5312y x （）=+．即：512150x y -+=，把它与双曲线联立可得532P（，） ，2PF x ∴⊥轴，又2tan 1MF O ∠=， 所以245MF O ∠=︒，即M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，12121114222PMF PMF SSPF PF ∴-=-⨯=⨯=（）．故选A ． 2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为 ，整理得：．故P 的轨迹方程为：．故选：A.类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,A B ，直线l 过A 点且与x 轴垂直，P 为直线l 上的任意一点，若122AB F F =，则12F PF ∠的取值范围是（ ） A ．[0,]6πB ．[0,]4πC ．[0,]3πD ．7[0,]12π【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考（广东卷） 【答案】A【解析】由题意可知，12(,0),(,0),0F c F c c ->，直线l 的方程为x a =-， 设直线1PF ，2PF 的倾斜角分别为αβ，，由椭圆的对称性，不妨设点P 为第二象限的点，即(,),0P a t t ->， 则tan ,tan .t t c a c aαβ==--+12F PF βα∠=-，12222222tan tan 22tan tan()=1tan tan 1t t ct c c a c a F PF t b t b t c a tβαβαβα---+-∴∠=-===++-+-2222c c b b b t t ≤==⋅，当且仅当2b t t=，即t b =时取等号.122AB F F =，2a c ∴=，且满足222a b c =+，则2224c b c =+，223b c =，∴3=3c b ， 则12tan F PF ∠的最大值为33，故12F PF ∠的最大值是6π.当P 为第二或第四象限的点时，12F PF ∠的取值范围是(0,]6π；当P 为x 轴负半轴上的点时，120F PF ∠=. 综上可知，12F PF ∠的取值范围为[0,]6π，故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆中的根据向量间的线性关系求角的范围的问题，关键在于设出椭圆上的点的坐标，由向量间的线性关系表示所求的角的三角函数，再运用基本不等式求解范围. 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．520,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】如图所示， 12B PB ∠为22A B 与21F B 的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ,,a b c ，()()2221,,,A B a b F B c b =-=--，向量的夹角为钝角时， 222210,0A B F B ac b ⋅<∴<<，又22222,0b a c a ac c =-∴-->，两边除以2a 得210e e -->，即210e e +-<，解集155122e ---<<，又5101,02e e -<<∴<<，故选C ． 2.已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ． ()1,+∞ B ． ()1,2 C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞ 【答案】D类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________． 【答案】6【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．【举一反三】已知,A B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点，点A 在第一象限且3AF FB =，以AB 为直径的圆与准线的公共点为C ，则点C 的纵坐标为（ ） A ．1B ．43C ．3D ．233【来源】四川省宜宾市2021届高三二模（理科）试题 【答案】D 【解析】根据抛物线的定义，可得,AA AF BB BF ''==， ∴2AA BB AD BF ''-==， ∴4AF BF BF +=， ∴060DAB ∠=，即直线AB 的倾斜角为60°，∴):1AB y x =-，与抛物线联立方程：)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得：(1,,3A B ⎛ ⎝⎭设()1,C m -，因为C 为圆上的点，故AC BC ⊥，()44,23,,33AC m CB m ⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴0AC BC ⋅=∴216403m --++=∴2403m +=∴3m =. 故选：D.三．强化训练一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=【答案】B【解析】设()P x y ，，()()1122A x y B x y ，，，过点()0,1的直线为1y kx =+， 由OA OB OP +=得()()1212x y x x y y =++，，，直线1y kx =+代入224x y +=得()221230k x kx ++-= 则12221k x x k +=-+， 12221y y k+=+ 即221k x k =-+，221y k=+，所以()2211x y +-=，故选B 2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12 B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】设，，∵、分别为双曲线的左、右焦点，∴，.∵，∴，∴，∴，即，∴， 解得，，设，则，在中可得，解得，∴， ∴的面积.故选：C ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，【答案】B【解析】由题，取点P 为右支上的点，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠= 根据双曲线的定义知：2m n a -=在三角形1F PF 中，由余弦定理可得：2224cos 2m n c mnθ+-=又因为 212PF PF a ⋅=-可得2cos mn a θ=- 即222242m n c a +=- 又因为,m a c n c a ≥+≥-所以222222()()422c a c a c a c a ++-≤-⇒≥即222e e ≥∴≥4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】如下图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：23y x =可得3(,0)4F ，准线3:4DP x =-因为AF FP =，所以F 是AP 的中点则23AD CF ==.所以可得933(,)42A则3AF k =，所以直线AP 的方程为：33()4y x =-联立方程233()43y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 整理得：2590216x x -+=所以1252x x +=，则1253||422AB x x p =++=+=.选B.5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】结合题意，绘制图形，可知，结合，可知，所以设，所以，解得，故设F 的坐标为，则A 的坐标为，代入抛物线方程，得到，解得，故选B. 抛物线方程，得到，解得，故选B.6.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． 32y x =±B ． 3y x =±C ． 62y x =± D ． 6y x =± 【答案】C【解析】12ON PF OM +=，故1ON OM OM PF -=-，即1MN FM =，故点M 为线段1F N 的中点，连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且1,2aOM OM F N =⊥，故22NF OM a ==，且2112,2F N F N NF NF a ⊥-=，故点N 在双曲线C 的右支上，13NF a ∴=，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得， 2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得221012c b a a==+，故62b a =，故双曲线C 的渐近线方程为62y x =±，故选C ． 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵是的边上的中线，∴．∵，∴，当且仅当三点共线时等号成立．又，，∴，∴，又，∴．故离心率的取值范围为．故选C．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，．因为，所以是线段的中点．又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，，所以，化简可得，所以，所以，结合解得．本题选择C选项.9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A ．-2B ．1C ．4D ．【答案】B【解析】由题可设A ，其中a>0,d ＜0.又焦点F(1,0)， 所以|FD|=1+， 所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．3 B ．4 C ．3 D ．8 【答案】B【解析】由于双曲线的离心率为212c b a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故3b a =所以直线MN 的方程为)3y x a =+，设()[]()33,0P t t a t a ∈-，焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，将12,,P F F 坐标代入12PF PF ⋅并化简得22313444t a a⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时344P y a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当0t =时取得最大值，此时P y =.故214S S ==.所以选B. 11．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3B ．C ．2D ．-3【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为2y =+，根据题意可得()2,0B-，(A -，∵M 是线段AB的中点，∴3,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),C x y ，∵52CB CA =，∴()()52,12x y x y ---=--， ∴())521252x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得133x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1,33C ⎛- ⎝⎭，∴1315,,3332222OC OM ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．12.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设直线，与椭圆方程联立可得，，设，则，，代入得, ，于是 ，,故选C.13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第三次联考理科数学试题 【答案】C【解析】由1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈，则点H 在12F PF ∠的角平分线上， 由点H 在直线x a =上，则H 是12PF F △的内心，由125430HP HF HF →++=，由奔驰定理（已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA ＋S △PAC ·PB ＋S △PAB ·PC ＝0.）知，1212::5:4:3HF F HF P HF P S S S =△△△,即1212111||:||:||5:4:3222F F r PF r PF r ⋅⋅⋅= 则1212::5:4:3F F PF PF =，设125F F λ=，14PF λ=，23PF λ=， 则125252F F c c λλ==⇒=，1222PF PF a a λλ-==⇒=，则5ce a ==.故选：C14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（） A ．5B ．C ．D ．6【来源】河南省安阳市2021届高三一模数学（文）试题 【答案】A【解析】设()()(),0,,0,,0F c A a B a --，点PQ 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F ，可得PQ x ⊥轴，令x c =-可得22221c y a b-=，解得2by a =±可设22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，可得22,3b M c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由E 在y 轴的正半轴上，可设()0,E e ， 由E A M ,,三点共线，可得AM EA k k =，即为223b ea a a c=-+① 由,,P E B 三点共线，可得EB BP k k =，即为2b e a ac a-=--，②由①②可得()123a c c a =+-， 即为3322c a c a -=+，即5c a =， 所以5ce a==. 故选：A.15．已知点F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线l 与曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为N ，与C 的另一条渐近线的交点为M ，若3MN FN =，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ）A ．3B ．2C ．2D 【来源】贵州省毕节市2021届高三三模数学（文）试题 【答案】A【解析】如图所示，3MN FN =，FN ON ⊥，(),0F c ，渐近线:bON y x a=，即0bx ay -=，焦点F 到渐近线ON 的距离22bc bcFN b ca b ===+，则3MN b =，而OF c =，故ON a =. Rt NOF 中，tan FN b NOF ON a ∠==，Rt NOM 中， 3tan MN bNOM ON a∠==. 由渐近线对称性可知2NOM NOF ∠=∠，故22tan tan tan 21tan NOFNOM NOF NOF∠∠=∠=-∠，故2231bb a a b a ⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得2213b a =， 所以222221231133a b b e a a +==+=+=.故选：A.16．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：117．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________． 【答案】12[,)5+∞ 【解析】PA?PB =PA PB cos θ=22222222(1)(12sin)(1)(1)32PC PC PC PC PC θ--=--=+-因为圆心到直线的距离5d =所以5PC ≥，25PC ≥，2223PC PC +-125≥，当25PC =时取最小值。
向量与空间解析几何习题及详细解答
解：设动点为 M(x, y, z)
M0M {x 1, y 1, z 1}
因 M0M n ,故 M0M n 0 .
即 2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0 整理得：2x+3y-4z-1=0 即为动点 M 的轨迹方程. 14. 求满足下列各组条件的直线方程： (1) 经过点 (2，－3, 4), 且与平面 3x－y＋2z－4＝0 垂直； (2) 过点 (0，2，4) ，且与两平面 x＋2z＝1和 y－3z＝2 平行；
解：设四顶点依次取为 A, B, C, D.
AB {0,1, 2}, AD {2, 2,1}
则由 A，B，D 三点所确定三角形的面积为
1 1
35
S1 2 | AB AD | 2 | 5i 4 j 2k | 2 .
同理可求其他三个三角形的面积依次为 1 , 2, 3 . 2
故四面体的表面积 S 1
A. xOz 平面上曲线 (z a)2 x2 绕 y 轴旋转所得曲面 B. xOz 平面上直线 z a x 绕 z 轴旋转所得曲面 C. yOz 平面上直线 z a y 绕 y 轴旋转所得曲面
D. yOz 平面上直线 (z a)2 y2 绕 X 轴旋转所得曲面
(5)下列方程所对应的曲面为双曲抛物面的是（ D ）
ijk s n1 n2 1 0 2 {2,3,1}
0 1 3
故过点（0，2，4）的直线方程为
x y2 z4 2 3 1
（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
x 1 y 2 z 1. 2 1 3
15. 试确定出下列各题中直线与平面间的关系：
k 12i 20 j 8k
向量与解析几何的结合题 (讲解)
向量与解析几何的结合题1、设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA A ．43 B ．43-C ．3D ．－3（答案B ）2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足 OB OA OC βα+=，其中α、1,=+∈βαβ且R ，则点C 的轨迹方程为A ．01123=-+y xB ．5)2()1(22=-++y xC ．02=-y xD ．052=-+y x （答案D ）3、如图，P 为双曲线12222=-by ax （a 、b 为正常数）上任一点，过P 点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点．若．（1）求证：A 、B 两点的横坐标之积为常数； （2）求△AOB 的面积（其中O 为原点）．（2004年南京师大附中数学高考模拟试题）解：（1）设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、P （0x ，0y ）．因为2=PBAP ，所以02132x x x =+，02132y y y =+．又11x ab y =，22x ab y -=．所以)2(22121x x ab y y -=+．从而)2(3210x x ab y -=．又因为P 点在双曲线上．所以1220220=-by ax ，222122219)2(9)2(ax x ax x --+221891a x x =⇒=为常数．（2）又∠α=AOX ，则ααcos ||tan 1x OAab ==⋅，αcos ||2xOB =1||||sin 22A O BS O A O B α∆=⋅⋅⋅12121sin 2tan 2cos cos x x x x αααα==⋅⋅⋅289a=ab ab 89=⋅4、．以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设,1=⋅FG OF 点F 的坐标为（t ，0），),3[+∞∈t ，点G 的坐标为).,(00y x（1）求0x 关于t 的函数)(0t f x =的表达式，判断函数)(t f 的单调性，并证明你的判断.（2）设△OFG 的面积t S 631=，若以O 为中心，F为焦点的椭圆经过点G ，求当||OG 取得最小值时椭圆的方程.（3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为)29,0(，C 、D 是椭圆上的两点，且)1(≠=λλPD PC ，求实数λ的取值范围.解：（1）由题意知：.1)(),0,(),,(000=-=⋅=-=t x t FG OF t OF y t x FG 则解得.1)(0t t t f x +==设)1()1()()(,322112121t t t t t f t f t t +-+=-≥>则=.1)()(212121212121t t t t t t t t t t t t --=---∵,0,01,0212121>>->-t t t t t t ∴),()(,0)()(2121t f t f t f t f >>- 函数)(t f 在区间[3，+∞）上单调递增.（2）由.331,631||21||||21000±==⨯⨯==y t y t y OF S 得∴点G 的坐标为.931)1(||),331,1(22++=±+t t OG tt ∵函数)(t f 在区间[3，+∞]上单调递增，∴当t=3时，||OG 取得最小值，此时点F 、G 的坐标分别为（3，0）、（331,310±）.由题意设椭圆方程为.192222=++by b x由点G 在椭圆上，得.1931)9(910022=++bb 解得b 2=9.∴所求椭圆方程为.191822=+yx（3）解答一：设C 、D 的坐标分别为（x ，y ）、（m ，n ）， 则).29,(),29,(-=-=n m PD y x PC由.2929,),29,()29(,+-==-=--=λλλλλn y m x n m y x PD PC 得∵点C 、D 在椭圆上，∴.19)2929(18,191822222=+-+=+λλλn mnm消去m ，得.4513λλ-=n 又∵,3||≤n ∴.551,3|4513|≤≤≤-λλλ解得∴实数λ的取值范围是].5,1()1,51[⋃解答二：设点A 、B 的坐标分别为（0，3）、（0，－3），过点A 、B 分别作y 轴的垂线，交直线PC 于点M 、N.若|,||||,|||PC PN PD PC ≤<则∴1.5==≤<则.151,511<≤≤<λλ若|,|||PD PC >同理可得.51,51≤<==≤<λ则综上，实数λ的取值范围是].5,1()1,51[⋃5、如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0AC BC =，|BC |＝2|AC |．（I ）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（II ）如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：存在实数λ，使P Q A Bλ=．解：（I ）以O 为原点，O A 为X 轴建立直角坐标系，设A （2，0），则椭圆方程为22214xy b+=∵O 为椭圆中心，∴由对称性知|O C |＝|O B | 又∵0AC BC =，∴AC ⊥BC又∵|BC |＝2|AC | ∴|O C |＝|AC | ∴△A O C 为等腰直角三角形∴点C 的坐标为（1，1） ∴点B 的坐标为（－1，－1）将C 的坐标（1，1）代入椭圆方程得243b =， 则求得椭圆方程为223144xy +=（II ）由于∠PCQ 的平分线垂直于O A （即垂直于x 轴），不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为－k ，因此PC 、QC 的直线方程分别为y ＝k （x －1）+1，y ＝－k （x －1）+1由22(1)13144y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得（1＋3k 2）x 2－6k （k －1）x ＋3k 2－6k －1＝0 *）∵点C （1，1）在椭圆上，∴x ＝1是方程（*）的一个根，∴x P •1＝2236131k k k --+即x P ＝2236131k k k --+同理x Q ＝2236131k k k +-+∴直线PQ 的斜率为2222(31)2()213112331P Q P Q P QP Qk k ky y k x x kk k x x x x k -⋅--+-+===---+（定值）又∠ACB 的平分线也垂直于OA ∴直线PQ 与AB 的斜率相等（∵k AB =13）∴向量//P Q A B ，即总存在实数λ，使P Q A B λ=成立．。
空间解析几何与向量代数三
高等数学（ B ）—向量代数与空间解析几何练习题及解答1、 已知 M 11,2,3 ， M 2 0,1, 2 ，M 1M 2 的坐标式？ M 1M 2 ？与 M 1M 2 平行的单位向量？方向余弦？[解]：1） M 1M 20 1,1 2, 2 31,1,5M 1M 2 21 222)1 5 273） cosx 2 x 1 1,cosy 2 y 1 1,cosz 2 z 1 5M 1M 227 M 1M 227M 1M 2274）与 M 1M 2 平行的单位向量为：cos ,cos ,cos1 , 1 , 5 。
272727x 1y z 1 x y 1z 2 2、 设直线n4与直线1平行，求 n,m 。
2m3[解 ] ： s 12,n,4 , s 2 m,1,3 ，因为两直线平行，r m 1 n 1 p 1 2 n 4 4 3 所以 l 1 / /l 2s 1 / / s 2s 1s 2。
m 2n 2 p 2n, m2m 1 333Ax y 2z 1 与平面： 3x y z3垂直，求 A 。
、 已知平面：[解 ] ： n 1A,1, 2 , n 2 3, 1,1 ，因为两平面垂直，所以12n 1 n 2 n 1 n 2 0 A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 2 0 A 3 1 1 210 A14、 已知平面x 1 y z 1 : x By 3z 1 0 与直线4垂直，求 B ， m 。
m6[ 解 ]： n 1,B, 3 , s m,4,6 ，因为垂直，所以有n/ / s n s 0m4 6 。
1BB2, m 235、 求由 a 1,2,3 , b 1,2,4 为邻边组成的平行四边形的面积。
[ 解] ：由两向量叉积的几何意义知：以a ，b 为邻边组成的平行四边行的面积S a bi j k86, 43,222,7,4a b 123，因为124故 S a b22269 。
7426、求以A x1, y1, z1, B x2, y2, z2, C x3 , y3, z3为顶点的三角形面积。
(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
高数典型题解-向量与空间解析几何
1. 求点 M ( x, y, z ) 与 x 轴， xOy 平面及原点的对称点坐标. 解： M ( x, y, z ) 关于 x 轴的对称点为 M 1 ( x, y, z ) ，关于 xOy 平面的对称点为 M 2 ( x, y , z ) ，关于原点的对称 点为 M 3 ( x, y, z ) . 2. 下列向量哪个是单位向量？ （1） r i j k ， （2） a 解： （1） r 1 1 1
i ab 1 2
j k 1 2 3, 3,0 . 2 1
16. 证明向量 a 1,0, 1与向量 b 1,1, 1垂直. 证明： a b 1 ( 1) 0 1 1 1 0 ,
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由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量 n 为该方向向量 s ，即 n s = {1 , 2 , 3} ， 由点法式得平面方程 x 1 2( y 2) 3( z 1) 0 ，即 x 2 y 3 z 0 . 24. 求通过点 P0 (2 , 1 , 3) 且与直线
因此，由平面的点法式方程，得 4( x 1) 0( y 5) 2( z 1) 0 ，即 2 x z 3 0 . 解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 Ax By Cz D 0 , 由于平面平行于 y 轴，所以 B 0 ，原方程变为 Ax Cz D 0 ，又所求平面过点 A (1, 5, 1)与 B (3 , 2, 3)，将 A, B 的坐标代入上述方程，得 平面方程为 2 x z 3 0 . 7. 求点 M 1 (5,10,15) 到点 M 2 ( 25,35,45) 之间的距离. 解：距离 d M 1 M 2
解析几何与向量的交汇问题(含答案)
解析几何与向量的交汇问题（含答案）将解析几何与向量交汇考查是考试命题的热点.解题思路是先通过向量的几何运算或者坐标运算对向量条件进行转化，然后再结合解析几何加以解决.一、利用数量积定义转化1.在平面中，过圆O ：221x y +=外一点P 作圆的两条切线，切点分别是A ，B ，则P A P B ⋅最小值是_____.分析：2||||c o s c o s 2P A P BP A P B A P B P A O P A⋅=∠=∠u ur u ur u ur u ur22222222(1)(12sin )(1)(1)33OP OPA OP OP OP OP =--∠=--=+-≥当且仅当OP =P 在以O .二、利用几何运算转化2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆(x -1)2+(y -1)2＝4，C 为圆心，点P 为圆上任意一点，则OP CP ⋅uu u r uu r 的最大值为 ___ .分析：连接OC2()OP CP OC CP CP OC CP CP ⋅=+⋅=⋅+uu u r uu r uuu r uu r uu r uuu r uu r uu r又[0,]OCP π∠∈所以4OP CP ⋅≤+u u u r u u r3.已知圆C: 22650x y x +-+=，点,A B 在圆C 上，且AB =则||OA OB +最大值为____. 分析：设弦AB 中点为D ，连接CD ，则1CD == 点D 在以C 为圆心，以1为半径的圆上运动所以||2||2()8OA OB OD OC r +=≤+=u u r u u u r u u u r4.如图，已知圆M: 221214600x y x y +--+=及其上一点(2,4)A .设点(,0)T t 满足：存在圆M上的两点,P Q ，使得TA TP TQ +=u u r u u r u u r ，求实数t 的取值范围.分析：如图，由向量加法的平行四边形法则得 //AT PQ 且AT PQ =又(0,2]PQ r ∈所以 10AT ≤10≤所以22t -≤≤+5.已知点A 是椭圆2214x y +=的右顶点，若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ=uu u r uu r ，且0OB OC ⋅=uu u r uu u r ，求实数λ的值.分析：因为OC BA λ=uu u r uu r ，且0OB OC ⋅=uu u r uu u r所以 OB OC ⊥且//OC AB所以 OB AB ⊥设OB ：y kx =，AB ：(2)y k x =- 联立得22222(,)11k k B k k -++代入椭圆方程得k =k =从而2(,)33B - ， 直线OC：2y x =联立椭圆方程得C由OC BA λ=uu u r uu r得2(2)3λ=- 所以λ=三、利用坐标运算转化6.已知1(,0)F c -、2(,0)F c 分别是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左右焦点，若椭圆上存在点P 满足212PF PF c ⋅=uuu r uuu r ，则椭圆离心率的取值范围是________.分析：设(,)P x y ，则12(,),(,)PF c x y PF c x y =---=--uuu r uuu r 由212PF PF c ⋅=uuu r uuu r 得2222x y c +=表示以原点为圆心，以c 为半径的圆 又点P 在椭圆上所以 该圆与椭圆有公共点（如图） 所以b a ≤≤从而e ≤≤。
向量代数与空间解析几何知识题详解
第六章 向量代数与空间解析几何习 题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、 求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x（2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x . 6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=； （8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面. 7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）1+=x y；（2）422=+yx ；（3）122=-y x ；（4）22x y =.解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）422=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）122=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）y x22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成；（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围.解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习 题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x ay x解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线； （2）上半球面z 0x y -=的交线为14圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x .4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程 （1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩；（2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x xy ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==tz t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cosy b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ；（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、 求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z（3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、 求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,04522⎩⎨⎧==-++z x xy y x（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影2220y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.习 题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴,即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3,-1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程. 解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n所求平面方程为化简得: .0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, 、（3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.习 题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2） 过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线； （4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程.（5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线. 解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程.440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i 34312111--=-=,所以直线的点向式方程为：,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=--43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ==4、判别下列直线与平面的相关位置： （1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723zy x =-=与8723=+-z y x ； （3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直.复习题A一 、判断正误:1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ )解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C)⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z 解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-．解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ； 解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2，=⋅b a b a cos()a,b π22=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±．3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧==+.0,1222z y x 解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c)2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解:(1)}2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3)21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P． 3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解： 令{}1110,2,2111=⨯=-=-ij kc a b，01⎧==⎨⎩c cc ，故与a、b 都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d垂直于向量]1,3,2[-=a和]3,2,1[-=b，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d 垂直于a 与b，故d 平行于b a ⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d .5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ．解2： }1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos32=≠=，所以0≠B），令CBC'=，则有0='+zCy，由题设得22222212)5(112153cos++'++⨯'+⨯+⨯=πCC，解得3='C或13C'=-，于是所求平面方程为03=+zy或03=-zy．6、一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++4,05zxzyx且与平面01284=+--zyx垂直，求该平面方程；解法1：直线⎩⎨⎧=+-=++4,05zxzyx在平面上，令x=0，得54-=y，z=4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n=},,{CBA，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为1n={1，5，1}，2n={1，0，-1}，则直线的方向向量s=1n⨯2n=11151-kji={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅ns={-5，2，-5}•},,{CBA=CBA525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--zyx垂直，则}8,4,1{},,{--⋅CBA=CBA84--=0，解方程组{5250,480,A B CA B C-+=--=⇒2,5,2A CB C=-⎧⎪⎨=-⎪⎩所求平面方程为0)4()54(25)0(2=-++---zCyCxC，即012254=+-+zyx．解法2：用平面束（略）7、求既与两平面1:43x zπ-=和2:251x y zπ--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为pz n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面．(d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．。
专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题(解析版)
一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。
它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】（2020·湖北高考模拟（理））已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为12,F F ，点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M 是线段1PF 上一点，且满足122,0MF PM MF OP =⋅=，则椭圆离心率的取值范围为______________. 【答案】1(,1)2【解析】试题分析：由题意得，设(,)P x y ，取1MF 的中点N ，由12MF PM=，则112NF PN =，解得点(,)33x c yN -，又20MF OP ⋅=，所以2MF OP ⊥，由三角形的中位线可知ON OP ⊥，即(,)(,)033x c yx y -⋅=，整理得222()x c y c -+=，所以点P 的轨迹为以(,0)c 为圆心，以c 为半径的圆上，所以使得圆与椭圆有公共点，则12c a c c a -⇒，所以椭圆的离心率为1(,1)2e ∈． 【方法点晴】本题的解答中设出点P 的坐标，取1MF 的中点N ，可转化为ON OP ⊥，代入点的坐标，可得点P 的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到,a c 的关系，求解椭圆离心率的取值范围. 【举一反三】1.（2020南宁模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>A 2:8C y ax =F E P AP FP ⊥EA．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，设，由，得，因为在的渐近线上存在点，则，即，又因为为双曲线，则，故选B．【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键．2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C：22(5)1x y++=，2C：22(5)225x y-+=，动圆C满足与1C 外切且2C与内切，若M为1C上的动点，且1CM C M⋅=，则CM的最小值为（）A．B．C．4D．【答案】A【解析】∵圆1C：()2251x y++=，圆2C：()225225x y-+=，动圆C满足与1C外切且2C与内切，设圆C的半径为r，由题意得1211516CC CC r r+=++-=（）（），()1,21,4⎛⎝⎦4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭()2,+∞()(),0,2,0A a F a00,bP x xa⎛⎫⎪⎝⎭AP FP⊥2220020320cAP PF x ax aa⋅=⇒-+=E P0∆≥222222299420988ca a a c e ea-⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤E14e<≤AP FP⊥0∆≥∴则C 的轨迹是以（()()505,0，，- 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=，即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则2211CM CC =-==00106488,64x x =++-≤≤minCM∴=== ，选A.3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左焦点F(−c,0) (c >0)，作倾斜角为π6的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线的离心率为__________． 【答案】√3+1【解析】试题分析：因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OE ⊥EF ，由题意∠PFO =π6，故OE =12OF =12c ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则PF′=2OE =c ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OE ⊥EF ，∴PF ⊥PF′，∵PF −PF′=2a ， ∴PF =PF′+2a =2a +c 在Rt △PFF′中，PF 2+PF′2=FF′2， 即(2a +c)2+c 2=4c 2，所以离心率e =√3+1．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】（2020·江苏省如皋中学高考模拟）已知圆22:1C x y +=，点()00,P x y 是直线l ：3240x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得OA OB OP +=，则0x 的取值范围是_____． 【答案】240,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得OA OB OP +=可知四边形OAPB 是菱形，于是AB 垂直平分OP ．然后分类讨论：当直线AB 的斜率为0时，此时在圆C 上不存在不同的两点,A B 满足条件．当直线AB 的斜率不存在时，可得4(,0)3P ，此时直线AB 方程为为23x =，满足条件．当直线AB 的斜率存在且不为0时，利用AB OP ⊥，OP y k x=，可得直线AB 方程为2000220x x y y y +-=，圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，再利用003240x y +-=，即可解出所求范围．【详解】∵在圆C 上总存在不同的两点,A B 使得OA OB OP +=， ∴四边形OAPB 是菱形， ∴直线AB 垂直平分OP ．①当直线AB 的斜率为0时，由直线:3240l x y +-=得(0,2)P ，此时在圆C 上不存在不同的两点,A B 满足条件．②当直线AB 的斜率不存在时，由直线:3240l x y +-=可得4(,0)3P ，此时直线AB 的方程为23x =， 满足条件．③当直线AB 的斜率存在且不为0时， ∵AB OP ⊥，0OP y k x =， ∴0AB x k y =-． ∴直线AB 的方程为000022y x x y x y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即2000220x x y y y +-=，由题意得圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，又003240x y +-=，∴20013240x x -<，解得024013x <<． ∴0x 的取值范围是24(0,)13． 【点睛】解答本题的关键有两个：一个是根据题意得到四边形OAPB 是菱形，于是AB 垂直平分OP ，进而转化为坐标运算处理．二是针对直线AB 的斜率的取值情况进行分类讨论，在每种情况下判断是否满足条件，最后将问题转化为圆心到直线的距离小于半径求解．考查转化和计算能力，具有综合性和难度． 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ） A．1 B．2C．1D．2【答案】B 【解析】【分析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ．根据三角形相似可得直线FA 的倾斜角为135︒，从而斜率为1-，进而可求得2p =，于是可求得点P 的纵坐标，根据点P 在曲线上可得其横坐标，即为所求．【详解】由题意得抛物线的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设准线与y 轴交于点1F ．过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ，则11PP FF ∥，∴1||||||||QP QP FP PP ==， ∴145PQP ∠=︒,∴直线FA 的倾斜角为135︒， ∴21012FApp k -==-=--，解得2p =． 又由11PP FF ∥得11||||||||PP QP QF FF ==12||PP =，∴)1||14PP ==-设(),P x y，则14y +=-∴3y =-∴()224341x =-=，又点P 在第一象限，∴)212x ==，即点P 到y轴距离为2．故选B ．2.（2020南充模拟）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1 【答案】B【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出为定值，再由基本不等式求出最小值．3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）,,A B P 2214yx -=2PA PB PO +=O ,PA PB ,m n 224nm+mnABC ．2D【答案】C 【解析】【详解】∵22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 双曲线的两条渐近线方程为y b a =-x ，y ba=x ， ∵过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ． ∵11122OP OF OQ =+， ∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴过F 1的直线PQ 的斜率k PQ ab =， ∴过F 1的直线PQ 的方程为：y ab=（x +c ），解方程组()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得P （2a c -，abc ），∴|PF 1|＝|PQ |＝b ，|PO |＝a ，|OF 1|＝|OF 2|＝|OQ |＝c ，|QF 2|＝2a ， ∵tan ∠QOF 2b a =，∴cos ∠QOF 2ac=， 由余弦定理，得cos ∠QOF 2222242c c a c +-==1222a ac c-=， 即e 2﹣e ﹣2＝0，解得e ＝2，或e ＝﹣1（舍）故选C ．类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】（2020荆州模拟）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】设平面内曲线上的点，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点，∵点在曲线上，∴，整理得 ．故选A ．【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程． 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足(),AB x y =AB θ()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+B A θP C 4π222x y -=C 1xy =-1xy =222y x -=221y x -=C (),P x y 4π())'22P x y x y ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，'P 222x y -=()()22222x y x y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1xy =-P11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-【答案】A 【解析】【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，利用三角形面积计算公式计算即可． 【详解】作出简图如下∵椭圆22195x y +=，∴其顶点坐标为3030-（，）、（，）， 焦点坐标为（2020-，）、（，）， ∴双曲线方程为22145x y -=，12(3,0),(3,0)F F - 由11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，可得1 M F 在1PF 与21 F F 方向上的投影相等，1111111tan 5MA F A F B MF A MF B MF A F A ∴=∴∠=∠∠==，，，112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∴∠===-∠-，∴直线1PF 的方程为5312y x （）=+．即：512150x y -+=，把它与双曲线联立可得532P（，） ，2PF x ∴⊥轴，又2tan 1MF O ∠=，所以245MF O ∠=︒，即M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，12121114222PMF PMF SSPF PF ∴-=-⨯=⨯=（）．故选A ． 2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为 ，整理得：．故P 的轨迹方程为：．故选：A.类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】（2020·兰州高考模拟（理））设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，直线l过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=，则椭圆的离心率为() A 3B 3C ．13 D ．16【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆中线段关系，表示出1439c AF =，122F F c =，24329cAF a =-．由余弦定理即可求得a 与c 的关系，进而求得离心率．【详解】因为F 1是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线l 过F 1交y 轴于C 点所以()1,0F c - ，即1OF c = 因为1230CF F ∠=，所以123cCF =又因为1132FC AF =所以19AF =在三角形AF 1F 2中，19AF =，122F F c =，229AF a =-，根据余弦定理可得 222112212112cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=，代入得=⎝⎭a = 所以离心率为c e a ==，所以选A 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点， 为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】如图所示， 为与的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ，，向量的夹角为钝角时， ，又，两边除以得，即，解集x 1212,,,A AB B 2F 12B F 12A B P 12B PB ∠⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭⎛ ⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭12B PB ∠22A B 21F B ,,a b c ()()2221,,,A B a b F B c b =-=--222210,0A B F B ac b ⋅<∴<<22222,0b a c a ac c =-∴-->2a 210e e -->210e e +-<，又，故选C ． 2.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________． 【答案】1122e -<<101,02e e <<∴<<F 22221(0,0)x y a b a b-=>>E F x ,A B ABE ∆e ()1,+∞()1,2(1,1+()2,+∞()222:124x y C a a +=>222:4O x y a +=+C 12F F 、P O l O ,M N 126PF PF ⋅=PM PN ⋅6【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．【举一反三】1.（2019上海市闵行区七宝中学高三）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立，则的最小值是_________.【答案】【解析】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设，，，又，，即，它表示的圆心在，半径为的圆， 表示圆上的点到的距离，圆心到点的距离为， 的最大值为， 要使恒成立，即的最小值是，故答案为.三．强化训练 一、选择题1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，，过点的直线为，由得，直线代入得则，即，，所以，故选B 2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12 B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】设，，∵、分别为双曲线的左、右焦点，∴，.∵，()0,1224x y +=A B OA OB OP +=P 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()2211x y +-=22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()2212x y +-=()P x y ，()()1122A x y B x y ，，()0,11y kx =+OA OB OP +=()()1212x y x x y y =++，，1y kx =+224x y +=()221230k x kx ++-=12221k x x k +=-+12221y y k+=+221k x k =-+221y k=+()2211x y +-=∴，∴，∴， 即，∴， 解得，，设，则，在中可得，解得，∴，∴的面积.故选：C ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣ B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，【答案】B 【解析】【分析】由题，1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，先由双曲线的定义2m n a -=，再利用余弦定理2224cos 2m n c mnθ+-=，由题意212PF PF a ⋅=-可得222242m n c a +=-，最后再用 ,m a c n c a ≥+≥-可得c 、a 的不等关系，可得离心率.【详解】由题，取点P 为右支上的点，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠= 根据双曲线的定义知：2m n a -=在三角形1F PF 中，由余弦定理可得：2224cos 2m n c mnθ+-=又因为 212PF PF a ⋅=-可得2cos mn a θ=- 即222242m n c a +=- 又因为,m a c n c a ≥+≥-所以222222()()422c a c a c a c a ++-≤-⇒≥即22e e ≥∴≥4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B 【解析】【分析】先求出抛物线的焦点及准线，由向量关系可得F 是AP 的中点，再利用三角形中位线求出点A 到准线的距离，从而求出A 的坐标，进而确定直线AF 的方程，再联立直线与抛物线方程求出两交点横坐标之和，代入焦点弦12||AB x x p =++求值.【详解】如下图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：23y x =可得3(,0)4F ，准线3:4DP x =-因为AF FP =，所以F 是AP 的中点 则23AD CF ==.所以可得9(,42A则AF k AP的方程为：3)4y x =-联立方程23)43y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩整理得：2590216x x -+=所以1252x x +=，则1253||422AB x x p =++=+=.选B.5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形，可知，结合，可知，所以设，所以，解得，故设F 的坐标为，则A 的坐标为，代入抛物线方程，得到，解得，故选B. 抛物线方程，得到，解得，故选B.6.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）C 22221x y a b -=0a >0b >1F 2F 1F Ω2224a x y +=l M l C N 122NF NF a -=O 12QN OF OM +=CA ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】，故，即，故点为线段的中点，连接，则为的中位线，且，故，且，故点在双曲线的右支上，，则在中，由勾股定理可得， ，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C ． 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵是的边上的中线，∴．∵，∴，当且仅当三点共线时等号成立． 又，，∴， ∴， 又，∴．故离心率的取值范围为．故选C ．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ．32y x =±3y x =62y x =±6y x =12ON PF OM +=1ON OM OM PF -=-1MN FM =M 1F N OM OM 12NF F ∆1,2aOM OM F N =⊥22NF OM a ==2112,2F N F N NF NF a ⊥-=N C 13NF a ∴=12Rt NF F ∆2221212NF NF F F +=()()22232a a c +=22101c b a a==+6b a =C 62y x =±【答案】C 【解析】 因为，所以，．因为，所以是线段的中点．又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，，所以，化简可得，所以，所以，结合解得．本题选择C 选项.9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（ ）A ．-2B ．1C ．4D ．【答案】B 【解析】 由题可设A ，其中a>0,d ＜0.又焦点F(1,0)， 所以|FD|=1+， 所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．B ．4C ．D ．8 【答案】B 【解析】【分析】根据离心率求得ba的值，由此求得线段MN 所在直线方程，设出P 点的坐标，代入12PF PF ⋅，利用二次函数求最值的方法求得12PF PF ⋅取得最小值和最大值时对应的P 点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值.【详解】由于双曲线的离心率为12c b a ⎛=+=，故b a = 所以直线MN的方程为)y x a =+，设()[](),0P t t a ∈-，焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，将12,,P F F 坐标代入12PF PF ⋅并化简得22313444t a a⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时344P y a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当0t =时取得最大值，此时P y =.故214S S ==.所以选B. 11．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3 B ．3C ．2D ．-3【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为32y x =+，根据题意可得()2,0B -，()1,3A -，∵M 是线段AB 的中点， ∴33,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),C x y ， ∵52CB CA =，∴()()52,1,32x y x y ---=---， ∴()()5212532x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得13533x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴153,3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴1533315,,33222OC OM ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．12.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设直线，与椭圆方程联立可得，，设，则，，代入得,，于是，,故选C.二、填空题13．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：114．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________． 【答案】12[,)5+∞ 【解析】PA?PB =PA PB cos θ=22222222(1)(12sin)(1)(1)32PC PC PC PC PC θ--=--=+-因为圆心到直线的距离d =所以PC ≥，25PC ≥，2223PC PC +-125≥，当25PC =时取最小值。
平面向量与解析几何练习题计算平面向量与解决相关几何问题
平面向量与解析几何练习题计算平面向量与解决相关几何问题在解析几何中，平面向量是一种重要的数学工具，被广泛应用于平面几何中的计算和问题解决。
平面向量具有大小和方向，可以进行向量的加法、减法、数量乘法等运算，同时还可以通过平面向量来解决一些相关的几何问题。
本文将通过一些练习题的计算和解决过程，来展示平面向量在解析几何中的应用。
题目一：已知向量A(2, -1)和向量B(3, 4)，求向量A与向量B的和。
解析：向量的加法是平面向量运算中最基本也是最常见的一种运算。
两个向量的和就是将两个向量的对应分量相加得到的新向量。
解答：向量A与向量B的和是(2+3, -1+4)，即向量A与向量B的和为(5, 3)。
题目二：已知向量C(1, 2)和向量D(-3, 5)，求向量C减去向量D的结果。
解析：向量的减法是指将减数向量的相反向量加到被减数向量上，即相当于进行向量的加法运算。
解答：向量C减去向量D的结果是(1-(-3), 2-5)，即向量C减去向量D的结果为(4, -3)。
题目三：已知向量E(3, -2)和数k=4，求数量乘法kE的结果。
解析：数量乘法是指将数与向量的每个分量分别相乘得到的新向量。
解答：数量乘法kE的结果是(4×3, 4×(-2))，即数量乘法kE的结果为(12, -8)。
题目四：已知直线L过点P(2, 3)和点Q(5, -1)，求直线L的方向向量。
解析：直线的方向向量可以通过两点确定。
将两点的坐标视为向量，直线的方向向量就是由这两个点的向量相减得到的。
解答：直线L的方向向量为(5-2, -1-3)，即直线L的方向向量为(3, -4)。
题目五：已知直线L的法线向量为(2, 3)，且过直线L上一点A(1, -1)，求直线L的方程。
解析：直线的方程可以通过直线上一点和直线的法线向量求得。
直线的方程一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别为方程的系数。
解答：由题意可知，直线L的法线向量为(2, 3)，过直线L上一点A(1, -1)。
试题集：向量代数与空间解析几何
1.在三维空间中，向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少？o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。
2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少？o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。
3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么？o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。
4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少？o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。
5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少？o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。
6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例，因此它们不共线。
7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0，因此它们不正交。
8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。
用向量法解解析几何题
平面向量与解析几何例1、椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围就是___。
解:F 1(－5,0)F 2(5,0),设P(3cos θ,2sin θ) 21PF F ∠Θ为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=--⋅--u u u r u u u u r （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围就是(553,553-) 例2、已知定点A(-1,0)与B(1,0),P 就是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求22PA PB+的最大值与最小值。
分析:因为O 为AB 的中点,所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最值。
解:设已知圆的圆心为C,由已知可得:{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r 0,1OA OB OA OB ∴+=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r 又由中点公式得2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=2(2)2()()PO OA OP OB OP --⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =224222(PO OA OB OP OP -⋅-+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u =222OP +u u u r又因为{3,4}OC =u u u r 点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4上所以5,2,OC CP ==u u u r u u u r 且OP OC CP =+u u u r u u u r u u u r 所以OC CP OP OC CP OC CP -≤=+≤+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即37OP ≤≤u u u r 故2222022PA PB OP ≤+=+≤u u u r u u u r u u u r 所以22PA PB +的最大值为100,最小值为20。
第06章 向量代数与空间解析几何习题详解 - 用于合并
第六章向量代数与空间解析几何习题 6-11、在平行四边形ABCD中, 设=a, =b. 试用a和b表示向量、、、, 其中M是平行四边形对角线的交点.解：由于平行四边形的对角线互相平分, 所以a+b, 即 -(a+b), 于是 (a+b).因为, 所以(a+b). 又因-a+b, 所以(b-a).由于, 所以(a-b).2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证： ,，与平行且相等, 结论得证.3、求起点为，终点为的向量与的坐标表达式.解：==, =4、求平行于={1，1，1}的单位向量.解：与平行的单位向量为.5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.6、求点与轴，平面及原点的对称点坐标.解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）.解：分别为.8、过点分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于z轴的直线上面的点的坐标：；平行于xOy面的平面上的点的坐标为 .9、求点P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为，到x轴的距离为，到y轴的距离为,到z轴的距离为.10、求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：,，即，因此结论成立.11、在yoz坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标.解：设yoz坐标面所求点为，依题意有，从而，联立解得，故所求点的坐标为.12、 z轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点.解：设所求z轴上的点为，依题意：，两边平方得，故所求点为.13、求使向量与向量平行.解：由得得.14、求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式.解： ==.15、求与向量={1，5，6}平行，模为10的向量的坐标表达式.解：,故 .16、已知向量，，试求：（1）；（2）．解：（1） ;（2）.17、已知两点和，求向量的模、方向余弦和方向角．解：因为, 所以,,从而,,.18、设向量的方向角为、、．若已知其中的两个角为，．求第三个角．解： ,,由得.故或.19、已知三点，，，求：（1）与及其模；（2）的方向余弦、方向角；（3）与同向的单位向量.解：（1）由题意知故 .（2）因为所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：，方向角为：.（3）与同向的单位向量为：.20、设在x轴上的投影和在y轴上的分向量.解：.故向量在x 轴上的投影，在y轴上的投影分量为.21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x轴，y轴和z轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A的坐标.解：设点A为（x, y, z）,依题意有：，故，即所求的点A（-5， 4，-12）.22、已知向量的两个方向余弦为cos= ,cos=, 且与z轴的方向角是钝角.求cos.解：因，又是钝角，所以.23、设三力作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解：合力，因此，合力的大小为合力的方向余弦为因此习题 6-21、，，，求，，，及，，，.解：依题意，，，，故，，.，，，.2、，求及 .与的夹角余弦.解：（1）, ..3、已知，求解：，∴ .4、证明下列问题：1）证明向量与向量垂直.2）证明向量与向量垂直.证：1）,，即与垂直.2） .5、求点的向径与坐标轴之间的夹角.解：设与、、轴之间的夹角分别为，则,, . , , .6、求与平行且满足的向量.解：因, 故可设，再由得，即，从而.7、求与向量，都垂直的单位向量.解：，8、在顶点为、和的三角形中，求三角形的面积以及边上的高.解：,三角形的面积为9、已知向量，，证明.解10、证明：如果，那么，并说明它的几何意义.证：由, 有, 但，于是,所以.同理由, 有 ,从而 .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、已知向量和，计算下列各式：（1）（2）（3）（4）解：（1）.(2) ，故.（3）.（4）由（3）知.习题 6-31、已知，，求线段的垂直平分面的方程.解：设是所求平面上任一点，据题意有化简得所求方程.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即从而所求的轨迹方程为.3、求下列各球面的方程：（1）圆心，半径为；（2）圆心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是；（4）通过原点与解：（1）所求的球面方程为：（2）由已知，半径，所以球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以解之得所求的球面方程为.4、将坐标面上的抛物线绕旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：(旋转抛物面) .5、将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：绕轴旋转得绕轴旋转得.6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）；（2）（3）；（4）解：（1）平面上椭圆绕轴旋转而成；或者平面上椭圆绕轴旋转而成（2）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线绕轴旋转而成（3）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线绕轴旋转而成（4）平面上的直线绕轴旋转而成或者平面上的直线绕轴旋转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：（1）与三个坐标平面所围成；（2）及三坐标平面所围成；（3）及在第一卦限所围成；（4）所围.解：（1）平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面与平面及三坐标平面所围成；（3）坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面与开口向下的抛物面所围.作图略.习题 6-41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）；（2）；（3）解：（1）是平面与相交所得的一条直线；（2）上半球面与平面的交线为圆弧；（3）圆柱面与的交线.图形略.2、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.解：消去坐标得，为母线平行于轴的柱面；消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.3、求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：；； .4、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）；（2）解：（1）原曲线方程即：，化为；（2）.6、求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：；；.7、指出下列方程所表示的曲线（1）（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线；（4）抛物线；（5）双曲线.8、求曲线在面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：，是位于平面上的抛物线，在面上的投影曲线为9、求曲线在坐标面上的投影.解：（1）消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.10、求抛物面与平面的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：交线方程为，（1）消去得投影（2）消去得投影，（3）消去得投影.习题 6-51、写出过点且以为法向量的平面方程.解：平面的点法式方程为.2、求过三点的平面方程.解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.3、求过点且与平面平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为,从而其方程为即 .4、求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, ??即A=0; 另一方面表明?它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B-C=0, 或C=-3B . 将其代入所设方程并除以B (B?0), 便得所求的平面方程为y-3z=0.5、求过点，且垂直于平面和的平面方程.解：取法向量所求平面方程为化简得:6、6 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.解：设所求解设平面为由平面过点知平由平面过原点知，，所求平面方程为7、写出下列平面方程：（1）平面；（2）过轴的平面；（3）平行于的平面；（4）在，，轴上的截距相等的平面.解：（1）,（2）（为不等于零的常数）,（3） (为常数), （4） .8、求平行于而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解: 设平面为由所求平面与已知平面平行得化简得令代入体积式或所求平面方程为或.9、分别在下列条件下确定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使与表示二平行平面；（3）使与表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：，解之得，，.（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：，所以，.（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以： .10 、求平面与的夹角；解：设与的夹角为，则 .11、求点到平面的距离.解：利用点到平面的距离公式可得.习题 6-61、求下列各直线的方程：（1）通过点和点的直线；（2）过点且与直线平行的直线.（3）通过点且与三轴分别成的直线；（4）一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程.（5）通过点且与两直线和垂直的直线；（6）通过点且与平面垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：即：，亦即.（2）依题意，可取的方向向量为，则直线的方程为.（3）所求直线的方向向量为：，故直线方程为：.（4）因为直线和轴垂直相交, 所以交点为取所求直线方程（5）所求直线的方向向量为：，所以，直线方程为：.（6）所求直线的方向向量为：，所以直线方程为： .2、求直线的点向式方程与参数方程.解在直线上任取一点,取解.所求点的坐标为,取直线的方向向量,所以直线的点向式方程为：令则所求参数方程:3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）与；（2）与.解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：二直线平行.又点与点（7，2，0）在二直线上，向量平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：，从而平面方程为：，即 .（2）因为，所以两直线不平行，又因为，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为，二直线所决定的平面的方程为：.设两直线的夹角为，则.4、判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.解（1），而，所以，直线与平面平行.（2）,所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：，，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点，显然点在也在平面上（因为），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为，直线与平面相交但不垂直.5、验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角.解：直线与平面相交.又直线的参数方程为：设交点处对应的参数为，，从而交点为（1，0，-1）.又设直线与平面的交角为，则：，.6、确定的值，使：（1）直线与平面平行；（2）直线与平面垂直.解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：即.（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：，所以：.7、求下列各平面的方程：（１）通过点，且又通过直线的平面；（２）通过直线且与直线平行的平面；（３）通过直线且与平面垂直的平面；（4）. 求过点与直线垂直的平面方程.解：（１）因为所求的平面过点和，且它平行于向量，所以要求的平面方程为：, 即. （２）已知直线的方向向量为，平面方程为：,即（３）所求平面的法向量为，平面的方程为：，即.（4）.所求平面的法向量为，则平面的方程为：, 即 .8、求点在平面上的投影.解：过点作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量，所以垂线方程为，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程，代入平面方程求得，故投影为.9、求点到直线的距离.解：直线的标准方程为：所以p到直线的距离.10、设是直线外一点，是直线上一点，且直线的方向向量为，试证：点到直线的距离为.证：设与的夹角为，一方面由于；另一方面，，所以.11、求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过原点；（2）与轴平行；（3）与平面垂直.解：（1）设所求的平面为：欲使平面通过原点，则须：，即，故所求的平面方程为即：.（2）同（1）中所设，可求出.故所求的平面方程为即：.（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须：从而，所以所求平面方程为.12、求直线在平面上的投影直线的方程．解：应用平面束的方法．设过直线的平面束方程为即这平面与已知平面垂直的条件是,解之得代入平面束方程中得投影平面方程为，所以投影直线为.13、请用异于本章第五节例7的方法来推导点到平面的距离公式.证：设是平面：外的一点，下面我们来求点到平面的距离.过作平面的垂线：，设与平面的交点为，则与之间的距离即为所求.因为点在上，所以，而在平面上，则，故.习题 6-7飞机的速度：假设空气以每小时32公里的速度沿平行轴正向的方向流动，一架飞机在平面沿与轴正向成的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？解：如下图所示，设为飞机相对于空气的速度，为空气的流动速度，那么就是飞机相对于地面的速度.所以, 千米／小时.复习题A一、判断正误:1、若且，则； ( )解析 ==0时，不能判定或．例如，，，有，但．2、若且，则； ( )解析此结论不一定成立．例如，，，则，，，但．3 、若，则或； ( )解析两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、． ( √ )解析这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、当与满足（ D ）时，有；； (为常数)；∥；．解析只有当与方向相同时，才有．(A)中，夹角不为0，(B)，(C)中，方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过轴；(A) ； (B) ； (C) ； (D) ．解析平面方程若过轴，则，故选C．3 、在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．解析对于曲面，垂直于轴的平面截曲面是椭圆，垂直于轴或轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线在面上的投影方程为( C )；(A)； (B)； (C) ；(D)解析曲线与平面平行，在面上的投影方程为．5 、直线与平面的位置关系是( B )．(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为．解析直线的方向向量={2，1，-1}，平面的法向量={1，-1，1}，=2-1-1=0，所以，⊥，直线与平面平行．三、填空题:1、若，，则， 0 ；解 ==，==0．2、与平面垂直的单位向量为；解平面的法向量 ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为==，所以，与平面垂直的单位向量为．3、过点和且平行于轴的平面方程为；解已知平面平行于轴，则平面方程可设为，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有得，即．4、过原点且垂直于平面的直线为；解直线与平面垂直，则与平面的法向量 ={0，2，-1}平行，取直线方向向量=={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为．5、曲线在平面上的投影曲线方程为解: 投影柱面为，故为空间曲线在平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、已知，，计算(a) ； (b) ； (c) ；解: (a) =.(b) ，，所以．(c) ，所以．2、已知向量的始点为，终点为，试求：(1)向量的坐标表示； (2)向量的模；(3)向量的方向余弦； (4)与向量方向一致的单位向量．解: (1) ；(2)；(3) 在三个坐标轴上的方向余弦分别为；(4)．3、设向量，，求与和都垂直的单位向量.解：令，，故与、都垂直的单位向量为.4、向量垂直于向量和，且与的数量积为，求向量解：垂直于与，故平行于，存在数使因，故， .5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点，和；(2)过轴且与平面的夹角为．解 (1)解1：用三点式．所求平面的方程为，即．解2：用点法式．，，由题设知，所求平面的法向量为，又因为平面过点，所以所求平面方程为，即．解3：用下面的方法求出所求平面的法向量，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为，所以解得，于是所求平面方程为，即．（2）因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为，由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即．这样它与已知平面所夹锐角的余弦为，所以），令，则有，由题设得，解得或，于是所求平面方程为或．6、一平面过直线且与平面垂直，求该平面方程；解法1：直线在平面上，令=0，得，=4，则（0，-，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为=，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ={1，5，1}，={1，0，-1}，则直线的方向向量==={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即={-5，2，-5}?==0，因为所求平面与平面垂直，则==0，解方程组所求平面方程为，即．解法2：用平面束（略）7、求既与两平面和的交线平行，又过点的直线方程.解法1：，，，从而根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法2：设，因为，所以；又，则，可解，从而．根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法3：设平面过点，且平行于平面，则为的法向量，从而的方程为，即．同理，过已知点且平行于平面的平面的方程为．故所求直线的方程为．8、一直线通过点，且垂直于直线，又和直线相交，求该直线方程；解：设所求直线的方向向量为，因垂直于，所以；又因为直线过点，则所求直线方程为，联立由①，令，则有代入方程②有可得，代入③解得，因此，所求直线方程为．9、指出下列方程表示的图形名称：(a) ；(b) ；(c) ；(d) ；(e) ； (f) ．解： (a) 绕轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕轴旋转的锥面．(d) 母线平行于轴的两垂直平面：，． (e) 母线平行于轴的双曲柱面．(f) 旋转抛物面被平行于面的平面所截得到的圆，半径为，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面与所围立体在平面上的投影并作其图形．解：将所给曲面方程联立消去，就得到两曲面交线的投影柱面的方程，所以柱面与平面的交线所围成的区域即为曲面与所围立体在平面上的投影(图略)．复习题B1、设，，，求以和为邻边的平行四边形的面积.解：.2、设，，求.解：由已知可得：，即，．这可看成是含三个变量、及的方程组，可将、都用表示，即，从而，.3、求与共线，且的向量．解由于与共线，所以可设，由，得，即，所以，从而．4、已知，求，使且．解法1: 待定系数法．设，则由题设知及，所以有由①得④，由②得⑤，将④和⑤代入③得，解得，于是或．解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为，所以∥．设是不为零的常数，则，因为，所以，解得，所以或．解法3: 先求出与向量方向一致的单位向量，然后乘以．，，故与方向一致的单位向量为．于是，即或．5、求曲线的参数式方程.解：曲线参数式方程是把曲线上任一点的坐标都用同一变量即参数表示出来，故可令，则．6、求曲线在面上及在面上的投影曲线的方程．解：求在面上的投影的方程，即由的两个方程将消去，即得关于面的投影柱面的方程则在面上的投影曲线的方程为．同理求在面上的投影的方程，即由的两个方程消去，得关于面的投影柱面的方程，则在面上的投影曲线方程为．7、已知平面过点和直线，求平面的方程．解法1：设平面的法向量为，直线的方向向量，由题意可知，是直线上的一点,则在上，所以,故可取．则所求平面的点法式方程为，即为所求平面方程．解法2：设平面的一般方程为，由题意可知，过点，故有, （1）在直线上任取两点，将其代入平面方程，得, （2）, （3）由式（1）、（2）、（3）解得,故平面的方程为.解法3：设为上任一点．由题意知向量、和共面，其中为直线上的点，为直线的方向向量．因此，故平面的方程为，即为所求平面方程．8、求一过原点的平面，使它与平面成角，且垂直于平面．解：由题意可设的方程为，其法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，由题意得，即（1）由，得，将代入（1）式得,解得或，则所求平面的方程为或．9、求过直线：且平行于直线：的平面的方程．解法1：直线的方向向量为，直线的对称式方程为，方向向量为，依题意所求平面的法向量且，故可取，则，又因为过原点，且在平面上，从而也过原点，故所求平面的方程为．解法2：设所求平面为，即，其法向量为，由题意知，故，得，则所求平面的方程为．另外，容易验证不是所求的平面方程．10、求过直线：且与球面相切的平面方程解：设所求平面为，即，由题意：球心到它的距离为1，即解得：或所求平面为：或11、求直线：在平面：上投影直线的方程，并求直线绕轴旋转一周而成的曲面方程.解：将直线：化为一般方程，设过直线且与平面垂直的平面方程为，则有，即，平面方程为，这样直线的方程把此方程化为：，因此直线绕轴旋转一周而成的曲面方程为：即 .12、求过点且平行于平面：，又与直线相交的直线L的方程．解法1：用点向式方程.因为直线L平行于平面，故直线的方向向量垂直于平面的法向量，从而得①，又直线的方向向量为，是直线上一点，是直线上一点，根据题设：直线与直线相交，所以及共面，因此，即②，将①和②联立解得，由此得，于是所求直线方程为．解法2：用一般式，即先求出过的两个平面，将其方程联立便得的方程．直线在过点且平行于平面的平面上，平面的方程为，即，直线又在过点及直线的平面上，平面的法向量可取为，故平面的方程为，即，于是所求直线方程为13、求直线：与直线：的公垂线的方程解：的方向向量而的方向向量于是公垂线的方向向量，过与的平面的法向量.也可取法向量，以代入方程，可得上的点，于是平面方程，即再求与的交点，的参数方程为，，，代入上述平面方程，得：，，再代回的参数方程得，，，于是，兼顾公垂线的方向向量，于是可产生公垂线的方程为.14、求点到直线：的距离.解法1：直线的方向向量为，在上任取一点，则，，故，又，解法2：将直线的方程由一般式化为标准式得，故过点与直线垂直的平面的方程为，即，直线的参数式方程为：，，，将上式代入平面的方程，得：，解得：，所以直线的交点为2，于是点到直线的距离为.15.求两直线：与：之间的最短距离解法1：过作平面，过的平面方程为，即，要此平面平行于，则此法向量须垂直于，即，而，则，解得：，从而平面的方程为，容易得到直线上一点，点到平面的距离为即为与之间的距离.解法2：容易得到直线上的一点，直线上的一点，于是，可求得直线与直线的方向向量分别为，，两直线公垂线的方向向量为，直线与之间的距离为.第六章向量代数与空间解析几何习题详解1。
巧用向量法解三类解析几何题
解题宝典平面向量具有代数与几何双重特征.有些解析几何问题采用常规方法去解，往往会因为计算过于繁琐，导致无功而返，此时不妨改变思路，从向量角度去思考，则会大大减少计算量.那么如何巧妙运用向量法解答解析几何问题呢？下面一起来探讨.一、夹角范围问题由夹角，我们可联想到向量的夹角与向量的夹角公式：若a =()x1,y1、b =()x2,y2是两个不共线的非零向量，则cos a ，b =a ∙b|a |∙|b |.对于解析几何中的夹角问题，我们可用向量将问题中所涉及的点、线段表示出来，求得夹角两边的直线或线段的方向向量，便可根据向量的夹角公式进行求解.例1.已知椭圆x29+y24=1的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，若∠F1PF2是钝角，则点P横坐标的取值范围为_____.解：由椭圆的方程可知F1()-5,0、F2()5,0,设P()3cosθ,2sinθ，因为∠F1PF2为钝角，所以PF1∙ PF2=(-5-3cosθ,-2sinθ)∙(5-3cosθ,-2sinθ)=9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0，解不等式得cosθ，故点P横坐标的取值范围为.在根据向量的夹角公式求夹角时，需重点关注角的取值范围.由向量的夹角公式可知：（1）若a ∙b >0，则θ为锐角；（2）若a ∙b =0，则θ为直角；（3）若a ∙b <0，则θ为钝角.二、共线问题在解答解析几何问题时，我们经常会遇到三点共线问题，此时可用向量表示出各个点、直线，根据向量的共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ，将三点中的任意两点用向量表示出来，使其二者成倍数关系，便可证明三点共线.例2.点F为抛物线y2=2px的焦点，过F的直线与抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点，从点Q出发作抛物线的准线的垂线，点M为垂足.设原点为O，求证：（1）y1y2=-p2；（2）M、O、P三点共线.解：（1）略；（2）设Mæèçöø÷-p2,y2,∴ OP=()x1,y1, OM=æèçöø÷-p2,y2,∵x1y2-æèçöø÷-p2y1=y122p y2+p2y1=y1y22p y1+p2y1=-p2y1+p2y1=0，∴ OP与 OM是共线向量，即M、O、P三点共线.本题如果用斜率公式来证明未尝不可，但运算量较大，而运用向量的共线定理来证明三点共线，则相当简单，这足以显示出向量法的优越性.三、轨迹问题轨迹问题的命题形式较多，但解题的关键在于求动点的轨迹方程.我们可设出动点的坐标，将题目中所涉及的线段、直线用向量表示出来，通过向量运算，便可快速求得轨迹方程.例3.已知A()a,0()a>0为定点，点B为定直线l：x=-1上的一个动点（如图）.若∠BOA的角平分线交直线AB于点C，求出C点的轨迹方程.解：设B()-1,t，则AB=(-1-a,t),所以直线AB的方程为：x-a-1-a=y-0t，①因为OA=()a,0,OB=()-1,t，则直线OC的方向向量为：v =OA|| OA+ OB||OB=()1,0+æèççöø÷÷-11+t2,t1+t2=èöø÷÷1+t-1+t2,t1+t2故直线OC=y t②，由①②得：(1-a)x2-2=0(0≤x<a).我们通过向量的坐标运算，直接而又快捷地求得轨迹问题.其实平面向量的坐标与解析几何中的坐标是一致的，这便为运用向量法解题创造了便利.运用向量法解题，能有效地简化解答解析几何问题过程中的运算过程.（作者单位：浙江省宁波市姜山中学）43。
专题05 向量与解析几何三角形等相结合问题(解析版)
专题05 向量与解析几何、三角形等相结合问题专题概述近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理. 平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.典型例题考向1 平面向量与解三角形【例1】（2018春•定州市校级期中）O 为ABC ∆的外心，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A +=．若(,)AO xAB yAC x y R =+∈则(xy= )A ．1B ．1-C D ．【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再由AO xAB yAC =+的两边点乘AB ，AC ，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程可得x ，y 的值，即可得到所求值． 【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +=，sin cos cos sin C A C A C +=，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +-+-===-， 可得120B =︒，30A C ==︒， 若AO xAB yAC =+，可得2AO AB xAB yAC AB =+，即有222132c xc y c =+，化为231x y +=，又可得2AO AC yAC xAC AB =+， 即有22233322c xc y c =+，化为21x y +=， 解得1x =-，1y =， 则1xy=-， 故选：B ．【例2】（2019•白银模拟）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，2AB BC =-，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为 ．【分析】通过向量的数量积以及余弦定理正弦定理转化求解该三角形的外接圆的半径R 即可． 【解答】解：因为1cos()22AB BC ac B ac π=-=-=-，所以4ac =．由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-．又因为sin sin 2sin A C B +=，所以2a c b +=．所以22()()34a c a c ac +=+-， 所以23()124a c +=，所以2()16a c +=，所以4a c +=，所以2b =，所以022sin sin 60b R B ===R =．． 【变式训练】（2019秋•浦东新区期末）已知ABC ∆满足313()||||AB AC AB AC AB AC ++=，则BAC ∠为 ． 【分析】根据题设，利用平面向量基本定理，作出图形，再利用余弦定理得解． 【解答】解：如图，设3,||||AB ACAB AC AB AC ='='，则||13AD = 在△AC D '中，由余弦定理有，19131cos 2132AC D +-∠'==-⨯⨯，故120AC D ∠'=︒，60BAC B AC ∴∠=∠''=︒．故答案为：60︒．考向2 平面向量与三角形“四心”【例3】（2020•淮南一模）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC 的值为( ) A ．26B ．13C ．523D ．10【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将BC 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点，()AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=- ||||||||AC AT AB AS =- 646422=⨯-⨯10=．故选：D ．【例4】（2019秋•昌江区校级期末）已知ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，则(HM BC = ) A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】题目是选择题，不妨通过特殊三角形，利用向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点， 不妨取特殊三角形如图：A 、H 重合，(3,0)B ，(0,5)C ，3(2M ，5)2， (3,5)BC =-，则3(2HM BC =，5)(32-，9255)822=-+=．故选：D ．【变式训练】（2019•怀化一模）已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=︒，2AB AC =-，则||AG 的最小值是( )A B C ．23D ．34【分析】由三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+，设||,||AB x AC y ==，由向量数量积的定义可知||||cos1202AB AC AB AC =︒=-，可得4xy =，然后根据向量数量积的性质可得1|||3AG x =，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+ 120A ∠=︒，2AB AC =-，则根据向量的数量积的定义可得，||||cos1202AB AC AB AC =︒=-设||,||AB x AC y == ∴||||4AB AC = 即4xy =2221111||||()23333AG AB AC AB AC AB AC AB AC x =+=+=++=2228x y xy +=（当且仅当x y =取等号）∴2||3AG 即||AG 的最小值为23故选：C ．考向3 平面向量与平面解析几何【例5】（2020•苏州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆22:()(2)4C x a y -+-=上两个动点，且AB =:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，则实数a 的取值范围为 ． 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =，求出圆心C 到AB 的距离为1，设(,)P x x -，由向量等式可得AB 的中点M 的坐标，再由||1CM =列关于x 的方程，由直线l 上存在点P ，使得PA PB OC +=，利用判别式大于等于0求得实数a 的取值范围． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点12(2x x M +，12)2y y +，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =， 圆心(,2)C a 到AB的距离||1CM ， 直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，设(,)P x x -，则1(x x -，12)(y x x x ++-，2)(y x a +=，2)， ∴1212222x x x a y y x +-=⎧⎨++=⎩，得12122212x x a x y y x +⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩，即(2a M x +，1)x -+，||1CM ∴=，整理，得222(2)04a x a x +-+=，直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，∴△22(2)804a a =--⨯，解得22a ---+．故答案为：22a ---+．【例6】（2020•衡阳一模）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于两点A 、B ，若点(2,)M t 满足1()2OM OA oB =+，则||AB = ．【分析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由抛物线的定义可知12||2AB x x =++，由1()2OM OA oB =+可得(2,)M t 是AB 的中点，所以124x x +=，所以12||26AB x x =++=．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 直线AB 过焦点(1,0)F ， 12||2AB x x ∴=++，又1()2OM OA oB =+，则(2,)M t 是AB 的中点， 124x x ∴+=， 12||26AB x x ∴=++=，故答案为：6．【变式训练】（2020•四川模拟）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45︒的直线与双曲线C 的两条渐近线顺次交于A ，B 两点．若3FB FA =，则C 的离心率为 ．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A ，B 表示出来，再由3FB FA =，求出a ，b ，c 的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：设(,0)F c -，则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点且倾斜角为45︒的直线为：y x c =+，而渐近线的方程是：by x a=±，由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac A a b -+，)bca b+， 由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac B b a -，)bcb a-， (ac FB c b a =+-，)bc b a -，(ac FA c a b =-+，)bca b+，3FB FA =，∴3bc bcb a a b=⨯-+， 2b a ∴=，22225c a b a ∴=+=，则c =，则e =．．专题强化1．（2020•兴宁区校级模拟）已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足||||()sin sin AB AB AC ACOP OA C Bλ=++，R λ∈．则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【分析】通过向量的数量积，结合向量和的几何意义，判断P 的轨迹经过的三角形的重心． 【解答】解：由正弦定理可知：||||2sin sin AB AC R C B==，R 为三角形的外接圆的半径， 所以动点P 满足||||()()sin sin AB AB AC ACOP OA OA R AB AC C Bλλ=++=++．因为AB AC +是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的对角线A 为起点的向量，经过BC 的中点， 所以P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的重心． 故选：C ．2．（2020•茂名一模）在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =，则(AM BC = ) A ．3B ．6C ．8D ．12【分析】由题意画出图形，再由平面向量的数量积运算及向量的加法与减法运算求解． 【解答】解：如图，三角形ABC 为等边三角形，且边长为2， 由2BM CM =，得BC CM =，∴2()22cos6046AM BC AC CM BC AC BC BC =+=+=⨯⨯︒+=．故选：B ．3．（2020•淮南一模）在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO 的值为( ) A ．17B ．10C ．172D ．596【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将AN 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点112()333AN AC CN AC AB AC AB AC =+=+-=+，所以1212()3333AO AN AO AB AC AB AO AC AO =+=+，12||||||||33AB AS AC AT =⨯+⨯， 1325353232=⨯⨯+⨯⨯， 596=． 故选：D ．4．（2019秋•东莞市期末）已知圆O 的半径是P 是圆O 内部一点（不包括边界），点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP =，则2()OA OP +的最小值为( ) A ．232B ．12C ．252D ．13【分析】可画出图形，根据2OA OP =即可得出||OP =并得出0cos 1O <∠，从而得出2()OA OP +的最小值． 【解答】解：如图， 2OA =∴22||cos 2OA OP OP O =∠=，∴||2cos OP O∠0cos 1O <∠，∴2222125()28422OA OP OA OA OP OP cos O +=++=++∠，当cos 1O ∠=时取等号， ∴2()OA OP +的最小值为252． 故选：C ．5．（2020•赤峰模拟）已知椭圆2222:19x y C a a +=+，1F ，2F 是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ，都有120PF PF >恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3-，0)(0⋃，3) B ．[3-，0)(0⋃，3] C ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞D ．(-∞，3][3-，)+∞【分析】由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点，而120PF PF >恒成立可得12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒可得b ，c 的关系，再由a ，b ，c 之间的关系可得a 的取值范围．【解答】解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点， 要使120PF PF >恒成立，则12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒，即1tan 1cF PO b=<，所以22c b <， 而2222299c a b a a =-=+-=所以29a <，解得：3a >或3a <-， 故选：C ．6．（2020•江苏二模）在ABC ∆中，BC 为定长，|2|3||AB AC BC +=，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ．【分析】取BC 边上靠近C 的三等分点D ，利用平面向量基本定理结合已知条件转化可得||||AD BC =，再利用三角形的面积公式进一步可得21()||2ABC max S BC ∆=，由此即可求得边BC 的长． 【解答】解：取BC边上靠近C 的三等分点D ，则2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又|2|3||AB AC BC +=，∴12||||33AB AC BC +=，即||||AD BC =， ∴2111||||||||222ABC S BC h BC AD BC ∆==，其中h 为BC 边上的高，依题意，21||22BC =，即||2BC =． 故答案为：2．7．（2019秋•常州期末）在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =，且对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，则cos ABC ∠= ．【分析】根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案．【解答】解：根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =，设2AD t =，则3AC t =， 又由AD AB BD -=，若对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=；又由3A π∠=，则24AB AD t ==，BD ==，则BC =，ABC ∆中，4AB t =，3AC t =，BC =，则222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯8．（2019春•湖州期中）如图，在ABC ∆中，M 为边BC 上一点，4BC BM =，3AMC π∠=，2AM =，ABC∆的面积为，则||CM = ；cos BAC ∠= ．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求||CM 的值，进而可得2BM =，8BC =，利用余弦定理分别求得AB ，AC 的值，根据余弦定理可求cos BAC ∠的值．【解答】解：4BC BM =，ABC ∆的面积为所以||:||3:4MC BC =，故AMC ∆的面积为由AMC ∆的面积为13||||sin ||3323AM MC MC π== 故||6MC =，||8BC =，||2BM =，所以222||26226cos283AC π=+-⨯⨯=，故||AC =2222||22222cos 84123AB π=+-⨯⨯=+=，故||AB =所以222cos 222327AB AC BC BAC AB AC +-∠===-，故答案为：6；． 9．（2019秋•南京期中）在ABC ∆中，已知(4)AB AC CB -⊥，则sin A 的最大值等于 ．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积的运算法则，结合基本不等式，求出cos A 的最小值，即得sin A 的最大值．【解答】解：在ABC ∆中，(4)AB AC CB -⊥，(4)0AB AC CB ∴-=；(4)()0AB AC AB AC ∴--=； 如图所示，22450AB AB AC AC ∴-+=，即2254AB AC AB AC =+； 22422||||4cos 55||||5||||AB AC AB AC A AB AC AB AC +⨯⨯∴==，当且仅当2||||AB AC =时，“=”成立；此时sin A 35=． 故答案为：35．10．（2019春•内江期末）如图，O 在ABC ∆的内部，且30OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为 ．【分析】取AB 的中点D ，运用向量的中点表示和向量共线定理，结合三角形的面积公式和性质，可得所求比值．【解答】解：取AB 的中点D ，连接OD ，可得2OA OB OD +=，由30OA OB OC ++=，即为23OD CO =， 可得12ACD ACB S S ∆∆=， 22115525ACO ACD ACB ACB S S S S ∆∆∆∆===， 则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为5:1．故答案为：5:1．11．（2019•河南模拟）在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点D 满足3AD DC =，且2AB BD ==，则边BC 的长为 ．【分析】设AB c =，BC a =，AC b =，由已知可求得34b AD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得3cos 16b A =，在ABC ∆中，由余弦定理224160b a -+=，①在ABC ∆中，由60ABC ∠=︒，可得：22240b a a +--=，②，①-②可得232200a a +-=，解方程可得BC 的值．【解答】解：设AB c =，BC a =，AC b =，由3AD DC =，可得：34b AD =， 2AB BD ==，∴在ABD ∆中，由余弦定理可得：222234()434cos 3216224b c AD BD b A b c AD +-+-===⨯⨯， ∴在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，可得：22341622b b a b +-=⨯⨯，可得：224160b a -+=，① 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，可得：22222142222a cb a b ac a +-+-==⨯⨯，可得：22240b a a +--=，② ∴①-②可得：232200a a+-=，解得：a=，负值舍去，即BC12．（2019•亭湖区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为 ．【分析】如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心，连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ，则四边形ABFC 为平行四边形，在三角形ABF 中用余弦定理解得AE ，在三角形AEC 中用面积公式求得面积，再乘以2可得．【解答】解：如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心， 连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ， 则四边形ABFC 为平行四边形，4BF AC ∴==，3cos cos cos 8AFB CAE CAO ∠=∠=∠=，设AE x =，则2AF x =，在三角形ABF 中由余弦定理得222cos 2BF AF AB AFB BF AF +-∠=， 即3(25)8-=，解得2x =，即2AE =．又sin CAE ∠=122sin 242ABC AEC S S AE AC CAE ∆∆∴==⨯⨯⨯∠=⨯=．．13．（2020•运城一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 与准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB = ．【分析】画出图象，根据抛物线的性质求出83BC =，又4AB BF =，求出AB ． 【解答】解：已知抛物线2:4C y x =，所以2DF =， 如图，因为3FA FB =-，所以:3:1AF FB =，又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==， 所以3243AB BF ==， 故答案为：323． 14．（2020•衡阳一模）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限的点(,2)M t ，满足1()2OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则||AB = ． 【分析】设直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得1m =，进而得到t 的值，即可求出||AB【解答】解：由条件得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，则2440y my --=，且124y y m +=，124y y =-， 由条件可知1244y y m +==，解得1m =，1212()2322x x m y y t +++===， 所以||2(31)8AB =+=，故答案为：8．15．（2020•毕节市模拟）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，l 与y轴交于点P ，若FM MP λ=λ的值为 ．【分析】先利用FM 与渐近线垂直，写出直线FM 的方程，从而求得点P 的坐标，利用|||FM PM λ=，求得点M 的坐标，最后由点M 在渐近线上，代入得a 、b 、c 间的等式，进而变换求出离心率．【解答】解：设(,0)F c ，则222c a b =+ 双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±， ∴垂线FM 的斜率为a b-， ∴直线FM 的方程为()a y x c b=--， 令0x =，得P 的坐标(0,)ac b， 设(,)M x y ，||||FM PM λ=，(x c ∴-，)(y x λ=-，)ac y b -， x c x λ∴-=-且4acy y bλ=-， 即1c x λ=+，5ac y b λ=，代入b y x a =， 得(1)1ac b c b a λλλ=++，即22a b λ=， 222a c a λ∴=-， 22(1)a c λ∴+=，∴c =， 3e =，2λ∴=， 故答案为：2．。
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向量与解析几何结合解答题精选平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
或者考虑向量运算的 几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
1.已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1＋||2MF ＝10。
（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、Q 是曲线C 上任意两点，且·=0，求222OQOP •的值【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：122=+y x （2）∵点P 、O 是1162522=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） ∵OP ·OQ =0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①而2、22•都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：222•＝400412.已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。
（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM ·AN 为定值；（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。
【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入⊙C ：1)3()2(22=-+-y x ，得：07)1(4)1(22=++-+x k x k ①由题意：△＝07)1(4)]1(4[2>⨯+⨯-+-k k 得：374374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d<R 来解）（2）利用切割线定理可以证明|AM |·|AN |＝|AT |2=7,AT 为切线，T 为切点。
根据向量的运算：AM ·AN ＝||·|AN |·cos00＝7为定值。
（注意：本题也可以设出M （11,y x ）、N （22,y x ）的坐标，把AM 、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明）（3）设M （11,y x ），N （22,y x ），则由①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+22122117144k x x k k x x ∴OM ·ON ＝21x x ＋21y y ＝1)()1(21212++++x x k x x k ＝81)1(42+++kk k ＝12⇒k ＝1（代入①检验符合题意） 3.已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 1满足OF =(1,0),OT =(－1，t)，FM =MT , P 1⊥,P 1∥OF 。
（1）当t 变化时，求点P 1的轨迹方程； （2）若P 2是轨迹上不同与P 1的另一点，且垂直非零实数λ，使得1=λ·2FP ||1FP ||2FP =1【解】设P 1（x ，y ），则由：FM =得M 是线段FT 的中点，得M )21,0( ∴P 1＝（－x ，21－y ）， 又∵FT ＝OT －OF ＝（－2，t ），T P 1＝（－1－x ，t －y ） ∵M P 1⊥FT ∴2x ＋t(2t－y)＝0 ① ∵P 1∥OF ∴（－1－x ）·0＋（t －y ）·1＝0化简得：t ＝y ② 由①、②得：x y 42= （注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。
） （2）易知F （1，0）是抛物线x y 42=的焦点，由1FP =λ·2FP ， 得F 、P 1、P 2三点共线，即直线P 1P 2为过焦点F 的弦设P 1（11,y x ）、P 2（22,y x ）,直线P 1P 2的方程为：y ＝k(x －1)代入x y 42=得：0)2(22222=++-k x k x k 则1x ·2x ＝1，1x ＋2x ＝2242k k +∴||1FP ||2FP 111+x ＋112+x ＝1)(2212121+++++x x x x x x ＝1（注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达定理进行证明。
）经检验：当斜率k 不存在时，结论也成立。
4..已知＝)1,3(，（O 为坐标原点），||=1，且与的夹角为600，A 、O 、B 顺时针排列，点E 、F 满足=λ，＝λ1，点G 满足＝21（1）当λ变化时，求点G 的轨迹方程； （2）求||的最小值。
【解】∵＝21，∴点G 是EF 的中点， ∴＝21(＋OF )＝21(λ＋λ1)∵与的夹角为600，||＝2， ∴OA ·OB ＝|OA |·||OB ·cos600＝1设＝（00,y x ），则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+113202000y x y x ⎩⎨⎧==⇒1000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==212300y x （不合，舍） OG ＝)]1,0(),3[(21λλλ+＝))1(21,23(λλλ+设G （x ，y ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==)1(2123λλλy x 消去λ得：033442=+-xy x（2）2||OG ＝)214(412222++=+λλy x ≥41×（4＋2）＝23 ∴||OG 的最小值为26（当λ＝21±时等号成立） 5.如图，点F （a ，0）（a>0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为动点，且·＝0，PM ＋=（1）求点N 的轨迹C ； （2）过点F （a ，0）的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点，设点K （－a ，0），与的夹角为θ，求证0<θ<2π. 【解】（1）设点P （0，p ），M （m,0），则＝（m ，－p ），＝（a ，－p ）∵·＝0 ∴02=+p am ∴ap m 2-=设N （x ，y ），由PM ＋0=PN 得0),(),0(=-+--p m p y x∴⎩⎨⎧=-=+020p y m x 即⎪⎩⎪⎨⎧==py a p x 22消去p 得：ax y 42= （2）设AB 的方程为：y ＝k(x －a)，代入20)2(222222=++-a k x k a x k ，设A （11,y x ）、B （22,y x ），则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2212221)2(2a x x k k a x x KA ＝（1x ＋a ，1y ）KB ＝（2x ＋a ，2y ） ·＝2121))((y y a x a x +++＝)4()(122121ax a x x a x x -++++·（24ax ）＝222222244)2(2ka a a k k a a a =-+++>0 与的夹角为θ，与不共线，则θ≠0∵cos ||||KB KA •>0 ∴0<θ<2π6.设平面内向量＝（x ，0）、＝（1，y ），满足：(＋3)⊥(－3)（1）求点P （x ，y ）的轨迹方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋m （km ≠0）与所求曲线C 交于A 、B 两点，D （0，－1）且||AD ＝||BD ,求m 的取值范围。
【解】（1）∵(＋3)⊥(－3) ∴(＋3)·(－3)＝0∴2a －32b ＝0 ∴0)1(322=+-y x即1322=-y x 为所求曲线的轨迹方程。
（2）设A （11,y x ）、B （22,y x ），由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 得：0)1(36)31(222=+---m kmx x k ①则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=-=+222122131)1(3316k m x x k km x x ② ∵)1,(11y x AD ---=，)1,(22y x BD ---= ∵||AD ＝||BD ∴2121)1(y x ++＝2222)1(y x ++即：0))(2())((21212121=-+++-+y y y y x x x x∴0)2(2121=++++++m kx m kx k x x 把②代入，解得m ＝4132-k ③由①得：△＝)1)(31(12362222+-+m k m k ＝12(2231k m -+)>0 把③代入化简得：m m 42->0 m>4或m<0又∵m ＝4132-k 41-> （k ≠0）∴0>m 41->或m>4为所求的m 的取值范围。
7.已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在直线PQ 上，且·PM ＝0，PM ＝－23MQ （1）当P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹方程； （2）过点T （－1，0）作直线l 交轨迹C 与A 、B 两点，若在x 轴上垂直一点E )0,(0x ，使||AE ＝||AB ,且与的夹角为600，求0x 的值 【解】设M （x ，y ），由PM ＝－23得P （2,0y -）、Q （0,3x） 由HP ·PM ＝0得：x y 42= ∵点Q 在x 轴正半轴上，∴x>0即所求的轨迹方程为：x y 42=（x>0）（抛物线去掉顶点） （2）设直线l ：y ＝k(x ＋1)（k ≠0），代入x y 42=得：0)2(22222=+-+k x k x k 设A （11,y x ）、B （22,y x ），则⎪⎩⎪⎨⎧=--=+142212221x x k k x x ① ∴线段AB 的中点坐标为（k k k 2,222-） 线段AB 的垂直平分线方程为：k k y 12-=-(x －222kk -) ② 在②中，令y ＝0，得1220+=kx ③ (与x 轴的交点) ∵||＝||,且与的夹角为600，∴△ABE 为等边三角形∴点E 到直线AB 的距离为23|AB| 而|AB|=222114k k k +•- ∴||12)1(32224k k k k +=- 解得：432=k 代入③ 从而3110=x 8.在坐标平面内，设O 是坐标原点，1OF ＝)0,3(-，2OF ＝)0,3(，点A 满足1AF ＋2AF ＝（－4，－2），点集S ＝{P|P 为平面内的点且满足条件：|PF 1|－|PF 2|=2} （1）求点A 的坐标；（2）若P 1、P 2∈S ，且1∥21P P ，又点Q 满足P 1＝－21·12P ,求点Q 的轨迹方程。