年浙江省高中数学竞赛试卷(word版-含答案)

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浙江省宁波市2020年12月高中数学竞赛 PDF版含解析

5. A，B，C
解析：由 S2 S3 a3 0 ，所以 A 正确；由 S4 S3 a4 0 ，所以 B 正确；由 a1 a2 a3 0 S3 0 ，所以 C 正确； S4 = a1 + 3a3 0 ，所以 D 不正确
6. B，D
由 sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 sin2 A = cos2 B + cos2 C sin2 (B + C) = cos2 B + cos2 C
2020 年宁波市高中数学竞赛试题第4页（共 4 页）
2020 年宁波市高中数学竞赛试题答案
一、选择题Ⅰ（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每小题列出的四个选项
中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1.C
分析：由 (a
+
b)2
+
(a
− b)2
=
2
2a
+
2
2b
可得.
2020 年宁波市高中数学竞赛试题
2020 年 12 月 13 日 9:00-11:00
注意：报考 A 组的考生作答 A 卷（所有试题），报考 B 组的考生作答 B 卷（前 17 题）．
请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．
一、选择题Ⅰ（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
16．已知正项等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a3 = 4 ， a2a4 = 3S3 − 5 ．
（Ⅰ）求an 的通项公式；
（Ⅱ）设命题 p ：存在正整数 m, n （其中 m n ）及k {−1, 0,1}, k = 1, 2, , n ，使得

2010年浙江省高等数学竞赛试题与答案(共4份)

试题共四套：数学类、工科类、经管类、文专类2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()22222exp 21R x xy y dxdy ρρ⎡⎤-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰．其中01ρ≤< 3．请用,a b 描述圆 222x y y +≤ 落在椭圆 22221x y a b+= 内的充分必要条件，并求此时椭圆的最小面积。

4．已知分段光滑的简单闭曲线Γ（约当曲线）落在平面π：10ax by cz +++=上，设Γ在π上围成的面积为A ,求()()()bz cy dx cx az dy ay bx dz ax by czΓ-+-+-++⎰其中n Γ与的方向成右手系。

5．设f 连续，满足()()() 22 02exp xf x x x t f t dt =--⎰且()11/f e =,求()()1n f 的值。

二、（满分20）定义数列{}n a 如下：{},,max ,211011dx x a a a n n ⎰-==,4,3,2=n ，求n n a ∞→lim 。

三、（满分20分）设函数)(2R C f ∈，且0)(lim =∞→x f x ，1)(≤''x f ，证明：0)(lim ='∞→x f x 。

四、（满分20分）设非负函数f 在［0，1］上满足)()()(,,y f x f y x f y x +≥+∀且1)1(=f ，证明：（1）]1,0[,2)(∈≤x x x f （2）21)(1≤⎰dx x f 五、（满分20分）设全体正整数集合为+N ，若集合+⊂N G 对加法封闭（即G y x G y x ∈+⇒∈∀,），且G 内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N ，当正整数n >N 时，G n ∈（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()() +22 122dxx x x ∞-∞+-+⎰3．设ABC ∆为锐角三角形,求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值。

2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题+Word版含解析

2022年宁波市高中数学竞赛试题2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前17题）．请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上，一、选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．己知正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB BC AC ++=（）A ．1BCD 2．已知实数a ，b ，则“a b >”是“||a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体ABCD 中，设弧,AC BD 的中点分别为M ，N ，若线段AB 的长度为a ，则（）A ．弧AC 的长度为3aπ B ．线段MN 的长度为aC ．勒洛四面体ABCD 能置于一个直径为a 的球内 D ．勒洛四面体ABCD4．己知A ，B 分别在两圆222212:1,:4C x y C x y +=+=上运动，且在1C 上存在点P ，使得AP BP ⊥，则线段AB 中点M 轨迹的面积为（） A ．π B ．54π C ．2π D ．94π 二、选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的均不得分．）5．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A =“摸出的球是红球”，事件B =“摸出的球标号为偶数”，事件C =“摸出的球标号为3的倍数”，则（） A ．事件A 与事件C 互斥 B ．事件B 与事件C 互斥 C ．事件A 与事件B 相互独立 D ．事件B 与事件C 相互独立6．已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式31xa a >-，下列结论正确的是（）A ．存在a ，使得该不等式的解集是RB ．存在a ，使得该不等式的解集是∅C ．存在a ，使得该不等式的解集是(,2022)-∞D ．存在a ，使得该不等式的解集是(2022,)+∞ 7．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，(1)(1)2,()(2)2,(4)()2f x g x g x f x g x f x -++=--=--=，且当(0,1]x ∈时，2()1f x x =+，则（）A ．(2022)2g =B ．()(2)0g x g x ++=C ．函数()f x 在(1,3)上单调递减D ．方程(2022)f x x +=有且只有1个实根8．设函数()f x 的定义域为I ，区间(,)a b I ⊆，如果对于任意的常数0M >，都存在实数12,,,n x x x ，满足1n a x x b <<<<，且()()111n i i i f x f x M -+=->∑，那么称()f x 是区间(,)a b 上的“绝对差发散函数”．则下列函数是区间(0,1)上的“绝对差发散函数”的是（） A ．1()21x f x x =++ B ．()tan 2x f x π= C ．2,,(),.x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数 D ．()cos 2f x x x π= 三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答题纸相应位置上．）9．设O 为坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，若P 是该抛物线上一点，且23PFO π∠=，则点P 到y 轴的距离为_______________．10．已知实数12,x x 满足()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，则12x x +=_______________．11．在44⨯的16个方格中填上实数，使得各行各列都成等差数列．若其中4个方格中所填的数如图所示，则图中打*号的方格填的数是_______________．12．己知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，M ，N 分别为棱11,BB CC 上的点．若平面AMN 将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AMN △的面积的最小值为_______________． 13．已知n *∈N ，集合{}(,)|1||22|1,,n nn A x y x y x y =-+-<∈R ，记1n n A A ∞==，则集合A 中的点组成图形的面积为_______________．14．己知m ∈R ，关于z 的方程()()2220z z mzz m ++++=有四个复数根1234,,,z z z z ．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m 的值为_______________．四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分．）15．如图，在ABC △中，2ACB ABC ∠=∠．设点D 是BC 边上一点，满足2BAD ABC ∠=∠．（Ⅰ）记ABC θ∠=，用θ表示ABBD；（Ⅱ）若111AB AC+=，求BD ． 16．已知0a ≥，设函数()|||1|f x x a ax =-+-．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）若对任意的x ∈R ，不等式()(2)f x x a x ≥-恒成立，求a 的取值范围．17．设点(0,2),(0,2),(0,4)A B F --，过点F 作斜率为k 的直线l 交椭圆221:1164x y Γ+=于C ，D 两点．（Ⅰ）记直线,,,AC AD BC BD 的斜率分别为1234,,,k k k k ．从下列①②③三个式子中任选其一，当k 变化时，判断该式子是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． ①12k k ⋅；②14k k ；③23kk ．（Ⅱ）当直线,BC BD 分别交双曲线222:1412y x Γ-=的下支于P ，Q 两点（异于点B ）时，求||||PF QF +的取值范围．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．）18．已知正整数数列{}n a 满足()21220222n n n a a n a *+++=∈+N ．（Ⅰ）若21a =，求2022a ；（Ⅱ）求12022a a +的取值的集合．19．甲、乙两人分别进行投硬币和掷图钉试验，每人各进行100次试验．设k a 为前k 次试验中硬币正面向上的次数，k b 为前k 次试验中图钉针尖朝下的次数，记,(1,2,3,,100)k k k k a bp q k k k===．（Ⅰ）若11000,0.5p p ==，问是否存在常数P ，不论试验过程中k p 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k p P =？若存在，求出所有P 的可能值；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若11000,0.7q q ==，问是否存在常数Q ，不论试验过程中k q 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k q Q =？若存在，求出所有Q 的可能值；若不存在，请说明理由．2022年宁波市高中数学竞赛参考答案2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前17题）．请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．一、选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．答案：D解析：|2||23|13AB BC AC AB BC ++=+=，故选D ． 2．答案：A解析：若a b >，则||a a b ≥>，故“a b >”是“||a b >”的充分条件；当3,2a b =-=时，||a b >但a b <，故“a b >”不是“||a b >”的必要条件；所以选A ． 3．答案：D ．解析：选项A ，弧AC 为两个半径为a 、球心距为a 的球面相交所得的小圆中的弧；，弦AC 长为a ，可得弧AC 长不为3a π．故A 错误；选项B ，22222MN a a a a ⎛⎫=-+=-> ⎪⎝⎭⎭，故B 错误；选项C ，由MNa >，故C 错误；选项D ，由四面体ABCD 的体积为312，故D 正确． 4．答案：C解析：法一：不妨设PA x ∥轴，如图：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A P θθθθ-，不妨设,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，(cos B θ-，所以0,2sin M M x y θ==+sin [1,1]t θ=∈-，则2()[1][3,3]M y f t t ==-，当01t ≤≤时，()f t 递增，此时()f t ∈；当10t -≤≤时，()f t =递增，此时()f t ∈．所以13()[1,3],22M f t y ∈≤≤，此时M 的轨迹为线段13022x y ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭．则当弦AP 在圆上转动时，上述线段会扫出一个内径为12，外径为32的圆环，易得面积为2π．法二：作矩形PACB ，则由2222||||||||||2OA OB OP OC OC +=+⇒=，记OP 中点为E ，则1||||12EM OC ==，则点M 在OP 中点E 为圆心，1为半径的圆上若记cos sin (cos ,sin ),,22P E θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 的轨迹方程为22cos sin 122x y θθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223cos sin 4x y x y θθ+-=+，当θ变化时，x ，y1≤，可得1322≤≤．所以当P 变化时，点M 的轨迹为，内径为12，外径为32的一个圆环，此圆环的面积为2π．二、选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的得0分．）5．答案：ACD解析：对AB ，显然事件A 与事件C 互斥，事件B 与事件C 不互斥，故A 正确，B 错误；对C ，易得111(),(),()()()428P A P B P AB P A P B ====⋅，所以C 正确；对D ，易得111(),(),()()()248P B P C P BC P B P C ====⋅，所以D 正确；故选ACD ． 6．答案：ACD ．解析：①1,031,3xa a a x R ≤>≥-∈，故A 正确； ②log (31)11,31log (31)3a a x a a a a a x a -><<-=⇒<-，又log (31)a a R -∈，故存在a 使得log (31)2022a a -=，故C 正确； ③log (31)1,31log (31)a a xa a a a ax a ->>-=⇒>-，又log (31)(1,)a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，故D 正确；故选ACD ． 7．答案：ACD解析：对AB ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(2)(4)4g x g x -+-=，可得()(2)4g x g x ++=，故B 错误，且()(4)g x g x =+．由(1)(1)2()(2)2f xg x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(4)()4g x g x -+=，令2x =可得(2)2g =，所以(2022)(2)2g g ==，故A 正确；对C ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(1)(3)0f x f x -+-=，即(2)(),(4)()f x f x f x f x +=-+=，由(1)(1)2()(2)2f xg x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(1)(1)0f x f x -+-=，即()()f x f x =--，根据上述性质可得()f x 的图象如下，故()f x 在(1,3)上单调递减，所以C 正确；对D ，(2022)(2)()2f x x f x x f x x +=⇔+=⇔=-，由上述对称性可得()f x 的图象如下，故方程只有1个解，所以D 正确．故选ACD ． 8．答案：BCD解析：对A ，因为()f x在1)递减，在1,1)-递增，所以()()()()11111)1)3n i in i f x f x f x f f x f -+=-≤--+-<-∑，A 错误；对B ，因为()tan 2xf x π=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是递增的，所以()()1111tan tan 22n n i i i x x f x f x ππ-+=-=-∑，当11,0n x x →→时1tantan22nx x ππ-→+∞，B 正确；对C ，设递增数列{}k x 满足：11,,1,2,3,,32k x k n ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，且21k x -为有理数，2k x 为无理数则()()1112k k f x f x +->，所以()()1111(1)12n i i i f x f x n -+=->-∑，当n →+∞时，()()211kii i f x f x -=-→+∞∑，C 正确；对D ，设1,1,2,,2x k n k ==，则()()1111111112446222n i i i f x f x n n -+=⎛⎫⎛⎫-=+++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑21111ln 1ln(1)ln 223n k n n k =⎛⎫>+++>+=+- ⎪⎝⎭∑，所以()()111,n i ii n f x f x -+=→+∞-→+∞∑，D 正确．故选BCD ．三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答卷相应位置上．）9．答案：3解析：P 到y 轴的距离2||1131cos3d PF π=-=-=-．10．答案：1解析：设()2ln f x x x =+，显然函数单调递增，由题可得()()121f x f x =-，所以121x x =-，即121x x +=． 11．答案：5．解：设*号的空格上填的实数为x ，则13,262x A B x +==-．进而有第三列的公差为396536A xd --==，从而16926x C A d +=+=．又13，B ，C 成等差数列，得1692(26)136x x +-=+，解得5x =．12．答案：2．解析：由111111111111223BCNM BCNM A BCNMABC AB C A BCC B ABC A B C BCCB BCC B S S V V V V S S ----==⋅=⋅四边形四边形四边形四边形，得1134BCNM BCC B S S =四边形四边形，从而3BM CN +=．建立空间直角坐标系如图，可设(2,0,),)M t N t -，则(2,0,),(1,3,3)AM t AN t ==- 设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =则0,0.n AB n AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,(3)0.x tz x t z +=⎧⎪⎨++-=⎪⎩，可取(,32)n t t =-+-．又平面ABC 的法向量为0(0,0,1)n =．设平面ABC 与平面AMN 所成角为α，则02cos ||nn n n tα⋅==⋅．由射影面积公式可得cos ABC AMNAMNS S S α==△△△，所以2AMN S =≥△，等号当且仅当32t =时取到，所以()min AMN S =△ 13．答案：1．解析：若1(,)x y A ∈，则|1||22|1x y -+-<，从而|1|[0,1),|22|[0,1)x y -∈-∈．所以()|1||22||1||22|1n nx y x y n N*-+-≤-+-<∈，即得(,)nx y A ∈．故有11n n A A A ∞===．又易知集合1A 中的点组成图形的面积为1，所以集合A 中的点组成图形的面积为1．14．答案：16．解析：设20z z m ++=根为2121,,14,20z z m z z m ∆=-++=的根为342,,18z z m ∆=-，由题意12140,180m m ∆=-≠∆=-≠，即18m ≠且14m ≠．①当18m <时，1234,,,z z z z 均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾； ②当1184m <<时，12,z z 为实数且34,z z 为虚数，且1234z z z z -=-，所以114816m m m -=-⇒=； ③当14m >时，1234,,,z z z z 均为虚数，且四个虚数根的实部均为12-，即四个对应点均在直线12x =-上矛盾．综上：16m =．四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分．）15．答案：（Ⅰ）23sin234sin 2cos 12sin 2AB BD θθθθ==-=+；（Ⅱ）1．解析：（Ⅰ）由题,22BAD ACB θθ∠=∠=．在ABD △中，根据正弦定理可得23sin234sin 2cos 12sin 2AB BD θθθθ==-=+．（Ⅱ）在ABC △中，根据正弦定理可得sin 2sin AB AC θθ=，所以12cos AC ABθ=，所以1112cos 1AB AC ABθ++==，可得2cos 1AB θ=+．又由（Ⅰ）知2cos 1ABBDθ=+，所以1BD =．16．答案：（Ⅰ）当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数．（Ⅱ）0a ≤≤．解析：（Ⅰ）易知(1)2|1|,(1)2|1|f a f a =--=+，若(1)(1)f f =-，则2|1|2|1|a a -=+，解得0a =，此时()||1f x x =+为偶函数；若(1)(1)f f =--，则2|1|2|1|a a -=-+，解得a 不存在．综上，当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数．（Ⅱ）0a =时，2()||1f x x x =+≥-显然成立，所以0a =符合．0a >时，若(,0][2,)x a ∈-∞+∞，则(2)0()x a x f x -≤≤恒成立，故只需考虑|||1|(2)x a ax x a x -+-≥-对任意(0,2)x a ∈恒成立．（*），取x a =，有221a a -≥，解得212a ≤，即得0a <≤．而当02a x a <≤<<时，21210ax a -≤-≤，故（*）式可化为2||310x a x ax -+-+≥对任意[0,2]x a ∈恒成立，令2()||31g x x a x ax =-+-+,①当(0,]x a ∈时，22()(31)(1)()120g x x a x a g a a =-+++≥=-≥恒成立； ②当[,2)x a a ∈时，2()(31)(1)g x x a x a =--+-，对称轴312a x a -=≤，且2()120g a a =-≥．因此，02a <≤．综上：0a ≤≤． 17．答案：（Ⅰ）均为定值，1212433,3,34k k k k k k ⋅==-=-；（Ⅱ）28,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．解析：（Ⅰ）由题可得:4l y kx =-，设()()1122,,,C x y D x y ．l 与1Γ联立()2222441324801164y kx k x kx x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩，则12212232414841k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩．选择①：()()()21212121212121212666362234kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++--⋅=⋅===，故12k k ⋅为定值，且1234k k ⋅=；选择②：易得1314k k ⋅=-，则143414k k k k =-⋅．()()()21212121234121212222422112kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++++⋅=⋅===，所以1434134k k k k =-=-⋅，故14k k 为定值，且143k k =-；选择③：易得2414k k ⋅=-，则233414k k k k =-⋅．()()()21212121234121212222422112kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++++⋅=⋅===⋅，所以2334134k k k k =-=-⋅，故23k k 为定值，且233k k =-．（Ⅱ）若选择①，结合132414k k k k ⋅=⋅=-，可得3412121111441612k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭；若选得②减③，则已得34112k k ⋅=．此时34:2,:2PB y k x QB y k x =-=-．PB 与2Γ联立()322322332321231120311412p y k x k k x k x x y x k =-⎧⎪⇒--=⇒=⎨--=⎪⎩，所以()2332233128||212163131P P l k PF e d k x k k -⎛⎫=⋅=-=-=-- ⎪--⎝⎭准，同理可得248||631QF k =---．所以()()()22342222223434341532112||||128128417173131331616k k PF QF k k k k k k ⎛⎫+- ⎪⎛⎫+=--+=--=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-++-++⎝⎭．因为,BC BD 分别交2Γ下支于P ，Q两点，所以340|,|3k k <<∣，所以2222341748k k +<+=．又223434126k k k k +>=，所以2234117,648k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以28||||,3PF QF ⎛⎫+∈+∞⎪⎝⎭．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．）18．答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）{343,677,1013,2023}．解析：（Ⅰ）由条件知：2123231222022,222022n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++=++=+ 两式相减得()()()312222n n n n n a a a a a ++++-+=-，若310a a k -=>，则312n n n n a a a a +++-<-．则3121n n n n a a a a +++-≤--，则423110k k a a a a k ++-≤---<，矛盾．所以310a a -=，所以2n n a a +=，所以2022202021a a a ====．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n n a a +=，所以设212,k k a b a c -==，则220222b bc +=+，所以2022bc =．而202223337=⨯⨯，所以{,}{1,2022},{2,1011},{3,674},{6,337}b c =，所以2023,1013,677,343b c +=，所以12022a a +的取值的集合为{343,677,1013,2023}． 19．答案：①不存在；（Ⅱ）存在，12Q =或23．解析：（Ⅰ）不存在，先考虑最后50次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均小于0.5．再考虑第2次至第51次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均大于等于0.5．这与最后50次试验硬币正面向上的情形没有公共的取值，故这样的P 不存在，（Ⅱ）存在，12Q =或23，先考虑最后70次试验针尖向下，则对应的(1100)k q k <<均小子0.7．再考虑第2次至第71次试验针尖向下，则对应的k q 分别为123707070700,,,,,,,,,234717299100，所以符合要求的Q 只可能取12,23．下证1,2,3n Q n n -==时，必存在1100k <<时，使得1k k b n q k n-==．设(1)k k S nb n k =--，若第k 次试验针尖朝上，则1k k b b -=，则11(1)(1)(1)(1)(1)k k k k S nb n k nb n k n S n --=--=-----=--；若第k 次试验针尖朝下，则11k k b b -=+，则11(1)(1)(1)11k k k k S nb n k nb n k S --=--=---+=+当2,3n =时，11100(1)(1)0,70100(1)100300S nb n n S n n n =--=--≤=--=->．所以由介值性定理知，必存在1100k <<，使得0k S =，即1k k b n q k n-==，得证．。

2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)

2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)2009年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）1. 已知集合{1,2}M =，{21}N a M a =-∈，则M N ⋂＝（ A ）。

A ．{}1 B ．{}2,1 C ．{}3,2,1 D ．空集解：由于{21}{1,3}N M a a ∈=-=，所以{1}M N ⋂=。

答案为 A 。

2. 已知椭圆192522=+y x 上一点P 到点（4, 0）距离等于4，则P 点到直线425-=x 的距离为（ C ）。

A ．4 B ． 6 C ．152 D ．54解：因为5,3a b ==，则4c =。

于是P 到另一个焦点(4,0)-的距离等于2546⨯-=。

由于直线425-=x 为椭圆的左准线方程，则P 到直线425-=x 的距离为667.545d e ===。

答案为 C 。

3. 等差数列{}na 中，01>a，13853a a=，则部分和nS 中最大的是（ C ）A ． 10S B ． 11S C ． 20S D ． 21S解：由题意知，13853a a =1113(7)5(12392)0a d a d d a ⇒+=+⇒=-<。

所以{}n a 是单调递减数列。

又11122(1)2039(1)()[1]039naa n a a n n =+--=->≤⇒-。

由此可得当20n =时，nS 最大。

答案为 C4. 已知平面上单位向量51243(,),(,)131355a b ==r r ，则下列关系式正确的是（ B ） A ．a b⊥r rB.()()a b a b +⊥-r r r r C.()//()a b a b +-r r r r D.()a ab ⊥+r r r解：因为,a br r 都是非零单位向量，以,ab r r 为边，,a b a b -+r r r r为对角线构成一个菱形。

2015年全国高中数学联赛参考答案(A卷word版本)

2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。

分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为．答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满=，则PQ PA ⋅的最小值为．答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为．答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤．先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为．答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式．当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd ，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数，若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，则P 类数总量与Q 类数总量之差等于．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．三、解答题9．（本题满分16分）若实数c b a ,,满足cb ac b a 424,242=+=+，求c 的最小值．解：将2,2,2abc分别记为,,x y z ，则,,0x y z >．由条件知，222,x y z x y z +=+=，故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+．8分因此，结合平均值不等式可得，4221111(2)244y y z y y y y +==++≥⋅=12分当212y y =，即y =时，zx求）．由于2log c z =，故c的最小值225log log 33=-．16分 10．（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值．解：由条件可知，(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，4321,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设||||||||4321a a a a <<<，则||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ，最大与次大的两个数分别是34||||a a 及24||||a a ，从而必须有121324341,81,3,24,a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 10 分于是2341112113,,248a a a a a a a =-===-．故2231412113{,}{,24}{2,}82a a a a a a =--=--，15分结合1a Q ∈，只可能114a =±．由此易知，123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411,,4,642a a a a =-==-=．检验知这两组解均满足问题的条件．故123494a a a a +++=±． 20 分 11．（本题满分20分）设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．解：由条件知，点1F 、2F 的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) ．设直线l 的方程为y kx m =+，点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则12,x x 满足方程22()12x kx m ++=，即 222(21)4(22)0k x kmx m +++-=．由于点A 、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程①的两个不同实根，因此有①的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆=-⋅+⋅-=+->，即2221k m +>．②由直线11,,BF l AF 的斜率1212,,11y y k x x ++依次成等差数列知，1212211y yk x x +=++，又1122,y kx m y kx m =+=+，所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kx m x kx m x k x x +++++=++，化简并整理得，12()(2)0m k x x -++=．假如m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，即 z 经过点1F （-1, 0)，不符合条件．因此必有1220x x ++=，故由方程①及韦达定理知，1224()221kmx x k =-+=+，即12m k k=+．③ 由②、③知，222121()2k m k k +>=+，化简得2214k k>，这等价于||2k >．反之，当,m k满足③及||2k >l 必不经过点1F （否则将导致m k =，与③矛盾）, 而此时,m k 满足②，故l 与椭圆有两个不同的交点A 、B ，同时也保证了1AF 、1BF 的斜率存在（否则12,x x 中的某一个为- l ，结合1220x x ++=知121x x ==-，与方程①有两个不同的实根矛盾）．10分点2F （l , 0）到直线l: y kx m =+的距离为211|2|(2)22d k kk ==+=+．注意到||2k >t =t ∈，上式可改写为 21313()()222t d t t t=⋅+=⋅+．考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在上上单调递减，故由④得，(1)f d f <<，即2)d ∈．20 分加试1．（本题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε．证法一：我们证明：2[]222111[]2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====⎛⎫ ⎪+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，① 即对1,2,,[]2n i =，取1i ε=，对[]1,,2ni n =+，取1i ε=-符合要求．（这里，[]x 表示实数x 的整数部分．） 10分事实上，①的左边为2222[][][]222111[]1[]1[]122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ []2221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪≤+- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（柯西不等式）30分 []2221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+⎛⎫⎛⎫⎛+⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用122n n n +⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦） []2221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用[]x x ≤） 21(1)()ni i n a =≤+∑．所以 ① 得证，从而本题得证．证法二：首先，由于问题中12,,,n a a a 的对称性，可设12n a a a ≥≥≥．此外，若将12,,,n a a a 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的21)(∑=n i i a 不减，而右边的21ni i a=∑不变，并且这一手续不影响1i ε=±的选取，因此我们可进一步设120n a a a ≥≥≥≥． 10分引理：设120n a a a ≥≥≥≥，则1110(1)ni i i a a -=≤-≤∑．事实上，由于1(1,2,,1)i i a a i n +≥=-，故当n 是偶数时，1123411(1)()()()0ni i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑，11232111(1)()()ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑．当n 是奇数时，11234211(1)()()()0ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑，1123111(1)()()ni i n n i a a a a a a a --=-=-----≤∑．引理得证． 30 分回到原题，由柯西不等式及上面引理可知22122211111(1)(1)n n n ni i i i i i i i i a a n a a n a -====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，这就证明了结论． 40分证法三：加强命题：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅（2n ≥）是实数，证明：可以选取12,,,{1,1}n εεε⋅⋅⋅∈-，使得 2221111()()()()n nn i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑.证明不妨设22212n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥，以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明.当n 为奇数时，取12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有12221112()[()()]n nni i jn i i j a a a -+===+-∑∑∑12221122[()+()]n ni jn i j a a -+===∑∑1222112112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.1222112(1)()+(1)()n ni jn i j n a n a -+===-+∑∑ ①另外，由于22212n a a a≥≥⋅⋅⋅≥，易证有122211211(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑，因此，由式①即得到1222112(1)()+(1)()n nijn i j n a n a -+==-+∑∑211()()n i i n a n =≤+∑，故n 为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，且12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号.当n 为偶数时，取1221n εεε==⋅⋅⋅==，24221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有2222112()[()()]n nni i j n i i j a a a +===+-∑∑∑22222122[()+()]n ni j n i j a a +===∑∑2222122()+2()()22nn i j n i j n n a n a +==≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.222212[()+()]n nijn i j n a a +===∑∑22111()()()nn ii i i n a n a n ===≤+∑∑，故n 为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当120n a a a ==⋅⋅⋅==时取等号，若12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全为零，则取不到等号.综上，联赛加试题一的加强命题获证. 2．（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈ ，若2min 1≥=≤≤i ni A k ，证明：存在i ni A x 1=∈ ，使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合．证明：不妨设1||A k =．设在12,,,n A A A 中与1A 不相交的集合有s 个，重新记为12,,,s B B B ，设包含1A 的集合有t 个，重新记为12,,,t C C C ．由已知条件，1()i B A S ∈，即112(){,,,}i t B A C C C ∈，这样我们得到一个映射12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=．显然f 是单映射，于是，s t ≤． 10 分设112{,,,}k A a a a =．在n A A A ,,,21⋅⋅⋅中除去12,,,s B B B ，12,,,t C C C 后，在剩下的n s t --个集合中，设包含i a 的集合有i x 个（1i k ≤≤），由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个i a ，从而12k x x x n s t +++≥--． 20 分不妨设11max i i k x x ≤≤=，则由上式知i n s tx k --≥，即在剩下的n s t --个集合中，包含1a的集合至少有n s tk--个．又由于),,2,1(1t i C A i ⋅⋅⋅=⊆，故12,,,t C C C 都包含1a ，因此包含1a 的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s tt k k k---+---+=≥（利用2k ≥） nk ≥（利用s t ≤)． 40 分 3．（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，证明：FCB ABC ∠=∠2．证法一：设CF 与圆Q 交于点L （异于C)，连接PB 、PC 、 BL 、KL ．注意此时C 、D 、L 、K 、E 、P 六点均在圆Ω上，结合A 、 B 、P 、C 四点共圆，可知∠FEB=∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP ，因此△FB E ∽△FPB ，故FB 2=FE ·FP ．10分又由圆幂定理知，FE ·FP= FL ·FC ，所以FB 2=FL ·FC ．从而△FBL ∽△FCB ．因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B 、K 、L 三点共线． 30 分再根据△FBL ∽△FCB 得，∠FCB=∠FBL=12∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB ．证法二：设CF 与圆Ω交于点L （异于C)．对圆内接广义六边形DCLKPE 应用帕斯卡定理可知， DC 与KP 的交点A 、CL 与PE 的交点F 、LK 与ED 的交点了共线，因此B ’是AF 与ED 的交点，即B ’=B ．所以B 、K 、L 共线．10分根据A 、B 、P 、C 四点共圆及L 、K 、P 、C 四点共圆，得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC,又由BK 平分∠ABC 知，∠FBL=12∠ABC ，从而 ∠ABC=2∠FCB ．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn ．解：对正整数m ，设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)()v m m S m =-，①这里()S m 表示正整数m 在二进制表示下的数码之和．由于1)1(2+-n k 不整除()!!kn n ，等价于2()!()(1)!kn v k n n ≤-，即22(()!)(!)kn v kn n v n -≥-，进而由①知，本题等价于求所有正整数k ，使得()()S kn S n ≥对任意正整数n 成立． 10分我们证明，所有符合条件的k 为2(0,1,2,)aa =．一方面，由于(2)()aS n S n =对任意正整数n 成立，故2ak =符合条件． 20 分另一方面，若k 不是2的方幂，设2,0,ak q a q =⋅≥是大于1的奇数．下面构造一个正整数n ，使得()()S kn S n <．因为()(2)()aS kn S q S qn <⋅=, 因此问题等价于我们选取q 的一个倍数m ，使得()()m S m S q <．由（2，q ）=l ，熟知存在正整数u ，使得21(mod )uq ≡．（事实上，由欧拉定理知，u 可以取()q ϕ的．)设奇数q 的二进制表示为1212222,0,2t a a at a a a t +++=<<<≥．取1122222t t a a tu aa-+++++，则()S m t =，且2(21)0(mod )t a tu m q q =+-≡．我们有1(1)02121211212(122)12t t ttu uu t a a lu a u t ul m q q q q q -+-=---=++⋅=+⋅+++=+⋅∑由于2102u uq -<<，故正整数21u q -的二进制表示中的最高次幂小于u ，由此易知，对任意整数,(01)i j i j t ≤<≤-，数212t u iu a q +-⋅与212tu ju a q+-⋅的二进制表示中没有相同的项．又因为0i a >，故212(0,1,,1)tu lu a l t q +-⋅=-的二进制表示中均不包含1，故由②可知21()1()()u m S S t t S m q q-=+⋅>=, 因此上述选取的m 满足要求．综合上述的两个方面可知，所求的k 为2(0,1,2,)aa =．50分。

2016年浙江省高中数学竞赛含答案

2016年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（每题6分，共48分）1. A .2. .3. .4. D .5. D.6. B.7. B.8. A .二、填空题（每题7分，12题9分，共51分）9. 36−2017201520162.b b +=− ==11. 2.a = = ==12. 245,,.999x y z =−=== 13. 14. [1,2]£® 15. 8.三、解答题（本大题共有3小题，16题15分，17、18每题18分，共51分）16.设函数22()(53)7f x x k ak x =−−++（,R a k ∈）.已知对于任意的[0,2]k ∈，若12,x x 满足1[,],x k k a ∈+2[2,4]x k a k a ∈++，则12()()f x f x ≥，求正实数a 的最大值. ½â´ð£ºÓÉÓÚ¶þ´Îº¯Êý22()(53)7f x x k ak x =−−++2532k ak x −+=,¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-£¨3·Ö£©¹ÊÌâÉèÌõ¼þµÈ¼ÛÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 2535.22k ak k a −+≥+……………………① 6·Ö£© ¼´¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 22351k k a k −+≤+ £¬202235min 1k k k a k ≤≤ −+≤ +9·Ö£©又2236(1)44411k k k k k −+=++−≥−=++，……………（12分）当且仅当1k =−时取等号，故20223min 41k k k k ≤≤ −+=− +.……………………（15分）所以，正实数a17. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ），经过点16(3,)5P ，离心率为35. 过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,k k . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若120k k +=，求实数k .22222925691,925a b a b a −+== 2225,16a b == = 2212516x y += == 0k <<∞ l µÄ·½³ÌÎª(3)y k x =− (3),221,2516y k x x y =−+= 2222(1625)1502254000k x k x k +−+−== 1122(,),(,)A x y B x y £¬Ôò22121222150225400,.16251625k k x x x x k k −+==++= 121212161655,,33y y k k x x −−==−− 122112121616()(3)()(3)55(3)(3)y x y x k k x x −−+−−+=−−= 1122(3),(3)y k x y k x =−=− =12212153625600,5(1625)(3)(3)kk k k x x −+==+−− 35k = =0k = 1228,,55k k ==− 12605k k +=−≠ =k ²»´æÔÚÊ±£¬´ËÊ±Ð±ÂÊ12,k k ¾ù²»´æÔÚ£¬²»ºÏÌâÒâ. ËùÒÔ£¬35k = =18. 给定数列{}n x ，证明: 存在唯一分解nn n x y z =−，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且1()0n n n y z z −−=，00z =.证明：我们只需证明对任意的正整数n ，满足110()0000n n n n n n n n n x y z y z z y z z z −−=− −= ≥ −≥=, ………(*)………………（6分）的(),n n y z 存在且唯一。

2021年全国高中数学联赛试卷及答案(Word可编辑版)

2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

(完整word版)2011年全国高中数学联赛试题及答案

（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有
．
3.（50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．
证明：．
4.（50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
，
故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合．
2． .提示：设，且，则
．
设，则，且，所以．
3．-1.提示：由，得．又
，
即
．
于是
．
再由不等式中等号成立的条件，得．与联立解得或
故．
4． .提示：不等式
等价于
.
又是上的增函数，所以，故
当时， C ，在C 中，同样可求得中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为，故不是整数．
因此，整数项的个数为．
9．因为，所以
，
所以或，又因为，所以，所以．
又由有意义知，从而
，
于是
．
所以
．
从而
．
又
，
所以
，
故．解得或（舍去）．
把代入解得．
8．15.提示： C ．
要使为整数，必有均为整数，从而．
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．
当时， C ，在C 中，中因数2的个数为

浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版无答案

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试数学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定形式为（）A. ， B. ，C. ， D. ，3. 函数A. B. C. D. 4. 已知在R 上的奇函数，当时，，则（）A. 2B. C. 1D. 5. 已知，则是成立的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 若函数有且只有一个零点，则实数的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 当时，关于的不等式的解集为（）A. B. {1,0,1,2,3},{2,3},{0,1}U A B =-==()U B A ⋂=ð{1,0,1}-{0,1}{0}{1}[)1,x ∃∈+∞21x ≤[)1,x ∀∈+∞21x >(),1x ∀∈-∞21x >[)1,x ∀∈+∞21x ≤(),1x ∀∈-∞21x ≤()f x =[]1,31,12⎛⎫⎪⎝⎭1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0x >2()21f x x x =--((1))f f -=2-1-R a b c ∈,,a b c ==222a b c ab bc ac ++=++()()2222422xx x x f x m --=+-++m 01a <<x ()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦33, 1a xx x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭∣或331a x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭C D. 8. 已知，存在实数且，对于上任意不相同，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9已知，则（）A. B. C.D. 10. 已知函数的定义域为，满足：①对于任意的，，都有，②存在，，使得，则（）A. B. C. 当时，为奇函数D. 当时，为偶函数11. 给定数集，，方程①，则（）A. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数B. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数C. 任给方程①的两组不同解，，其中，，则D. 存在方程①的两组不同解，，其中，，使得也是方程①的解三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 函数，的值域是__________.13. 已知实数，满足，，，则最小值是__________.14. 已知y =f (x )，，且，，，请写出的一个解析式的的33, 1a xx x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭∣或331a xx a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭()()2,12,1xa x x f x x a xb x ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩(0a >)1a ≠R 12,x x ()()21211f x f x x x ->-b ()0,∞+[)4,+∞(]0,4[]0,40a b c >>>2a c b c +>+ac bc >a ba cb c>++cc a b <()f x R x y ∈R ()()()f xy f x f y =1x 2x ∈R ()()12f x f x ≠()00f =()22f =()11f -=-()f x ()11f -=()f x A =R (],0B ∞=-2210s t ++=s A ∈f s t ()t f s =t B ∈g t s ()s g t =()11,s t ()22,s t 1s 2s B ∈11221221t s t s t s t s +>+()11,s t ()22,s t 1s 2s B ∈1212(,)22s s t t ++()11f x x =+()1,x ∈+∞x y 0x >0y >231xy x y =++xy R x ∈()03f =()()()0.520.51f n f n =+*n ∈N ()f x__________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （1）求值：.（2）设，且，求的值.16. 已知集合，，.（1）求；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.17. 已知幂函数y =f (x )经过点.（1）求值；（2）记，若在上是不单调的，求实数的取值范围；（3）记，若ℎ(x )与值域相同，求实数的最大值.18. 设矩形的周长为，其中.如图所示，为边上一动点，把四边形沿折叠，使得与交于点.设，.（1）若，将表示成的函数y =f (x )，并求定义域；（2）在（1）条件下，判断并证明y =f (x )的单调性；（3）求面积的最大值.19. 设，是非空实数集，如果对于集合中的任意两个实数，，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，，，其中称为二元函数的定义域.的)1112141431620.7564--⎛⎫+-+⨯⨯ ⎪⎝⎭22xm =0m >33x xx xm m m m--++{}2560A xx x =--≥∣403x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭{3}C x x a =-<A B x B ∈x C ∈a 2,4（）12f ⎛⎫⎪⎝⎭()()g x f x x =-()g x []1,a -a ()()h x f x x b =++()()h h x b ABCD 20AB AD >E CD ABCE AE AB DC P DP x =PE y =3AD =y x ADP △A B A x y f B z :f A B →A B (),z f x y =x y A ÎA f（1）已知，，，求；（2）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：①，，都有，②，，使得.那么，我们称是二元函数的下确界.若，，且，判断函数是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由.（3）的定义域为，若，对于，，都有，则称在上是关于单调递增.已知在上是关于单调递增，求实数的取值范围.(),f x y =()11,1f x y =()22,2f x y =12122x x y y +=()1212,f x x y y ++f I M x ∀y I ∈(),f x y M ≥0x ∃0y I ∈()00,f x y M =M (),f x y x ()0,y ∈+∞111x y+=()22,8f x y x y xy =+-(),f x y R 0h ∃>x ∀y D ∈⊆R ()(),,f x y f x h y h ≤++f D h ()2,4ayf x y kx y =-+[]1,2a k。

浙江省嵊州市普通高中提前招生考试数学试卷（word版含答案）

嵊州市普通高中提前招生考试试卷理科综合(数学)大题号一二三总分结分人小题号 1--5 6--9 10 11 12 13 14 得分考生须知：本卷满分100分. 答题时,答案或解答过程直接做在试卷上.参考公式：二次函数c bx ax y ++=2图像的顶点坐标是)44,2(2ab ac a b --. 扇形面积公式3602r n s π=(n 为圆心角度数, r 为圆的半径).一、选择题（本大题有5小题，每小题5分，共25分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（） A.3个或4个 B ．4个或5个 C .5个或6个D ．6个或7个2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（）A ．247B ．73C ．724 D ．13 3．若()A a b ，，1()B c a，两点均在函数1y x=的图像上，且1-＜0a <，则b -c 的值为（）主视图俯视图(第1题)A ．正数B ．负数C ．零D ．非负数4．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（） A.41 B.61 C. 81D.121 5.如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点F ，则BFEF=（） A.13 B. 14C. 212-D. 212-二.填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）6．在同一坐标平面内，图像不可能．．．由函数132+=x y 的图像通过平移变换、轴对称变换得到的二次函数的一个解析式是 . 7．甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量，分别制作如下统计图：从年到，这两家公司中销售量增长较快的是 __________．(填: 甲公司或乙公司) 8.已知,24+=+n b a ,1=ab ,若221914719a ab b++的值为2009，则n = .9．将自然数按以下规律排列，则位于第六行第四十五列的数是．三.解答题（本大题有5小题，第10、11小题每小题10分，第12、13小题每小题11(第5题)分，第14小题13分，共55分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 10．如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过桥DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．已知BC =12km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）11．某超市在家电下乡活动中销售A 、B 两种型号的洗衣机．A 型号洗衣机每台进价500元，售价550元；B 型号洗衣机每台进价1000元，售价1080元．（1）若该超市同时一次购进A 、B 两种型号洗衣机共80台，恰好用去6.1万元，求能购进A 、B 两种型号洗衣机各多少台？（2）该超市为使A 、B 两种型号洗衣机共80台的总利润（利润=售价-进价）不少于5200元，但又不超过5260元，请你帮助该超市设计相应的进货方案.FE D CBA45°37°12．在平面直角坐标系中，A 点的坐标为()0,4，C 点的坐标为()10,0。

2022年浙江省绍兴市中考数学竞赛试卷附解析

2022年浙江省绍兴市中考数学竞赛试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，在四边形 ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D= 90°，BC= 2，CD=3，则 AB=（）A ．4B ．5C ．23D ．832．当锐角∠A>300 时，cosA 的值（）A ．小于12B ．大于12C ． 3D ． 33．设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）是反比例函数y=x 2 图象上的任意两点，且y 1<y 2 ，则x 1 ，x 2可能满足的关系是（）A ．x 1>x 2>0B ．x 1<0<x 2C ．x 2<0<x 1D ．x 2<x 1<0 4．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是（）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形 5．下列命题中，属于假命题的是（）①如果两个三角形的面积不相等，那么这两个三角形不可能全等；②如果两个三角形不全等，那么这两个三角形面积一定不相等；③如果两个三角形的三个角对应相等，并且其中一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边分别相等，那么这两个三角形全等；④有一条边和一个角分别相等的两个直角三角形全等．A ．①B ．①②④C ．②③④D ．②④ 6．化简:255的结果正确是（） A ．1105B ．2510C 2D 107．班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件，已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔（）A ．20支B ．14支C ．13支D ．10支8．下列各点在函数y=1-2x 的图象上的是（）A ．（2．5，-l ）B ．（0，34）C ．（0，12）D ．（1，-l ）9．下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（）A ．2y x =-B ．12y x =-C ．21y x =-D ．121y x =- 10．如图所示，已知直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，CE 、BD 相交于点F ，∠EFB=65°，则∠A=（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°11．下列图形中，∠l 与∠2不是同位角的是（）A ．B ．C ．D ． 12．下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A ．5cm,3cm,1cm B ．6cm,4cm,2cm C ． 8cm, 5cm, 3cm D ． 9cm,6cm,4cm13．小明通常上学时走上坡路，途中的速度为m 千米/时，放学回家时，沿原路返回，速度为n 千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（）A ．2n m +千米/时B ．n m mn +千米/时 C ．n m mn +2千米/时 D ．mnn m +千米/时 14．下列说法中正确的个数有（）①全等i 角形对应角所对的边是对应边，对应边所夹的角是对应角②全等三角形对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角③全等三角形中的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角④两个全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角是对应角A ．1个B 2个C ．3个D ．4个15．下列整式中，属于单项式的有（） ①32-；②23x y π；③21x -；④a ；⑤3265x y -；⑥2x y +；⑦22x xy y ++；⑧3x A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个二、填空题16．如果一个几何体的主视图是等腰三角形，那么这个几何体可以是．（填上满足条件的一个几何体即可）17．若 A 是锐角，且2cos 30A -=，则3tanA= ． 18．如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡB ＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡB ＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形n n n n ＡＢＣＤ的面积是 .19．如图，△ABC 是等边三角形，P 是三角形内任一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 周长为12，PD+PE+PF= .20．已知221y x x =-+-+，则y x= ． 21．某市居民用水的价格是2．2元／m 3，设小煜家用水量为卫(m 3)，所付的水费为y 元，则y 关于x 的函数解析式为；当x=15时，函数值y 是，它的实际意义是．22．A 表示一个多项式，若()23A a b a b ÷-=+，则A= ．23．小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，如图，出发时，在B 点他观察到仓库A 在他的北偏东30°处，骑行20分钟后到达C 点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为________千米．（参考数据：3≈1.732，结果保留两位有效数字）．三、解答题24．如图，张斌家居太阳光住的甲楼 AB 面向正北，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼 CD ，楼高约为 l8m ，两楼之间的距离为 21m ，已知冬天的太阳高度最低时，光线与水平线的夹角为 30°.(1)试求乙楼 CD 的影子落在甲楼 AB 上的高 BE 的长；(2)若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间的距离至少应是多少？25．如图，是一学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离 x(m)的函数的图象．(1)求此函数解析式；(2)此次推铅球成绩是多远？26．某人骑自行车以每时10km 的速度由A 地到达B 地，路上用了6小时．(1）写出时间t 与速度v 之间的关系式．(2）如果返程时以每时12km 的速度行进，利用上述关系式求路上要用多少时间？（1）t=60v； (2)5h ．27． 2x y x y -试确定 x ，y 的取值范围.28．人们发现某种蟋蟀在1min 时间内所叫次数 x(次)与当地温度 T(℃)之间的关系可近似地表示成T= ax+b ，下面是该种蟋蟀1min 所叫次数与温度变化情况对照表：蟓蟀叫的次数x …84 98 119 … 温度T(℃) … 15 17 20 …(2)如果蟋蟀1min 时间内叫了 63 次，那么估计该地当时的温度大约是多少？29．观察如图的统计图，回答下列问题：(1)我国地形分为几类?哪种地形面积最大?(2)面积最大的两种地形的面积之和占全国总面积的多少?(3)哪两种地形的面积最小?分别占多少?(4)若已知我国国土总面积是960万平方千米，你能知道各种地形的面积吗?30．小林用七巧板拼一只飞翔的鸽子，现在还剩一块有一个锐角是45°的直角三角形ABC(左下角)应该放在黑色的三角形这个位置上．你能帮助小林通过变换将直角三角形ABC放到黑色的三角形这个位置上吗?请说明你是通过怎样的变换实现的．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．C3．C4．C5．D6．D7．Ｄ8．D9．B10．D11．CD13．C14．D15．B二、填空题16．圆锥或正三棱锥或正四棱锥17．．142n - 19．4 20．21 21． y=2．2x ，33，用水量为15吨时所付水费为33元22．2223a ab b +-23．1.8三、解答题24．(1)tan30o CG GE =，21CG ==(18BE DG ==-m(2)tan 30o CD DF =18DF=，∴18DF ⋅=答：(1)乙搂落在甲楼上的影子长(18-m ；(2)两楼之间的距离至少是18 m ． 25．（1）21(4)312y x =--+；（2）10m 26．0x ≤，0y ≥28． (1)17a =，3b =；(2) 12℃ 29．(1)我国地形分五类，其中平原地形面积最大 (2)59％ (3)丘陵和山地，丘陵占12％，山地占10％ (4)丘陵960×12％=ll5．2万千米2；山地960×10％=96万千米2；盆地960×19％=l82．4万千米2；平地960×33％=316．8万千米2；高原960×26％=249．6万千米2 30．把△ABC 先向右平移6个单位，再向上平移7个单位，然后绕B 点逆时针旋转90°得到。

浙江省杭州市2014届高三命题比赛数学文(14) Word版含答案

2014年浙江省普通高中高考模拟试卷数学（文科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.选择题部分每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上3. 本试卷分选择题和非选择题两部分，考试时间120分钟，请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写到答题纸上参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么棱柱体体积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) V Sh =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥的高P (A ·B )=P (A )·P (B ) 棱台的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 13V Sh =那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率棱台的体积公式kn k k nn P P C k P --=)1()( 121()3V Sh S S =+球的表面积公式其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积， 24R S π= h 表示梭台的高球的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径选择题部分一、选择题1、[改编]已知集合{}1-==x y x M ，{})2(log 2x y x N -==，则=)(N M C R （）A ． [1,2)B ．),2[)1,(+∞-∞C ． [0,1]D ． ),2[)0,(+∞-∞ 2、[改编]在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设命题p ：AcC b B a sin sin sin ==，命题q ： ABC ∆是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件．C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、[原创] 已知直线l 、m 与平面α、β，βα⊂⊂m l ,，则下列命题中正确的是A ．若m l //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m4、[原创] 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是（）A ．3B ．33 C ．2 D ．325、[改编]已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（）A ．（0,1）B ．（1,2） C. （2,3） D. （3,4） 6、[原创]为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、[原创]过双曲线12222=-by a x 的左焦点F 作⊙O : 222a y x =+的两条切线，记切点为A,B ,双曲线左顶点为C ，若120=∠ACB ,则双曲线的渐近线方程为（） A ． x y 3±= B ． x y 33±= C ．x y 2±= D ．x y 22±=8、[改编]已知数列}{n a 满足条件：112a =，()111nn na a n N a +++=∈-，则对n 20≤的正整数，611=++n n a a 的概率为（） A.201 B.41 C.51 D ．0 9、[改编]在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（）A ．18B ．19C ．20D ．2110、函数)(x f 的定义域为D ，若对于任意D x x ∈21,，当21x x <时都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设)(x f 在[]1,0上为非减函数，且满足以下条件：).(1)1()3(:)(21)3()2(:0)0()1(x f x f x f x f f -=-==则=+)81()31(f f （）A ．43 B.21 C ．1 D ．32非选择题部分二、填空题11、[原创]设i i z (-1=是虚数单位），则=+z z2212、[原创]某校高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 _______________13、如果执行下面的程序框图，那么输出的k 的值为_________14、[原创]已知实数,x y 满足24020y x y x y ≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则22y x +15、[改编] 已知,a b 均为单位向量，且它们的夹角为60°，当||()a b R λλ+∈取最小值时，λ=___________。

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２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分）1．“a＝2，b=”是“曲线C：22221(,,0)x ya b R aba b+=∈≠经过点)”的（A)．A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A.解答:当a=2, b=曲线C:22221x ya b+=经过)；当曲线Ｃ：22221x ya b+=经过点)时,即有22211a b+=,显然2,a b=-=也满足上式。

所以“a＝2, b=”是“曲线C：22221x ya b+=经过点)”的充分不必要条件。

２.已知一个角大于１20º的三角形的三边长分别为,1,2m m m++，则实数m的取值范围为( Ｂ)．Ａ．1m>B．312m<<C．332m<< D.3m>答案：B.解答:由题意可知：222(1)2(2)(1)(1)m m mm m m m m++>+⎧⎨+>++++⎩解得312m<<。

3．如图,在正方体ABCD-A1B１C1D1中，Ｍ为BB1的中点,则二面角M－CD1－A的余弦值为( C )．A．B.12Ｃ．D答案:Ｃ.解答：以D为坐标原点,1,,DA DC DD所在的直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系,则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M,且平面1ACD的法向量为1n=(1,1,1),平面1MCD法向量为2(1,2,2)n=-。

因此123cos,n n<>=即二面角M-CD第3题图1A1１-A。

４.若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为 ( Ｃ ).A ． 1 Ｂ. 54 C ． 75Ｄ. 2 答案：C.解答：由,a b 满足的条件知13b a ≤≤,所以2372252a b b a b a+=-≤++,当13(,)(,)22a b =取等号。

５. 已知等腰直角△ＰQ Ｒ的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上,记△ＰQ Ｒ,△ＡBC 的面积分别为Ｓ△PQ Ｒ,S △ＡBC ,则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( D ).A. 12B. 13 C ． 14 Ｄ． 15 参考答案:Ｄ．解答：如图5－1所示,图5－1 图5-２(１)当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==．又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.AB P H过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最大值为14. (2)当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5－２所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=在Rt CPR ∆中,,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中,31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理， 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+,因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+．这样,PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++,当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15．6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ,*n N ∈，若1220151a a a +++<，则实数x 等于（ D ).A.32-B.512- C ．940- D.1160-答案：D.(1)111(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)n nx a x x nx x x n x x x nx +-==-+++++-++++则20151111(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)k k a x x x x x x ==-<⇔+++>+++∑,所以111111(1,)(,)(,)(,)234201320142015x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞，经检验只有1160x =-符合题意。

7．若过点P （1，0),Ｑ(2，0)，R （4，0），Ｓ（８,0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于（ C ）． A.1617 B. 365 C. 265Ｄ. 19653答案:C.解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为a ,面积为,S 过P 的直线的倾斜角为(0)2πθθ<<。

当过点,P Q 的直线为正方形的对边所在的直线时，sin cos sin 4cos sinPQ a RS θθθθθ==⇔=⇔=，此时正方形的面积216(sin )17S PQ θ==。

同理，当过点,P R 的直线为正方形的对边所在的直线时,365S =；当过点,P S 的直线为正方形的对边所在的直线时,19653S =. ８.若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合A中的元素个数为( Ｂ ).A ．4030 Ｂ．4032 Ｃ． 2015２ D. ２０１６２答案:Ｂ．解答:由已知得20162015(21)25n n m ++=,因为,21n n m ++一奇一偶,所以,21n n m ++两者之一为偶数,即为2016201620162201620152,25,25,,25共有2016种情况，交换顺序又得到201６种情形,所以集合A 共有４0３2个元素．二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上,9-1４每题7分,1５题8分,共50分)９.已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=,(2)(2)0f x f x +--=,且2()13f =，则1000()3f = ．答案：1-.解答：(2)(2)[1(1)][1(1)()(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=-=--=-+-=-⇒+=,所以100044112()(332)()(1)(1)() 1.333333f f f f f f =+==+=--=-=-10.若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= .答案:20156048. 解答:1211352,nn n i i i i a a a n n -===-=-+∑∑又10a =,故2*352()n a n n n N =-+∈, 20152015201511111111()823(1)31i i i i a i i i i i =====-=+-++∑∑∑20156048． 11．已知F 为抛物线25y x =的焦点,点Ａ (3,1), M 是抛物线上的动点．当||||MA MF +取最小值时,点M 的坐标为．答案:1(,1)5. 解答：设抛物线的准线为5:4l x =-．过M 作l 的垂线,垂足为,H 则 AM MF AM MH AH +=+≥,当,,A M H 三点共线时取等号，此时Ｍ的坐标为1(,1)5。

12.若22sin cos 161610xx +=,则cos 4x = ．答案:12-．解答：设2sin 16,116x tt =≤≤,则22cos 1sin 161616x x t-==,代入方程得16102,t t t +=⇒=或8t =,即21sin 4x =或34,所以cos 4x =12-。

13. 设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者.若(2)()f a f a +>,则实数a 的取值范围为 .答案:(,2)(1,0)-∞-⋃-.解答：当21a +≤-时，21,a a <+≤-此时有()(2)f a f a <+；当120a <+<时,32,a -<<-此时有()(2)1(2)f a f f a ≤-=-<+;当021a ≤+≤时,21,a -≤<-此时有()(2)f a f a ≥+；当122a <+<时，10,a -<<此时有()(2)f a f a <+;当22a +≥时,0,a ≥此时有()(2)f a f a ≥+。

1４. 已知向量,a b 的夹角为3π,5a b -=,向量c a -,c b -的夹角为23π,23c a -=，则a c ⋅的最大值为 . 答案:24.解答:,,OA a OB b OC c ===，则23, 5.AC c a AB a b =-==-=又2,,33AOB ACB ππ∠=∠=此时,,,O A C B 共圆，由正弦定理得3sin 5ABC ∠=,则4cos 5ABC ∠=。

在ACO ∆中,AOC ABC ∠=∠，由余弦定理得2222cos AC a c a c AOC =+-∠，即8122305a c a c a c ≥-⇒≤,所以cos 24a c a c AOC ⋅=∠≤，当14arctan 423ACO π∠=+时取“＝”,因此a c ⋅的最大值为24．１5．设,a b Z ∈，若对任意0x ≤,都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.b =答案：1,2ab ==-.解答:首先令0,x =知0b ≤.其次考虑过定点(0,2)的直线2y ax =+，与开口向上的抛物线22y x b =+,满足对任意0x ≤所对应图象上的点不在x 轴同侧,因此2a=．又,a b Z ∈，故1,2a b ==-.三、解答题(本大题共有3小题，16题1６分,17、18每题18分，共5２分)16. 设,a b R ∈,函数2()(1)2f x ax b x =++-.若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根,求实数a 的取值范围.参考答案:因为方程()f x x =有两个相异的实根,即方程2(1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数根,所以{20,(1)4(2)0x a b a b ≠∆=---> ………………………………4分即{202(12)810a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立,所以{204(12)4(81)0b a a a ≠∆=+-+<，…………………………………………………12分解得01a <<.…………………………………………………………………………16分17.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为,右焦点为圆222:(7C x y -+=的圆心．（Ｉ)求椭圆1C 的方程;（I Ｉ）若直线l 与曲线Ｃ1，C 2都只有一个公共点,记直线l 与圆Ｃ2的公共点为A ，求点A 的坐标.参考答案:（Ⅰ)设椭圆1C 的半焦距长为c ,则c c a⎧=⎪⎨⎪⎩,解得{21a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=.………………………………………………………………………………４分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l 的率存在时，可设直线l 的方程为(,)y kx m k m R =+∈，点A 的坐标为(,)A A x y，其中A y =联立方程2214x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=…………(１) 所以22116(41)0,k m ∆=-+=即22410k m -+=……………………（2）……………………………………………8分联立方程22(7x y y kx m⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得222(1)2(40k x km x m ++-+-= (3)所以22216(47)0,k m ∆=--+=即22470k m --+=……………………………(4）…………………………12分(2)－(4)得km =……………………………… (５)（5）代入（3)得0A x ==………………(6)…………………………１６分（6)代入222:(7C x y +=得2A y =±．经检验(0,2),A 或(0,2)A -符合题意,这样点A 的坐标为(0,2),(0,2)-．…………1８分18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩.证明:505020a b +>. 参考答案:证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++，所以 49492222505011221111()2()i i i i i i i i a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=……………………８分又1112n n n n n na b a b a b ++=++，所以49505011111111124998100i i i a b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑ (6)所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>……１8分四、附加题(本大题共有2小题，每题2５分,共５０分）附加1已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+，*n N ∈.(I) 证明:{}n a 是正整数数列;(I Ｉ）是否存在*m N ∈,使得2015m a ，并说明理由．参考答案：(Ⅰ)由13n n a a +=+得2211640n n n n a a a a +++++=，……………………………… （１)同理可得 222212640n n n n a a a a +++++++=，………………（2）……………………5分由（1）(2)可知,2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根,又2n n a a +<,即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=-因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.……………………………………………………１0分（Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .…………………………………………………1５分假设存在*m N ∈,使得2015m a ，则31m a .一方面，2214m m m a a a ++=+,所以21314m a ++,即214(mod 31)m a +≡-,所以301530142(mod 31)m a +≡-≡-.由费马小定理知3021(mod 31)≡，所以3011(mod 31)m a +≡-…………………………20分另一方面,1(,31)1m a +=.事实上,假设1(,31)1m a d +=>,则31d ,即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314．矛盾.所以,由费马小定理得3011(mod 31)m a +≡.这样得到11(mod 31)≡-．矛盾．所以不存在*m N ∈，使得2015m a .………………25分附加2 设k 为正整数,称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x +为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<<; (２)1221k k k x x x +++>>>;(３）212231k k k x x x +++<<<．记k d 为所有“Ｎ型”排列的个数.(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．参考答案:首先注意到1k x +的值只能取31,3,,21k k k ++这些数字,因为必须有２k 个值比它小,而21k x +的值只能取1,2,,1k +这些数字，因为必须有2k 个值比它大。