年浙江省高中数学竞赛试卷(word版-含答案)

２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分）

1．“a＝2，

b=”是“曲线C：

22

22

1(,,0)

x y

a b R ab

a b

+=∈≠

经过点)”的（A)．

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A.

解答:当a

=2, b=曲线C:

22

22

1

x y

a b

+=

经过)；当曲线Ｃ：22

22

1

x y

a b

+=

经过点)时,即有22

21

1

a b

+=,

显然2,

a b

=-=也满足上式。所以“a＝

2, b=”是“曲线C：

22

22

1

x y

a b

+=

经过点)”的充分不必要条件。

２.已知一个角大于１20º的三角形的三边长分别为,1,2

m m m

++，则实数m的取值范围为( Ｂ)．

Ａ．1

m>B．3

1

2

m

<

3

3

2

m

<< D.3

m>

答案：B.

解答:由题意可知：

222

(1)2

(2)(1)(1)

m m m

m m m m m

++>+

⎧

⎨

+>++++

⎩

解得

3

1

2

m

<<。

3．如图,在正方体ABCD-A1B１C1D1中，Ｍ为BB1的中点,

则二面角M－CD1－A的余弦值为( C )．

A．

B.

1

2

Ｃ．

D

答案:Ｃ.

解答：以D为坐标原点,1

,,

DA DC DD所在的直线分别为,,

x y z轴建立空间直角坐标系,则

1

1

(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)

2

D A C D M,且平面

1

ACD的法向量为1

n=(1,1,1),平面

1

MCD法向量为

2

(1,2,2)

n=-。因此

12

3

cos,n n

<>=即二面角M-CD

第3题图

1

A1

１

-A

。 ４.若实数,a b 满足20

101

a b b a a +-≥⎧⎪

--≤⎨⎪≤⎩

，则22a b a b ++的最大值为 ( Ｃ ).

A ． 1 Ｂ. 54 C ． 75

Ｄ. 2 答案：C.

解答：由,a b 满足的条件知13b a ≤

≤,所以

2372252a b b a b a

+=-≤++,当13

(,)(,)22a b =取等号。

５. 已知等腰直角△ＰQ Ｒ的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上,记△ＰQ Ｒ,△ＡBC 的面积分别为Ｓ△PQ Ｒ,S △ＡBC ,则

PQR ABC

S S ∆∆的最小值为( D ).

A. 12

B. 1

3 C ． 1

4 Ｄ． 1

5 参考答案:Ｄ．

解答：如图5－1所示,

图5－1 图5-２

(１)当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，

180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应

用正弦定理得

,sin sin sin sin PR AR QR BR

A APR

B BQR

==．又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.

A

B P H

过R 作RH AC ⊥于H ，则1

2

PR RH BC ≥=,所以

2

2

221

()124

PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时

PQR ABC

S S ∆∆的最大值为

1

4

. (2)当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5－２所示，设

1,(01),(0)2

BC CR x x BRQ π

αα==≤≤∠=<<

,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=

在Rt CPR ∆中,,sin sin CR x

PR αα

=

= 在BRQ ∆中,3

1,,sin 4

x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理， 1sin 3sin sin sin sin()44x

PQ RB x

B PQB αππα-=⇔=⇔∠+

1

sin cos 2sin x ααα

=

+,因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+． 这样,

PQR ABC

S S ∆∆2222

111

(

)cos 2sin (12)(cos sin )5

αααα=≥=+++,当且仅当arctan 2α=取等号，此时

PQR ABC

S S ∆∆的最小值为1

5

．

6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)

(1)

n nx

a x x nx =

+++ ,*n N ∈，若

1220151a a a ++

+<，则实数x 等于（ D ).

A.3

2

-

B.512- C ．940- D.1160-

答案：D.

(1)111

(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)

(1)

n nx a x x nx x x n x x x nx +-=

=-

+++++-++++

则

2015

1

1

11(1)(21)

(20151)0(1)(21)(20151)

k k a x x x x x x ==-

<⇔+++>+++∑,所以

111

111

(1,)(,)(,)(,)234201320142015

x ∈--⋃--⋃

⋃-

-⋃-+∞，经检验只有1160x =-