(新课程)高中数学《1.5定积分的概念》导学案 新人教A版选修2-2
【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.5定积分的概念
第一章导数及其应用
其中 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限__，区间[a，
b] 叫做 __积__分__区__间___ ， 函数 f(x) 叫做 __被__积__函__数__ ，x 叫 做
__积__分__变__量___，f(x)dx 叫做_被__积___式___．
讲一讲
2．汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h) 为 v(t)＝t2＋2，那么它在 1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的 路程为多少？
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间 为1＋i－n 1，1＋ni (i＝1,2，…，n)．
第 i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi≈Δξi′＝v(t)·n1＝v1＋i－n 1·n1＝n3＋2in－2 1＋i－n312，
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
练一练
2．已知作自由落体运动的物体的运动速度 v＝gt，求在 时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解：①分割． 将时间区间[0，t]等分成 n 个小区间，其中第 i 个区间 为i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段 Δt ＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间内物体下落的距离，记作 ΔSi.
b
故 f(ξi)·Δxi<0，从而定积分af(x)dx<0，这时它等于图中 所示曲边梯形面积的相反数，
b
b
即af(x)dx<0＝－S 或 S＝－af(x)dx<0.
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
2
(7)
0
4－x2dx 的几何意义是什么？
提示：是由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝ 4－x2所
高中数学1.5.3定积分的概念第3课时教案新人教版选修2_2
§1.5.3定积分的概念【学情分析】：前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。
学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。
【教学目标】：（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。
（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.【教学重点】：理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质【教学难点】：对定积分概念形成过程的理解【教学过程设计】：()1i ∑练习与测试： （基础题） 1.函数()f x 在[],a b 上的定积分是积分和的极限，即()baf x dx =⎰_________________ .答案：01lim()niii f x λξ→=∆∑2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量；3.定积分的几何意义是_______________________ .答案：介于曲线()y f x =,x 轴 ,直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和；4.据定积分的几何意义()a b <，则________;badx =⎰________.baxdx =⎰答案：b a - ， 222b a -（提高题）5.将和式极限表示成定积分 (1). 21lim(12)n n n →∞+++ 解：122011111lim (12)lim lim n nn n n i i i n i xdx nnn n→∞→∞→∞==+++===∑∑⎰ (2).201lim ()ni ii f x λξ→=∆∑，其中{}0121,[,],n i i i i x a x x x b x x Max x ξλ-=<<<<=∈=解：2201lim()()()nbbi i aai f x g x dx f x dx λξ→=∆==∑⎰⎰6. 利用定义计算定积分211.dx x⎰解：在[1,2]中插入分点21,,,n q q q -,典型小区间为1[,]i i q q -，（1,2,,i n =）小区间的长度11(1)i i i i x q q q q --∆=-=-,取1i i q ξ-=，（1,2,,i n =）1111111()(1)nnni i i i i i i i i f x x q q q ξξ--===∆=∆=-∑∑∑1(1)(1)ni q n q ==-=-∑取2nq =即12nq =，11()(21),nniii f xn ξ=∆=-∑1121lim (21)limln 2,1x xx x x x→+∞→+∞--==1lim (21)ln 2,nn n →∞∴-=1210111lim lim (21)ln 2.nn i n i idx x n x λξ→→∞==∆=-=∑⎰。
高中数学1.5.2定积分的概念第2课时教案新人教版选修2_2
§1.5.2汽车行驶的路程
【学情分析】：
学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。
这一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。
【教学目标】：
（1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。
（2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法
（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。
【教学重点】：
“以不变代变”的思想方法，再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想【教学难点】：
过程的理解．
【教学过程设计】：
b n
n ∑。
高中数学 教案定积分及其应用学案 新人教A版选修2-2 学案
某某省某某市肥城市第三中学高中数学教案定积分及其应用学案新人教A版选修2-2yy记作f(x)dx 。
即f(x)dx ＝)(1lim i ni n f n ab ξ∑=∞→-。
其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为 积分上限和积分下限。
2定积分的几何意义：①若0)(≥x f ，则积分⎰badxx f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即S dx x f ba=⎰)(②若0)(≤x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即S dx x f ba-=⎰)(③一般情况下，定积分⎰b adxx f )(表示介于x 轴、曲线()f x及b x a x ==,之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值的相反数， 3定积分的性质。
（１）⎰badx x kf )(＝k ⎰ba dxx f )(。
（２）[]dx x fx f ba)()(21±⎰＝。
（３）dx x f ba⎰)(＝ 。
4微积分基本定理：一般地，若f(x)为在][b a ,上的连续函数，且有)()(x f x F ='，那么⎰=badx x f )(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式，可记作⎰=badx x f )(= 。
常见求定积分的公式新知得到知识1n B.1n C.1n D.3lim n n →∞由落体的速，则落体从到0t t =所走路程为B.gtC.2012gtD.2014gt答案： 234-125+2l 4n四．精讲点拨： 例1：计算下列定积分：（1）dx x ⎰402sin π（2）。
dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121（3）dx x ⎰-2123答案：（1）418-π（2）21e 4+ln2-21e 2 (3)21例2利用定积分求图形的面积：求由抛物线,12-=x y 直线x=2，y=0围成的图形的面积。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念1 新人教A版选修2-2
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___， 那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念
1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】 知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________________．记为_______. 其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 叫做积分____，a 叫做积分_____________．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（２）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰． 2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间)(],[x f b a 上函数连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰ba dx x f )(表示直线x a =,()xb a b =≠,0y =和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.3．定积分的性质：（１）=⎰ba kdx _______（k 为常数）； （２）=⎰ba dx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）； （３）[]=±⎰b a dx x f x f )()(21_______________； （４）=⎰ba dx x f )(__________________（其中bc a <<）． 对点练习：1.下列等于1的积分是（ ）A.dx x ⎰10B.dx x ⎰+10)1(C.dx ⎰101D.dx ⎰1021 3．设⎩⎨⎧<≥=⎰-112)().0(2),0()(dx x f x x x x f x 则的值是（ ） A.⎰-112dx x ⎰-112.dx B x ⎰⎰+-100122.dx dx x C x ⎰⎰+-102012.dx x dx D x 3．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴下方）时，定积分⎰ba dx x f )(表示___________________________. 【合作探究】 典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ⎰-31|2|的值．变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分21(1)x dx+⎰的值．例2.利用定积分的定义，计算⎰103dxx的值．变式练习：计算⎰203dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A.［0，2e ］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］2.下列命题不正确的是（ ）．A.若)(x f 是连续的奇函数，则0)(=⎰-a a dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)( C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则0)(>⎰b a dx x f D.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>⎰b adx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正3.化简求值=+⎰⎰2110xdx xdx ______________＝ _____________ ．4.试用定积分的几何意义说明⎰-2024dx x 的大小．【课时作业】1.已知⎰⎰+=2020]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )A.9B.12C.15D.182.若函数x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 等于（ ）．A.0B.8C.⎰20)(dx x fD.2⎰20)(dx x f3.将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分是（ ） A.dx x ⎰101B.dx x p⎰10 C.dx x p ⎰10)1( D.dx n x p⎰10)(4.利用定积分的性质和几何意义求定积分⎰-302)2(dx x ．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.。
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割?近似代替?求和?取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a?x0?x1?x2? …?xi?1?xi?…?xn?b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x?______，在每个小区间?xi?1,xi?上取一点?i?i?1,2,Sn??f(?i)?x??i?1i?1nn,n?，作和式：b?af(?i).如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和n式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为________________________．记为_______. 其中f(x)称为_________，x叫做________，[a,b]为_______，b叫做积分____，a叫做积分_____________．说明：（1）定积分?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为?baf(x)dx，而不是Sn．b（２）曲边图形面积：S??f?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；变力做功at1t2W??F(r)dr．ab2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)?0，那么定积分示直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.?f(x)dx表ab3．定积分的性质：（１）kdx?_______（k为常数）；a?b（２）kf(x)dx?____________（其中k是不为0的常数）；a?b（３）（４）??f(x)?fa1bab2(x)?dx?_______________；． ?f(x)dx?__________________（其中a?c?b）对点练习：1.下列等于1的积分是（） A.??101xdx B.?(x?1)dx01C.1dx D.01?02dx1?x2(x?0),13．设f(x)??x则f(x)dx的值是（）?2(x?0).?1?A.?01?1x2dx B.?2xdx?121x0x10?101C.?xdx??2dx D.?2dx??x2dx?13．曲线y?x2,x?0,y?1，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)?0（即函数图象在x轴下方）时，定积分?f(x)dx表示___________________________.ab【合作探究】典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：|x?2|dx的值．1?3变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分例2.利用定积分的定义，计算?21(x?1)dx的值．?x013dx的值．变式练习：计算?20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由y?ex,x?2,y?1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）A.［0，e2］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（）． A.若f(x)是连续的奇函数，则B.若f(x)是连续的偶函数，则??a?aaf(x)dx?0 f(x)dx?2f(x)dx0?a?aC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正，则D.若f(x)在[a,b]上连续且b?f(x)dx?0ab?f(x)dx?0，则f(x)在[a,b]上恒正a3.化简求值xdx?xdx?______________＝ _____________ ．01?1?24.试用定积分的几何意义说明?204?x2dx的大小．【课时作业】1.已知?20f(x)dx?3,则[f(x)?6]dx=( )0?2A.9 B.12 C.15 D.18 2.若函数f(x)?x3?x，则?2?2f(x)dx等于（）．A.0B.8C.f(x)dxD.2f(x)dx00?2?23.将和式的极限1p?2p?3p?.......?nplim(p?0)表示成定积分是（） n??nP?111pA.?dx B.?xdx00x1x11C.?()pdx D.?()pdx 0x0n14.利用定积分的性质和几何意义求定积分?30(2?x)2dx．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.yAy?f1(x)BDy?f(x)C2bxOa感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2014年人教A版选修2-2教案 1.5定积分的概念
1.5 定积分的概念三维目标：知识与技能：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分． 3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。
情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江省的国土面积。
此问题在学生九年级中已有涉及，在九 年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。
方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。
方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P 足够大时，统计落入不规则图形中的点 数A ，则图形的面积与正方形面积的比约为。
方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。
二．合作探究问题一 曲边梯形的面积如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 提出自己的看法，同伴之间进行交流。
探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念学案(含解析)新人教A版选修2-
1．5.3 定积分的概念问题1提示：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：你能将区间等分吗？ 提示：可以．定积分的概念如果函数f (x )在区间上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －a nf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x ，即⎠⎛ab f(x)d x ＝lim n→∞∑i ＝1nb －an f(ξi )．其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．对定积分概念的理解由定义可得定积分⎠⎛ab f(x)d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a b f(t)d t ＝⎠⎛ab f(u)d u.问题1：根据定积分的定义，求⎠⎛12(x ＋1)d x 的值是多少．提示：⎠⎛12(x ＋1)d x ＝52.问题2：⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f(x)＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？提示：相等．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数f(x)连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x的几何意义．评析定积分的几何意义关于定积分的几何意义，当函数f(x)在区间上恒为正时，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛ab f(x)d x 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.问题1：利用定积分的定义，试求⎠⎛12x 2d x ，⎠⎛122x d x ，⎠⎛12(x 2＋2x)d x.提示：计算得⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛122x d x ＝3，⎠⎛12(x 2＋2x)d x ＝163.问题2：由问题1计算得出什么结论？提示：⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x)d x.问题3：还有相类似的性质吗？ 提示：有．定积分的性质(1)⎠⎛ab kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)；(2)⎠⎛a bd x ＝⎠⎛abf 1(x)d x±⎠⎛abf 2d x；(3)⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a c f(x)d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)．对定积分的性质的说明定积分的性质(1)(2)被称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)被称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：①⎠⎛a bd x ＝⎠⎛abf 1(x)d x±⎠⎛abf 2d x±…±⎠⎛ab f m (x)d x(m ∈N *)．②⎠⎛a b f(x)d x ＝∫c 1a f(x)d x ＋⎠⎛c 1c 2f(x)d x ＋…＋⎠⎛bc kd x (a<c 1<c 2<…<c k <b ，且k ∈N *)．⎠⎛1令f(x)＝3x ＋2. (1)分割在区间上等间隔地插入n －1个分点，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n)，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n＋i －n＋2·1n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2＋5n ＝3n 2＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝li m n→∞S n ＝li m n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤利用定积分的定义，计算⎠⎛12(x ＋1)d x 的值．解：f(x)＝x ＋1在区间上连续，将区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx ＝1n.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)， ∴f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，∴∑i ＝1nf(ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n＋1n2 ＝2＋n －12n ＝2＋12－12n ＝52－12n，∴⎠⎛21(1＋x)d x ＝lim n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12n ＝52.(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3) ⎠⎛－111－x 2d x.(1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32.(3)⎠⎛1－11－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．解：图①中，被积函数f(x)＝－1－x 在区间上连续不间断，且f(x)≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为 S ＝－⎠⎛－12 (－1－x)d x ＝12×3×3＝92，所以阴影部分的面积为92.图②中，被积函数f(x)＝－1－x 2在区间上连续不断，且f(x)≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为S ＝－⎠⎛－11－1－x 2d x ＝12π×12＝π2，所以阴影部分的面积为π2.已知⎠⎛01x 3d x ＝4，⎠⎛12x 3d x ＝4，⎠⎛12x 2d x ＝3，⎠⎛24x 2d x ＝3，求下列各式的值：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .(1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.定积分与函数的奇偶性若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在上连续，则： (1)若函数f (x )为奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝0；(2)若函数f (x )为偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .已知⎠⎛a b d x ＝12，⎠⎛ab g(x )d x ＝6，求⎠⎛ab 3f (x )d x .解：∵⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a b g(x )d x ＝⎠⎛ab d x ，∴⎠⎛a b f (x )d x ＝12－6＝6，∴⎠⎛ab 3f (x )d x ＝3⎠⎛ab f (x )d x ＝3×6＝18.5.错用定积分的几何意义致误由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为________．由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形可以分成三部分：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，利用定积分的几何意义可得，所求面积为π⎰2cos x d x －ππ⎰322cos x d x ＋2ππ⎰32cos x d x .π⎰2cos x d x －ππ⎰322cos x d x ＋2ππ⎰32cos x d x1．若对定积分的几何意义理解不到位，则易错误地表示为∫2π0cos x d x. 2．写定积分时应注意：当f(x)≥0时，S ＝⎠⎛abd x ；而＜0时，S ＝－⎠⎛abd x.由定积分的几何意义可得⎠⎛－13(3x ＋1)d x ＝________. 解析：由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示．⎠⎛－13(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛－13 (3x ＋1)d x＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13×(3×3＋1)－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1×2＝503－23＝16. 答案：161．下列等式不成立的是( ) A. ⎠⎛a b d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛ab g(x )d xB. ⎠⎛a b d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －aC. ⎠⎛ab f (x )g(x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g(x )d xD.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2ππsin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 2．图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.⎠⎛012xd xB.⎠⎛01(2x－1)d xC .⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x)d x解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵0<x <π2∴sin x >0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为π⎰2sin x d x .答案：π⎰2sin x d x4．若⎠⎛a b d x ＝3，⎠⎛a b d x ＝1，则⎠⎛ab d x ＝________.解析：⎠⎛ab d x＝⎠⎛a b d x＝⎠⎛ab d x －⎠⎛ab d x＝3－1＝2. 答案：25．用定积分的几何意义求⎠⎛－114－x 2d x .解：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB·BC ＝23， ∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.一、选择题1．若⎠⎛a b f(x)d x ＝1，⎠⎛ab g(x)d x ＝－3，则⎠⎛ab d x 等于( )A ．2B ．－3C ．－1D ．4解析：选C ⎠⎛a b d x ＝2⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛ab g(x)d x ＝2×1－3＝－1.2．由定积分的几何意义可得⎠⎛02x2d x 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 定积分⎠⎛02x 2d x 等于直线y ＝x 2与x ＝0，x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝12×2×1＝1.3．已知f(x)为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D ∵被积函数f(x)是偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等，∴⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛06f(x)d x ＝2×8＝16.4．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.5．定积分⎠⎛01x d x 与⎠⎛01x d x 的大小关系是( )A .⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01x d xB .⎠⎛01x d x ＞⎠⎛01x d xC .⎠⎛01x d x ＜⎠⎛01x d x D ．无法确定解析：选C 由定积分的几何意义结合右图可知⎠⎛01x d x ＜⎠⎛01x d x. 二、填空题6．设f(x)是连续函数，若⎠⎛01f(x)d x ＝1，⎠⎛02f(x)d x ＝－1，则⎠⎛12f(x)d x ＝________.解析：⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01f(x)d x ＋⎠⎛12d x ，所以⎠⎛12d x ＝⎠⎛02f(x)d x －⎠⎛01f(x)d x ＝－2.答案：－27．如下图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．解析：由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛2－4x 22d x. 答案：⎠⎛2－4x 22d x 8.⎠⎛2－2(sin x ＋2x)d x ＝________. 解析：由定积分的性质可得⎠⎛2－2(sin x ＋2x)d x ＝ ⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠⎛2－22x d x.又因为y ＝sin x 与y ＝2x 都是奇函数，故所求定积分为0. 答案：0三、解答题9．求⎠⎛1－1f(x)d x 的值，其中f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，－1≤x<0，e －x ，0≤x≤1，且⎠⎛0－－d x ＝－2，⎠⎛01e －x d x ＝1－e －1.解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠⎛0－1f(x)d x ＋⎠⎛01d x＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．10．利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)⎠⎛1－1|x|d x ； (2)⎠⎛01d x.解：(1)如下图，因为A 1＝A 2，所以⎠⎛1－1|x|d x ＝2A 1＝2×12＝1. (A 1，A 2分别表示图中相应各处面积)(2)⎠⎛01d x ＝⎠⎛011d x －⎠⎛011－－2d x ，即用边长为1的正方形的面积减去圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，为1－π4.。
数学：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)
文档从网络收集.经重新纠错整理.word 可编辑.欢迎下载支持- 1 - 1.5.3 定积分的概念教学目标：1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2. 理解定积分及几何意义.3. 掌握定积分的基本性质及其计算 教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算 教学过程：1. 定积分的定义：2. 怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰b a dx x f )(的几何意义是什么?梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a==≠==⎰ 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.⎰-2024dx x 的大小由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴⎰dx x 2. 0113=⎰-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算0103=⎰dx x 的值.6.由定积分的定义可得到哪些性质？ 常数与积分的关系 ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( 和差的积分 推广到有限个也成立⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121 区间和的积分等于各段积分和)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=⎰⎰⎰其中 7练习：计算下列定积分⎰-312)2(dx x x。
(新课程)高中数学《1.5定积分的概念》教案 新人教A版选修2-2
§1.5.3定积分的概念教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b axn），在每个小区间1,i i x x 上任取一点1,2,,ii n ，作和式：如果x 无限接近于0（亦即n）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()b aS f x dx，其中积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()b af x dx 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n时）记为()b af x dx，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点1,ii i x x ；③求和：1()ni i b af n；④取极限：1()l i mnb inai ba f x dxfn（3）曲边图形面积：b aSf x dx ；变速运动路程21()t t S v t dt ；变力做功()b aWF r dr2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ，那么定积分b af x dx表示由直线,(),0xa xb a b y和曲线()y f x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分b af x dx 的几何意义。
高中数学 1.5 2定积分概念与性质教案 新人教A版选修2-2
2013年高中数学 1.5 2定积分概念与性质教案新人教A版选修2-2一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形设函数y f(x)在区间[a b]上非负、连续由直线x a、x b、y0及曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间[a b]中任意插入若干个分点a x0x1x2x n1x n b把[a b]分成n个小区间[x0x1] [x1x2] [x2x3] [x n1x n]它们的长度依次为D x1 x1x0 D x2 x2x1D x n x n x n1经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形在每个小区间[x i1x i]上任取一点x i以[x i1x i]为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i12n) 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即 Af (x 1)D x 1 f (x 2)D x 2f (x n )D x n ∑=∆=ni ii x f 1)(ξ求曲边梯形的面积的精确值 显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记 max{D x 1D x 2D x n }于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni ii x f A 10)(lim ξλ2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动已知速度v v (t )是时间间隔[T 1T 2]上t 的连续函数 且v (t )0 计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程 我们把时间间隔[T 1T 2]分成n 个小的时间间隔D t i 在每个小的时间间隔D t i 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔D t i 内某点x i 的速度v (t i ) 物体在时间间隔D t i 内 运动的距离近似为D S iv (t i ) D t i 把物体在每一小的时间间隔D t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是在时间间隔[T 1 T 2]内任意插入若干个分点T 1t 0 t 1 t 2t n1t n T 2把[T 1 T 2]分成n 个小段[t 0t 1] [t 1 t 2] [t n1t n ]各小段时间的长依次为 D t 1t 1t 0 D t 2t 2t 1 D t n t n t n1相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为D S 1D S 2 D S n在时间间隔[t i 1t i ]上任取一个时刻i(t i1 it i )以i时刻的速度v ( i)来代替[t i1t i ]上各个时刻的速度得到部分路程D S i 的近似值即D S iv (i) D t i (i 1 2 n )于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ求精确值记 max{D t 1 D t 2D t n }当0时取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni ii t v S 10)(lim τλ设函数y f (x )在区间[a b ]上非负、连续 求直线x a 、x b 、y 0及曲线y f (x )所围成的曲边梯形的面积(1)用分点a x 0x 1x 2x n1x n b 把区间[ab ]分成n 个小区间[x 0x 1] [x 1x 2] [x 2x 3] [x n 1x n ] 记D x i x i x i 1 (i 1 2n )(2)任取x i [x i 1x i ] 以[x i1x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i1 2 n ) 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈ni ii x f A 1)(ξ (3)记max{D x 1 D x 2D x n } 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=ni ii x f A 10)(lim ξλ设物体作直线运动 已知速度v v (t )是时间间隔[T 1T 2]上t 的连续函数且v (t )0 计算在这段时间内物体所经过的路程S (1)用分点T 1t 0t 1t 2 t n1t n T 2把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小时间 段[t 0 t 1] [t 1 t 2][t n1t n ] 记D t it i t i 1 (i 1 2 n )(2)任取i[t i1t i ] 在时间段[t i 1t i ]内物体所经过的路程可近似为v (i)D t i(i 1 2n ) 所求路程S 的近似值为∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ (3)记max{D t 1 D t 2D t n } 所求路程的精确值为∑=→∆=ni ii t v S 1)(lim τλ二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数f (x )在[a b ]上有界 在[a b ]中任意插入若干个分点a x 0 x 1 x 2x n1x n b把区间[ab ]分成n 个小区间[x 0 x 1] [x 1 x 2][x n1x n ]各小段区间的长依次为D x 1x 1x 0 D x 2x 2x 1D x nx n x n1在每个小区间[x i1x i ]上任取一个点x i (x i 1x i x i )作函数值f (x i )与小区间长度D x i 的乘积f (x i ) D x i (i 1 2n ) 并作出和∑=∆=n i ii x f S 1)(ξ记 max{D x 1 D x 2D x n } 如果不论对[a b ]怎样分法 也不论在小区间[x i 1x i ]上点x i 怎样取法只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a b ]上的定积分 记作⎰b a dxx f )(即 ∑⎰=→∆=ni ii ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ其中f (x )叫做被积函数 f (x )dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限[a b ]叫做积分区间定义 设函数f (x )在[a b ]上有界 用分点a x 0x 1x 2x n1x n b 把[a b ]分成n 个小区间[x 0x 1] [x 1 x 2][x n1x n ] 记D x i x i x i 1(i 1 2n )任x i [x i1x i ] (i 1 2n ) 作和∑=∆=ni ii x f S 1)(ξ 记max{D x 1 D x 2D x n } 如果当0时上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b ]的分法和x i 的取法无关 则称这个极限为函数f (x )在区间[a b ]上的定积分 记作⎰ba dxx f )(即 ∑⎰=→∆=ni ii ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ根据定积分的定义曲边梯形的面积为⎰=b a dxx f A )(变速直线运动的路程为dtt v S T T )(21⎰=说明(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即⎰⎰⎰==ba b a b a duu f dt t f dx x f )()()((2)和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和(3)如果函数f (x )在[a b ]上的定积分存在 我们就说f (x )在区间[ab ]上可积函数f (x )在[a b ]上满足什么条件时f (x )在[a b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a b ]上连续 则f (x ) 在[a b ]上可积定理2 设f (x )在区间[a b ]上有界 且只有有限个间断点 则f (x ) 在[ab ]上可积定积分的几何意义在区间[a b ]上当f (x )0时积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线y f (x )、两条直线x a 、x b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积 当f (x )0时 由曲线y f (x )、两条直线xa 、x b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dxx f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ当f (x )既取得正值又取得负值时 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方而其它部分在x 轴的下方如果我们对面积赋以正负号 在x 轴上方的图形面积赋以正号 在x 轴下方的图形面积赋以负号则在一般情形下定积分⎰b a dx x f )(的几何意义为它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x a 、x b 之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例1. 利用定义计算定积分dxx 210⎰解 把区间[0 1]分成n 等份 分点为和小区间长度为n ix i =(i 1 2n1) nx i 1=∆(i 1 2n )取n i i =ξ(i1 2n ) 作积分和)12)(1(61113123++⋅==∑=n n n ni nni )12)(11(61n n ++=因为n 1=λ 当l 0时 n 所以31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ利定积分的几何意义求积分:例2 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dxx解: 函数y 1x 在区间[0 1]上的定积分是以y 1x 为曲边 以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以y 1x 为曲边 以区间[01]为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1 所以 211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x三、定积分的性质 两点规定 (1)当ab 时 0)(=⎰b a dx x f(2)当a >b 时 ⎰⎰-=a b b a dxx f dx x f )()(性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即⎰⎰⎰±=±b a b a b a dxx g dx x f dx x g x f )()()]()([证明:⎰±ba dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 1)]()([lim ξξλ ⎰⎰±=b a b a dxx g dx x f )()(性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 ⎰⎰=b a b a dxx f k dx x kf )()(这是因为∑⎰=→∆=n i i i ba x kf dx x kf 1)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→ba ni i i dxx f k x f k )()(lim 10ξλ性质 3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 ⎰⎰⎰+=b c c a b a dxx f dx x f dx x f )()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论a bc 的相对位置如何总有等式成立 例如 当a <b <c 时 由于 ⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()(于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=b c c a dxx f dx x f )()(性质4 如果在区间[a b ]上f (x ) 1 则 ab dx dx b a b a -==⎰⎰1性质5 如果在区间[ab ]上 f (x )0则⎰≥b a dx x f 0)((a b ) 推论1 如果在区间[ab ]上 f (x ) g (x ) 则⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()((a b ) 这是因为g (x )f (x )0 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(所以⎰⎰≤b a b a dxx g dx x f )()(推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(ab )这是因为|f (x )| f (x ) |f (x )| 所以 ⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(||性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a b ]上的最大值及最小值 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()((a b )证明 因为 m f (x ) M所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )(从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a b ]上连续 则在积分区间[a b ]上至少存在一个点x 使下式成立⎰-=b a a b f dx x f ))(()(ξ这个公式叫做积分中值公式证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(各项除以b a 得 ⎰≤-≤ba M dx x f ab m )(1再由连续函数的介值定理 在[ab ]上至少存在一点x 使 ⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ于是两端乘以b a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ积分中值公式的几何解释应注意 不论a <b 还是a >b 积分中值公式都成立。
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§1.5定积分的概念
学习目标
1．理解曲边梯形面积的求解思想
,掌握其方法步骤；
2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；
3．明确定积分的几何意义和物理意义；
4．无限细分和无穷累积的思维方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材，找出疑惑之处）
复习1：函数23
(sin)
y x
=的导数是
复习2：若函数2
log(23)
a
y x x
=--的增区间是(,1)
-∞-，则a的取值范围是
二、新课导学
学习探究
探究任务一：曲边梯形的面积
问题：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()
y f x
=的一段，我们把直线x a
=，x b
=()
a b
≠，0
y=和曲线()
y f x
=所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢？
研究特例：对于1
x=，0
y=，2
y x
=围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？
新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程
分割⇒近似代替⇒求和⇒取极限
2.定积分的定义：
1
()lim()
n
b
i
a n
i
b a
f x dx f
n
ξ
→∞
=
-
=∑
⎰
3.定积分的几何意义：
4.定积分的性质：
（1）()()b b
a a kf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数） （2）1212[()()]()()
b b b
a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()
b
c b
a a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a c
b <<） 试试：求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积.
反思：在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点）
典型例题
例1 利用定积分的定义，计算1
30x dx ⎰的值
变式：计算2
30x dx ⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么？
例2 计算定积分1
20(2)x x dx -⎰
变式：计算定积分2
1(1)x dx +⎰
动手试试
练1. 计算1
30x dx ⎰，并从几何上解释这些值分别表示什么.
练2. 计算0
31x dx -⎰，并从几何上解释这些值分别表示什么.
三、总结提升
学习小结
1. 求曲边梯形的面积；
2. 会计算定积分.
知识拓展
定积分把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题的结果，表示成了同样的形成.这显示这定积分的强大威力，也再一次表明了数学的威力. 学习评价
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且(())()F x C f x '+=，（C 为常数），则0()()lim x F x x F x x
∆→+∆-=∆（ ）
A ．()F x
B ．()f x
C ．0
D ．()f x '
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上的平均值为（ ）
A ．()()2
f a f b + B ．()b a f x dx ⎰ C ．1()2b a f x dx ⎰ D ．1()b a
f x dx b a -⎰ 3. 设()f x 是连续函数，且为偶函数，在对称区间[,]a a -上的定积分()a
a f x dx -⎰，由定积分的几何意义和性质()a a
f x dx -⎰=（ ） A ．0 B ．0
2()a f x dx -⎰ C ．0()a f x dx -⎰ D ．0()a
f x dx ⎰ 4. 10x e dx ⎰与2
10x e dx ⎰的大小关系为 5. 3531(sin )2
x dx -+⎰=
课后作业。