大学物理参考答案(白少民)第12章 相对论基础
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' ' ' 解：（1） l x = l cos θ
' l⊥ = l ' sin θ '
由尺缩效应公式得
' ' ' ' lx = lx 1 − υ 2 / c 2 = l ' cos θ ' 1 − υ 2 / c 2 ， l ⊥ = l ⊥ = l sin θ
由此得
2 l = l x2 + l y = l ' 1−
m 1 1 = = = 1.90 2 2 m0 1 −υ / c 1 − 0.85 2
12.15 在什么速度下粒子的动量等于非相对论动量的两倍？又在什么速度下粒子的动能 等于非相对论动能的两倍. 解：（1）
m0υ 1−υ 2 / c2
= 2m0υ ，由此得运动速度
υ = 0.866c
（2）
1 − m0 c 2 = 2 × m0υ 2 ，由此解得 υ = 0.786c 2 1−υ / c
12.10 宇宙射线与大气相互作用时能产生 π 介子衰变 ,此衰变在大气上层放出叫做 μ 子的 基本粒子 .这些 μ 子的速度 接近光速 ( υ = 0.998c ) . 由实验 室内测得的静止 μ 子的平均寿命 6 10 − s ,试问在 8000m 高空由 π 介子衰变放出的 μ 子能否飞到地面. 等于 2.2 × 子为s ' 系，由时钟延缓效应得从地面参考系中观察 µ 子的寿 解：以地面为 s 系，以 µ 命
2 2
由此解得
υ = 1 − tan 2 30 0 c = 1 − c =
1 3
2 c 3
12.14 求火箭以 0.15c 和 0.85c 的速率运动时,其运动质量与静止质量之比. 解：当 υ = 0.15c ，
m 1 1 = = = 1.01 2 2 m0 1 −υ / c 1 − 0.15 2
当 υ = 0.85c 时
3
10 s 3 12.12 一把米尺沿其纵向相对于实验室运动时,测得的长度为 0.63m,求该尺的运动速率.
由此得宇航员所测得发出这两个信号的时间间隔为
∆τ =
解：由尺度缩短效应公式得 由此解得该尺的运动速率为
0.63 = 1 −υ2 / c 2
υ = 1 − 0.63 2 c = 0.78c
12.13 在 S'坐标系中有一根长度为 l ' 的静止棒,它与 x' 轴的夹角为 θ', S' 系相对于 S 系以 速度 υ 沿 x 轴正向运动 .(1) 从 S 系观测时,棒的长度 l 是多少？它与 x 轴的夹角 θ 是多少？(2) 若 θ' = 30 0 ,θ = 45 0 ,求两坐标系的相对速度的大小.
2 2
m0 c 2
4
108 m/s 增加到 2.4 ×10 8 m/s ,必须做多少功？ 12.16 要使电子的速率从 1.2 ×
解：据功能原理可得
2 υ2 υ 12 2 A = E 2 − E1 = me c / 1 − 2 − me c / 1 − 2 c c 2
2.4 ×10 8 2 1.2 ×10 8 2 = 9.1 ×10 −31 × (3 ×10 8 ) 2 × (1 / 1 − ( ) − 1 / 1 − ( ) 3 ×10 8 3 ×10 8
' 由洛仑兹速度变换得： u x = (u x − υ ) /(1 −
u xυ ) = −υ = −0.60c c2
u xυ 0.6c 2 ) = 0.8c 1 − ( ) = 0.64c 2 c c
u 'y = u y 1 − υ 2 / c 2 /(1 −
'2 u ' = ux + u 'y2 = (0.6) 2 + 0.64 2 c = 0.877c
∆M = ( m p + mn ) − m D = (1.67265 +1.67495 − 3.34365) ×10 −27 =
0.00395 ×10 −27 kg
相 对 应 的 结 合 2 −27 8 2 −13 ∆E = ∆Mc = 0.00395 ×10 × (3 ×10 ) = 3.555 ×10 J = 2.22MeV 氘核的结合能所占氘核静能量的
1
∆t ' = ∆t 1 −υ 2 / c 2 = 5 1 − (
0.6c 2 ) =4s c 方法二：如图所示，以飞船经过地面上
y
x1 位置为事件 1 ，同时观测到彗星经过地面
上 x 2 位置为事件 2 ，再设飞船和彗星在地面
t1 '
t0
t3 '
t1
t2 '
t0
上 x 3 位置相撞为事件 3。从地面上看事件 1、2 是同时在 t 0 时刻发生的，而事件 3 发生在 t1 时刻。在飞船参考系看，则这三个事件发生时
' u电子 = (u电子 + υ ) /(1 + ' u电子 υ
c
2
)=
0.7c + 0.5c 1.2c = = 0.89c 2 1.35 1 + 0.7c × 0.5c / c
' 光子 2
（2）光子相对于地球的速率
u 光子 =
' u 光子 +υ
1+
u
υ
=
c
− c + 0.5c − 0.5c = = −1.0c c × 0.5c 0.5 1− c2
mD = 3.34365 ×10 −27 kg .求结合过程中放出的能量是多少 MeV？这能量称为氘核的结合
能,它是氘核静能量的百分之几？ 一个电子和一个质子结合成一个氢原子,结合能是 13.58eV,这一结合能是氢原子静能量的 百分之几？已知氢原子的静质量为 m H = 1.67323 × 10 −27 kg . 解：（1）在结合过程中的质量亏损为
（3）从地球上看电子相对于飞船的速度 （4）从地球上看电子相对于光子的速率 （5）从地球上看光子相对于飞船的速率
u电子 −υ = 0.89c − 0.5c = 0.39c u电子 − u 光子 = 0.89c − ( −1.0c ) = 1.89c
υ − u 光子 = 0.5c − ( −1.0c ) =1.5c
0.6c 2 ) =4s c 12.8 一空间站发射两个飞船 ,它们的运动路径相互垂直 .设一观察者位于空间站内 ,他测得 第一个飞船和第二个飞船相对空间站的速率分别为 0.60c 和 0.80c,试求第一个飞船的观察者 测得第二个飞船的速度. 解：设第一飞船沿 x 轴正向运动。 第二个飞船沿 y 轴正向运动。 以地面为 S 系，以第一个 = (t1 − t 0 ) 1 − υ 2 / c 2 = 5 1 − ( 飞船为 S ' 系，则 υ = 0.60c ， u y = 0.80c ， u x = 0 。
∆t ' = ∆t −υ ∆x / c 2 1 −υ 2 / c 2
∆x − υ∆t 1 −υ / c
2 2
=
10 − 0.98c ×100 / c 2 1 − (0.98c ) 2 / c 2
= 50.25 s
源自文库
∆x ' =
=
100 − 0.98c ×10 1 − (0.98c ) / c
2 2
= −1.47 ×10 9 m
υ2 cos 2 θ ' 2 c
l⊥ l ' sin θ ' tan θ ' = = l x l ' cosθ ' 1 − υ 2 / c 2 1 −υ 2 / c2
尺与 x 轴的夹角正切值为 tan θ =
(2) 将 θ ' = 30 0 ， θ = 45 0 代入上式得
tan 45 0 =
tan 30 0 1 −υ / c
负号表示运动员沿 x ' 轴负方向跑动。应注意运动员相对于飞船移动的距离和飞船上测得跑 道的长度是不同概念，所以不能用 ∆x' = ∆x / 1 −υ2 / c 2 去求题中要求的距离。 12.7 一艘飞船和一颗彗星相对于地面分别以 0.6c 和 0.8c 的速度相向运动,在地面上观测, 再有 5s 两者就要相撞,试求从飞船上的钟看再过多少时间两者将相撞. 解 方法一：开始飞船经过地面上 x1 位置和到达 x 3 位置（与彗星相撞处，如图所示）， 这两个事件在飞船上观察是在同一地点上发生的，它们的时间间隔 ∆ t ' 应是原时，由于在 地 面 上 看 这 两 事 件 的 时 间 间 隔 为 ∆t = 5s ， 所 以
∆t = ∆τ 1 −υ 2 / υ 2 = 2.2 ×10 −6 1 − (0.998) 2 = 3.48 ×10 −5 s
在
其
寿
8
命
期
−5
间
运
动
的
距
离
所以在 8000m 高空由 π 介子衰变放出的 µ 子能飞到地面。 本题可由尺度缩短效应计算说明。 12.11 宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球,并先后发出两个光信号 .若地球上的观测者接收到 这两个光信号的时间间隔为 10s,试求宇航员以自己的时钟记时,发出这两个信号的时间间隔. 解：取地面为 s 系，宇宙飞船为 s ' 系，发出两信号的时间间隔在 s ' 系是固有时 ∆τ ， 据时钟延缓效应得在 s 系中发出这两信号的时间间隔为
= 4.7 ×10 −14 J = 2.95 ×10 5 eV
−27 12.17 一 个 质 子 的 静 质 量 为 m p = 1.67265 ×10 kg , 一 个 中 子 的 静 质 量 为
m n = 1.67495 ×10 −27 kg , 一 个 质 子 和 一 个 中 子 结 合 成 的 氘 核 的 静 质 量 为
∆t = ∆τ / 1 −υ 2 / c 2
l = υ∆t = 0.998 × 3 ×10 × 3.48 ×10
= 10419m > 8000m
然而发出这两信号在地球系 s 中观测，飞船到地球的距离差为 ∆x = υ∆t ，所以有
10 =
∆x υ∆t υ ∆τ + ∆t = + ∆t = (1 + ) ∆t = (1 + 0.8) = 3∆τ c c c 1 − 0.8 2
第 12 章 相对论基础
12.1 确认狭义相对论两个基本假设,为什么必须修改伽利略变换？ 答：是因为从两个基本假设出发所得时空坐标变换关系与伽利略变换相矛盾。 12.2 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大 ,是否还有 同时的相对性. 答：同时的相对性是指在一参考系不同地点同时发生的两事件，在任何其它与之相对运 动的参照系看来是不同时发生的。同时的相对性结论是由光速不变原理决定的，它反映了时 空的性质。如果光速是无限大的，就不存在同时的相对性了。 12.3 相对论中,在垂直于两个参考系的相对运动方向上 ,长度的量度与参考系无关 ,而为什 么在这个方向上的速度分量却又和参考系有关？ 答：这是由于时间因参考系的变化而不同，速度又是位移的时间变化率。 12.4 能把一个粒子加速到光速吗？为什么？ 答：若粒子的静止质量不为零，这样的粒子不可能加速到光速，其原因是粒子的能量 E = mc 2 当 υ → c 时， E → ∞ ，故在做有限功时，不可能将其速度加速到光速，只能无限 的趋向于光速。 12.5 如果我们说 ,在一个惯性系中测得某两个事件的时间间隔是它们的固有时间 ,这就意 味着,在该惯性系中观测,这两个事件发生在 同一 地点,若在其他惯性系中观测,它们发生在 不同 地点,时间间隔 大 于固有时间. 12.6 一短跑选手以 10s 的时间跑完 100m.一飞船沿同一方向以速度 u = 0.98c 飞行.问在 飞船上的观察者看来,这位选手跑了多长时间和多长距离？ 解：据洛仑兹变换得
' 间分别为 t1 ' , t 2 ' , t 3 ' 。显然 t1' ≠ t 2 ，而 t1 , t 3
' '
o
x
x1
x3
题 12.7 示图
x2
时刻 可由 飞船 中同 一时 钟给 出， 其间 隔 ∆ t' 即为所求的时间。
' ∆t ' = t 3 − t1' =
(t1 − t 0 ) −
υ υ ( x 3 − x1 ) (t1 − t 0 ) − 2 υ (t1 − t 0 ) 2 c c = 2 2 1−υ / c 1−υ 2 / c2
速度方向与 x 轴正向夹角
θ = arctan
0.64c = 133.2 0 − 0.60c
2
12.9 在以 0.50c 相对于地球飞行的宇宙飞船上进行某实验 ,实验时仪器向飞船的正前方发 射电子束,同时又向飞船的正后方发射光子束.已知电子相对于飞船的速率为 0.70c.试求： (1) 电子相对于地球的速率；(2) 光子相对于地球的速率； (3) 从地球上看电子相对于飞船的 速率；(4) 从地球上看电子相对于光子的速率；(5) 从地球上看光子相对于飞船的速率. 解（1）由速度反变换得电子相对于地球的速率为
' l⊥ = l ' sin θ '
由尺缩效应公式得
' ' ' ' lx = lx 1 − υ 2 / c 2 = l ' cos θ ' 1 − υ 2 / c 2 ， l ⊥ = l ⊥ = l sin θ
由此得
2 l = l x2 + l y = l ' 1−
m 1 1 = = = 1.90 2 2 m0 1 −υ / c 1 − 0.85 2
12.15 在什么速度下粒子的动量等于非相对论动量的两倍？又在什么速度下粒子的动能 等于非相对论动能的两倍. 解：（1）
m0υ 1−υ 2 / c2
= 2m0υ ，由此得运动速度
υ = 0.866c
（2）
1 − m0 c 2 = 2 × m0υ 2 ，由此解得 υ = 0.786c 2 1−υ / c
12.10 宇宙射线与大气相互作用时能产生 π 介子衰变 ,此衰变在大气上层放出叫做 μ 子的 基本粒子 .这些 μ 子的速度 接近光速 ( υ = 0.998c ) . 由实验 室内测得的静止 μ 子的平均寿命 6 10 − s ,试问在 8000m 高空由 π 介子衰变放出的 μ 子能否飞到地面. 等于 2.2 × 子为s ' 系，由时钟延缓效应得从地面参考系中观察 µ 子的寿 解：以地面为 s 系，以 µ 命
2 2
由此解得
υ = 1 − tan 2 30 0 c = 1 − c =
1 3
2 c 3
12.14 求火箭以 0.15c 和 0.85c 的速率运动时,其运动质量与静止质量之比. 解：当 υ = 0.15c ，
m 1 1 = = = 1.01 2 2 m0 1 −υ / c 1 − 0.15 2
当 υ = 0.85c 时
3
10 s 3 12.12 一把米尺沿其纵向相对于实验室运动时,测得的长度为 0.63m,求该尺的运动速率.
由此得宇航员所测得发出这两个信号的时间间隔为
∆τ =
解：由尺度缩短效应公式得 由此解得该尺的运动速率为
0.63 = 1 −υ2 / c 2
υ = 1 − 0.63 2 c = 0.78c
12.13 在 S'坐标系中有一根长度为 l ' 的静止棒,它与 x' 轴的夹角为 θ', S' 系相对于 S 系以 速度 υ 沿 x 轴正向运动 .(1) 从 S 系观测时,棒的长度 l 是多少？它与 x 轴的夹角 θ 是多少？(2) 若 θ' = 30 0 ,θ = 45 0 ,求两坐标系的相对速度的大小.
2 2
m0 c 2
4
108 m/s 增加到 2.4 ×10 8 m/s ,必须做多少功？ 12.16 要使电子的速率从 1.2 ×
解：据功能原理可得
2 υ2 υ 12 2 A = E 2 − E1 = me c / 1 − 2 − me c / 1 − 2 c c 2
2.4 ×10 8 2 1.2 ×10 8 2 = 9.1 ×10 −31 × (3 ×10 8 ) 2 × (1 / 1 − ( ) − 1 / 1 − ( ) 3 ×10 8 3 ×10 8
' 由洛仑兹速度变换得： u x = (u x − υ ) /(1 −
u xυ ) = −υ = −0.60c c2
u xυ 0.6c 2 ) = 0.8c 1 − ( ) = 0.64c 2 c c
u 'y = u y 1 − υ 2 / c 2 /(1 −
'2 u ' = ux + u 'y2 = (0.6) 2 + 0.64 2 c = 0.877c
∆M = ( m p + mn ) − m D = (1.67265 +1.67495 − 3.34365) ×10 −27 =
0.00395 ×10 −27 kg
相 对 应 的 结 合 2 −27 8 2 −13 ∆E = ∆Mc = 0.00395 ×10 × (3 ×10 ) = 3.555 ×10 J = 2.22MeV 氘核的结合能所占氘核静能量的
1
∆t ' = ∆t 1 −υ 2 / c 2 = 5 1 − (
0.6c 2 ) =4s c 方法二：如图所示，以飞船经过地面上
y
x1 位置为事件 1 ，同时观测到彗星经过地面
上 x 2 位置为事件 2 ，再设飞船和彗星在地面
t1 '
t0
t3 '
t1
t2 '
t0
上 x 3 位置相撞为事件 3。从地面上看事件 1、2 是同时在 t 0 时刻发生的，而事件 3 发生在 t1 时刻。在飞船参考系看，则这三个事件发生时
' u电子 = (u电子 + υ ) /(1 + ' u电子 υ
c
2
)=
0.7c + 0.5c 1.2c = = 0.89c 2 1.35 1 + 0.7c × 0.5c / c
' 光子 2
（2）光子相对于地球的速率
u 光子 =
' u 光子 +υ
1+
u
υ
=
c
− c + 0.5c − 0.5c = = −1.0c c × 0.5c 0.5 1− c2
mD = 3.34365 ×10 −27 kg .求结合过程中放出的能量是多少 MeV？这能量称为氘核的结合
能,它是氘核静能量的百分之几？ 一个电子和一个质子结合成一个氢原子,结合能是 13.58eV,这一结合能是氢原子静能量的 百分之几？已知氢原子的静质量为 m H = 1.67323 × 10 −27 kg . 解：（1）在结合过程中的质量亏损为
（3）从地球上看电子相对于飞船的速度 （4）从地球上看电子相对于光子的速率 （5）从地球上看光子相对于飞船的速率
u电子 −υ = 0.89c − 0.5c = 0.39c u电子 − u 光子 = 0.89c − ( −1.0c ) = 1.89c
υ − u 光子 = 0.5c − ( −1.0c ) =1.5c
0.6c 2 ) =4s c 12.8 一空间站发射两个飞船 ,它们的运动路径相互垂直 .设一观察者位于空间站内 ,他测得 第一个飞船和第二个飞船相对空间站的速率分别为 0.60c 和 0.80c,试求第一个飞船的观察者 测得第二个飞船的速度. 解：设第一飞船沿 x 轴正向运动。 第二个飞船沿 y 轴正向运动。 以地面为 S 系，以第一个 = (t1 − t 0 ) 1 − υ 2 / c 2 = 5 1 − ( 飞船为 S ' 系，则 υ = 0.60c ， u y = 0.80c ， u x = 0 。
∆t ' = ∆t −υ ∆x / c 2 1 −υ 2 / c 2
∆x − υ∆t 1 −υ / c
2 2
=
10 − 0.98c ×100 / c 2 1 − (0.98c ) 2 / c 2
= 50.25 s
源自文库
∆x ' =
=
100 − 0.98c ×10 1 − (0.98c ) / c
2 2
= −1.47 ×10 9 m
υ2 cos 2 θ ' 2 c
l⊥ l ' sin θ ' tan θ ' = = l x l ' cosθ ' 1 − υ 2 / c 2 1 −υ 2 / c2
尺与 x 轴的夹角正切值为 tan θ =
(2) 将 θ ' = 30 0 ， θ = 45 0 代入上式得
tan 45 0 =
tan 30 0 1 −υ / c
负号表示运动员沿 x ' 轴负方向跑动。应注意运动员相对于飞船移动的距离和飞船上测得跑 道的长度是不同概念，所以不能用 ∆x' = ∆x / 1 −υ2 / c 2 去求题中要求的距离。 12.7 一艘飞船和一颗彗星相对于地面分别以 0.6c 和 0.8c 的速度相向运动,在地面上观测, 再有 5s 两者就要相撞,试求从飞船上的钟看再过多少时间两者将相撞. 解 方法一：开始飞船经过地面上 x1 位置和到达 x 3 位置（与彗星相撞处，如图所示）， 这两个事件在飞船上观察是在同一地点上发生的，它们的时间间隔 ∆ t ' 应是原时，由于在 地 面 上 看 这 两 事 件 的 时 间 间 隔 为 ∆t = 5s ， 所 以
∆t = ∆τ 1 −υ 2 / υ 2 = 2.2 ×10 −6 1 − (0.998) 2 = 3.48 ×10 −5 s
在
其
寿
8
命
期
−5
间
运
动
的
距
离
所以在 8000m 高空由 π 介子衰变放出的 µ 子能飞到地面。 本题可由尺度缩短效应计算说明。 12.11 宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球,并先后发出两个光信号 .若地球上的观测者接收到 这两个光信号的时间间隔为 10s,试求宇航员以自己的时钟记时,发出这两个信号的时间间隔. 解：取地面为 s 系，宇宙飞船为 s ' 系，发出两信号的时间间隔在 s ' 系是固有时 ∆τ ， 据时钟延缓效应得在 s 系中发出这两信号的时间间隔为
= 4.7 ×10 −14 J = 2.95 ×10 5 eV
−27 12.17 一 个 质 子 的 静 质 量 为 m p = 1.67265 ×10 kg , 一 个 中 子 的 静 质 量 为
m n = 1.67495 ×10 −27 kg , 一 个 质 子 和 一 个 中 子 结 合 成 的 氘 核 的 静 质 量 为
∆t = ∆τ / 1 −υ 2 / c 2
l = υ∆t = 0.998 × 3 ×10 × 3.48 ×10
= 10419m > 8000m
然而发出这两信号在地球系 s 中观测，飞船到地球的距离差为 ∆x = υ∆t ，所以有
10 =
∆x υ∆t υ ∆τ + ∆t = + ∆t = (1 + ) ∆t = (1 + 0.8) = 3∆τ c c c 1 − 0.8 2
第 12 章 相对论基础
12.1 确认狭义相对论两个基本假设,为什么必须修改伽利略变换？ 答：是因为从两个基本假设出发所得时空坐标变换关系与伽利略变换相矛盾。 12.2 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大 ,是否还有 同时的相对性. 答：同时的相对性是指在一参考系不同地点同时发生的两事件，在任何其它与之相对运 动的参照系看来是不同时发生的。同时的相对性结论是由光速不变原理决定的，它反映了时 空的性质。如果光速是无限大的，就不存在同时的相对性了。 12.3 相对论中,在垂直于两个参考系的相对运动方向上 ,长度的量度与参考系无关 ,而为什 么在这个方向上的速度分量却又和参考系有关？ 答：这是由于时间因参考系的变化而不同，速度又是位移的时间变化率。 12.4 能把一个粒子加速到光速吗？为什么？ 答：若粒子的静止质量不为零，这样的粒子不可能加速到光速，其原因是粒子的能量 E = mc 2 当 υ → c 时， E → ∞ ，故在做有限功时，不可能将其速度加速到光速，只能无限 的趋向于光速。 12.5 如果我们说 ,在一个惯性系中测得某两个事件的时间间隔是它们的固有时间 ,这就意 味着,在该惯性系中观测,这两个事件发生在 同一 地点,若在其他惯性系中观测,它们发生在 不同 地点,时间间隔 大 于固有时间. 12.6 一短跑选手以 10s 的时间跑完 100m.一飞船沿同一方向以速度 u = 0.98c 飞行.问在 飞船上的观察者看来,这位选手跑了多长时间和多长距离？ 解：据洛仑兹变换得
' 间分别为 t1 ' , t 2 ' , t 3 ' 。显然 t1' ≠ t 2 ，而 t1 , t 3
' '
o
x
x1
x3
题 12.7 示图
x2
时刻 可由 飞船 中同 一时 钟给 出， 其间 隔 ∆ t' 即为所求的时间。
' ∆t ' = t 3 − t1' =
(t1 − t 0 ) −
υ υ ( x 3 − x1 ) (t1 − t 0 ) − 2 υ (t1 − t 0 ) 2 c c = 2 2 1−υ / c 1−υ 2 / c2
速度方向与 x 轴正向夹角
θ = arctan
0.64c = 133.2 0 − 0.60c
2
12.9 在以 0.50c 相对于地球飞行的宇宙飞船上进行某实验 ,实验时仪器向飞船的正前方发 射电子束,同时又向飞船的正后方发射光子束.已知电子相对于飞船的速率为 0.70c.试求： (1) 电子相对于地球的速率；(2) 光子相对于地球的速率； (3) 从地球上看电子相对于飞船的 速率；(4) 从地球上看电子相对于光子的速率；(5) 从地球上看光子相对于飞船的速率. 解（1）由速度反变换得电子相对于地球的速率为