龙格-库塔方法微积分教学

龙格-库塔方法

8.2.1 二阶龙格-库塔方法

常微分方程初值问题：

做在点的泰勒展开：

这里。取，就有

(8.11)

截断可得到近似值的计算公式，即欧拉公式：

若取，式（8.11）可写成：

或

（8.12）

截断可得到近似值的计算公式：

或

上式为二阶方法，一般优于一阶的欧拉公式（8.2），但是在计算时，需要计算在点的值，因此，此法不可取。

龙格-库塔设想用在点和

值的线性组合逼近式（8.12）的主体，即用

（8.13）

逼近

得到数值公式：

（8.14）

或更一般地写成

对式（8.13）在点泰勒展开得到：

将上式与式（8.12）比较，知当满足

时有最好的逼近效果，此时式（8.13）－式（8.14）。这是4个未知数的3个方程，显然方程组有无数组解。

若取，则有二阶龙格-库塔公式，也称为改进欧拉公式：

（8.15）

若取，则得另一种形式的二阶龙格-库塔公式，也称中点公式：

（8.16）从公式建立过程中可看到，二阶龙格-库塔公式的局部截断误差仍为，是二阶精度的计算公式。类似地，可建立高阶的龙格-库