河南省天一大联考“顶尖计划”2020届高三毕业班第一联考理科数学试题

天一大联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第一次考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|30M x x x =-<，{}|17N x x =≤≤，则M N =（ ）A.{}|13x x ≤<B.{}|13x x <<C.{}|07x x <<D.{}|07x x <≤2.设复数213iz i-=+，则||z =（ ） A.13 B.23C.12D.223.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位，万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A.B.C.D.4.为了贯彻落实党中央精准扶贫的决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制成下图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误．．的是（ ）A.该市共有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭有1800户C.在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户5.运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A.1S ≥B.2S >C.lg99S >D.lg98S ≥6.已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1aa e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4a c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c a b <<B.a c b <<C.a b c <<D.c b a <<7.已知非零向量a ，b 满足a b λ=，若a ，b 夹角的余弦值为1930，且(2)(3)a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A.49-B.23C.32或49- D.328.记单调递增的等比数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A.112n n n S S ++-=B.2nn a =C.21nn S =-D.121n n S -=-9.函数2|sin |2()61x x f x x==+的图象大致为（ ）A. B.C. D.10.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，抛物线C 与圆C '：22(3x y +-=交于M ，N 两点.若||MN =，则MNF ∆的面积为（ ）B.3811.关于函数()|cos |cos |2|f x x x =+有下列三个结论：①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]2,2-.则上述结论中，正确的个数为（ ）12.已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）C.92D.72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ，y 满足约束条件21,24,20,y x x y y ≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为________.14.函数2()xf x x e-=⋅的极大值为________.15.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），直线l ：4x a =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若OAB ∆（点O 为坐标原点）的面积为32，且双曲线C的焦距为C 的离心率为________.16.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211n n n S a n a -+=+，且25a =.若2nnS m >，则实数m 的取值范围为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22()a b c ab -=-. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆的面积. 18.如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段1AA ，1CC 上，且113AD AA =，//DE AC ，F 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：//EF 平面111B C D ；（Ⅱ）若AB AC ⊥，AB AC =，13AA AB =，求直线BC 与平面1B DE 所成角的正弦值.19.已知椭圆C ：2214x y +=，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点. （Ⅰ）若线段MN 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 过点(4,0)，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（PM k ，PN k 分别为直线PM ，PN 的斜率），求0x 的值.20.已知函数21()ln 2f x mx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≤时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.21.某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A ，B ，C ，D 四种食物，要求小孩根据喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排出的序号依次为A B C D x x x x ，家长猜测的序号依次为A B C D y y y y ，其中A B C D x x x x ，A B C D y y y y 都是1，2，3，4四个数字的一种排列.定义()()()()2222A AB BC CD D X x y x y x y x y =-+-+-+-，用X 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.（Ⅰ）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.（i ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X 的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）.（Ⅱ）若有一组小孩和家长进行了三轮游戏，三轮的结果都满足4X <，请判断这位家长对小孩的饮食习惯是否了解，说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12,6126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点(2,0)M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11||||MP MQ +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知x ，y ，z 是正数.（Ⅰ）若1xy <，证明：||||4x z z y xyz +⋅+>；（Ⅱ）若13xyz x y z =++，求222xy yz xz ⋅⋅的最小值.天一大联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第一次考试理科数学.答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.【答案】A【命题意图】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想 【解析】{}{}{}2|30|(3)0|03M x x x x x x x x =-<=-<=<<，故{}|13MN x x =≤<.2.【答案】D【命题意图】本题考查复数的概念、复数的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 【解析】2(2)(13)2631713(13)(13)101010i i i i i z i i i i ------====--++-，故||2z ==.3.【答案】B【命题意图】本题考查数学文化、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想. 【解析】根据算筹横式与纵式的区别，56846可以表示为.4.【答案】D【命题意图】本题考查统计图表，考查创新意识以及必然与或然思想. 【解析】依题意，得该市低收入家庭的总数为900150000.06=，则在该市从业人员中，低收入家庭有150000.121800⨯=户，在该市失无业人员中，低收入家庭有150000.294350⨯=户，在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭的总数为150000.04600⨯=. 5.【答案】C【命题意图】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想. 【解析】运行该程序，第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lglg32S =+=；第三次，3i =，4lg3lglg 43S =+=，…；第九十八次，98i =，99lg98lg lg9998S =+=；第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==，此时要输出i 的值为99.6.【答案】A【命题意图】本题考查指对数的大小关系，考查推理论证能力.【解析】依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，故3log 5101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，33log 51b =>，3log 51log 04c =<，故c a b <<. 7.【答案】D【命题意图】本题考查向量数量积的应用，考查运算求解能力.【解析】依题意，得(2)(3)0a b a b -⋅+=，即223520a a b b -⋅-=.将||||a b λ=代入可得，21819120λλ--=，解得32λ=（49λ=-舍去）. 8.【答案】C【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式以及等比数列的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想.【解析】33234336444a a a a a =⇒=⇒=.设等比数列{}n a 的公比为q ，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，因为数列{}n a 单调递增，所以2q =.所以112810a a +=，解得11a =.所以12n n a -=，()1122112n n n S ⨯-==--.9.【答案】A【命题意图】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想. 【解析】依题意，x ∈R ，且函数()f x 为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，排除C ；22()601f πππ=-<+，排除B ；22222266642232412f ππππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=-=->-> ⎪⨯⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，排除D ，故选A. 10.【答案】B【命题意图】本题考查抛物线的方程、圆的方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】作出图形如下图所示，由题意知||23AM =.因为点N 为圆C '圆周上一点，所以90ANM ∠=︒，则在Rt ANM ∆中，由||23AM =，||6MN =，得22||||||6AN AM MN =-=，45AMN ∠=︒，所以(3,3)N .代入22y px =中，解得32p =.故MNF ∆的面积为1333248⨯⨯=.11.【答案】B【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】因为()|cos()|cos |2()|f x x x πππ+=+++|cos |cos |22|()x x f x π=++=，所以函数()f x 的一个周期为π，故①正确；因为3332cos cos 4422f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，5552cos cos 4422f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上并非单调递增，故②错误；当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，2()cos cos 22cos cos 1f x x x x x =+=+-，此时(],(1)2f x ∈-，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()cos cos 22cos cos 1f x x x x x =-+=--，此时[]()1,2f x ∈-，所以函数()f x 的值域为[]1,2-，故③错误. 12.【答案】C【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合 思想.【解析】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A =，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知23AE x =+，23ED y =+.在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，212SE x =+，22933ED y x =+=+.所以221110834522SED S SE ED x x ∆=⋅=++.因为222210810832336x x x x +≥⋅=，当且仅当6x =，62y =时等号成立，所以19364522SEDS ∆≥+=. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】7【命题意图】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想. 【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =-过点(3,2)C -时，z 有最大值，max 7z =.14.【答案】12e【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想. 【解析】依题意，得222()e 2e e (12)xx x f x x x ---'=-=-.所以当1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以当12x =时，函数()f x 有极大值12e.15.或2【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想.【解析】联立4,x a by x a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得4y b =.所以OAB ∆的面积14816322S a b ab =⋅⋅==，所以2ab =.而由双曲线C的焦距为c =所以225a b +=.联立解得1,2a b =⎧⎨=⎩或2,1,a b =⎧⎨=⎩故双曲线C2. 16.【答案】(2,)+∞【命题意图】本题考查数列的前n 项和与通项的关系、数列的递推公式，等差数列的前n 项和公式，数列的性质，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】当2n =时，()2222121S a a -+=+，解得28S =.所以13a =.因为()211n n n S a n a -+=+，则()11121(1)1n n n S a n a +++-+=++，两式相减，可得112(2)(1)1n n n a n a n a ++=+-++，即1(1)10n n na n a +-++=，则21(1)(2)10n n n a n a +++-++=.两式相减，可得2120n n n a a a ++-+=.所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，则2222n n n S n n +=.令2nn nS b =，则21132n n n n b b ++--=.当2n ≥时，10n n b b +-<，数列{}n b 单调递减，而132b =，22b =，3158b =，故2m >，即实数m 的取值范围为(2,)+∞.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】（Ⅰ）由22()a b c ab -=-，得222a b c ab +-=.所以由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==. 又因为(0,)C π∈，所以3C π=.（Ⅱ）由4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得4sin sin 0c A b C -+=. 由正弦定理，得4ca bc =. 因为0c ≠，所以4b a =. 又因1a =，所以4b =. 所以ABC ∆的面积113sin 143222S ab C ==⨯⨯⨯=. 18.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查空间想象能力以及数形结合思想. 【解析】（Ⅰ）取1B D 的中点G ，连接1C G ，FG .因为F ，G 分别是线段AB 和1B D 的中点，所以FG 是梯形1ADB B 的中位线， 所以//FG AD .又1//AD CC ，所以1//FG CC .因为1//AD CC ，//DE AC ，所以四边形ADEC 为平行四边形，所以AD CE =. 所以1123C E CC =，111223AD BB FG CC C E +===. 所以四边形1FGC E 为平行四边形，所以1//EF C G .又EF ⊄平面11B C D ，1C G ⊂平面11B C D ，所以//EF 平面11B C D .（Ⅱ）因为AB AC ⊥，且1AA ⊥平面ABC ，故可以A 为原点，AB 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设1AB AC ==，则13AA =，所以(0,0,1)C ，(1,0,0)B ，1(1,3,0)B ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E . 所以(1,0,1)BC =-，1(1,2,0)B D =--，(0,0,1)DE =.设平面1B DE 的法向量为(,,)n x y z =，则10,0.n B D n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以20,0.x y z +=⎧⎨=⎩可取(2,1,0)n =-.设直线BC 与平面1B DE 所成的角为θ，则sin θ==. 19.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,41.4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减，可得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=.（*）因为线段MN 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以122x x +=，121y y +=. 代入（*）式，得()()1212204x x y y -⋅+-=.所以直线l 的斜率121212y y k x x -==--.所以直线l 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=. （Ⅱ）设直线l ：4x my =+（0m ≠），联立224,1.4x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得()2248120m y my +++=.所以()226441240m m ∆=-⨯⨯+>，解得212m >.所以12284m y y m +=-+，122124y y m =+. 所以121020PM PN y y k k x x x x +=+--()()()()1202101020y x x y x x x x x x -+-=-- ()()()21121201020x y x y y y x x x x x +-+=--()()()()()2112120102044my y my y y y x x x x x +++-+=-- ()()()()120121020240my y x y y x x x x +-+==--，所以()()12012240my y x y y +-+=.所以()()()()01201202228112824240444m x mmy y x y y m x m m m -+-+=⋅+-⋅==+++. 因为0m ≠，所以01x =.20.【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】（Ⅰ）当1m =时，21()ln 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1()2ln 2f x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 所以(1)2f '=. 又1(1)2f =，故所求切线方程为12(1)2y x -=-，即322y x =-. （Ⅱ）依题意，得21ln ln 2mx x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即21ln ln 02mx x x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立. 令21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()(21)(ln 1)g x mx x '=-+. ①当0m ≤时，因为1(1)02g m =≤，不合题意. ②当01m <≤时，令()0g x '=，得112x m =，21e x =，显然112em >.令()0g x '>，得10x e <<或12x m >；令()0g x '<，得112x e m<<.所以函数()g x 的单调递增区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是11,2e m ⎛⎫⎪⎝⎭. 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20mx x -<，ln 0x <，所以21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()221ln 02mx x x mx =-+>， 只需1111ln 02428g m m m m ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，所以m > 所以实数m 的取值范围为⎤⎥⎦. 21.【命题意图】本题考查概率的计算、随机变量的分布列以及极大似然法的应用.【解析】（I ）（i ）若家长对小孩的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的.先考虑小孩的排序A B C D x x x x 为1234的情况，家长的排序有4424A =种等可能的结果.其中满足“家长的排序与1234对应位置的数字完全不同”的有2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，共有9种结果. 故相应的概率为93248=. 若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A ，B ，C ，D 按照小孩的排序1234的顺序调整即可.例如：假设小孩的排序A B C D x x x x 为1423，四种食物按1234排列为ACDB ，再研究A D B C y y y y 的情况即可，可知这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的.所以他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为38. （ⅱ）根据（i ）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下X 的值.X 的分布列如下表：（Ⅱ）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（Ⅰ）可知，在一轮游戏中，1(4)(0)(2)6P X P X P X <==+==. 三轮游戏结果都满足“4X <”的概率为311562161000⎛⎫=<⎪⎝⎭，这个结果发生的可能性很小，所以可认为这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.22.【命题意图】本题考查极坐标方程、参数方程间的转化、参数方程的几何意义，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】（Ⅰ）将12,6126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相加，可得4x y m +=，所以4x y m +=.所以12464x y x x y +=⋅++⋅，整理得2233144x y -=. 故曲线C 的普通方程为2233144x y -=.依题意，得直线l：1cos 122ρθθ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，即cos sin 2ρθθ=. 所以直线l的直角坐标方程为20x -=.（Ⅱ）设直线l：2,12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233144x y -=中，得23160t ++=.343162400∆=-⨯⨯=>.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-12163t t =.所以121211||||||||||||t t MP MQ MP MQ MP MQ t t +++===⋅ 23.【命题意图】本题考查不等式证明的方法、基本不等式，考查推理论证能力以及化归转化思想. 【解析】（Ⅰ）依题意，||||()()x z z y x z z y +⋅+=+⋅+4≥= 当且仅当x y z ==时等号成立.因为01xy <<，所以44z xyz >，所以||||4x z z y xyz +⋅+>. （Ⅱ）因为13xyz x y z =++，所以1113yz xz xy++=.而12yz yz +≥=，12xz xz +≥=，12xy xy +≥=，当且仅当1x y z ===时等号成立.三式相加，可得1116xy yz xz yz xz xy+++++≥，所以3xy yz xz ++≥. 故22228xy yz xz xy yz xz++⋅⋅=≥，即222xy yz xz ⋅⋅的最小值为8.。