二次根式总复习典型题加练习汇总

(1) (7)2( 7)2
(2)(5)21 6(2)2
(3)( a)2 a2(a0)
(4) 3( 31) 3
例3 计算：
1
3 5
2 3
2
|
4 5
2 3
|;
2
2 7
3 5
2
4 5
3 7
2
.
化简：
(1) 2 4
(2) a 4
(3) a 2 b 2 (a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 ( a＞1 )
x 1 43572125(22222x 2 ____1 __52__)1_72__3___ _5____4______,_x__152__ _1_4
合作探究:
( a)2与 a2有区别吗 ?
2
比较分析 a 和 a 2
2Leabharlann Baidu
a
a2
读法
根号a的平方 根号下a平方
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
a的取值范围
初中数学九年级上册
二次根式总复习
（1）3的平方根是____3__
（2）3的算术平方根是___3____
（3） 5 有意义吗？为什么？
0呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为___a___a____0
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
算术平方根的性质 正数和0都有算术平方根；
0 2 0_ _ _ ,
| 0 | 0_ _ _ .
请比较左右两边的式子,想一想:
1、a 2 与 | a 有| 什么关系?
2、
当 时a , 0
a2 __a __;
当 a 时0,
a2 __a__ .
一般地，二次根式又有下面的 性质:
aa 0 a2 | a | a a 0
大
家 抢 答
试一试
(1) 1 8 (2) 27a5 4a (a0)
2
3
结论：
由 a b ab(a 0,b 0)
反过来得: ab a b(a 0,b 0)
利用这个等式可以化简一些二次根式
例2：化简:
(1) 1 2 (2) a3 (a 0) (3) 4a 2b3 (a 0,b 0) (4) 132 122
a≥0
a取全体实数
运算结果
a
∣a∣
例1
计算：
二次根式性质1:
(1)
2
8
2
a aa0
二次根式性质2:
(2) (1.5)2
aa aa 00
a2 | a | aa (aaa 000)
例2
计算：
(1) (10)2( 15)2
(2) [ 2(2)2] 222 (3 ) (7)22 5 (9)
a2 2a3
1 a
3 2a a 1
l1.已知 y x4 4，x 你2能求出 的x值 吗y ？
切入点：从字母的取值范围入手。
l2.已知 x 2y 与9 x y互为3相反数，
求 x 、 y的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
l3.已知 x ，1 你能求出 的x 取值范围吗？
3 x
切入点：分类讨论思想。
而 2x22x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
随堂练习 1
1、判断：下列各式中那些是二次根式？
6, 3 m2, m21
a 2、思考：如 3 ， （a＜0）
是不是二次根式？为什么？
二次根式根号内字母的取值范围必须满足:
被开方数大于或等于零
例1 求下列二次根式中字母的取值范围：
二次根式的性质及它们的应用:
2
（1） a a,(a0)
（2） a 2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
一般地, a b ab(a 0,b 0)
两个非负数的算术平方根的 积等于它们积的算术平方根
例1：计算:
(1) 2 32; (3) 2a 8a(a0)
方法:将被开方数中的平方数因数先分解再开方 结果:被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
1.计 算 (1) 2 0 5 ; (2)3 2 2 8 ; (3) 8 18 ; (4) 6a 3 3a (a 0) 2
2.化简
(1) 1 6 2 5 ; (2) 150; (3) 45a (a 0); (4) 9a 2b 3 (a 0,b 0); (5) 26 2 10 2
一般地,二次根式有下面的性质:
2
a aa0
1 32_3_____,2 722__72____,3 2132_2__13_____
4
52__5______,5
232____23 ____.
2 2 _2_ _ ,
5 2 _5_ _ ,
| 2 | _2_ _ ; | 5 | _5_ _ ;
负数没有算术平方根。
a2 2500 S
2S
这些代数式有什么共同的特点？
像
a2
2500
，
S
， 2 S 这样表
示的算术平方根，且二次根号内含有字
母的代数式叫做二次根式。
为了方便起见，我们把一个数的算术平
方根（如 5 ，
）2 也叫二次根式。
3
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次根
式的代数式，不能称之为二次根式；
3. 1 x
4. a2 1
5. x3 4x
6. x 1 x2
例2. 当 x = –4时，求二次根式 1 2 x 的值。
若二次根式 2 x 2 1 的值为3，求x的值。
解：由题意，得：2x2 1 3 两边同时平方，得：2x2 1 9
x2 4 x 2
求出下列二次根式中字母a的取值范围：
1
1 a1 3 1 1 2a
2 a32
4
7a
(5)
| x | 1
3a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练习
口答
求下列二次根式中字母a的取值范围：
1 a3;2 1;3 a21.
3a
要使下列各式有意义，字母的取值必须满足什么条件？
1. x 3 2. 25x
2 a 0, b20
a 2, b2
原 式 a 2 b 1 2a 2 b 1 22 1 3
一个概念：二次根式 形如 a (a 0) 的代数式
两类题型：1. 求代数式所含字母的取值范围
列不等式（组）
2. 求二次根式的值 三点注意：1. 二次根式的双重非负性
a 0 a0
2. 分母不能为0
3. 分类讨论思想
l4.已知 1 0 为a一个非负整数，试求非负整数 的a 值
讨论:求式子 x＋1－5－x 有意义时x的取值范围。
解:由题意得,
x1 0
5
|
x
|
0
x 5
|
1 x|
得
x 1
5
x
5
5 x 1
若a.b为实数,且| 2a| b20 求 a2 b2 2b1的值。
解:Q 2 a 0, b 2 0 而2a b20